APOSTILA MECANICA DOS FLUIDOS 2011
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APOSTILA MECANICA DOS FLUIDOS 2011


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2
dz
z
zx
zxf \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
 
 
Tais tensões originam forças de superfície na direção-x, as quais são adicionadas considerando o 
sentido positivo (+) e negativo (-) de cada uma delas 
 
fcised
dFdFdFdFdFdFdFsx \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c3\u3c3 \u2212+\u2212+\u2212= 
 
Utilizando as áreas das faces do cubo tais forças são representadas como 
 
ffcciisseeddsx dAdAdAdAdAdAdF \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c3\u3c3 \u2212+\u2212+\u2212= 
 
Sabemos que [ ] [ ] [ ]zfcyisxed dAdAdAdAdAdAdAdAdA ====== 
 
Desta forma: 
 ( ) ( ) ( ) zfcyisxedsx dAdAdAdF \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c3\u3c3 \u2212+\u2212+\u2212= 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-22 
 
 
 
Analisando cada termo das tensões: 
 
( ) dx
x
dx
x
dx
x
xxxx
xx
xx
xxed \u2202
\u2202=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+=\u2212 \u3c3\u3c3\u3c3\u3c3\u3c3\u3c3\u3c3
22
 
 
( ) dy
y
dy
y
dy
y
yxyx
yx
yx
yxis \u2202
\u2202=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2212\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+=\u2212 \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
22
 
 
( ) dz
z
dz
z
dz
z
zxzx
zx
zx
zxfc \u2202
\u2202=\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+=\u2212 \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c4
22
 
 
os elementos de área podem ser representados por: 
 
dxdydAdxdzdAdydzdA zyx === 
 
Desta forma, 
 ( ) ( ) ( )dxdyxdzddydzdF fcisedsx \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4\u3c3\u3c3 \u2212+\u2212+\u2212= 
 
Substituindo a variação das tensões: 
 
dxdydz
z
xdzddy
y
dydzdx
x
dF zxyxxxsx \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202= \u3c4\u3c4\u3c3
 
 
 
 
dxdydz
zyx
dF zxyxxxsx \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202= \u3c4\u3c4\u3c3
 
 
 
Da mesma forma podem ser obtidas as componentes das forças na direção-y e na direção-z. Assim 
as três componentes das forças de superfície são dadas pelas relações apresentadas a seguir. 
 
 
 
dxdydz
zyx
dF
dxdydz
zyx
dF
dxdydz
zyx
dF
zzyzxz
sz
zyyyxy
sy
zxyxxx
sx
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=
\u3c3\u3c4\u3c4
\u3c4\u3c3\u3c4
\u3c4\u3c4\u3c3
 
 
 
 
Forças de Superfície num Elemento de Fluido 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-23 
 
4.11 Equação da Conservação da Massa 
 
As equações integrais de Mecânica dos Fluidos são utilizadas num volume de controle (V.C.) para 
analisar o campo de escoamento de maneira global. As equações diferenciais são utilizadas para 
estudar o campo de escoamento em forma mais detalhada. 
 
Para obter a expressão que define a conservação da massa na forma diferencial, fazemos uma 
análise de um volume de controle diferencial num sistema de coordenadas cartesiano. 
 
O princípio da conservação da massa é definido como: 
 
0
V.C. do através
resultante fluxo de taxa
V.C. no massa da
 variaçãode taxa =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee+\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
 
 
Na forma integral esta expressão é dada por: 
 
0=+
\u2202
\u2202 \u222b\u222b SCVC AdVVdt
rrr
\u3c1\u3c1 
 
A massa dentro do V.C. a qualquer instante é produto da massa específica (\u3c1) e o volume (dxdydz). 
Desta forma a taxa de variação da massa dentro do volume de controle na forma diferencial é dada 
por: 
 
dxdydz
t
Vd
t VC \u2202
\u2202=
\u2202
\u2202 \u222b \u3c1\u3c1 r 
 
pode ser demonstrado que a taxa de fluxo resultante através da superfície de controle é dada por: 
 
dxdydz
z
w
y
v
x
uAdV
SC \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\u222b \u3c1\u3c1\u3c1\u3c1 rr 
 
Desta forma a equação da conservação da massa na forma diferencial é dada por: 
 
0=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
z
w
y
v
x
u
t
\u3c1\u3c1\u3c1\u3c1
 
