Lista de limites 01

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1 
 
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial 
CURSO: Engenharias SEMESTRE: 1º 
 PERÍODO LETIVO: 2012.2 
PROFESSOR: Cleber Costa Jr 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
II Parte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
PARTE III 
I) LIMITES E CONTINUIDADE 
 
1) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos 
pontos onde estas funções mudam de sentenças. 
 
a) 






 x1 se ; 12x
1 xse ;x
 f(x)
2 
 
 
b) 







 x 0 se ;x
0 xse ;x
 f(x)
2 
c) 









1 x se ;x 1
2 xse ; 1
2 x e 1 xse ; 1x
 f(x)
2
 d) 












5 x 1 se ;1x
1 x se ;
x 1 se ; 1x
1x se ; 1x
 ) f(x
2
2
1
 
e) 













x1 se ;
x
1
1 x 0 se ;x2
0 x2 se ;x
2 x se ; 2
 f(x)
2
 
 
 
 2) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0. 
a) 









 0 x se ;2
0 xse 2;
0 xse ; 2
 f(x)
x
x
 b) 









 0 x se ;x ln
0x se ;
0x se ;x
 f(x) 2 c) 







0 xse ;x log
0 xse ;e
 f(x)
2
1x 
 
 3 ) 
 
 x 1 se ; 
x
1
1 x 0 se ;2x 
0x2 se ;x
2 x se ; 2
)x(f função da gráfico o Esboce 
2













e determine: 
 
a) 
)x(f lim
2 x 
; 
)x(f lim
2 x 
; f (– 2); b) 
)x(f lim
0 x 
; 
)x(f lim
0 x 
; f (0); c) 
)x(f lim
1 x 
;
)x(f lim
1 x 
; f (1) 
 
d) Com base nos resultados anteriores, verifique se a função acima é contínua nos pontos 
estudados. 
 
4) a) Considere a função 









 3 xse ;3x3
3 x se ;3n 
3 x se ; 1mx
)x(f
2
 Encontre as constantes m, n de modo 
que: 
 
 a1) Exista 
 xf
x
 lim
3
 a 2) f seja contínua em x = – 3 
 4 
b) Determine, se possível, as constantes reais a e b de modo que f seja contínua em 
ox
, em 
cada caso a seguir: 
b1) 
   1x 
1x se ;2x
1x se ;,2ax3
xf o
2







 
b2) 
   2x 
2x se ;bx
2x se ;ax
2x se ;3x3
xf o
2










 
II) Resolução de Limites 
 
1 ) Calcule os seguintes limites 
a) 
x2x
4x
 lim
2
2
2x 


 b) 
1x
1x2x
 lim
3
2
1x 


 c) 
4t4t3
4t
 lim
2
2
2t 


 
 
d) 
1
lim
x
 
1x3x2
2xx4x3
23
23


 e) 
x
16)x4(
lim
2
0x


 f) 
 
3x8x
9x6x
lim
3
3
3x 


 
g) 
1x8
2x3x2
 lim
3
2
21x 


 h) 
2x
8x
 lim
3
2x 


 i) 
3
2
2
2x 2x5x3
4x
 lim



 
j) 
 
2
16
lim
2
4 

 x
x
x
 k) 
 
x
2 2x
lim
0x


 l) 
1
1
 lim
1 

 x
x
x
 
m) 
23
2
x x9x3
25x2x4
m i l



 n) 
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x 


 o) 
2x3x2x4
4x5x2
 m i l
23
23
 x 


 
p) 
3x2x4
2x5
 m i l
23
2
 x 


 q) 
3x3x
1x2x
 m i l
24
25
 x 


 r) 
2x4
1xx2
 m i l
2
2
 - x 


 
s) 
3x3x
1x2x
 x
24
25
 e m i l 


 
t) 
)x x3x(lim 2
x


 u) 
)x2xcos(lim
x


 
 
 
2) Calcule os seguintes limites, observando os valores dos limites laterais, quando for o caso. 
a) 
senx
1x
 lim
2
0x


 b) 
2
0x x
1x
 lim


 c) 
 2
2
5x 5x
3x2
 lim



 d) 
4x5x
5x
 lim
21x 


 
e) 
4x
4x5
 lim
22x 


 f) 
x
x3cos
 lim
0x
 g) 
x
x3cos
 lim
0x
 h) 
3x
11x3
 lim
3x 


 
 
 
3) Justifique porque os limites a seguir são iguais a 0. 
 
a) 
x
senx
 lim
x 
 
b) 
 x1 x.senlim
0x
 
c) 
xcos.
x31
x52
 lim
5
3
x 


 
 
