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&iOFXOR�, Autoria: Eduardo Cavalcanti Magalhães Tema 01 Função Linear 7HPD��� Função Linear Autoria: Eduardo Cavalcanti Magalhães Como citar esse documento: MAGALHÃES, Eduardo Cavalcanti. Cálculo I: Função Linear. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014. Índice ������$QKDQJXHUD�(GXFDFLRQDO�� 3URLELGD� D� UHSURGXomR� ¿QDO� RX� SDUFLDO� SRU� TXDOTXHU�PHLR� GH� LPSUHVVmR�� HP� IRUPD� LGrQWLFD�� UHVXPLGD� RX�PRGL¿FDGD� HP� OtQJXD� SRUWXJXHVD�RX�TXDOTXHU�RXWUR�LGLRPD� Pág. 17 Pág. 18 Pág. 18 Pág. 17 Pág. 15Pág. 14 ACOMPANHENAWEB Pág. 3 CONVITEÀLEITURA Pág. 4 PORDENTRODOTEMA � Ao longo de sua vida acadêmica você vai ouvir nomes como Euclides, Arquimedes, Isaac Newton, Gauss, René Descartes. Todos esses nomes citados fazem parte de um grupo seleto de matemáticos famosos que contribuíram de IRUPD�VLJQL¿FDWLYD�QDV�PDLV�GLYHUVDV�iUHDV��GHQWUH�HVWDV�R�&iOFXOR��2�&iOFXOR�p�XP�UDPR�LPSRUWDQWH�GD�PDWHPiWLFD� que se destina ao estudo de taxas de variação de grandezas (por exemplo, a intensidade de um campo elétrico) e a acumulação de quantidades (a área de um campo de futebol ou o volume de água de uma piscina olímpica). 2�HVWXGDQWH�GH�&iOFXOR�GHYH�WHU�XP�FRQKHFLPHQWR�HP�FHUWDV�iUHDV�GD�PDWHPiWLFD�� WDLV�FRPR�IXQo}HV��JHRPHWULD�H� trigonometria, pois estas são a base desse ramo da matemática. No entanto, é necessária uma maior compreensão GH�IXQo}HV��Mi�TXH�FRUUHVSRQGH�D�XP�GRV�FRQFHLWRV�PDLV�LPSRUWDQWHV�QD�PDWHPiWLFD��1HVVH�VHQWLGR��R�FRQWH~GR�GHVWH� tema está dividido em: � 'H¿QLomR�GH�IXQomR�OLQHDU� � 'RPtQLR��FRQWUDGRPtQLR��LPDJHP�H�JUi¿FR� � &RH¿FLHQWH�DQJXODU� � Função crescente e decrescente. $R�WpUPLQR�GHVWH�WHPD��YRFr�GHYHUi�VHU�FDSD]�GH�UHVSRQGHU�DV�VHJXLQWHV�TXHVW}HV� 1. 2�TXH�p�XPD�IXQomR�OLQHDU" 2. �2�TXH�p�GRPtQLR��FRQWUDGRPtQLR�H�LPDJHP" 3. �&RPR�REWHU�R�JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR" 4. �&RPR�REWHU�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GH�XPD�UHWD" 5. �4XDO�D�GLIHUHQoD�HQWUH�IXQomR�FUHVFHQWH�H�GHFUHVFHQWH" CONVITEÀLEITURA � Função $V�IXQo}HV�VmR�GH¿QLGDV�SRU�FHUWDV�relações��3RU�FDXVD�GH�VXD�JHQHUDOLGDGH��DV�IXQo}HV�DSDUHFHP�HP�PXLWRV� FRQWH[WRV�PDWHPiWLFRV�H�PXLWDV�iUHDV�GD�PDWHPiWLFD�EDVHLDP�VH�QR�HVWXGR�GH� IXQo}HV�JHUDOPHQWH�GHQRWDGDV�SRU� WHUPRV�HTXLYDOHQWHV�� FRPR� ³PDSHDPHQWR´�� ³PDSD´�H� ³WUDQVIRUPDomR´�� RFDVLRQDOPHQWH� UHIHULGDV�FRPR� ³IXQo}HV�EHP� GH¿QLGDV´�RX�³IXQo}HV�WRWDLV´� 2�FRQFHLWR�GH�XPD�IXQomR�p�XPD�IRUPD�JHUDO�GD�QRomR�FRPXP�GH�IyUPXOD�PDWHPiWLFD��3RGHPRV�GL]HU�TXH�DV�IXQo}HV� GHVFUHYHP�UHODo}HV�PDWHPiWLFDV�HVSHFLDLV�HQWUH�GRLV�HOHPHQWRV��'H�PDQHLUD�LQWXLWLYD��XPD�IXQomR�p�XPD�PDQHLUD�GH� DVVRFLDU�D�FDGD�YDORU�GR�DUJXPHQWR�[��YDULiYHO�LQGHSHQGHQWH��XP�~QLFR�YDORU�GD�IXQomR� � �xf (variável dependente). Isso pode ser feito de quatro formas possíveis: verbalmente (mediante uma descrição em palavras), numericamente (por uma WDEHOD�GH�YDORUHV���JUD¿FDPHQWH��SRU�XP�JUi¿FR��RX�DOJHEULFDPHQWH��SRU�PHLR�GH�XPD�IyUPXOD���3RU�H[HPSOR��D�PDQHLUD� PDLV� IiFLO�GH�UHSUHVHQWDU�D�iUHD�GH�XP�FtUFXOR�FRP�IXQomR�GR�VHX�UDLR�p�SURYDYHOPHQWH�SRU�PHLR�GD� WmR�FRQKHFLGD� IyUPXOD� � � 2 rrA S ��&RP�R�DX[tOLR�GD�IXQomR�SRGHPRV�FDOFXODU�H�GHWHUPLQDU�XPD�WDEHOD�FRP�YDORUHV�FRUUHVSRQGHQWHV� (STEWART, 2008). 