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SEMI_Calculo_I_01

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&iOFXOR�,
Autoria: Eduardo Cavalcanti Magalhães
Tema 01
Função Linear
7HPD���
Função Linear
Autoria: Eduardo Cavalcanti Magalhães
Como citar esse documento:
MAGALHÃES, Eduardo Cavalcanti. Cálculo I: Função Linear. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014. 
Índice
‹������$QKDQJXHUD�(GXFDFLRQDO�� 3URLELGD� D� UHSURGXomR� ¿QDO� RX� SDUFLDO� SRU� TXDOTXHU�PHLR� GH� LPSUHVVmR�� HP� IRUPD� LGrQWLFD�� UHVXPLGD� RX�PRGL¿FDGD� HP� OtQJXD�
SRUWXJXHVD�RX�TXDOTXHU�RXWUR�LGLRPD�
Pág. 17
Pág. 18 Pág. 18
Pág. 17
Pág. 15Pág. 14
ACOMPANHENAWEB
Pág. 3
CONVITEÀLEITURA
Pág. 4
PORDENTRODOTEMA
�
Ao longo de sua vida acadêmica você vai ouvir nomes como Euclides, Arquimedes, Isaac Newton, Gauss, René 
Descartes. Todos esses nomes citados fazem parte de um grupo seleto de matemáticos famosos que contribuíram de 
IRUPD�VLJQL¿FDWLYD�QDV�PDLV�GLYHUVDV�iUHDV��GHQWUH�HVWDV�R�&iOFXOR��2�&iOFXOR�p�XP�UDPR�LPSRUWDQWH�GD�PDWHPiWLFD�
que se destina ao estudo de taxas de variação de grandezas (por exemplo, a intensidade de um campo elétrico) e a 
acumulação de quantidades (a área de um campo de futebol ou o volume de água de uma piscina olímpica).
2�HVWXGDQWH�GH�&iOFXOR�GHYH�WHU�XP�FRQKHFLPHQWR�HP�FHUWDV�iUHDV�GD�PDWHPiWLFD�� WDLV�FRPR�IXQo}HV��JHRPHWULD�H�
trigonometria, pois estas são a base desse ramo da matemática. No entanto, é necessária uma maior compreensão 
GH�IXQo}HV��Mi�TXH�FRUUHVSRQGH�D�XP�GRV�FRQFHLWRV�PDLV�LPSRUWDQWHV�QD�PDWHPiWLFD��1HVVH�VHQWLGR��R�FRQWH~GR�GHVWH�
tema está dividido em:
‡� 'H¿QLomR�GH�IXQomR�OLQHDU�
‡� 'RPtQLR��FRQWUDGRPtQLR��LPDJHP�H�JUi¿FR�
‡� &RH¿FLHQWH�DQJXODU�
‡� Função crescente e decrescente.
$R�WpUPLQR�GHVWH�WHPD��YRFr�GHYHUi�VHU�FDSD]�GH�UHVSRQGHU�DV�VHJXLQWHV�TXHVW}HV�
1. 2�TXH�p�XPD�IXQomR�OLQHDU"
2. �2�TXH�p�GRPtQLR��FRQWUDGRPtQLR�H�LPDJHP"
3. �&RPR�REWHU�R�JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR"
4. �&RPR�REWHU�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GH�XPD�UHWD"
5. �4XDO�D�GLIHUHQoD�HQWUH�IXQomR�FUHVFHQWH�H�GHFUHVFHQWH"
CONVITEÀLEITURA
�
Função
$V�IXQo}HV�VmR�GH¿QLGDV�SRU�FHUWDV�relações��3RU�FDXVD�GH�VXD�JHQHUDOLGDGH��DV�IXQo}HV�DSDUHFHP�HP�PXLWRV�
FRQWH[WRV�PDWHPiWLFRV�H�PXLWDV�iUHDV�GD�PDWHPiWLFD�EDVHLDP�VH�QR�HVWXGR�GH� IXQo}HV�JHUDOPHQWH�GHQRWDGDV�SRU�
WHUPRV�HTXLYDOHQWHV�� FRPR� ³PDSHDPHQWR´�� ³PDSD´�H� ³WUDQVIRUPDomR´�� RFDVLRQDOPHQWH� UHIHULGDV�FRPR� ³IXQo}HV�EHP�
GH¿QLGDV´�RX�³IXQo}HV�WRWDLV´�
2�FRQFHLWR�GH�XPD�IXQomR�p�XPD�IRUPD�JHUDO�GD�QRomR�FRPXP�GH�IyUPXOD�PDWHPiWLFD��3RGHPRV�GL]HU�TXH�DV�IXQo}HV�
GHVFUHYHP�UHODo}HV�PDWHPiWLFDV�HVSHFLDLV�HQWUH�GRLV�HOHPHQWRV��'H�PDQHLUD�LQWXLWLYD��XPD�IXQomR�p�XPD�PDQHLUD�GH�
DVVRFLDU�D�FDGD�YDORU�GR�DUJXPHQWR�[��YDULiYHO�LQGHSHQGHQWH��XP�~QLFR�YDORU�GD�IXQomR� � �xf (variável dependente). Isso 
pode ser feito de quatro formas possíveis: verbalmente (mediante uma descrição em palavras), numericamente (por uma 
WDEHOD�GH�YDORUHV���JUD¿FDPHQWH��SRU�XP�JUi¿FR��RX�DOJHEULFDPHQWH��SRU�PHLR�GH�XPD�IyUPXOD���3RU�H[HPSOR��D�PDQHLUD�
PDLV� IiFLO�GH�UHSUHVHQWDU�D�iUHD�GH�XP�FtUFXOR�FRP�IXQomR�GR�VHX�UDLR�p�SURYDYHOPHQWH�SRU�PHLR�GD� WmR�FRQKHFLGD�
IyUPXOD� � � 2 rrA S ��&RP�R�DX[tOLR�GD�IXQomR�SRGHPRV�FDOFXODU�H�GHWHUPLQDU�XPD�WDEHOD�FRP�YDORUHV�FRUUHVSRQGHQWHV�
(STEWART, 2008).