 
 
 
 
 
 5 
Respostas 
I) 1) Gráficos 
 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 e) 
 
 
1)a)
1)x(flim
1x


, 
3)x(flim
1x


 b)
2)(lim
1


xf
x
 ,
2)(lim
1


xf
x
, 
0)(lim
1


xf
x
, 
0)(lim
1


xf
x
 e 
2)(lim
5


xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
2) Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) a) 
1)(lim
0


xf
x
, 
1)(lim
0


xf
x
, 
1)(lim
0


xf
x
 e f(0) = 2 ( f é descontínua em x = 0) 
b) 
0)(lim
0


xf
x
, 


)(lim
0
xf
x
, não existe 
)(lim
0
xf
x
 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0) 
c) 
...78281,2)(lim
0


exf
x
, 


)(lim
0
xf
x
, não existe 
)(lim
0
xf
x
 e f(0) = e 
(f é descontínua em x = 0) 
 
3)a) 
2)(lim
2


xf
x
, 
4)(lim
2


xf
x
, não existe 
 
)(lim
2
xf
x 
 e f(–2) = 4 
b) 
0)(lim
0


xf
x
, 
0)(lim
0


xf
x
, 
0)(lim
0


xf
x
 e f(0) = 0 
c) 
2)(lim
1


xf
x
, 
1)(lim
1


xf
x
, 
não existe 
)(lim
1
xf
x
 e f(1) = 2 
d) f é descontínua em x = – 2 e em x = 1 e contínua em x = 0 
 
4) a) (a1) m = 
9
13
 e n qualquer (a2) m = 
9
13
 e n = 4b) (b1) a = – 1 (b2) a = 
2
3
 e b = – 1 
 
II) 
1) a) 2; b) 0; c) 1/2; d) 5/3; e) 8; f) 21/19; g) 5/6; h) 12 i) 
3 7/4
; j) 32; k) 
4/2
; l) 1/2 
m) 0; n) 3/4 ; o) 1/2 ; p) 0; q) – ; r) 
2
2 ; s) 0; t) 3/2; u) 1 ; 
 
2) a) O limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à direita é + ; b) – ; c) + ; d) O limite 
não existe: o lateral à esquerda é +  e à direita é – ; e) O limite não existe: o lateral à 
esquerda é –  e à direita é + ; f) O limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à direita é + 
; g) +  ; h) –  . 
 
 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
 7 
1ª Lista de Exercícios – 2012 
 (limites no infinito, limites infinitos e limites fundamentais) 
 
 
Limites NO infinito: Às vezes é importante saber o comportamento futuro de uma função, e também o 
seu passado. Matematicamente isso se expressa pela seguinte sentença: quando x     f(x)  ? 
Exemplos desse tipo são: 
0
x
1x2
 m i l
2 x



, 


 x2
4x3
 m i l
2
 x
 e 
4
3
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x




. 
 
Visualização de limites no infinito: Quando x ∞, os valores de algumas funções se aproximam de um certo 
valor L. Dizemos neste caso que 
L(x)f lim
x


. 
9) (Visualização de limites) Dê o valor dos seguintes limites: 
 
 
 
......(x)f lim
x


 
......(x)f lim
x


 
 
 
 
.....(x)g lim
x


 
 
.....(x)g lim
x


 
 
 
.....(x)h lim
x


 
 
.....(x)h lim
x


 
 
  







x
y
y = 2
x x
y






x
y
y=3











x
y
 8 
 
 
 Cálculo de limites no infinito: O cálculo de limites no infinito utiliza como base alguns limites básicos, que se 
encontram mencionados abaixo: 
 
O gráfico acima mostra pontos x cada vez maiores e suas imagens 
f(x)/=1/x cada vez mais próximas de zero. 
Limites básicos: Como se vê 
no gráfico ao lado, a função 
f(x)=1/x tem limite zero quando 
x  +∞. 
De modo análogo, temos: 
0
x
3
 m i l
 x


, 
0
x
1
 m i l
2 x


 
0
x
5
 m i l
2 x


, 
0
x
1
 m i l
3 x


. 
Por outro lado, 
1)1
x
1
( m i l
x
x1
 m i l
 x x



. 
 