'DGRV�GRLV�FRQMXQWRV�$�H�%��FRQMXQWRV�IRUPDGRV�GH�Q~PHURV�UHDLV��LVWR�p��$�H�%�HVWmR�FRQWLGRV�HP� ), não vazios, uma relação f�GH�$�HP�%�UHFHEH�R�QRPH�GH�DSOLFDomR�GH�A em B�RX�IXQomR�GH¿QLGD�HP�$�FRP�LPDJHQV�HP�%�VH��H�VRPHQWH� se, para todo x �$�H[LVWH�XP�Vy�\�%�WDO�TXH��[��\�� f. Assim tem-se: f�p�IXQomR�GH�$�HP�%� � �� �fx,y|By|A, x �� . 9HMDPRV�DJRUD�FRP�R�DX[tOLR�GR�HVTXHPD�GH�ÀHFKDV��FRPXPHQWH�GHQRPLQDGR�GH�GLDJUDPD�GH�9HQQ��TXH�FRQGLo}HV� devem satisfazer uma relação f �GH�$�HP�%�SDUD�VHU�IXQomR� a) É necessário que todo elemento Ax �SDUWLFLSH�GH�SHOR�PHQRV�XP�SDU��[��\� f , isto é, todo elemento de A deve servir FRPR�SRQWR�GH�SDUWLGD�GH�ÀHFKD� b) É necessário que cada elemento de Ax �SDUWLFLSH�GH�DSHQDV�XP�~QLFR�SDU��[��\� f , isto é, cada elemento de A GHYH�VHUYLU�FRPR�SRQWR�GH�SDUWLGD�GH�XPD�~QLFD�ÀHFKD� F ã PORDENTRODOTEMA � Uma relação f �QmR�p�DSOLFDomR��RX�IXQomR��VH�QmR�VDWLV¿]HU�XPD�GDV�FRQGLo}HV�DFLPD��LVWR�p� D��VH�H[LVWLU�XP�HOHPHQWR�GH�$�GR�TXDO�QmR�SDUWD�ÀHFKD�DOJXPD��RX E��VH�H[LVWLU�XP�HOHPHQWR�GH�$�GR�TXDO�SDUWDP�GXDV�RX�PDLV�ÀHFKDV� A % & D Figura. 1.1 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação não é função (ou aplicação). Fonte: Elaboração do autor. 9DPRV�FRQVLGHUDU��SRU�H[HPSOR��RV�FRQMXQWRV�A = {0, 1, 2 ,3}�H�% = {-1, 0, 1, 2 , 3}�H�DV�VHJXLQWHV�UHODo}HV�ELQiULDV�GH�A em B: � �^ ` � �^ ` � �^ ` � � � �^ ` � �^ `2| , T ) 11| , R ) | , ) | , W) 1| , Q ) 2 22 �� � yBXAyxe xyBXAyxd xyBXAyxEc xyBXAyxb xyBXAyxa $QDOLVDQGR�FDGD�XPD�GDV�UHODo}HV��WHPRV� a) Q = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}. Para cada elemento de Ax ��FRP�H[FHomR�GR����H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� Q . Para o elemento 3 A , não existe By �WDO�TXH�����\� Q . b) W = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (3, 3)} . Para cada elemento de Ax ��FRP�H[FHomR�GR����H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By WDO�TXH��[��\� W . Para o elemento 1 A �H[LVWHP�GRLV�HOHPHQWRV�GH�%��R���H�R����WDLV�TXH������� � � S1 ,1 e � � W1- ,1 . c) E = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3). Para cada elemento de Ax ��VHP�H[FHomR��H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� R . PORDENTRODOTEMA � d) R = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)}. Para cada elemento de Ax ��VHP�H[FHomR��H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� R . e) T = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)} . Para cada elemento de Ax ��VHP�H[FHomR��H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� T . &DEH�D�YRFr�DJRUD��FRP�R�DX[tOLR�GR�HVTXHPD�GH�ÀHFKDV�DSUHVHQWDGRV�QD�)LJXUD������GHVHQKDU�H�DQDOLVDU�RV�GLDJUDPDV� GH�9HQQ�GH�FDGD�XPD�GDV�UHODo}HV�GRV�H[HPSORV�GH�³D�´�D�³H�´� Domínio, Contradomínio, Imagem $VVLP�FRPR�D�QRomR�LQWXLWLYD�GH�IXQo}HV�QmR�p�OLPLWDGD�SRU�FiOFXORV�FRP�XWLOL]DomR�GH�Q~PHURV�LQGLYLGXDLV��D�QRomR� PDWHPiWLFD�GH�IXQo}HV�QmR�VH�OLPLWD�D�FiOFXORV�H�QHP�PHVPR�D�VLWXDo}HV�TXH�HQYROYDP�Q~PHURV��$VVLP��XPD�IXQomR�OLJD�XP� domínio��FRQMXQWR�GH�YDORUHV�GH�HQWUDGD�$��FRP�XP�VHJXQGR�FRQMXQWR��R�contradomínio��FRQMXQWR�GH�YDORUHV�GH�FKHJDGD� %���GH�WDO�IRUPD�TXH�D�FDGD�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�HVWi�DVVRFLDGR�H[DWDPHQWH�XP�HOHPHQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR��2�FRQMXQWR� dos elementos do contradomínio que são relacionados por f�D�DOJXP�[�GR�GRPtQLR�p�R�FRQMXQWR�imagem��FKDPDGR�WDPEpP� VLPSOHVPHQWH�GH�LPDJHP��&DGD�SDU�GH�HOHPHQWRV�UHODFLRQDGRV�SHOD�IXQomR�GHWHUPLQD�XP�SRQWR�QHVVD�UHSUHVHQWDomR��D� UHVWULomR�GH�XQLFLGDGH�GD�LPDJHP�LPSOLFD�XP�~QLFR�SRQWR�GD�IXQomR�HP�FDGD�OLQKD�GH�FKDPDGD�GR�YDORU�LQGHSHQGHQWH�[� $VVLP�SRGHPRV�GH¿QLU� considerando que toda função f�GH�$�HP�%�p�XPD�UHODomR�ELQiULD��XP�FRQMXQWR�GH�SDUHV�RUGHQDGRV���HQWmR�f tem um GRPtQLR�H�XPD�LPDJHP��'H¿QLPRV�FRPR�GRPtQLR�R�FRQMXQWR�D dos elementos Ax para os quais By tal que (x, \� f ��$VVLP��HOD�GH¿QLomR�GH�IXQomR��WRGR�HOHPHQWR�GH�$�WHP�HVVD�SURSULHGDGH��WHPRV�QDV�IXQo}HV��GRPtQLR�p�R� ³FRQMXQWR�GH�SDUWLGD´��LVWR�p�D=A��'HQRPLQDPRV�GH�LPDJHP�R�FRQMXQWR�Im dos elementos By para os quais existe Ax �WDO�TXH��[��\� f ��SRUWDQWR�D�LPDJHP�p�VXEFRQMXQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR��,P B ) (IEZZI, 1977, p. 80-A). &RPR�H[HPSOR��WRPHPRV�RV�FRQMXQWRV�$� �^����������`�H�%� �^����������`��D�UHODomR�PRVWUDGD�QD�)LJXUD�����GH¿QH�XPD� função f. A % f 1 2 3 4 4 5 � 7 Figura 1.2 - Diagrama de Venn de f���$�ĺ�%� Fonte: Elaboração do autor. PORDENTRODOTEMA � Assim, temos: � o domínio: D(f) = A = {1, 2, 3, 4}. � o contradomínio: CD(f)� �%� �^����������`� � a imagem: Im(f)� �^�������`��HP�TXH�SRGHPRV�REVHUYDU�TXH�D�LPDJHP�p�XP�VXEFRQMXQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR�%� 7RPHPRV�DOJXPDV�IXQo}HV�H�GHWHUPLQHPRV�R�VHX�GRPtQLR� L��\� ��[ LL��\� �[2 LLL��\� � x 1 Assim, em (i), temos que 5x paratodo x , dessa forma: D . Em (ii), temos x2 para todo x , assim: D . 3RU�¿P��HP��LLL���WHPRV� x1 se, e somente se, x é real e diferente de zero. Portanto, * D . Ainda nesse contexto tomemos este outro exemplo em que uma função o:f �p�GH¿QLGD�SRU� � � 12 � xxfy . Vamos calcular os valores de f(x)�SDUD�RV�VHJXLQWHV�YDORUHV�GH�[� �^����������`��2�TXH�p�SHGLGR�QR�SUREOHPD�p�TXH�GHYHPRV� GHWHUPLQDU�R�FRQMXQWR�LPDJHP�SDUD�RV�HOHPHQWRV�[�GR�GRPtQLR��$VVLP�VHQGR��EDVWD�FDOFXODU�GD�VHJXLQWH�IRUPD� PORDENTRODOTEMA � 'HVVD�PDQHLUD��REWHPRV�FRPR�UHVSRVWD�TXH�R�FRQMXQWR�LPDJHP�\ ^�����������`� 7RPHPRV�HVWH�RXWUR�H[HPSOR��6HMD�D�IXQomR� o:f �GH¿QLGD�SRU� � � 2 3� xxfy . Qual é o elemento do domínio que tem 2 1 �FRPR�LPDJHP" Para solucionarmos esse exemplo, é preciso determinar o valor de x tal que � � 2 1 xfy . Portanto, basta resolver a equação 2 1 2 3 �x . Assim obtém-se: 2 1 2 3 �x � � 232 �x 262 �x 82 x 2 8 x 4 x Temos como resposta que o elemento do domínio que tem 2 1 como imagem é 4. *Ui¿FR 