'DGRV�GRLV�FRQMXQWRV�$�H�%��FRQMXQWRV�IRUPDGRV�GH�Q~PHURV�UHDLV��LVWR�p��$�H�%�HVWmR�FRQWLGRV�HP�ƒ ), não vazios, uma 
relação f�GH�$�HP�%�UHFHEH�R�QRPH�GH�DSOLFDomR�GH�A em B�RX�IXQomR�GH¿QLGD�HP�$�FRP�LPDJHQV�HP�%�VH��H�VRPHQWH�
se, para todo x �$�H[LVWH�XP�Vy�\�%�WDO�TXH��[��\�� f. Assim tem-se:
f�p�IXQomR�GH�$�HP�%� � �� �fx,y|By|A, x ��œ .
9HMDPRV�DJRUD�FRP�R�DX[tOLR�GR�HVTXHPD�GH�ÀHFKDV��FRPXPHQWH�GHQRPLQDGR�GH�GLDJUDPD�GH�9HQQ��TXH�FRQGLo}HV�
devem satisfazer uma relação f �GH�$�HP�%�SDUD�VHU�IXQomR�
a) É necessário que todo elemento Ax �SDUWLFLSH�GH�SHOR�PHQRV�XP�SDU��[��\� f , isto é, todo elemento de A deve servir 
FRPR�SRQWR�GH�SDUWLGD�GH�ÀHFKD�
b) É necessário que cada elemento de Ax �SDUWLFLSH�GH�DSHQDV�XP�~QLFR�SDU��[��\� f , isto é, cada elemento de A 
GHYH�VHUYLU�FRPR�SRQWR�GH�SDUWLGD�GH�XPD�~QLFD�ÀHFKD�
F ã
PORDENTRODOTEMA
�
Uma relação f �QmR�p�DSOLFDomR��RX�IXQomR��VH�QmR�VDWLV¿]HU�XPD�GDV�FRQGLo}HV�DFLPD��LVWR�p�
D��VH�H[LVWLU�XP�HOHPHQWR�GH�$�GR�TXDO�QmR�SDUWD�ÀHFKD�DOJXPD��RX
E��VH�H[LVWLU�XP�HOHPHQWR�GH�$�GR�TXDO�SDUWDP�GXDV�RX�PDLV�ÀHFKDV�
A % & D
Figura. 1.1 - Exemplos de diagrama de Venn onde a relação não é função (ou aplicação).
Fonte: Elaboração do autor.
9DPRV�FRQVLGHUDU��SRU�H[HPSOR��RV�FRQMXQWRV�A = {0, 1, 2 ,3}�H�% = {-1, 0, 1, 2 , 3}�H�DV�VHJXLQWHV�UHODo}HV�ELQiULDV�GH�A em B:
� �^ `
� �^ `
� �^ `
� � � �^ `
� �^ `2| , T )
11| , R )
| , )
| , W)
1| , Q )
2
22
  
��  
  
  
�  
yBXAyxe
xyBXAyxd
xyBXAyxEc
xyBXAyxb
xyBXAyxa
$QDOLVDQGR�FDGD�XPD�GDV�UHODo}HV��WHPRV�
a) Q = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}. Para cada elemento de Ax ��FRP�H[FHomR�GR����H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� Q . 
Para o elemento 3 A , não existe By �WDO�TXH�����\� Q .
b) W = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (3, 3)} . Para cada elemento de Ax ��FRP�H[FHomR�GR����H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By 
WDO�TXH��[��\� W . Para o elemento 1 A �H[LVWHP�GRLV�HOHPHQWRV�GH�%��R���H�R����WDLV�TXH������� � � S1 ,1 e � � W1- ,1 .
c) E = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3). Para cada elemento de Ax ��VHP�H[FHomR��H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� R .
PORDENTRODOTEMA
�
d) R = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)}. Para cada elemento de Ax ��VHP�H[FHomR��H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� R .
e) T = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)} . Para cada elemento de Ax ��VHP�H[FHomR��H[LVWH�XP�Vy�HOHPHQWR� By �WDO�TXH��[��\� T .