 
Em notação vetorial é definido o operador nabla como: 
 
 
z
k
y
j
x
i
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=\u2207 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-24 
 
De tal forma que a equação da conservação da massa pode ser reduzida a: 
 
V
z
w
y
v
x
u r\u3c1\u3c1 \u2207=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
 
 
que na forma vetorial pode ser representada como: 
 
0=\u2207+
\u2202
\u2202 V
t
r
\u3c1\u3c1 
 
4.11.1 Escoamento Incompressível 
 
No caso de escoamento incompressível \u3c1=constante. Isto significa que a massa específica não é 
função do tempo nem das coordenadas espaciais. 
 
0=
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202
z
w
y
v
x
u
 
 
ou na forma vetorial 
 
0=\u2207V
r
 
 
 
4.11.2 Escoamento Permanente 
 
No caso de escoamento permanente todas as propriedades do fluido são independentes do tempo. 
Desta forma, no máximo, poderá ocorrer é que V(x,y,z) e \u3c1(x,y,z) sendo a equação da continuidade 
dada por: 
 
0=
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202
z
w
y
v
x
u \u3c1\u3c1\u3c1
 
 
ou na forma vetorial 
 
0=\u2207 V
r
\u3c1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-25 
4.12 Equação da Quantidade de Movimento 
 
Sabemos a equação da quantidade de movimento na sua forma integral. 
 
\u222b \u222b+\u2200\u2202\u2202=+= VC SCBs AdVVdVtFFF
rrrrrrr
\u3c1\u3c1 
 
Na forma diferencial expressamos as equações para um sistema infinitesimal de massa dm, para a 
qual a segunda lei de Newton pode ser expressa como: 
 
sistema
dt
VddmFd \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6=
r
r
 
o termo dm é facilmente determinado pelo produto entre a massa específica do fluido dentro do 
V.C. e o volume diferencial. No cap.4 foi deduzido que 
 
Dt
VD
dt
Vd
sistema
rr
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
 
 
definida como derivada substancial 
 
t
V
y
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=
rrrrr
 
 
a qual pode ser apresentada na forma escalar, pelas componentes escalares da aceleração 
substancial ou total da partícula sãos dadas por: 
 
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
ua
Dt
Dw
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
ua
Dt
Dv
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
ua
Dt
Du
zp
yp
xp
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202==
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202==
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202==
r
r
r
 em forma compacta : 
t
VVV
Dt
VD
\u2202
\u2202+\u2207= 
r
rr
r
 
 
4.12.1 Força Agindo sobre uma Partícula de Fluido 
Com a equação deduzida anteriormente da derivada substancial de uma partícula de fluido num 
campo de escoamento podemos expressar a segunda lei de Newton como: 
 
Dt
VDdmFd
r
r
= 
 
As forças que atuam sobre um elemento de fluido são de dois tipos: 1) Forças de superfícies 2) 
Forças de campo. As forças de superfícies incluem as forças normais (pressão) e forças tangenciais 
(cisalhamento). As forças de campo se devem à ação da gravidade. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-26 
Bs FdFdFd
rrr
+= 
 
A força de corpo ou campo por unidade de massa é definida como: zyx jBjBiBB ++=
r
. As 
componentes da força de corpo na direção x,y,z são dadas como: 
 
\u2200== dBdmBdF xxBx \u3c1 
 
\u2200== dBdmBdF yyBy \u3c1 
 
\u2200== dBdmBdF zzBz \u3c1 
 
Como apresentado no cap.4 as componentes da força de superfície são dadas por: 
 
dxdydz
zzy
dF
dxdydz
zxy
dF
dxdydz
zyx
dF
zzyzxz
sz
zyyyyx
sy
zxyxxx
sx
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=
\u3c3\u3c4\u3c4
\u3c4\u3c3\u3c4
\u3c4\u3c4\u3c3
 (Equações são deduzidas no Cap.4) 
 
Substituindo as expressões das forças de campo e de superfícies, junto com a definição das 
componentes escalares da derivada substancial na segunda lei de Newton obtemos finalmente a 
expressão da quantidade de movimento na sua forma diferencial. 
 
A componente x: 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+
\u2200=+
=
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
zyx
B
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
udxdydzdxdydz
zyx
dxdydzB
Dt
DuddFdF
Dt
DudmdF
zxyxxx
x