6HMDP�[�H�\�GRLV�Q~PHURV�UHDLV��SRGHPRV�GH¿QLU�R�SDU�RUGHQDGR��[��\��FRPR�XP�SDU�GH�HOHPHQWRV�FXMD�RUGHP�GH� DSDUHFLPHQWR�p�LPSRUWDQWH��2�FRQMXQWR�GH�WRGRV�RV�SDUHV�RUGHQDGRV�GH�Q~PHURV�UHDLV��GH¿QLGRV�SRU� 2 , é denominado GH�SODQR�QXPpULFR��HP�TXH�FDGD�SDU�RUGHQDGR��[��\��VHUi�XP�SRQWR�QR�SODQR��02*121�������� Um dos nomes citados no início deste tema foi o do matemático francês René Descartes. Ele estudou o uso de pares RUGHQDGRV�QD� ORFDOL]DomR�GH�SRQWRV�HP�PDSDV�JHRJUi¿FRV��XWLOL]DQGR�D�UHODomR�� �[��\�� ��ODWLWXGH�� ORQJLWXGH���&RPR� HOH�DVVRFLDYD�D�JHRPHWULD�FRP�D�iOJHEUD� �DWXDOPHQWH�FRQKHFLGD�FRPR�JHRPHWULD�DQDOtWLFD���HVVD� IRL�D� IRUPD�TXH�R� PDWHPiWLFR�FULRX�SDUD�UHSUHVHQWDU�YLVXDOPHQWH��JUD¿FDPHQWH��H[SUHVV}HV�DOJpEULFDV��02*121�������� 7RPHPRV�GXDV�UHWDV�SHUSHQGLFXODUHV�HQWUH�VL��XPD�UHWD�KRUL]RQWDO�QR�SODQR�JHRPpWULFR��GHQRPLQDGD�GH�HL[R�[�H�XPD�UHWD� YHUWLFDO��FKDPDGD�GH�HL[R�\��3RGHPRV�GH¿QLU�D�RULJHP�2�FRPR�R�SRQWR�GH�LQWHUVHomR�HQWUH�RV�HL[RV�[�H�\��$VVRFLDPRV�FDGD� PORDENTRODOTEMA � SDU�GH�Q~PHURV�UHDLV��[�\��FRP�XP�SRQWR�3�QR�SODQR�JHRPpWULFR��2�SULPHLUR�Q~PHUR�GR�SDU�p�GHQRPLQDGR�GH�DEVFLVVD� GR�SRQWR�3�H�R�VHJXQGR�Q~PHUR�GR�SDU�GHQRPLQDGR�GH�RUGHQDGD�GR�SRQWR�3��2�SDU�DEVFLVVD�H�RUGHQDGD�p�GH¿QLGR�FRPR� DV�FRRUGHQDGDV�FDUWHVLDQDV�UHWDQJXODUHV�GR�SRQWR�3��2V�HL[RV�[�H�\�VmR�FKDPDGRV�GH�HL[RV�FDUWHVLDQRV��([LVWH�XPD� correspondência biunívoca entre os pontos em um plano geométrico e o 2 ��LVWR�p��D�FDGD�SRQWR�FRUUHVSRQGH�XP�~QLFR� SDU�RUGHQDGR��[��\��H�D�FDGD�SDU�RUGHQDGR�FRUUHVSRQGH�XP�~QLFR�SRQWR��7DO�FRUUHVSRQGrQFLD�p�FKDPDGD�GH�VLVWHPD�GH� coordenadas cartesianas ortogonais ou plano cartesiano��2�HL[RV�FDUWHVLDQRV�[�H�\�GLYLGHP�R�SODQR�HP�TXDWUR�SDUWHV� FKDPDGDV�GH�TXDGUDQWHV�GLVSRVWRV�HP�VHQWLGR�DQWL�KRUiULR��FRPR�SRGHPRV�REVHUYDU�QD�)LJXUD�������$LQGD�QHVVD�¿JXUD�� percebe-se que a região do canto superior direito é o primeiro quadrante, a região à sua esquerda, do outro lado do eixo \��p�R�VHJXQGR�TXDGUDQWH��(PEDL[R�GHVWH�WHPRV�R�WHUFHLUR�TXDGUDQWH�H�j�VXD�GLUHLWD��RX�VHMD��DEDL[R�GR�SULPHLUR�WHPRV� R�TXDUWR�TXDGUDQWH��02*121�������� )LJXUD�������5HSUHVHQWDo}HV�GR�SODQR�FDUWHVLDQR� Fonte: Elaboração do autor. 2�JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR�f : D�ĺ�,P�p�R�FRQMXQWR�GH�SDUHV�RUGHQDGRV�HP�'�versus�,P�GD�IRUPD��[��I�[���GH¿QLGRV�SRU�� � �� �^ `Dx , xfx ��(P�RXWUDV�SDODYUDV��R�JUi¿FR�GH�I�FRQVLVWH�GH�WRGRV�RV�SRQWRV��[��\��QR�SODQR�FDUWHVLDQR�WDO�TXH�y = f(x) e x está no domínio de f. 1RWH�TXH�R�GRPtQLR�'�p�R�FRQMXQWR�GDV�DEVFLVVDV�GRV�SRQWRV�WDLV�TXH�DV�UHWDV�YHUWLFDLV�FRQGX]LGDV�SRU�HVVHV�SRQWRV� LQWHUFHSWDP�R�JUi¿FR�GH�f��LVWR�p��p�R�FRQMXQWR�IRUPDGR�SRU�WRGDV�DV�DEVFLVVDV�GRV�SRQWRV�GR�JUi¿FR�GH�f. Igualmente, D� LPDJHP� �,P�� p� R� FRQMXQWR� GDV� RUGHQDGDV� GRV� SRQWRV� WDLV� TXH� DV� UHWDV� KRUL]RQWDLV� FRQGX]LGDV� SRU� HVVHV� SRQWRV� LQWHUFHSWDP�R�JUi¿FR�GH�f��LVWR�p��p�R�FRQMXQWR�IRUPDGR�SRU�WRGDV�DV�RUGHQDGDV�GRV�SRQWRV�GR�JUi¿FR�GH�f (IEZZI, 1977). 2�JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR�f�QRV�Gi�XPD�YLVmR�~WLO�GR�FRPSRUWDPHQWR�RX�³KLVWyULD�GH�YLGD´�GH�XPD�IXQomR��8PD�YH]�TXH�D� FRRUGHQDGD�\�GH�TXDOTXHU�SRQWR�QR�JUi¿FR��[��\��p�y = f(x), podemos ler o valor de f�[��D�SDUWLU�GR�JUi¿FR��FRPR�D�DOWXUD� GR�JUi¿FR�DFLPD�GR�SRQWR�[��2�JUi¿FR�GH�f também nos permite imaginar o domínio de f sobre o eixo x e sua variação no PORDENTRODOTEMA �� HL[R�\��67(:$57���������2EVHUYHPRV�TXH�XPD�IXQomR�f�¿FD�FRPSOHWDPHQWH�GH¿QLGD�TXDQGR�VmR�GDGRV�R�VHX�GRPtQLR� D, o seu contradomínio e a lei de correspondência y = f(x) (IEZZI, 1977). 7LSRV�H�*Ui¿FRV�GH�)XQomR� ([LVWHP�GLYHUVRV�WLSRV�WDLV�FRPR��IXQo}HV�SROLQRPLDLV��UDFLRQDLV��DOJpEULFDV�H�WUDQVFHQGHQWHV��1HVWH�WHPD�YDPRV� WUDWDU�PDLV�SURIXQGDPHQWH�VREUH�DV�IXQo}HV�SROLQRPLDLV� Funções Polinomiais &RQVLGHUH� f�XPD� IXQomR�GH¿QLGD�SRU� � � 0111 ... axaxaxaxf nnnn ���� �� ��HP�TXH�RV�FRH¿FLHQWHV� 0a , 1a ,... na �VmR�Q~PHURV� reais � �0zna �H�Q�XP�Q~PHUR�LQWHLUR�QmR�QHJDWLYR��$�IXQomR�f é denominada de função polinomial de grau n, na qual, dependendo do grau, n receberá nomes especiais. &RPHoDPRV�R�QRVVR�HVWXGR�GH�IXQo}HV�SROLQRPLDLV�FRP�JUDX�n = 0. Uma aplicação o:f recebe o nome de função constante quando cada elemento x associa sempre o mesmo elemento c ��RX�VHMD��f(x) = c��2�JUi¿FR�GD�IXQomR� FRQVWDQWH�p�XPD�UHWD�SDUDOHOD�DR�HL[R�[�SDVVDQGR�SHOR�SRQWR�����F���(P�RXWUDV�SDODYUDV��D�LPDJHP�p�R�FRQMXQWR�,P^c}. A )LJXUD�����DSUHVHQWD�R�JUi¿FR�GD�IXQomR�f�[�� �F��$OJXQV�H[HPSORV�GH�IXQo}HV�FRQVWDQWHV�VmR� � f(x) = 4 � f(x) = 5 1 � f(x)� ��� � f(x) = 7 \ x c )LJXUD�������5HSUHVHQWDo}HV�GD�IXQomR�FRQVWDQWH� Fonte: Elaboração do autor. PORDENTRODOTEMA �� Função Linear 3RGHPRV� GH¿QLU� D� IXQomR� OLQHDU� FRPR� XPD� DSOLFDomR� o:f quando a cada elemento x associa-se o elemento xa em que 0za �p�XP�Q~PHUR�UHDO�GDGR��,VWR�p��D�IXQomR�f é dada por: � � 0 , z axaxf 2�FRQMXQWR�LPDJHP�GD�IXQomR�D¿P� o:f �GH¿QLGD�SRU� � � 0 , z axaxf são os reais. Uma função � � xxfy 2 é um exemplo de uma função linear. )XQomR�/LQHDU�$¿P $QDORJDPHQWH�SRGHPRV�GH¿QLU� D� IXQomR� OLQHDU� D¿P�FRPR�XPD�DSOLFDomR� o:f quando a cada elemento x associa-se o elemento � bxa em que 0za �p�XP�Q~PHUR�UHDO�GDGR��,VWR�p��D�IXQomR�f é dada por: � � 0 , z� abxaxf 2�FRQMXQWR�LPDJHP�GD�IXQomR�D¿P� o:f �GH¿QLGD�SRU� � � 0 , z� abxaxf �VmR�RV�Q~PHURV�UHDLV��2�JUi¿FR�GH�XPD� IXQomR�OLQHDU�D¿P�p�XPD�UHWD�TXH�LQWHUFHSWD�R�HL[R�GDV�RUGHQDGDV�QR�SRQWR�����b���2�Q~PHUR�a �p�GH¿QLGR�SRU�FRH¿FLHQWH� DQJXODU�GD�UHWD�RX�GHFOLYLGDGH�GD�UHWD�UHSUHVHQWDGD�QR�SODQR�FDUWHVLDQR��2�FRH¿FLHQWH�b�p�GHQRPLQDGR�GH�FRH¿FLHQWH� OLQHDU�GD�UHWD��$�UDL]�GD�IXQomR�D¿P�p�R�Q~PHUR� abx � ��$�)LJXUD�����DSUHVHQWD�XPD�LOXVWUDomR�GR�JUi¿FR�GD�IXQomR� OLQHDU�D¿P� \ x b ɲ tan(ɲ)= a )LJXUD�������5HSUHVHQWDo}HV�GH�XPD�IXQomR�OLQHDU�D¿P� Fonte: Elaboração do autor. PORDENTRODOTEMA �� 7RPHPRV�R�VHJXLQWH�H[HPSOR��FRQVLGHUH�RV�SRQWRV�QR�SODQR�FDUWHVLDQR����������������&RPR�SRGHPRV�REWHU�D�HTXDomR�GD� UHWD�TXH�SDVVD�SHORV�SRQWRV" 6HMD� bxay � a equação da reta procurada, para solucionarmos o problema é necessário obtermos os valores de a e b. &RQVLGHUDQGR�TXH�R�SRQWR��������SHUWHQFH�j�UHWD�GD�HTXDomR� bxay � ��DR�VXEVWLWXLUPRV�[� ���H�\� ���HP� bxay � , temos a sentença verdadeira se: ba � 23 , isto é: 32 � ba . De forma análoga, para o ponto (5, 9), obtemos: ba � 95 , isto é: 59 � ba . 