Notas_de_Aulas___1__Unidade

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Funções de Várias Variáveis 
Aula 01 – Cálculo Vetorial 
Professor: Éwerton Veríssimo 
Introdução 
• Cálculo Vetorial 
– Estuda-se funções de várias variáveis e campos 
vetoriais, ou seja: 
mn RRf :
Funções de Duas Variáveis 
• Regra ou lei matemática que associa duas 
variáveis independentes a uma variável 
dependente. 
– Exemplo: 
• Volume de um cone 
 
• Índice de Massa Corporal 
 
• Volume de um cilindro circular 
 
 
 
 
 
hrhrV 2),( 
Funções de Duas Variáveis 
 
Definição: Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). 
Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) 
 D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é 
o domínio da função. 
Assim, 
D é o domínio da função em R2, 
f é a função 
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). 
Exemplos de valores de função de 2 variáveis: 
Ex1: se f(x, y) = x
2 + 2y, então f(2, 3) = 22 + 2.3 = 10 
Ex2: f(x, y) = (3x + y
3)1/2, então f(1, 2) = (3.1 + 23)1/2 = 3,32 
Função de Duas Variáveis 
 Domínio das funções de duas variáveis 
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de 
funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D  R2, tal 
que os valores calculados da função, para todo (x,y)  D resultem 
em valores finitos e reais para f(x,y). 
A função é finita quando 2x – y ≠ 0. 
Assim, domínio D  (x, y) é o conjunto de 
pontos, tais que, D = {(x, y)  R2 / y ≠ 2x }. 
Função de Duas Variáveis 
1
01
22
22


yx
yx
O domínio da função corresponde a 
todos os pontos exteriores ao círculo 
de raio unitário. 
D(f) = {(x, y)  R2 / x²+y² >1 }. 
Função de Duas Variáveis 
xy
xy

 0
O domínio da função corresponde a 
todos os pontos acima da reta y=x 
D(f) = {(x, y)  R2 / y >x }. 
Função de Duas Variáveis 
• Domínio e Imagem de Funções de Duas 
Variáveis. 
Funções de Três Variáveis 
 
 
 
 
 
 
V
nRT
P 
Definição: Seja D um subconjunto (região) do espaço R³. Chama-se 
função f de D toda relação que associa, a cada tripla ordenada 
(x,y,z)  D, um único número real, representado por f(x,y,z). O 
conjunto D é o domínio da função. 
Assim, 
D é o domínio da função em R3, 
f é a função 
f(x,y,z) é o valor da função calculado em 
(x,y,z). 
Exemplo: Pressão de um gás 
Funções de Três ou 
mais Variáveis 
• Domínio de Funções de Três Variáveis 
– Exemplo: Determinar o domínio da função 
yxxz
senxyzx
zyxf
²279
2
),,(
2



 0²279/),,( 3  yxxzzyxDm
 
Funções de Três ou 
mais Variáveis 
 • Domínio e Imagem de Funções de Três 
Variáveis. 
 
Exercício 
1. Determine uma função de várias variáveis 
que nos informe: 
a. O comprimento de uma escada apoiada em uma 
parede 
b. O volume de água necessário para encher uma 
piscina redonda de x metros de raio e y metros 
de altura. 
c. A quantidade de rodapé, em metros, necessária 
para se colocar numa sala retangular de largura a 
e comprimento b. 
Exercício 
2. Determine o domínio das funções e 
represente geometricamente. 
 
a. 
xyz 
b. 
1²²  yxz
c. 
 ²²4ln yxz 
d. 
yx
z


4
e. 
²²²9
1
zyx
w


Exercício 
3. Determine o domínio e imagem das funções 
 
a. 
452),(  yxyxf
b. 
²²²),,( zyxzyxf 
c. 
²²4),( yxyxf 
Representação Geométrica 
• Gráficos e Curvas de Nível 
– Existem duas maneiras-padrão para visualizar os 
valores de uma função . 
• Identificar curvas no domínio nas quais f tem um valor 
constante, 
• Esboçar a superfície no espaço 
 
 
kyxf ),(
),( yxfz 
),( yxf
3R
Representação Geométrica 
 
x 
y 
z 
(x,y) 
z = f(x,y) 
Uma f(x, y) é representada por planos ou 
superfícies no espaço 
Uma função de 2 variáveis sempre gera 
uma superfície no espaço R3 e z=f(x,y). 
Representação Geométrica 
 
