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SEMI_Calculo_I_08

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&iOFXOR�,
Autoria: Jeanne Dobgenski 
Tema 08
Conceito de Derivada
7HPD���
Conceito de derivada
Autoria: Jeanne Dobgenski
Como citar esse documento:
DOBGENSKI, Jeanne. Cálculo I: Conceito de Derivada. Caderno de Atividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014. 
Índice
‹������$QKDQJXHUD�(GXFDFLRQDO�� 3URLELGD� D� UHSURGXomR� ¿QDO� RX� SDUFLDO� SRU� TXDOTXHU�PHLR� GH� LPSUHVVmR�� HP� IRUPD� LGrQWLFD�� UHVXPLGD� RX�PRGL¿FDGD� HP� OtQJXD�
SRUWXJXHVD�RX�TXDOTXHU�RXWUR�LGLRPD�
Pág. 16
Pág. 17 Pág. 17
Pág. 16
Pág. 14Pág. 13
ACOMPANHENAWEB
Pág. 3
CONVITEÀLEITURA
Pág. 3
PORDENTRODOTEMA
�
Conceito de Derivada
No tema anterior, você estudou que se o limite de função f(x) existe, então a função tende a um valor “L” quando x 
tende a um valor “c”, 
.)(lim Lxf
cx
 o
(VVH�FiOFXOR�SRGH�VHU�HIHWXDGR�DR�YHUL¿FDU�R�YDORU�GD�WD[D�GH�YDULDomR�PpGLD�HP�LQWHUYDORV�FDGD�YH]�PHQRUHV�GH�IRUPD�
a x�VHU�VX¿FLHQWHPHQWH�SUy[LPR�GH�F��(VVH�SURFHVVR��RX�WLSR�GH�OLPLWH��IRL�LGHQWL¿FDGR�FRPR�R�FiOFXOR�GD�WD[D�GH�YDULDomR�
LQVWDQWkQHD�RX��DLQGD��FRPR�D�GHWHUPLQDomR�GR�FRH¿FLHQWH�DQJXODU��LQFOLQDomR��GD�UHWD�WDQJHQWH�TXH�SDVVD�QR�SRQWR�
OLPLWH�H��DLQGD�PDLV��HVVD�p�D�GH¿QLomR�GD�GHULYDGD�QXP�SRQWR�
6HJXQGR�+XJKHV�+DOOHWW�et al���������S�������
������D� WD[D�GH�YDULDomR�PpGLD�QRV�GL]�R�TXmR�GHSUHVVD��RX�GHYDJDU��D� IXQomR�PXGD��GH�XPD�H[WUHPLGDGH�GR�
LQWHUYDOR�DWp�D�RXWUD��HP�UHODomR�DR�WDPDQKR�GR�LQWHUYDOR��e�PDLV�~WLO��PXLWDV�YH]HV��VDEHU�D�WD[D�GH�YDULDomR�GR�
TXH�D�YDULDomR�DEVROXWD��3RU�H[HPSOR��VH�DOJXpP�OKH�RIHUHFH�XP�HPSUHJR�TXH�SDJD�������YRFr�YDL�TXHUHU�VDEHU�
TXDQWR�WHPSR�YDL�WHU�TXH�WUDEDOKDU�SDUD�JDQKDU�HVVH�GLQKHLUR��1mR�EDVWD�VDEHU�DSHQDV�D�YDULDomR�WRWDO�HP�VHX�
GLQKHLUR��������PDV�VH�VRXEHU�D�WD[D�GH�YDULDomR��LVWR�p�������GLYLGLGR�SHOR�WHPSR�TXH�YDL�OHYDU�SDUD�UHFHEr�OR��
YRFr�SRGH�GHFLGLU�VH�DFHLWD�RX�QmR�R�HPSUHJR��
2EVHUYH�TXH�HVVH�WH[WR�PRVWUD�XPD�DSOLFDomR�GH�WD[D�GH�YDULDomR�PpGLD�TXH�YRFr�Mi�VDEH�TXH�JHRPHWULFDPHQWH�p�XPD�
UHWD�VHFDQWH�j�IXQomR��1HVWH�WHPD��YRFr�YHUi�TXH�D�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD��Mi�FRPSUHHQGLGD�FRPR�R�SURFHVVR�GH�
WRPDU�XP�OLPLWH��WDPEpP�SRGH�VHU�FRQVLGHUDGD�FRPR�D�GHULYDGD�QXP�SRQWR��2EVHUYH�TXH�VHXV�FRQKHFLPHQWRV�HVWmR�
sendo ampliados! Aproveite a leitura!