&DEH�D�YRFr�DJRUD��FRP�R�DX[tOLR�GR�HVTXHPD�GH�ÀHFKDV�DSUHVHQWDGRV�QD�)LJXUD������GHVHQKDU�H�DQDOLVDU�RV�GLDJUDPDV�
GH�9HQQ�GH�FDGD�XPD�GDV�UHODo}HV�GRV�H[HPSORV�GH�³D�´�D�³H�´�
Domínio, Contradomínio, Imagem
$VVLP�FRPR�D�QRomR�LQWXLWLYD�GH�IXQo}HV�QmR�p�OLPLWDGD�SRU�FiOFXORV�FRP�XWLOL]DomR�GH�Q~PHURV�LQGLYLGXDLV��D�QRomR�
PDWHPiWLFD�GH�IXQo}HV�QmR�VH�OLPLWD�D�FiOFXORV�H�QHP�PHVPR�D�VLWXDo}HV�TXH�HQYROYDP�Q~PHURV��$VVLP��XPD�IXQomR�OLJD�XP�
domínio��FRQMXQWR�GH�YDORUHV�GH�HQWUDGD�$��FRP�XP�VHJXQGR�FRQMXQWR��R�contradomínio��FRQMXQWR�GH�YDORUHV�GH�FKHJDGD�
%���GH�WDO�IRUPD�TXH�D�FDGD�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�HVWi�DVVRFLDGR�H[DWDPHQWH�XP�HOHPHQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR��2�FRQMXQWR�
dos elementos do contradomínio que são relacionados por f�D�DOJXP�[�GR�GRPtQLR�p�R�FRQMXQWR�imagem��FKDPDGR�WDPEpP�
VLPSOHVPHQWH�GH�LPDJHP��&DGD�SDU�GH�HOHPHQWRV�UHODFLRQDGRV�SHOD�IXQomR�GHWHUPLQD�XP�SRQWR�QHVVD�UHSUHVHQWDomR��D�
UHVWULomR�GH�XQLFLGDGH�GD�LPDJHP�LPSOLFD�XP�~QLFR�SRQWR�GD�IXQomR�HP�FDGD�OLQKD�GH�FKDPDGD�GR�YDORU�LQGHSHQGHQWH�[�
$VVLP�SRGHPRV�GH¿QLU�
considerando que toda função f�GH�$�HP�%�p�XPD�UHODomR�ELQiULD��XP�FRQMXQWR�GH�SDUHV�RUGHQDGRV���HQWmR�f tem um 
GRPtQLR�H�XPD�LPDJHP��'H¿QLPRV�FRPR�GRPtQLR�R�FRQMXQWR�D dos elementos Ax para os quais By tal que (x, 
\� f ��$VVLP��HOD�GH¿QLomR�GH�IXQomR��WRGR�HOHPHQWR�GH�$�WHP�HVVD�SURSULHGDGH��WHPRV�QDV�IXQo}HV��GRPtQLR�p�R�
³FRQMXQWR�GH�SDUWLGD´��LVWR�p�D=A��'HQRPLQDPRV�GH�LPDJHP�R�FRQMXQWR�Im dos elementos By para os quais existe 
Ax �WDO�TXH��[��\� f ��SRUWDQWR�D�LPDJHP�p�VXEFRQMXQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR��,P B ) (IEZZI, 1977, p. 80-A).
&RPR�H[HPSOR��WRPHPRV�RV�FRQMXQWRV�$� �^����������`�H�%� �^����������`��D�UHODomR�PRVWUDGD�QD�)LJXUD�����GH¿QH�XPD�
função f.
A %
f
1
2
3
4
4
5
�
7
Figura 1.2 - Diagrama de Venn de f���$�ĺ�%�
Fonte: Elaboração do autor.
PORDENTRODOTEMA
�
Assim, temos:
‡� o domínio: D(f) = A = {1, 2, 3, 4}.
‡� o contradomínio: CD(f)� �%� �^����������`�
‡� a imagem: Im(f)� �^�������`��HP�TXH�SRGHPRV�REVHUYDU�TXH�D�LPDJHP�p�XP�VXEFRQMXQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR�%�
7RPHPRV�DOJXPDV�IXQo}HV�H�GHWHUPLQHPRV�R�VHX�GRPtQLR�
L��\� ��[
LL��\� �[2
LLL��\� � x
1
Assim, em (i), temos que 5x ƒ paratodo x ƒ , dessa forma: ƒ D . Em (ii), temos x2 ƒ para todo x ƒ , assim: ƒ D . 
3RU�¿P��HP��LLL���WHPRV� ƒx1 se, e somente se, x é real e diferente de zero. Portanto, 
*ƒ D .
Ainda nesse contexto tomemos este outro exemplo em que uma função ƒoƒ:f �p�GH¿QLGD�SRU� � � 12 � xxfy . Vamos 
calcular os valores de f(x)�SDUD�RV�VHJXLQWHV�YDORUHV�GH�[� �^����������`��2�TXH�p�SHGLGR�QR�SUREOHPD�p�TXH�GHYHPRV�
GHWHUPLQDU�R�FRQMXQWR�LPDJHP�SDUD�RV�HOHPHQWRV�[�GR�GRPtQLR��$VVLP�VHQGR��EDVWD�FDOFXODU�GD�VHJXLQWH�IRUPD�
PORDENTRODOTEMA
�
'HVVD�PDQHLUD��REWHPRV�FRPR�UHVSRVWD�TXH�R�FRQMXQWR�LPDJHP�\ ^�����������`�
7RPHPRV�HVWH�RXWUR�H[HPSOR��6HMD�D�IXQomR� ƒoƒ:f �GH¿QLGD�SRU� � �
2
3� xxfy . Qual é o elemento do domínio que 
tem 
2
1 �FRPR�LPDJHP"
Para solucionarmos esse exemplo, é preciso determinar o valor de x tal que � �
2
1 xfy . Portanto, basta resolver a 
equação 
2
1
2
3 �x . Assim obtém-se:
2
1
2
3 �x
� � 232 �x
262 �x
82 x
2
8 x
4 x
Temos como resposta que o elemento do domínio que tem 
2
1 como imagem é 4.