Ex1: A função é z = f(x, y) = 5 
A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando 
por z = 5. 
Representação Geométrica 
 Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y. 
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de 
um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só 
fazer : 
a) x = 0 e y = 0 → z = 6 
b) x = 0 e z = 0 → y = 2 
c) y = 0 e z = 0 → x = 3 
Representação Geométrica 
 Ex3: A função é 
 z = f(x, y) = x2 + y2 
Ex4: A função é 
 z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2 
Curvas de Nível 
• Curvas de Nível 
 Definição: Se a superfície z=f(x,y) for cortada pelo plano horizontal 
z=k, então todos os pontos da interseção tem f(x,y)=k. A projeção 
desta interseção sobre o plano xy é denominada curva de nível de 
altura k. 
Representação Geométrica 
 
Representação Geométrica 
• Exemplos de Curva de Nível 
²²),( yxyxf 
Representação Geométrica 
• Exemplos de Curva de Nível 
²²),( yxyxf 
Representação Geométrica 
• Exemplos de Curva de Nível 
 
²²),( xyyxf 
Representação Geométrica 
• Aplicação das Curva de Nível 
 z = f(x,y) = altura em relação ao nível do mar (definida em uma pequena porção 
aproximadamente plana). 
Nossas curvas de nível correspondem às linhas de contorno topográfico. 
Exercício 
4. Desenhar as curvas de nível para as funções. 
a. 
b. 
 ²²2),( yxyxf 
²4²2),( yxyxf 
1,0,1k
32,8,2k
c. 
²²),( yxyxf 
4,2,1,0k
Representação Geométrica 
• Gráficos e Superfícies de Nível 
– Em geral, usa-se o conceito de superfícies de nível, 
que generaliza a noção de curvas de nível, para 
visualizar uma função de três variáveis. 
 
Superfícies de Nível 
• Superfícies de Nível 
Definição: Conjunto de pontos (x,y,z) no espaço onde uma função 
de três variáveis independentes tem um valor constante, 
f(x,y,z)=k . 
 
Representação Geométrica 
• Superfícies Quádricas 
– Definição: superfícies dadas por equações do 2º 
grau a três variáveis, onde um dos coeficientes A, 
B, C , D, E ou F é diferente de zero. 
Representação Geométrica 
• Superfícies Quádricas: Elipsóide 
– O elipsóide de maneira mais geral é representado 
pela equação 
1
²
²
²
²
²
²

c
z
b
y
a
x
Representação Geométrica 
• No caso em que os denominadores da equação 
da elipsóide são iguais, temos a equação que 
representa uma superfície esférica: 
1
²
²
²
²
²
²

a
z
a
y
a
x
²²²² azyx 
Representação Geométrica 
• Superfícies Quádricas: Parabolóide Elíptico 
– Um parabolóide mais geral, denominado 
parabolóide elíptico, é representado pela 
equação: 
²
²
²
²
b
y
a
x
z 
Representação Geométrica 
• Superfícies Quádricas: Parabolóide 
Hiperbólico 
– Superfície representada por uma equação do tipo: 
 
²
²
²
²
a
x
b
y
z 
Representação Geométrica 
• Superfícies Quádricas: Hiperbolóide de uma 
Folha 
– Um hiperbolóide de uma folha de maneira mais geral 
é representado pela equação: 
1
²
²
²
²
²
²

c
z
b
y
a
x
Representação Geométrica 
• Superfícies Quádricas: Hiperbolóide de duas 
Folhas 
– Um hiperbolóide de duas folha de maneira mais geral 
é representado pela equação: 
 
1
²
²
²
²
²
²

c
z
b
y
a
x
Representação Geométrica 
• Superfícies Cônicas 
– Uma superfície cônica elíptica é representada pela 
equação: 
²
²
²
²
²
b
y
a
x
z 
RepresentaçãoGeométrica 
• Superfícies Cilíndricas 
– Superfície gerada por uma reta g(geratriz) que se 
move paralelamente à reta fixa r em contato 
permanente com a curva plana C (diretriz). 
Representação Geométrica 
• Superfícies Cilindricas 
– A superfície de um cilindro pode variar conforme a 
diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole 
ou parábola. 
• Ex: Cilindro Elíptico 
1
9
²
4
²