7HPRV�XP�VLVWHPD�GH�GXDV�HTXDo}HV�H�GXDV�YDULiYHLV��$VVLP��UHVROYHQGR�R�VLVWHPD� ®¯ � � 59 32 ba ba Pegando a primeira equação e retirando o valor de uma das variáveis temos: ab 23� . Fazendo a substituição na segunda equação, podemos encontrar o valor da variável a: � � 7 2 275239 o o �� aaaa Agora, substituindo o valor de a, podemos calcular o valor de b da seguinte forma: 7 7 17 473 7 4 3 7 2 2323 o� o� o� o� bbbbab Assim, encontramos a equação da reta que passa pelos pontos (2, 3) (5, 9): bxay � , substituindo os valores calculados temos 7 7 1 7 2 � xy ou 7 7 12 � xy . 1HVWH�RXWUR�H[HPSOR��YDPRV�REWHU�D�HTXDomR�GD�UHWD�TXH�SDVVD�SHOR�SRQWR��������H�WHP�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�LJXDO�D��� 'HVHMDPRV�REWHU�D�HTXDomR�GD�IRUPD� bxay � ��e�GDGR�TXH�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�p�LJXDO�D����SRUWDQWR�� 2 a . PORDENTRODOTEMA �� Então, substituindo 2 a ��H�R�SRQWR��[��\�� ���������HP� bxay � , temos: 123123 o� o� bbb . $FKDPRV�R�FRH¿FLHQWH�OLQHDU�GD�UHWD� 1 b . Logo, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) é dada por: 12 � xy . Funções Crescente e Decrescente A função BAf o: �GH¿QLGD�SRU� � �xfy é dita como crescente�QR�FRQMXQWR� AA 1 se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos � � � �21 xfxf � ��(P�RXWUDV�SDODYUDV��D�IXQomR�p�FUHVFHQWH�QR�FRQMXQWR�A1 se, ao DXPHQWDUPRV�R�YDORU�DWULEXtGR�D�[��R�YDORU�GH�\�WDPEpP�DXPHQWDU��$�IXQomR� � � xxf 3 é um exemplo de função crescente em , pois 2121 33 xxxx �� para todo 1x e todo 2x (IEZZI, 1977). A função BAf o: �GH¿QLGD�SRU� � �xfy é dita como decrescente�QR�FRQMXQWR� AA 1 se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1��FRP����WLYHUPRV����(P�RXWUDV�SDODYUDV��LVVR�VLJQL¿FD�TXH�D�IXQomR�p�GLWD�GHFUHVFHQWH�QR�FRQMXQWR��� VH��DR�DXPHQWDUPRV�R�YDORU�DWULEXtGR�D�[��R�YDORU�GH�\�WDPEpP�GLPLQXLU��,(==,���������$�IXQomR�f(x) = -3x é um exemplo de função decrescente em , pois 2121 33 xxxx �!�� para todo 1x e todo 2x ��$�IXQomR�OLQHDU�D¿P�p�FUHVFHQWH� VH��H�VRPHQWH�VH��R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�UHWD�IRU�SRVLWLYR��5HFLSURFDPHQWH��D�IXQomR�OLQHDU�D¿P�p�GHFUHVFHQWH�VH��H� VRPHQWH�VH��R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�UHWD�IRU�QHJDWLYR��,(==,�������� PORDENTRODOTEMA �� Videoaula de Cálculo – “Determinar domínio de função” � $VVLVWD� j� DXOD� GR� SURIHVVRU� -RVp� 0DUPRQWHO� VREUH� FRPR� GHWHUPLQDU� GRPtQLR� GH� IXQomR�� apresentada de uma forma bem didática. Disponível em: <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y 1Q-<B��X.PR>. Acesso em: 10 abr. 2014. Tempo: 10:57. 