*Ui¿FR
6HMDP�[�H�\�GRLV�Q~PHURV�UHDLV��SRGHPRV�GH¿QLU�R�SDU�RUGHQDGR��[��\��FRPR�XP�SDU�GH�HOHPHQWRV�FXMD�RUGHP�GH�
DSDUHFLPHQWR�p�LPSRUWDQWH��2�FRQMXQWR�GH�WRGRV�RV�SDUHV�RUGHQDGRV�GH�Q~PHURV�UHDLV��GH¿QLGRV�SRU� 2ƒ , é denominado 
GH�SODQR�QXPpULFR��HP�TXH�FDGD�SDU�RUGHQDGR��[��\��VHUi�XP�SRQWR�QR�SODQR��02*121��������
Um dos nomes citados no início deste tema foi o do matemático francês René Descartes. Ele estudou o uso de pares 
RUGHQDGRV�QD� ORFDOL]DomR�GH�SRQWRV�HP�PDSDV�JHRJUi¿FRV��XWLOL]DQGR�D�UHODomR�� �[��\�� ��ODWLWXGH�� ORQJLWXGH���&RPR�
HOH�DVVRFLDYD�D�JHRPHWULD�FRP�D�iOJHEUD� �DWXDOPHQWH�FRQKHFLGD�FRPR�JHRPHWULD�DQDOtWLFD���HVVD� IRL�D� IRUPD�TXH�R�
PDWHPiWLFR�FULRX�SDUD�UHSUHVHQWDU�YLVXDOPHQWH��JUD¿FDPHQWH��H[SUHVV}HV�DOJpEULFDV��02*121��������
7RPHPRV�GXDV�UHWDV�SHUSHQGLFXODUHV�HQWUH�VL��XPD�UHWD�KRUL]RQWDO�QR�SODQR�JHRPpWULFR��GHQRPLQDGD�GH�HL[R�[�H�XPD�UHWD�
YHUWLFDO��FKDPDGD�GH�HL[R�\��3RGHPRV�GH¿QLU�D�RULJHP�2�FRPR�R�SRQWR�GH�LQWHUVHomR�HQWUH�RV�HL[RV�[�H�\��$VVRFLDPRV�FDGD�
PORDENTRODOTEMA
�
SDU�GH�Q~PHURV�UHDLV��[�\��FRP�XP�SRQWR�3�QR�SODQR�JHRPpWULFR��2�SULPHLUR�Q~PHUR�GR�SDU�p�GHQRPLQDGR�GH�DEVFLVVD�
GR�SRQWR�3�H�R�VHJXQGR�Q~PHUR�GR�SDU�GHQRPLQDGR�GH�RUGHQDGD�GR�SRQWR�3��2�SDU�DEVFLVVD�H�RUGHQDGD�p�GH¿QLGR�FRPR�
DV�FRRUGHQDGDV�FDUWHVLDQDV�UHWDQJXODUHV�GR�SRQWR�3��2V�HL[RV�[�H�\�VmR�FKDPDGRV�GH�HL[RV�FDUWHVLDQRV��([LVWH�XPD�
correspondência biunívoca entre os pontos em um plano geométrico e o 2ƒ ��LVWR�p��D�FDGD�SRQWR�FRUUHVSRQGH�XP�~QLFR�
SDU�RUGHQDGR��[��\��H�D�FDGD�SDU�RUGHQDGR�FRUUHVSRQGH�XP�~QLFR�SRQWR��7DO�FRUUHVSRQGrQFLD�p�FKDPDGD�GH�VLVWHPD�GH�
coordenadas cartesianas ortogonais ou plano cartesiano��2�HL[RV�FDUWHVLDQRV�[�H�\�GLYLGHP�R�SODQR�HP�TXDWUR�SDUWHV�
FKDPDGDV�GH�TXDGUDQWHV�GLVSRVWRV�HP�VHQWLGR�DQWL�KRUiULR��FRPR�SRGHPRV�REVHUYDU�QD�)LJXUD�������$LQGD�QHVVD�¿JXUD��
percebe-se que a região do canto superior direito é o primeiro quadrante, a região à sua esquerda, do outro lado do eixo 
\��p�R�VHJXQGR�TXDGUDQWH��(PEDL[R�GHVWH�WHPRV�R�WHUFHLUR�TXDGUDQWH�H�j�VXD�GLUHLWD��RX�VHMD��DEDL[R�GR�SULPHLUR�WHPRV�
R�TXDUWR�TXDGUDQWH��02*121��������
)LJXUD�������5HSUHVHQWDo}HV�GR�SODQR�FDUWHVLDQR�
Fonte: Elaboração do autor.
2�JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR�f : D�ĺ�,P�p�R�FRQMXQWR�GH�SDUHV�RUGHQDGRV�HP�'�versus�,P�GD�IRUPD��[��I�[���GH¿QLGRV�SRU��
� �� �^ `Dx , xfx ��(P�RXWUDV�SDODYUDV��R�JUi¿FR�GH�I�FRQVLVWH�GH�WRGRV�RV�SRQWRV��[��\��QR�SODQR�FDUWHVLDQR�WDO�TXH�y = f(x) 
e x está no domínio de f.
1RWH�TXH�R�GRPtQLR�'�p�R�FRQMXQWR�GDV�DEVFLVVDV�GRV�SRQWRV�WDLV�TXH�DV�UHWDV�YHUWLFDLV�FRQGX]LGDV�SRU�HVVHV�SRQWRV�
LQWHUFHSWDP�R�JUi¿FR�GH�f��LVWR�p��p�R�FRQMXQWR�IRUPDGR�SRU�WRGDV�DV�DEVFLVVDV�GRV�SRQWRV�GR�JUi¿FR�GH�f. Igualmente, 
D� LPDJHP� �,P�� p� R� FRQMXQWR� GDV� RUGHQDGDV� GRV� SRQWRV� WDLV� TXH� DV� UHWDV� KRUL]RQWDLV� FRQGX]LGDV� SRU� HVVHV� SRQWRV�
LQWHUFHSWDP�R�JUi¿FR�GH�f��LVWR�p��p�R�FRQMXQWR�IRUPDGR�SRU�WRGDV�DV�RUGHQDGDV�GRV�SRQWRV�GR�JUi¿FR�GH�f (IEZZI, 1977).
2�JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR�f�QRV�Gi�XPD�YLVmR�~WLO�GR�FRPSRUWDPHQWR�RX�³KLVWyULD�GH�YLGD´�GH�XPD�IXQomR��8PD�YH]�TXH�D�
FRRUGHQDGD�\�GH�TXDOTXHU�SRQWR�QR�JUi¿FR��[��\��p�y = f(x), podemos ler o valor de f�[��D�SDUWLU�GR�JUi¿FR��FRPR�D�DOWXUD�
GR�JUi¿FR�DFLPD�GR�SRQWR�[��2�JUi¿FR�GH�f também nos permite imaginar o domínio de f sobre o eixo x e sua variação no 
PORDENTRODOTEMA
��
HL[R�\��67(:$57���������2EVHUYHPRV�TXH�XPD�IXQomR�f�¿FD�FRPSOHWDPHQWH�GH¿QLGD�TXDQGR�VmR�GDGRV�R�VHX�GRPtQLR�
D, o seu contradomínio e a lei de correspondência y = f(x) (IEZZI, 1977).
7LSRV�H�*Ui¿FRV�GH�)XQomR�
([LVWHP�GLYHUVRV�WLSRV�WDLV�FRPR��IXQo}HV�SROLQRPLDLV��UDFLRQDLV��DOJpEULFDV�H�WUDQVFHQGHQWHV��1HVWH�WHPD�YDPRV�
WUDWDU�PDLV�SURIXQGDPHQWH�VREUH�DV�IXQo}HV�SROLQRPLDLV�
Funções Polinomiais
&RQVLGHUH� f�XPD� IXQomR�GH¿QLGD�SRU� � � 0111 ... axaxaxaxf nnnn ���� �� ��HP�TXH�RV�FRH¿FLHQWHV� 0a , 1a ,... na �VmR�Q~PHURV�
reais � �0zna �H�Q�XP�Q~PHUR�LQWHLUR�QmR�QHJDWLYR��$�IXQomR�f é denominada de função polinomial de grau n, na qual, 
dependendo do grau, n receberá nomes especiais.
&RPHoDPRV�R�QRVVR�HVWXGR�GH�IXQo}HV�SROLQRPLDLV�FRP�JUDX�n = 0. Uma aplicação ƒoƒ:f recebe o nome de função 
constante quando cada elemento ƒx associa sempre o mesmo elemento ƒc ��RX�VHMD��f(x) = c��2�JUi¿FR�GD�IXQomR�
FRQVWDQWH�p�XPD�UHWD�SDUDOHOD�DR�HL[R�[�SDVVDQGR�SHOR�SRQWR�����F���(P�RXWUDV�SDODYUDV��D�LPDJHP�p�R�FRQMXQWR�,P^c}. A 
)LJXUD�����DSUHVHQWD�R�JUi¿FR�GD�IXQomR�f�[�� �F��$OJXQV�H[HPSORV�GH�IXQo}HV�FRQVWDQWHV�VmR�
‡� f(x) = 4
‡� f(x) = 
5
1
‡� f(x)� ���
‡� f(x) = 7
\
x
c
)LJXUD�������5HSUHVHQWDo}HV�GD�IXQomR�FRQVWDQWH�
Fonte: Elaboração do autor.
PORDENTRODOTEMA
��
Função Linear
3RGHPRV� GH¿QLU� D� IXQomR� OLQHDU� FRPR� XPD� DSOLFDomR� ƒoƒ:f quando a cada elemento ƒx associa-se o 
elemento ƒxa em que 0za �p�XP�Q~PHUR�UHDO�GDGR��,VWR�p��D�IXQomR�f é dada por:
� � 0 , z axaxf 
2�FRQMXQWR�LPDJHP�GD�IXQomR�D¿P� ƒoƒ:f �GH¿QLGD�SRU� � � 0 , z axaxf são os reais. Uma função � � xxfy 2 é um 
exemplo de uma função linear.
)XQomR�/LQHDU�$¿P
$QDORJDPHQWH�SRGHPRV�GH¿QLU� D� IXQomR� OLQHDU� D¿P�FRPR�XPD�DSOLFDomR� ƒoƒ:f quando a cada elemento ƒx 
associa-se o elemento ƒ� bxa em que 0za �p�XP�Q~PHUR�UHDO�GDGR��,VWR�p��D�IXQomR�f é dada por:
� � 0 , z� abxaxf
2�FRQMXQWR�LPDJHP�GD�IXQomR�D¿P� ƒoƒ:f �GH¿QLGD�SRU� � � 0 , z� abxaxf �VmR�RV�Q~PHURV�UHDLV��2�JUi¿FR�GH�XPD�
IXQomR�OLQHDU�D¿P�p�XPD�UHWD�TXH�LQWHUFHSWD�R�HL[R�GDV�RUGHQDGDV�QR�SRQWR�����b���2�Q~PHUR�a �p�GH¿QLGR�SRU�FRH¿FLHQWH�
DQJXODU�GD�UHWD�RX�GHFOLYLGDGH�GD�UHWD�UHSUHVHQWDGD�QR�SODQR�FDUWHVLDQR��2�FRH¿FLHQWH�b�p�GHQRPLQDGR�GH�FRH¿FLHQWH�
OLQHDU�GD�UHWD��$�UDL]�GD�IXQomR�D¿P�p�R�Q~PHUR� abx � ��$�)LJXUD�����DSUHVHQWD�XPD�LOXVWUDomR�GR�JUi¿FR�GD�IXQomR�
OLQHDU�D¿P�
\
x
b
ɲ
tan(ɲ)= a
)LJXUD�������5HSUHVHQWDo}HV�GH�XPD�IXQomR�OLQHDU�D¿P�
Fonte: Elaboração do autor.