zx
Representação Geométrica 
• Superfícies Cilíndricas 
– A ausência de uma variável permite concluir que o 
gráfico em três dimensões corresponde a uma 
superfície cilíndrica. 
Exercício 
5. Elabore uma superfície de nível. 
a. 
b. 
c. 
²2²2²2),,( zyxzyxf 
16
²
9
²
4
²
),,(
zyx
zyxf 
9
²
4
²
4
²
),,(
zyx
zyxg 
Limite e Continuidade de 
Funções de Várias Variáveis 
Aula 02 – Cálculo Vetorial 
Professor: Éwerton Veríssimo 
Limite 
 Definição: Diz-se que f(x,y) tende para um valor 
definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se 
aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver 
de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L. 
Lyxf
ou
Lyxf
yxyx
yy
xx
o
o
o





),(lim
 
),(lim
),(),( 0
Limite 
 
Propriedades 
Lyxfyxf  ),(lim),(lim
Limite 
• Calculando Limites 
8
3
)³2()2)(0(5)2)²(0(
3)2)(0(0
³5²
3
lim )2,0(),( 






yxyyx
xyx
yx
8³0³4³³lim )0,4(),(  yxyx
Limite 
• Calculando Limites Indeterminados 
0
0
00
00
lim
2222
)0,0(),( 






yx
yx
yx
yx
yxyx
yx



))((
lim )0,0(),(
0lim )0,0(),(  yxyx
Limite 
• Teste dos Dois Caminhos – Não existência de 
um limite 
– Deverá ser usada quando ocorrer uma 
indeterminação para verificar a não-existência de 
um limite. 
– Existem infinitos caminhos para se aproximar de 
um ponto no plano. 
– Uma função não terá limite quando houver uma 
aproximação por caminhos diferentes e o 
resultado dos limites forem divergentes. 
 00 , yx
Limite 
• Teste dos Dois Caminhos – Não existência de um 
limite 
 
Definição: Se , quando ao longo do 
caminho C1 e quando ao longo do 
Caminho C2, com , então não existe. 
Limite 
• Regra dos Dois Caminhos 
• Mostrar que não existe. 
 
• Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação 
22
22
lim
yx
yx


Limite 
 • Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x 
e pela reta y = x (“dois caminhos”). 
 
• (1º caminho) 
 
• (2º caminho) 
0lim
1
0
0
lim
22
22
0
22
22
0
0










yy
yy
x
x
xy
x
y
x
Os limites são 
diferentes, logo 
não há o limite. 
y 
x 
z 
1°caminho 
Exercício 
1. Calcule os limites das funções 
a. 
b. 
c. 
senyx
ee yx
yx



cos
lim )0,0(),(
 
 2
44
)0,0(),(
1²
1
lim



yx
yx
yx
3
)4,0(),( 2³lim yxyyx 
Exercício 
2. Calcular os limites envolvendo 
indeterminações. 
a. 
xxy
x
yx



33
lim )0,0(),(
b. 
yx
yxyx
yx



²2²
lim )1,1(),(
c. 
yx
yx
yx



²²
lim )1,1(),(
Exercício 
3. Mostre que os limites seguintes não existem. 
a. 
b. 
c. 
²
lim
4
24
)0,0(),(
yx
yx
yx



²
lim
4
4
)0,0(),(
yx
x
yx


²²
lim )0,0(),(
yx
x
yx


Continuidade 
• Uma função será contínua em um ponto A se 
e somente se as seguintes condições forem 
satisfeitas. 
Continuidade 
• Exemplo 1: 
1
01
22
22


yx
yx
1²²
),(


yx
y
yxf
Continuidade 
• Exemplo 2: 
xy
xy

 0
)ln(),( xyyxf 
Continuidade 
• Exemplo: Determine se f é contínua em (0,0) 
se 





0
²²),( yx
xy
yxf
Continuidade 
Observe que: 
0)0,0()( fi
²²
lim)(
)0,0(),( yx
xy
ii
yx 
Não existe o limite de f(x,y) 
Logo, a função f(x,y) é descontínua no ponto (0,0). 
Exercício 
4. Determine todos os pontos em que a função 
é contínua. 
a. 
b. 
c. 
yx
yyx
yxf



2
²3²4
),(
²)²25ln(),( yxyxf 
z
xysenzyxf
1
),,( 
Exercício 
5. Verificar a continuidade das funções nos 
pontos indicados. 
a. 
b. 