CONVITEÀLEITURA
C it d D i d
sendo ampliados! Aproveite a leitura!
PORDENTRODOTEMA
�
Derivada num ponto
3HUFHEH�VH�TXH�D�GHULYDGD�GH�XPD� IXQomR�QXP�SRQWR�p�D� WD[D�GH�YDULDomR� LQVWDQWkQHD�QDTXHOH�SRQWR��'HVVD�
forma, a derivada de f em a��REVHUYH�TXH�³D´�p�R�SRQWR�HP�DQiOLVH���GHQRWDGD�SRU�f’(a) �Or�VH�f�OLQKD�GH�D���p�GH¿QLGD�SRU
 
.
)()(
lim)(' em de variaçãode Taxa
0 h
afhafafaf
h
�� o
Se existir o limite, então f�p�diferenciável em a�
8PD�H[SUHVVmR�EDVWDQWH�XVDGD�SDUD�WUDWDU�GH�GHULYDGDV�GDV�IXQo}HV�p�³FiOFXOR�GLIHUHQFLDO´��2X�VHMD��VH�XPD�IXQomR�p�
GHULYiYHO�p�R�PHVPR�TXH�GL]HU�TXH�HOD�p�GLIHUHQFLiYHO�
9HUL¿TXH�TXH�VH�[� �D���K��HQWmR�K� �[�±�D�H�K�WHQGH�D���VH�H�VRPHQWH�VH�[�WHQGHU�D�³D´��&RQVHTXHQWHPHQWH��XPD�PDQHLUD�
HTXLYDOHQWH�GH�HQXQFLDU�D�GH¿QLomR�GD�GHULYDGD�p
.
)()(
lim)('
ax
afxfaf
ax �
� o
Exemplo 1�±�(QFRQWUDU�D�GHULYDGD�GD�IXQomR�I�[�� �[��±��[�����HP�XP�Q~PHUR�³D´��67(:$57��������S�������
Solução: XVDQGR�D�GH¿QLomR�GH�GHULYDGD�HP�TXH�K�ĺ����GHYH�VH�DSOLFDU�D�f(x��TXH�VH�GHVHMD�GHULYDU��e�LPSRUWDQWH�OHPEUDU�
TXH�p�QHFHVViULR�VXEWUDLU�D�IXQomR�f(x) quando estiver no ponto x� �D���K�GD�f(x) quando x� �D��/RJR��DOJHEULFDPHQWH�D�
VROXomR�p�D�GHVFULWD�D�VHJXLU�
82)('
)82(lim
82
lim)('
989882
lim)('
]98[]9)(8)[(
lim)('
)()(
lim)('
0
2
0
222
0
22
0
0
� 
�� �� 
������� 
������� 
�� 
oo
o
o
o
aaf
ha
h
hhahaf
h
aahahahaaf
h
aahahaaf
h
afhafaf
hh
h
h
h
PORDENTRODOTEMA
�
Será que para calcular a derivada de uma função será sempre necessário calcular o limite da função naquele ponto? 