PORDENTRODOTEMA
��
7RPHPRV�R�VHJXLQWH�H[HPSOR��FRQVLGHUH�RV�SRQWRV�QR�SODQR�FDUWHVLDQR����������������&RPR�SRGHPRV�REWHU�D�HTXDomR�GD�
UHWD�TXH�SDVVD�SHORV�SRQWRV"
6HMD� bxay � a equação da reta procurada, para solucionarmos o problema é necessário obtermos os valores de a e b.
&RQVLGHUDQGR�TXH�R�SRQWR��������SHUWHQFH�j�UHWD�GD�HTXDomR� bxay � ��DR�VXEVWLWXLUPRV�[� ���H�\� ���HP� bxay � , 
temos a sentença verdadeira se:
ba �˜ 23 , isto é: 32 � ba .
De forma análoga, para o ponto (5, 9), obtemos:
ba �˜ 95 , isto é: 59 � ba .
7HPRV�XP�VLVWHPD�GH�GXDV�HTXDo}HV�H�GXDV�YDULiYHLV��$VVLP��UHVROYHQGR�R�VLVWHPD�
®¯­ �
 �
59
32
ba
ba
Pegando a primeira equação e retirando o valor de uma das variáveis temos: ab 23� . Fazendo a substituição na 
segunda equação, podemos encontrar o valor da variável a:
� �
7
2
275239 o o �� aaaa
Agora, substituindo o valor de a, podemos calcular o valor de b da seguinte forma:
7
7 17
473
7
4
3
7
2
2323 o�˜ o� o˜� o� bbbbab
Assim, encontramos a equação da reta que passa pelos pontos (2, 3) (5, 9):
bxay � , substituindo os valores calculados temos 
7
7 1
7
2 � xy ou 
7
7 12 � xy .
1HVWH�RXWUR�H[HPSOR��YDPRV�REWHU�D�HTXDomR�GD�UHWD�TXH�SDVVD�SHOR�SRQWR��������H�WHP�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�LJXDO�D���
'HVHMDPRV�REWHU�D�HTXDomR�GD�IRUPD� bxay � ��e�GDGR�TXH�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�p�LJXDO�D����SRUWDQWR�� 2 a .
PORDENTRODOTEMA
��
Então, substituindo 2 a ��H�R�SRQWR��[��\�� ���������HP� bxay � , temos:
123123 o� o�˜ bbb .
$FKDPRV�R�FRH¿FLHQWH�OLQHDU�GD�UHWD� 1 b . Logo, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) é dada por: 12 � xy .
Funções Crescente e Decrescente
A função BAf o: �GH¿QLGD�SRU� � �xfy é dita como crescente�QR�FRQMXQWR� AA 1 se, para dois valores quaisquer x1 e 
x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos � � � �21 xfxf � ��(P�RXWUDV�SDODYUDV��D�IXQomR�p�FUHVFHQWH�QR�FRQMXQWR�A1 se, ao 
DXPHQWDUPRV�R�YDORU�DWULEXtGR�D�[��R�YDORU�GH�\�WDPEpP�DXPHQWDU��$�IXQomR� � � xxf 3 é um exemplo de função crescente 
em ƒ , pois 2121 33 xxxx �Ÿ� para todo ƒ1x e todo ƒ2x (IEZZI, 1977).
A função BAf o: �GH¿QLGD�SRU� � �xfy é dita como decrescente�QR�FRQMXQWR� AA 1 se, para dois valores quaisquer x1 e 
x2 pertencentes a A1��FRP����WLYHUPRV����(P�RXWUDV�SDODYUDV��LVVR�VLJQL¿FD�TXH�D�IXQomR�p�GLWD�GHFUHVFHQWH�QR�FRQMXQWR���
VH��DR�DXPHQWDUPRV�R�YDORU�DWULEXtGR�D�[��R�YDORU�GH�\�WDPEpP�GLPLQXLU��,(==,���������$�IXQomR�f(x) = -3x é um exemplo 
de função decrescente em ƒ , pois 2121 33 xxxx �!�Ÿ� para todo ƒ1x e todo ƒ2x ��$�IXQomR�OLQHDU�D¿P�p�FUHVFHQWH�
VH��H�VRPHQWH�VH��R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�UHWD�IRU�SRVLWLYR��5HFLSURFDPHQWH��D�IXQomR�OLQHDU�D¿P�p�GHFUHVFHQWH�VH��H�
VRPHQWH�VH��R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�UHWD�IRU�QHJDWLYR��,(==,��������
PORDENTRODOTEMA
��
Videoaula de Cálculo – “Determinar domínio de função”
‡� $VVLVWD� j� DXOD� GR� SURIHVVRU� -RVp� 0DUPRQWHO� VREUH� FRPR� GHWHUPLQDU� GRPtQLR� GH� IXQomR��
apresentada de uma forma bem didática.
Disponível em: <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y 1Q-<B��X.PR>. Acesso em: 10 abr. 2014.
Tempo: 10:57.
9LGHRDXOD�GH�&iOFXOR�±�³)XQomR�$¿P�H�)XQomR�OLQHDU´
‡� $VVLVWD�j�DXOD�³)XQomR�$¿P�H�)XQomR�OLQHDU´��QD�TXDO�VH�LQWURGX]�R�FRQFHLWR�GH�IXQomR�D¿P��
além da aplicação do conceito na resolução de um problema simples. 