9LGHRDXOD�GH�&iOFXOR�±�³)XQomR�$¿P�H�)XQomR�OLQHDU´ � $VVLVWD�j�DXOD�³)XQomR�$¿P�H�)XQomR�OLQHDU´��QD�TXDO�VH�LQWURGX]�R�FRQFHLWR�GH�IXQomR�D¿P�� além da aplicação do conceito na resolução de um problema simples. Disponível em: <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y '3'8G3(X�,$>. Acesso em: 10 abr. 2014. Tempo: 11:49. &RQVWUXomR�GH�*Ui¿FRV � 0HGLDQWH�HVWD� IHUUDPHQWD�on-line�SDUD�FRQVWUXomR�GH�JUi¿FRV�FDUWHVLDQRV� LQWHUDWLYRV�H�VXD� UHODomR�GH�SDUHV�RUGHQDGRV��YRFr�VHUi�FDSD]�GH�JHUDU�GH�IRUPD�LWHUDWLYD��R�JUi¿FR�GH�GLYHUVDV� IXQo}HV� Disponível em: <KWWS���ZZZ�FDOFXODGRUDRQOLQH�FRP�EU�JUDILFD>. Acesso em: 10 abr. 2014. Noções de Conjuntos � 2�VHJXLQWH�VLWH�DSUHVHQWD�XPD�UHYLVmR�VREUH�R�FRQFHLWR�GH�FRQMXQWR�H�VXDV�SULQFLSDLV�UHODo}HV� Disponível em: <KWWS���ZZZ�XHO�EU�SURMHWRV�PDWHVVHQFLDO�VXSHULRU�DQDOLVH�ORJLFD�KWP>. Acesso em: 10 abr. 2014. Cá í f ACOMPANHENAWEB �� Instruções: $JRUD��FKHJRX�D�VXD�YH]�GH�H[HUFLWDU�VHX�DSUHQGL]DGR��$�VHJXLU��YRFr�HQFRQWUDUi�DOJXPDV�TXHVW}HV�GH�P~OWLSOD� HVFROKD�H�GLVVHUWDWLYDV��/HLD�FXLGDGRVDPHQWH�RV�HQXQFLDGRV�H�DWHQWH�VH�SDUD�R�TXH�HVWi�VHQGR�SHGLGR� AGORAÉASUAVEZ Questão 1 8O\VVHV�WHP�XPD�JUDQGH�ID]HQGD�HP�%DUUHWRV��$�ID]HQGD�GHOH�SRGH�VHU�GLYLGD�HP�GRLV�JUXSRV�GLVWLQWRV��&RQVLGHUH�$� �^YDFD�� FDYDOR��JDOLQKD��JDWR`�R�JUXSR�TXH�FRQWpP�RV�DQLPDLV�GD�ID]HQGD�H�%� �^RYR��OHLWH��FDSLP��PLOKR��UDomR`�R�JUXSR�GRV�GHULYDGRV�GH� DOLPHQWDomR�GRV�DQLPDLV��$VVRFLH�RV�HOHPHQWRV�GR�JUXSR�$�FRP�VHX�UHVSHFWLYR�HOHPHQWR�QR�JUXSR�%��&RP�EDVH�QHVVD�DQiOLVH�� GHWHUPLQH�VH�WDO�UHODomR�SRGH�VHU�GH¿QLGD�FRPR�XPD�IXQomR� Questão 2 6HMD�D�IXQomR� � � 5� xxf ��GHWHUPLQH�R�FRH¿FLHQWH�ඇLQHDU�H�R�DQJXඇDU��UHVSHFWLYDPHQWH� a) 1 e 4. b) 3 e 7. c) 1 e 5. d)���H��� e) 0 e 1. �� AGORAÉASUAVEZ Questão 3 6HMD�D�IXQomo o:f dH¿QLGD�Sor � � xxf ,�TXDඇ�p�R�HඇHPHQWR�GD�LPDJHP�TXH�WHm 2 1 FRPR�GRPtQLR" a) 0 b) 2 1 c) 5 d) 2 e) 5 Questão 4 Encontre a equação da reta que contém os pontos (0, 0) e (1,2). Questão 5 6HMD�D�IXQomR� o:f �GH¿QLGD�SRU� � � 1� xxfy ��TXDO�p�R�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�TXH�WHP���FRPR�LPDJHP" �� $�0DWHPiWLFD�HVWi�KRMH�HP�SUDWLFDPHQWH�HP�WRGDV�DV�iUHDV�GR�FRQKHFLPHQWR�KXPDQR�H�XP�GRV�WHPDV�TXH�SRGHPRV� GHVWDFDU�p�R�HVWXGR�GDV�IXQo}HV�DSUHVHQWDGRV�DR�ORQJR�GHVWH�WHPD��$TXL�YRFr�DSUHQGHX�D�GH¿QLomR�GH�XPD�IXQomR� linear bem como o conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Além disso, você também aprendeu como obter o JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR�H�RV�UHVSHFWLYRV�FRQFHLWRV�GH�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�H�OLQHDU�GH�XPD�UHWD��3RU�¿P��DJRUD�YRFr�p� capaz de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente. $0 i L i K M L G i G K L K G G FINALIZANDO &$/&8/$'25$�21/,1(��'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�FDOFXODGRUDRQOLQH�FRP�EU�JUDILFD>. Acesso em: 18 mar. 2014. )5$1.�$<5(6��3KLOLS�$��6FKPLGW��Matemática para ensino superior. 3. ed. São Paulo: Artmed, 2003. IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar.�9RO�����&RQMXQWRV�±�)XQo}HV�����HG��6mR�3DXOR��$WXDO�(GLWRUD������� 0$50217(/��-��'HWHUPLQDU�GRPtQLR�GH�IXQomR��Vídeo/YouTube, 2012. Disponível em: <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP� ZDWFK"Y 1Q-<B��X.PR> Acesso em: 18 mar. 2014. 