10) Considerando os resultados acima, calcule o valor dos seguintes limites no infinito: 
a) 
x
1x2
 m i l
 x


 b) 
x2
3x
 m i l
- x


 c) 
2 x x
4x3m i l


 d)
3
3
- x x2
1x2x4
 m i l



 e) 
4
3
- x x2
1x2x4
 m i l


 
 
Respostas: 
 
a) 
x
1
x
x2
x
1x2
 queUse 

 ; b) 1/2 ; c) zero ; d) -2; e) 0 
 
 
 
11) Determine o valor dos seguintes limites: 
 
a) 
3x2
1x6
 m i l
 x 


 b)
1x4
4x5x3
 m i l
2
2
 x 


 c)
2x93x3
25x22x4
x
m i l



 d) 
1x3x2
4x5x4
 m i l
2
2
 x 


 
 
e) 
3x3x
1x2x
 m i l
24
25
 x 


 f)
)x x6x(lim 2
x


 g)
)x2xcos(lim
x


 h) 
32x3x
12x23x2
 x
 e m i l 


 
 
Respostas: 
x
y
y = 1/x
x x x
V ( x ) = ( 1 2 – 2 x )
2
. x 
x
y
y = (2x+1)/x
x xx
y=2
x
V ( x ) = ( 1 2 – 2 x )
2
. x 
 9 
a) 3 ; b) 3/4 ; c) zero ; d) 
2
; e) +∞ ; f) 3 ; g) 1 ; h) e
2
 
 
 
 
 
 
Limites Infinitos: As figuras abaixo mostram o comportamento de uma função y=f(x) próximo do ponto x=3. 
Como f(3) não existe, só podemos dizer o seguinte: 
a) Quando x  3 pela esquerda, os valores f(x)  -∞, ou seja, 


(x)f lim
3x
 
b) Quando x  3 pela direita, os valores f(x) +∞, ou seja, 


(x)f lim
3x
 
 
Neste caso temos


(x)f lim
3x
 
Neste caso temos


(x)f lim
3x
 
 
12) (Visualização de limites infinitos) A função cujo gráfico é mostrado abaixo tem domínio D(f)=IR-{-2, 
2,4}. Determine os limites laterais de f(x) nos pontos x=-2, x=2 e x=4. 
     






x
y
y = 2x/(x-3)
x
y
x
    





x
y
y = 2x/(x-3)
x
x=3
 10 
 


(x)f lim
2x
 


(x)f lim
2x
 
 
 


(x)f lim
2x
 


(x)f lim
2x
 
 
 


(x)f lim
4x
 


(x)f lim
4x
 
 
 
 
 
13) Calcule os seguintes limites, observando os valores dos limites laterais, quando for o caso. 
 
a) 
2x
1x
 
0x
lim


 b) 
 25x
32x2
 
5x
lim



 c) 
senx
12x
 
0x
lim


 d) 
4x
4x5
 lim
22x 


 
e) 
4x52x
5x
 
1x
lim



 f) 
x
x3cos
 
0x
lim

 g) 
x
x3cos
 
0x
lim

 h) 
3x
11x3
 
3x
lim



 
 
 
Respostas: 
 
a) – ; b) + ; 
c) Os limites laterais não coincidem, logo, o limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à direita é + ; 
d) O limite não existe: o lateral à esquerda é -  e à direita é + ; 
e) O limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à direita é + ; 
f) O limite não existe: o lateral à esquerda é –  e à direita é + ; 
g) +  ; h) –  
 
 
Observe no gráfico ao lado o sinal de uma função 
quadrática. 
Quando a>0, o sinal da função y=ax2+bx+c é 
negativo entre as raízes, e é positivo fora das 
raízes. 
 
            






x
y
x=-2
x=4x=2
x
y
y = x^2-4
+ + + + + + 
- - -
 11 
 Limites Fundamentais: Para x=0, temos que sen(0)=0. Isto significa que 
 
0
0
 
x
)x(sen
lim
0x


, que é 
uma indeterminação. Este limite é fundamental em Matemática é o resultado desse limite é 1, ou seja, 
 1 
x
)x(sen
lim
0x


. 
 
 
O gráfico acima mostra que quando x  0, os valores senx/x  1 
 
14) Usando que 
 1 
x
)x(sen
lim
0x


, determine: 
a) 
 
xcosx
)x(sen
lim
0x
 b) 
 
x
)x3(sen
lim
0x
 c)
 
xcosx
)x5(sen
lim
0x
 
d) 
 
x
)x4(tg
lim
0x
 e)
x
xcos1
 lim
0x


 f) 
20x x
xcos1
 lim


 
Respostas: 
a) 1 ; b) 3 ; c) 5 ; d) 4; e) 0 ; f) 1/2 
 
 
 
       





x
y
y = sin(x)/x
x
y