Disponível em: <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y '3'8G3(X�,$>. Acesso em: 10 abr. 2014.
Tempo: 11:49.
&RQVWUXomR�GH�*Ui¿FRV
‡� 0HGLDQWH�HVWD� IHUUDPHQWD�on-line�SDUD�FRQVWUXomR�GH�JUi¿FRV�FDUWHVLDQRV� LQWHUDWLYRV�H�VXD�
UHODomR�GH�SDUHV�RUGHQDGRV��YRFr�VHUi�FDSD]�GH�JHUDU�GH�IRUPD�LWHUDWLYD��R�JUi¿FR�GH�GLYHUVDV�
IXQo}HV�
Disponível em: <KWWS���ZZZ�FDOFXODGRUDRQOLQH�FRP�EU�JUDILFD>. Acesso em: 10 abr. 2014.
Noções de Conjuntos
‡� 2�VHJXLQWH�VLWH�DSUHVHQWD�XPD�UHYLVmR�VREUH�R�FRQFHLWR�GH�FRQMXQWR�H�VXDV�SULQFLSDLV�UHODo}HV�
Disponível em: <KWWS���ZZZ�XHO�EU�SURMHWRV�PDWHVVHQFLDO�VXSHULRU�DQDOLVH�ORJLFD�KWP>. Acesso em: 10 abr. 2014.
Cá í f
ACOMPANHENAWEB
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Instruções:
$JRUD��FKHJRX�D�VXD�YH]�GH�H[HUFLWDU�VHX�DSUHQGL]DGR��$�VHJXLU��YRFr�HQFRQWUDUi�DOJXPDV�TXHVW}HV�GH�P~OWLSOD�
HVFROKD�H�GLVVHUWDWLYDV��/HLD�FXLGDGRVDPHQWH�RV�HQXQFLDGRV�H�DWHQWH�VH�SDUD�R�TXH�HVWi�VHQGR�SHGLGR�
AGORAÉASUAVEZ
Questão 1
8O\VVHV�WHP�XPD�JUDQGH�ID]HQGD�HP�%DUUHWRV��$�ID]HQGD�GHOH�SRGH�VHU�GLYLGD�HP�GRLV�JUXSRV�GLVWLQWRV��&RQVLGHUH�$� �^YDFD��
FDYDOR��JDOLQKD��JDWR`�R�JUXSR�TXH�FRQWpP�RV�DQLPDLV�GD�ID]HQGD�H�%� �^RYR��OHLWH��FDSLP��PLOKR��UDomR`�R�JUXSR�GRV�GHULYDGRV�GH�
DOLPHQWDomR�GRV�DQLPDLV��$VVRFLH�RV�HOHPHQWRV�GR�JUXSR�$�FRP�VHX�UHVSHFWLYR�HOHPHQWR�QR�JUXSR�%��&RP�EDVH�QHVVD�DQiOLVH��
GHWHUPLQH�VH�WDO�UHODomR�SRGH�VHU�GH¿QLGD�FRPR�XPD�IXQomR�
Questão 2
6HMD�D�IXQomR� � � 5� xxf ��GHWHUPLQH�R�FRH¿FLHQWH�ඇLQHDU�H�R�DQJXඇDU��UHVSHFWLYDPHQWH�
a) 1 e 4.
b) 3 e 7.
c) 1 e 5.
d)���H���
e) 0 e 1.
��
AGORAÉASUAVEZ
Questão 3
6HMD�D�IXQomo ƒoƒ:f dH¿QLGD�Sor � � xxf ,�TXDඇ�p�R�HඇHPHQWR�GD�LPDJHP�TXH�WHm 
2
1
 FRPR�GRPtQLR"
a) 0
b) 
2
1
c) 5
d) 2
e) 5
Questão 4
Encontre a equação da reta que contém os pontos (0, 0) e (1,2).
Questão 5
6HMD�D�IXQomR� ƒoƒ:f �GH¿QLGD�SRU� � � 1� xxfy ��TXDO�p�R�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�TXH�WHP���FRPR�LPDJHP"
��
$�0DWHPiWLFD�HVWi�KRMH�HP�SUDWLFDPHQWH�HP�WRGDV�DV�iUHDV�GR�FRQKHFLPHQWR�KXPDQR�H�XP�GRV�WHPDV�TXH�SRGHPRV�
GHVWDFDU�p�R�HVWXGR�GDV�IXQo}HV�DSUHVHQWDGRV�DR�ORQJR�GHVWH�WHPD��$TXL�YRFr�DSUHQGHX�D�GH¿QLomR�GH�XPD�IXQomR�
linear bem como o conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Além disso, você também aprendeu como obter o 
JUi¿FR�GH�XPD�IXQomR�H�RV�UHVSHFWLYRV�FRQFHLWRV�GH�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�H�OLQHDU�GH�XPD�UHWD��3RU�¿P��DJRUD�YRFr�p�
capaz de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente.
$0 i L i K M L G i G K L K G G
FINALIZANDO
&$/&8/$'25$�21/,1(��'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�FDOFXODGRUDRQOLQH�FRP�EU�JUDILFD>. Acesso em: 18 mar. 2014.