02*121��$QJHOD� Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral I��0LQLVWpULR�GD�(GXFDomR��8QLYHUVLGDGH�7HFQROyJLFD�)HGHUDO� do Paraná, 2013. Disponível em: <KWWS���ZZZ�GPD�XHP�EU�NLW�DUTXLYRV�DUTXLYRVBSGI�&DOFXOR���,�SGI>. Acesso em: 24 mar. 2014. 35(3$5$d2�',*,7$/��)XQomR�$¿P�H�)XQomR�/LQHDU��Vídeo/YouTube, 2012. <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y '3'8G3(X�,$>. Acesso em: 18 mar. 2014 62'5e��8��0DWHPiWLFD�HVVHQFLDO��$QiOLVH�QD�UHWD�±(OHPHQWRV�GH�/yJLFD�H�&RQMXQWRV��8(/��������'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ� XHO�EU�SURMHWRV�PDWHVVHQFLDO�VXSHULRU�DQDOLVH�ORJLFD�KWP>. Acesso em: 18 mar. 2014 STEWART, James. Cálculo��9ROXPH�,�����HG��6mR�3DXOR��3LRQHLUD�7KRPVRQ�/HDUQLQJ������� capaz de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente. REFERÊNCIAS �� Contradomínio:�p�R�FRQMXQWR�GH�WRGRV�RV�HOHPHQWRV�GHSHQGHQWHV�GD�IXQomR� Domínio:�R�GRPtQLR�GH�XPD�IXQomR�)�GH�XP�FRQMXQWR�$�DWp�XP�HOHPHQWR�GH�XP�FRQMXQWR�%�p�GH¿QLGR�FRPR�R�VXEFRQ- MXQWR�GH�WRGRV�RV�HOHPHQWRV�GH�$�TXH�D�IXQomR�OHYD�DWp�XP�HOHPHQWR�GH�%� Imagem:�p�XP�VXEFRQMXQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR�IRUPDGR�SHORV�YDORUHV�TXH�XPD�IXQomR�I�SRGH�FKHJDU�D�WRPDU� Plano cartesiano:�FRQVLVWH�HP�GRLV�HL[RV�SHUSHQGLFXODUHV��VHQGR�R�KRUL]RQWDO�FKDPDGR�GH�HL[R�GDV�DEVFLVVDV�H�R�YHU- tical de eixo das ordenadas. Relação:�p�XPD�FRUUHVSRQGrQFLD�H[LVWHQWH�HQWUH�FRQMXQWRV�QmR�YD]LRV� C t d í i p M W G W G O W G G W G I m GLOSSÁRIO Relação:�p�XPD�FRUUHVSRQGrQFLD�H[LVWHQWH�HQWUH�FRQMXQWRV�QmR�YD]LRV� GABARITO Questão 1 Resposta: 3RGHPRV�FRPR�H[HPSOR�GH�DVVRFLDo}HV�HQWUH�R�JUXSR�$�H�%�R�VHJXLQWH�GLDJUDPD�GH�9HQQ� A B vaca gato cavalo JDOLQKD ovo leite PLOKR capim ração 3RGHPRV�YHU�QR�GLDJUDPD�TXH�H[LVWHP�HOHPHQWRV�GR�JUXSR�$�OLJDGRV�D�PDLV�GH�XP�HOHPHQWR�GR�JUXSR�%��SRUWDQWR�D� aplicação não é função. �� Questão 2 Resposta: $OWHUQDWLYD�&� Sendo uma função o:f com � � bxaxf � ��&RPR�IRL�YLVWR�QHVWH�WHPD��RV�FRH¿FLHQWHV�D�H�E�VmR�UHVSHFWLYDPHQWH� RV�FRH¿FLHQWHV�DQJXODU�H�OLQHDU�GD�IXQomR� � �xf ��3RUWDQWR��D�DOWHUQDWLYD�FRUUHWD�p�D�³&´�� Questão 3 Resposta: $OWHUQDWLYD�%� Temos que � � xxf ��2�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�p�GDGR�SRU�� 2 1 . Assim, para obter a imagem basta calcular: 2 1 2 1 ¹¸ · ©¨ §f . 3RUWDQWR��D�DOWHUQDWLYD�³%´�p�D�FRUUHWD� Questão 4 Resposta:�&RQVLGHUDQGR�TXH�R�SRQWR�������SHUWHQFH�j�UHWD�GD�HTXDomR�y = ax + b��DR�VXEVWLWXLUPRV�[� ���H�\� ���HP� y = ax + b, temos a sentença verdadeira se: ba � 00 isto é: b = 0 De forma análoga, para o ponto (1, 2), obtemos: ba � 21 , como b = 0, isto é: 12 a , portanto:21 a Assim, podemos obter a equação da reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,2): � � xxf 2 1 . Questão 5 Resposta: Para solucionarmos temos que determinar o valor de x tal que � � 5 xfy . Portanto, basta resolver a equação x - 1 = 5. Assim, temos que x� ����2�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�TXH�WHP���FRPR�LPDJHP�p���
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