1mR��LVVR�SRGHUi�VHU�IHLWR�SRU�PHLR�GH�UHJUDV�Mi�GHWHUPLQDGDV�H�TXH�DX[LOLDUmR�QR�FiOFXOR�GDV�GHULYDGDV��3ULPHLUDPHQWH��
QR�HQWDQWR��p�LPSRUWDQWH�H[SORUDU�D�GHULYDGD�FRPR�D�LQFOLQDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�H�FRPSUHHQGHU�TXH�D�GHULYDGD�WDPEpP�
SRGH�VHU�YLVWD�FRPR�XPD�IXQomR�
Exemplo 2�±�(QFRQWUDU�XPD�HTXDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�j�SDUiEROD�\� �[��±��[�����QR�SRQWR���������67(:$57��������S�������
Solução��OHPEUH�VH TXH�D�HTXDomR�GD�UHWD�p�GDGD�SRU�\� �m[���E��VHQGR�m a inclinação da reta e b o ponto que essa 
reta corta o eixo y��
&RQVLGHUH�R�SRQWR��D��f�D����RX�VHMD��D�coordenada (x, y��p�UHSUHVHQWDGD�SRU�x� �D�H�y� �I�D��
&RPR�IRL�YLVWR�D�LQFOLQDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�QXP�SRQWR�GD�FXUYD�p�D�GHULYDGD�GD�IXQomR�QHVVH�SRQWR��HQWmR�P� �I¶�D���1R�
H[HPSOR���IRL�HQFRQWUDGD�D�GHULYDGD�GD�IXQomR�f(x�� �x��±��x�����QR�SRQWR�³D´�FRPR�f¶�D�� ��D�±����
/RJR��D�LQFOLQDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�QR�SRQWR���������p�HQFRQWUDGD�DR�VXEVWLWXLU�R�YDORU�GHVVH�SRQWR�QD�IXQomR�GHULYDGD��
f¶���� ��������� �����'HVVD�IRUPD��P� �f¶���� ����H�D�HTXDomR�GD�UHWD�SRGH�VHU�HVFULWD�FRPR�y� ���x���E�
0DV�FRPR�FDOFXODU�R�YDORU�GH�E�TXH�p�R�SRQWR�QR�HL[R�y�SHOR�TXDO�D�UHWD�WDQJHQWH�SDVVD"�6H�D�UHWD�WDQJHQWH�SDVVD�QR�
SRQWR���������HQWmR�VXEVWLWXD�HVVHV�SRQWRV�QD�HTXDomR�HQFRQWUDGD�
y� ���x���E
��� ����������E
E� ��������ĺ�E� ��
3RUWDQWR�D�HTXDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�TXH�SDVVD�QR�SRQWR���������GD�IXQomR�f(x�� �x��±��x�����p�H[SUHVVD�SRU�y� ���x�
2XWUD�IRUPD�GH�HQFRQWUDU�D�HTXDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�j�FXUYD�y� �f(x) no ponto (a, f�D���p�FDOFXODU�y�±�f�D�� �f¶�D��x ��D���
2X�VHMD��R�FiOFXOR�VHULD�
y�±�I�D�� �I¶�D��x�±�D�
y�±������ ����[�±���
y����� ���x����
y� ���x������ĺ�\� ���x�
PORDENTRODOTEMA
�
$¿UPD�VH�TXH�XPD� IXQomR� I�p�GHULYiYHO� �RX�GLIHUHQFLiYHO�� VH��SUy[LPR�GH�FDGD�SRQWR� ³D´�GR�VHX�GRPtQLR��D� IXQomR�
I�[��í�I�D��VH�FRPSRUWDU�DSUR[LPDGDPHQWH�FRPR�XPD�IXQomR�OLQHDU��RX�VHMD��VH�R�VHX�JUi¿FR�IRU�DSUR[LPDGDPHQWH�XPD�
UHWD��2�GHFOLYH�GHVVD�UHWD�p�D�GHULYDGD�GD�IXQomR�f no ponto a.�(VVD�UHWD��WDQJHQWH��QDV�SUR[LPLGDGHV�GH�D��³VH�FRQIXQGH�
FRP�D�FXUYD´��SRGHQGR�³GH�FHUWD�IRUPD´�VXEVWLWXt�OD��)LJXUD������
)LJXUD�������$PSOLDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�DR�SRQWR�3�
)RQWH��0XUROR�H�%RQHWWR��������S�������
Derivada como função
$Wp�DJRUD�D�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�IRL�HVWXGDGD�HP�XP�SRQWR�¿[R��&RQVLGHUH��DJRUD��R�TXH�DFRQWHFH�HP�XPD�
série�GH�SRQWRV��$�GHULYDGD��HP�JHUDO��DVVXPH�YDORUHV�GLIHUHQWHV�HP�SRQWRV�GLIHUHQWHV�H�p��WDPEpP��XPD�IXQomR��(P�
SULPHLUR�OXJDU��OHPEUH�VH�GH�TXH�D�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�HP�XP�SRQWR�PRVWUD�D�WD[D�VHJXQGR�D�TXDO�R�YDORU�GD�IXQomR�
HVWi�YDULDQGR�QDTXHOH�SRQWR��*HRPHWULFDPHQWH��D�GHULYDGD�SRGH�VHU�FRQVLGHUDGD�D�LQFOLQDomR�GD�FXUYD�RX�R�FRH¿FLHQWH�
DQJXODU�GD�UHWD�WDQJHQWH�j�FXUYD�QR�SRQWR��FRQIRUPH�H[SOLFD�+XJKHV�+DOOHWW�et al.��������S������
Exemplo 3� ��Estimar a derivada da função f(x), FXMR�JUi¿FR�DSDUHFH�QD�)LJXUD������SDUD�x ����� ���������������������
�+8*+(6�+$//(77�et al.��������S������
PORDENTRODOTEMA
�
)LJXUD�����±�'HULYDGD�YLVWD�JUD¿FDPHQWH�FRPR�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�UHWD�WDQJHQWH�
)RQWH��+XJKHV�+DOOHWW�et al. �������S������
Solução��D�SDUWLU�GR�JUi¿FR��p�SRVVtYHO�HVWLPDU�D�GHULYDGD�HP�TXDOTXHU�SRQWR�WUDoDQGR�D�UHWD�WDQJHQWH�QDTXHOH�SRQWR�H�
HVWLPDQGR�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�WDQJHQWH��SRU�PHLR�GR�XVR�GH�SDSHO�TXDGULFXODGR��FRPR�QR�H[HPSOR�GD�)LJXUD�������
3RU�H[HPSOR��D�UHWD�WDQJHQWH�HP�x ����WHP�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�SHUWR�GH����GH�PRGR�TXH�f’�����§����1RWH�TXH�D�LQFOLQDomR�
em x �����p�SRVLWLYD�H�EHP�JUDQGH��D�LQFOLQDomR�HP�x ����p�SRVLWLYD��PDV�PHQRU��(P�[� ����D�LQFOLQDomR�p�QHJDWLYD�H��
HP�[� ����PDLV�QHJDWLYD�DLQGD��(VVD�DQiOLVH�SRGH�VHU�IHLWD�SDUD�WRGRV�RV�SRQWRV��/RJR��REVHUYH�TXH�SDUD�WRGR�YDORU�GH�
x�H[LVWH�XP�YDORU�FRUUHVSRQGHQWH�SDUD�D�GHULYDGD��2X�VHMD��D�GHULYDGD�p�XPD�IXQomR�GH�[��
$�)LJXUD�����DSUHVHQWD�YDORUHV�HVWLPDGRV�SDUD�D�GHULYDGD�QRV�SRQWRV�LQGLFDGRV�QR�HQXQFLDGR��7UDoDQGR�DV�WDQJHQWHV�
DRV�SRQWRV�QR�JUi¿FR��YHUL¿FD�VH�TXH�RV�YDORUHV�HQFRQWUDGRV�VmR�VHPHOKDQWHV�DRV�PRVWUDGRV�)LJXUD�����±�9DORUHV�HVWLPDGRV�SDUD�D�GHULYDGD�GD�IXQomR�
)RQWH��+XJKHV�+DOOHWW�et al. �������S�����
PORDENTRODOTEMA
�
+i�PXLWDV�QRWDo}HV�XVDGDV�SDUD�UHSUHVHQWDU�D�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�y �f(x). $OpP�GH�f’(x), DV�PDLV�FRPXQV�VmR�
 
).()()(')(' xfDxDfxf
dx
d
dx
df
dx
dyyxf x 
Os operadores D e d/dx VmR�FKDPDGRV�RSHUDGRUHV�GLIHUHQFLDLV��SRLV� LQGLFDP�D�RSHUDomR�GH�GLIHUHQFLDomR�TXH�p�R�
SURFHVVR�GH�FiOFXOR�GH�XPD�GHULYDGD��dy/dx�p�OLGR�FRPR�³D�GHULYDGD�GH�y em relação a x”, e df/dx ou (d/dx)f(x) como “a 
derivada de f em relação a x´�
As notações�TXH� LQGLFDP�D�GHULYDGD�GH�XPD� IXQomR� WDPEpP�SRGHP� LQGLFDU�XP�SRQWR�HP�TXH�VH�GHVHMD�DYDOLDU�D�
GHULYDGD��FRPR�VHJXH�
.)('
axax
ax xfdx
dou
dx
dyouy
 
2�VtPEROR�GH�DYDOLDomR��_
[ D
��VLJQL¿FD�FDOFXODU�D�H[SUHVVmR�j�HVTXHUGD�HP�x� �a��
$JRUD�TXH�YRFr�Mi�FRQKHFH�DV�QRWDo}HV�SDUD�DV�GHULYDGDV�GH�IXQo}HV��DSUHQGHUi�DOJXPDV�UHJUDV�GH�GHULYDomR��(VVDV�
UHJUDV�SHUPLWHP�FDOFXODU�D�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�UDSLGDPHQWH��VHP�SUHFLVDU�XVDU�D�GH¿QLomR�GH�GHULYDGD�FRPR�IRL�
IHLWR�QR�([HPSOR���
Regra 1 – derivada de uma função constante é zero.
.0)( c
dx
d
Exemplo 4�±�FDOFXOH�D�GHULYDGD�GH�f(x�� ���
Solução:�REVHUYH�TXH�HVVD�p�XPD�IXQomR�FRQVWDQWH�TXH�SDVVD�QR�SRQWR���GR�HL[R�\�H�QmR�FRUWD�R�HL[R�x��PDV�p�SDUDOHOR�
D�HOH��/RJR�HVVD�UHWD�p�KRUL]RQWDO�H�QmR�WHP�LQFOLQDomR��FRH¿FLHQWH�DQJXODU� �P� �����,VVR�VLJQL¿FD�TXH�DR�YDULDU�R�YDORU�
em x�QmR�Ki�DOWHUDomR�HP�y��ORJR�QmR�H[LVWH�XPD�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�SDUD�DOJR�FRQVWDQWH��&RQVHTXHQWHPHQWH��
D�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�FRQVWDQWH�p�]HUR�
PORDENTRODOTEMA
�
Regra 2 – derivada de uma função potência, quando n for um número real qualquer.
 
.)( 1� nn nxx
dx
d
Exemplo 5 – calcule a derivada de f(x�� �x���(P�VHJXLGD��GHWHUPLQH�D�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�GD�IXQomR�f(x) em x� ���
Solução: 
 
Regra 3 – derivada de uma função multiplicada por constante.
 
).()]([ xf
dx
dcxcf
dx
d 
Exemplo 6 – calcule a derivada de f�[�� ���x���(P�VHJXLGD��GHWHUPLQH�D�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�GD�IXQomR�I�[��HP�x� ���
Solução: 
.480)4('16.304.30)4('
30)('3.10)('10)('10)('
2
21333
 Ÿ 
 Ÿ Ÿ Ÿ �
ff
xxfxxfx
dx
dxfx
dx
dxf
Regra 4 – derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis.