)5$1.�$<5(6��3KLOLS�$��6FKPLGW��Matemática para ensino superior. 3. ed. São Paulo: Artmed, 2003.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar.�9RO�����&RQMXQWRV�±�)XQo}HV�����HG��6mR�3DXOR��$WXDO�(GLWRUD�������
0$50217(/��-��'HWHUPLQDU�GRPtQLR�GH�IXQomR��Vídeo/YouTube, 2012. Disponível em: <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�
ZDWFK"Y 1Q-<B��X.PR> Acesso em: 18 mar. 2014. 
02*121��$QJHOD� Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral I��0LQLVWpULR�GD�(GXFDomR��8QLYHUVLGDGH�7HFQROyJLFD�)HGHUDO�
do Paraná, 2013. Disponível em: <KWWS���ZZZ�GPD�XHP�EU�NLW�DUTXLYRV�DUTXLYRVBSGI�&DOFXOR���,�SGI>. Acesso em: 24 mar. 
2014.
35(3$5$d­2�',*,7$/��)XQomR�$¿P�H�)XQomR�/LQHDU��Vídeo/YouTube, 2012. <KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y '3'8G3(X�,$>. 
Acesso em: 18 mar. 2014
62'5e��8��0DWHPiWLFD�HVVHQFLDO��$QiOLVH�QD�UHWD�±(OHPHQWRV�GH�/yJLFD�H�&RQMXQWRV��8(/��������'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�
XHO�EU�SURMHWRV�PDWHVVHQFLDO�VXSHULRU�DQDOLVH�ORJLFD�KWP>. Acesso em: 18 mar. 2014
STEWART, James. Cálculo��9ROXPH�,�����HG��6mR�3DXOR��3LRQHLUD�7KRPVRQ�/HDUQLQJ�������
capaz de estabelecer a diferença entre função crescente e decrescente.
REFERÊNCIAS
��
Contradomínio:�p�R�FRQMXQWR�GH�WRGRV�RV�HOHPHQWRV�GHSHQGHQWHV�GD�IXQomR�
Domínio:�R�GRPtQLR�GH�XPD�IXQomR�)�GH�XP�FRQMXQWR�$�DWp�XP�HOHPHQWR�GH�XP�FRQMXQWR�%�p�GH¿QLGR�FRPR�R�VXEFRQ-
MXQWR�GH�WRGRV�RV�HOHPHQWRV�GH�$�TXH�D�IXQomR�OHYD�DWp�XP�HOHPHQWR�GH�%�
Imagem:�p�XP�VXEFRQMXQWR�GR�FRQWUDGRPtQLR�IRUPDGR�SHORV�YDORUHV�TXH�XPD�IXQomR�I�SRGH�FKHJDU�D�WRPDU�
Plano cartesiano:�FRQVLVWH�HP�GRLV�HL[RV�SHUSHQGLFXODUHV��VHQGR�R�KRUL]RQWDO�FKDPDGR�GH�HL[R�GDV�DEVFLVVDV�H�R�YHU-
tical de eixo das ordenadas.
Relação:�p�XPD�FRUUHVSRQGrQFLD�H[LVWHQWH�HQWUH�FRQMXQWRV�QmR�YD]LRV�
C t d í i p M W G W G O W G G W G I m
GLOSSÁRIO
Relação:�p�XPD�FRUUHVSRQGrQFLD�H[LVWHQWH�HQWUH�FRQMXQWRV�QmR�YD]LRV�
GABARITO
Questão 1
Resposta: 3RGHPRV�FRPR�H[HPSOR�GH�DVVRFLDo}HV�HQWUH�R�JUXSR�$�H�%�R�VHJXLQWH�GLDJUDPD�GH�9HQQ�
A B
vaca
gato
cavalo
JDOLQKD
ovo
leite
PLOKR
capim
ração
3RGHPRV�YHU�QR�GLDJUDPD�TXH�H[LVWHP�HOHPHQWRV�GR�JUXSR�$�OLJDGRV�D�PDLV�GH�XP�HOHPHQWR�GR�JUXSR�%��SRUWDQWR�D�
aplicação não é função.
��
Questão 2
Resposta: $OWHUQDWLYD�&�
Sendo uma função ƒoƒ:f com � � bxaxf � ��&RPR�IRL�YLVWR�QHVWH�WHPD��RV�FRH¿FLHQWHV�D�H�E�VmR�UHVSHFWLYDPHQWH�
RV�FRH¿FLHQWHV�DQJXODU�H�OLQHDU�GD�IXQomR� � �xf ��3RUWDQWR��D�DOWHUQDWLYD�FRUUHWD�p�D�³&´��
Questão 3
Resposta: $OWHUQDWLYD�%�
Temos que � � xxf ��2�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�p�GDGR�SRU��
2
1
. Assim, para obter a imagem basta calcular: 
2
1
2
1 ¹¸
·
©¨
§f . 
3RUWDQWR��D�DOWHUQDWLYD�³%´�p�D�FRUUHWD�
Questão 4
Resposta:�&RQVLGHUDQGR�TXH�R�SRQWR�������SHUWHQFH�j�UHWD�GD�HTXDomR�y = ax + b��DR�VXEVWLWXLUPRV�[� ���H�\� ���HP�
y = ax + b, temos a sentença verdadeira se:
ba �˜ 00 isto é: b = 0
De forma análoga, para o ponto (1, 2), obtemos:
ba �˜ 21 , como b = 0, isto é: 12 a , portanto:21 a 
Assim, podemos obter a equação da reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,2): � � xxf
2
1 .
Questão 5
Resposta: Para solucionarmos temos que determinar o valor de x tal que � � 5 xfy . Portanto, basta resolver a equação 
x - 1 = 5. Assim, temos que x� ����2�HOHPHQWR�GR�GRPtQLR�TXH�WHP���FRPR�LPDJHP�p���

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