).()()]()([ xg
dx
dxf
dx
dxgxf
dx
d r r
Exemplo 7 – calcule a derivada de f�[�� �x��±��x������(P�VHJXLGD��GHWHUPLQH�D�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�GD�IXQomR�
f(x) em x� ����PHVPD�VLWXDomR�GR�H[HPSOR����
PORDENTRODOTEMA
f x x
x
x x x xf f
f f
��
Solução: 
 
.283.2)3('
82)('
082)('
98)('
98)('
)98()('
1112
2
2
2
� � 
� 
�� 
�� 
�� 
�� 
��
f
xxf
xxxf
dx
dx
dx
dx
dx
dxf
dx
dx
dx
dx
dx
dxf
xx
dx
dxf
([LVWHP�UHJUDV�SDUD�GHULYDU�GLYHUVRV�WLSRV�GH�IXQomR��FRPR�SRGH�VHU�YLVWR�QDV�)LJXUDV�����H������3RUWDQWR�QmR�GHL[H�GH�
SUDWLFDU�H�FRPSOHPHQWH�VHX�HVWXGR�VREUH�GHULYDGDV�
PORDENTRODOTEMA
��
)LJXUD�����±�5HJUDV�GH�GHULYDomR�±�IyUPXODV�JHUDLV��IXQo}HV�H[SRQHQFLDLV�H�ORJDUtWPLFDV�
)RQWH��6WHZDUW��������
 
PORDENTRODOTEMA
��
)LJXUD�����±�5HJUDV�GH�GHULYDomR�±�IXQo}HV�WULJRQRPpWULFDV�H�KLSHUEyOLFDV�
)RQWH��6WHZDUW��������
PORDENTRODOTEMA
��
Limites
‡� %RP�PDWHULDO�VREUH�R�HVWXGR�GDV�GHULYDGDV�
'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�XIUJV�EU�OPTD�DUTXLYRV�XSORDGV�/,0,7(6�H�'(5,9$'$6�SGI>��$FHVVR�HP����MXQ�������
Entendendo o que é a derivada
‡� 3iJLQD�TXH�FRQWpP�H[SOLFDo}HV�VREUH�DV�GHULYDGDV��7H[WR�FXUWR��PDV�EDVWDQWH�FODUR�
'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�DQGUHPDFKDGR�RUJ�DUWLJRV�����HQWHQGHQGR�R�TXH�H�D�GHULYDGD�KWPO>��$FHVVR�HP��
��MXQ�������
&iOFXOR�GD�GHULYDGD�SHOD�GH¿QLomR
‡� %RD�YLGHRDXOD�TXH�H[SOLFD�R�FiOFXOR�GD�GHULYDGD�SHOD�GH¿QLomR�
'LVSRQtYHO� HP�� �KWWS���HDXODV�XVS�EU�SRUWDO�YLGHR�DFWLRQ�MVHVVLRQLG &)��&$�����)��$%���(($(��('�
&����"LG,WHP ����!��$FHVVR�HP����MXQ�������
7HPSR��������
ACOMPANHENAWEB
��
Instruções:
$JRUD��FKHJRX�D�VXD�YH]�GH�H[HUFLWDU�VHX�DSUHQGL]DGR��$�VHJXLU��YRFr�HQFRQWUDUi�DOJXPDV�TXHVW}HV�GH�P~OWLSOD�
HVFROKD�H�GLVVHUWDWLYDV��/HLD�FXLGDGRVDPHQWH�RV�HQXQFLDGRV�H�DWHQWH�VH�SDUD�R�TXH�HVWi�VHQGR�SHGLGR�
AGORAÉASUAVEZ
Questão 1
&RQVLGHUDQGR�VHX�FRQKHFLPHQWR�DQWHULRU� VREUH� WD[D�GH� � YDULDomR�PpGLD�� FRQVLGHUH�TXH�D� IXQomR�FXVWR�SDUD�EHQH¿FLDU�XPD�
quantidade q�GH�WULJR�p�GDGD�SRU�&�T�� ��T���������VHQGR�&�GDGR�HP�UHDLV��5���H�q�GDGR�HP�WRQHODGDV��WRQ���'HWHUPLQH�D�WD[D�
GH�YDULDomR�PpGLD�GR�FXVWR�SDUD�R�LQWHUYDOR�GH���DWp���WRQHODGDV��(�LQGLTXH�TXDO�D�LQFOLQDomR�GD�UHWD�VHFDQWH�DVVRFLDGD�j�WD[D�
GH�YDULDomR�PpGLD�REWLGD�
Questão 2
$�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�GH�XPD�IXQomR�SURGXomR�3�[��QR�LQVWDQWH�WUrV�KRUDV�p����UHDLV�KRUD��4XDO�D�LQFOLQDomR�m da reta 
WDQJHQWH�D�HVVD�IXQomR�3�[��QR�SRQWR�[� ��"
a)�P� ���
b)�P� ���
c)�P� ����
d)�P� ����
e)�P� ����
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AGORAÉASUAVEZ
Questão 3
&ODVVL¿TXH�DV�VHJXLQWHV�D¿UPDo}HV�SRU�YHUGDGHLUD��9��RX�IDOVD��)���H�DVVLQDOH�D�DOWHUQDWLYD�TXH�FRUUHVSRQGH�j�VHTXrQFLD�FRUUHWD�
,�� $�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�FRQVWDQWH�p�]HUR�
,,�� $�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�QXP�SRQWR�p�D�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�QDTXHOH�SRQWR�
,,,��*HRPHWULFDPHQWH��D�GHULYDGD�SRGH�VHU�FRQVLGHUDGD�D�LQFOLQDomR�GD�FXUYD�RX�R�FRH¿FLHQWH�DQJXODU�GD�UHWD�VHFDQWH�TXH�SDVVD�
SHOR�SRQWR�
$OWHUQDWLYDV�
a)�9��)��9�
b)�)��)��9�
c)�)��9��)�
d)�9��9��)�
e)�9��9��9�
Questão 4
'HWHUPLQH�D�WD[D�GH�YDULDomR�LQVWDQWkQHD�SDUD�D�IXQomR�f(x�� ���x�����x������x�������TXDQGR�[� ���
Questão 5
&DOFXOH�DV�GHULYDGDV�GDV�IXQo}HV�D�VHJXLU�
a) y� �x����x
E��y� �x���������x����x����
��
$8/$�����&iOFXOR�,���7D[D�GH�9DULDomR��/&0$TXLQR��'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�\RXWXEH�FRP�ZDWFK"Y ��39J�PB�OV>��$FHVVR�
HP����MXQ��������7HPSR��������
+8*+(6�+$//(77��'HERUDK�HW�DO��Cálculo de uma variável����HG��5LR�GH�-DQHLUR��/7&��������3/7�����
0$&+$'2��$QGUp��0DWHPiWLFD�H�PDLV�XP�SRXFR� Entendendo o que é a derivada��'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�DQGUHPDFKDGR�RUJ�
DUWLJRV�����HQWHQGHQGR�R�TXH�H�D�GHULYDGD�KWPO>��$FHVVR�HP�����MXQ�������
0852/2��$IUkQLR�&DUORV��%21(772��*LiFRPR��Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade����HG��6mR�
3DXOR��&HQJDJH�/HDUQLQJ�������
67(:$57��-DPHV��Cálculo��9RO��,����(G��6mR�3DXOR��&HQJDJH�/HDUQLQJ�������
8)5*6��/DERUDWyULR�GH�0HWHRURORJLD�H�4XDOLGDGH�GR�$U��Limites e derivadas��'LVSRQtYHO�HP��<KWWS���ZZZ�XIUJV�EU�OPTD�
DUTXLYRV�XSORDGV�/,0,7(6�H�'(5,9$'$6�SGI>��$FHVVR�HP����MXQ�������
& & �� � "
REFERÊNCIAS
1HVWH� WHPD�� YRFr�HVWXGRX�VREUH�DV�GHULYDGDV��9LX�TXH�D�GHULYDGD�HP�XP�SRQWR�p� FRQVLGHUDGD� FRPR� WD[D�GH�
YDULDomR�LQVWDQWkQHD�H�JHRPHWULFDPHQWH�FRPR�D�LQFOLQDomR�GD�UHWD�WDQJHQWH�j�FXUYD�QR�SRQWR�GDGR��7DPEpP�HVWXGRX�
TXH�p�SRVVtYHO�HQFRQWUDU�D�GHULYDGD�GH�XPD�IXQomR�XVDQGR�UHJUDV�GH�GHULYDomR�TXH�YDOHP�SDUD�D�IXQomR�HP�WRGRV�RV�
SRQWRV�TXH�D�IXQomR�IRU�GHULYiYHO��RX�GLIHUHQFLiYHO��
2�/LYUR�7H[WR�GD�GLVFLSOLQD��+8*+(6�+$//(77��������DSUHVHQWD�XP�ERP�FRQWH~GR�VREUH�R�DVVXQWR��VHQGR�LPSRUWDQWH�
UHIHUrQFLD�SDUD�R�HVWXGR�H�FRQFUHWL]DomR�GR�DSUHQGL]DGR��$YDOLH�VHX�DSUHQGL]DGR�H�IDoD�DV�DWLYLGDGHV�SURSRVWDV�
1 r G E G L G 9L G L G p LG G G
FINALIZANDO
��
Diferenciável: uma função f�p�derivável (ou diferenciável��VH��SUy[LPR�GH�FDGD�SRQWR��a�GR�VHX�GRPtQLR��D�IXQomR�f(x��í�f(a) 
VH�FRPSRUWDU�DSUR[LPDGDPHQWH�FRPR�XPD�IXQomR�OLQHDU��RX�VHMD��VH�R�VHX�JUi¿FR�IRU�DSUR[LPDGDPHQWH�XPD�UHWD�
Estimar:�GHWHUPLQDU�R�YDORU�GH�XPD�FRLVD��DYDOLDU��FDOFXODU�
Coordenada:�HOHPHQWRV�TXH�VHUYHP�SDUD�GHWHUPLQDU�D�SRVLomR�GH�XP�SRQWR�VREUH�XPD�VXSHUItFLH�RX�QR�HVSDoR�HP�
UHODomR�D�XP�VLVWHPD�GH�UHIHUrQFLD��FRPR�H[HPSOR��RV�HL[RV�FDUWHVLDQRV��[�H�\��
Notação:�TXDOTXHU�VLVWHPD�GH�VtPERORV�H�DEUHYLDo}HV�TXH�DMXGD�DV�SHVVRDV�D�WUDEDOKDUHP�HP�XP�GHWHUPLQDGR�DVVXQWR��
2V�PDWHPiWLFRV�XVDP�D�QRWDomR�SDUD�VLPSOL¿FDU�LGHLDV�H�SUREOHPDV�
Série:�FRQMXQWR�GH�JUDQGH]DV�RUGHQDGDV�SRU�RUGHP�FUHVFHQWH�RX�GHFUHVFHQWH�Dif iá l f ã f p d i á l ( dif iá l� y L G G W G G t L I m f(f � f(f )
GLOSSÁRIO
Série:�FRQMXQWR�GH�JUDQGH]DV�RUGHQDGDV�SRU�RUGHP�FUHVFHQWH�RX�GHFUHVFHQWH�
GABARITO
Questão 1
Resposta: 
Taxa de variação média
 
R$/ton 21
5
105
5
3108
5
500-13-500363
V de Taxa
5
500)1(3-50063
16
C(1)C(6)
V de Taxa
m
22
m
 � ˜�˜ 
�˜�˜ �
� 
/RJR��HP�PpGLD��JDVWD�VH����UHDLV�SRU�WRQHODGD�GH�WULJR�SDUD�ID]HU�R�EHQH¿FLDPHQWR�
Inclinação da reta secante:�FRPR�REVHUYDGR�QD�WHRULD��D�LQFOLQDomR�GD�UHWD�VHFDQWH�QR�LQWHUYDOR�GH���DWp���WRQHODGDV�p�
R�SUySULR�YDORU�GD�WD[D�GH�YDULDomR�PpGLD��RX�VHMD���P�VHFDQWH� ����
��
Questão 2
Resposta: $OWHUQDWLYD�(�
Questão 3
Resposta: $OWHUQDWLYD�'�
Questão 4
Resposta: A derivada f(x��p�f '(x�� ���x����x���
3DUD�x� ����f '���� ��� ˜������� ˜������Ÿ f ˜���� ��� ˜���������Ÿ f '(2) = 174.
Questão 5
Resposta:
a)
E�

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