 

1
,23
),(
yx
yxf








,0
,
²²
²²
),( yx
yx
yxf
P(0,0) 
P(0,0) 
Derivadas Parciais 
Aula 03 – Cálculo Vetorial 
Professor: Éwerton Veríssimo 
Derivadas Parciais 
• Quando fixamos todas as variáveis 
independentes de uma função, exceto uma, e 
derivamos em relação a essa variável, 
obtemos uma derivada parcial. 
Derivadas Parciais 
• Nomenclatura 
Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em 
relação a x escreve-se: 
xx D
x
f
yxf 


),(
Derivadas Parciais 
• Nomenclatura 
Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em 
relação a y escreve-se: 
yy D
y
f
yxf 


),(
Derivadas Parciais 
 
Exercício 
1. Calcule as derivadas parciais de primeira 
ordem. 
a. 
c. 
b. 
d. 
10),( 22  yxyxf
352),(  yxyxf
xyyxyxf 3²),( 
yxeyxf ²),( 
Exercício 
2. Calcule as derivadas parciais 
a. 
c. 
b. 
d. 
 232),( yxyxf 
  21),( 2  yxyxf
 yxsenyxf 3²),( 
 xyyyxf ln),( 
Exercício 
3. Calcule as derivadas parciais das funções. 
a. 
c. 
b. 
d. 
 222),,( zyxezyxf 
 zyxtgzyxf 32),,( 
²²),,( zyxzyxf 
²²
²
),(
yx
yx
yxf


Derivadas Parciais 
• Exemplo: 
Derivadas Parciais 
• Exemplo: 
Derivadas Parciais 
 
Derivadas Parciais 
• Interpretação Geométrica 
 Derivada parcial em x, significa a inclinação da reta que 
toca a superfície z = f(xo,yo), em um ponto desta superfície 
e de um plano vertical paralelo aos eixos z e x, de 
abscissa yo. 
Derivadas Parciais 
• Interpretação Geométrica 
 Derivada parcial em y, significa a inclinação da reta que 
toca a superfície z = f(xo,yo), em um ponto desta superfície 
e de um plano vertical paralelo aos eixos z e y, de 
ordenada xo. 
Derivadas Parciais 
• Derivada Parcial em relação a x. 
 
 
 
• Derivada Parcial em relação a y. 
x
yxfyxxf
yxf xx


 
),(),(
lim),( 00000
y
yxfyyxf
yxf yy


 
),(),(
lim),( 00000
Derivadas Parciais de Ordem 
 Superior 
• Quando derivamos uma função f(x,y) duas 
vezes, produzimos suas derivadas de segunda 
ordem. 
• Nomenclatura: 
2
2
x
f
f xx



2
2
y
f
f yy



yx
f
f xy



2
xy
f
f yx



2
Derivadas Parciais de Ordem 
 Superior 
• Teorema das Derivadas Mistas 
– Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de 
(x0,y0) e é tal que as derivadas 
 existem e são contínuas nessa vizinhança, então: 
 
 
xy
f
e
yx
f
y
f
x
f







 22
,,
xy
f
yx
f




 22
yxxy ff 
Ou Ainda: 
Exercício 
4. Encontre as derivadas parciais de segunda 
ordem das funções. 
a. 
c. 
b. 
xyyxyxf ),(
senxyyxf ),(
ysenxyyxyxf  cos²),(
Exercício 
5. Verifique que 
yxxyff 
a. 
b. 
)32ln(),( yxyxf 
43322),( yxyxxyyxf 
Derivadas Parciais 
• Exemplo: 
Equação de Laplace 
• A equação de Laplace é aplicada em áreas 
como trasnferência de calor, gravidade e 
eletrostática. 
• Equação de Laplace Tridimensional 
0
2
2
2
2
2
2









z
f
y
f
x
f
Regra da Cadeia 
• Para funções de várias variáveis, utilizaremos a 
regra da cadeia para determinar as derivadas 
parciais de funções compostas. 
 
 
Regra da Cadeia 
²92 2 te t 
Vetor Gradiente 
• O vetor gradiente de f(x,y) no ponto 
é o vetor 
 
 
 
Obtido por meio do cálculo das derivadas 
parciais de f em 
j
y
f
i
x
f
f






)( 0,00 yxP
0P
Vetor Gradiente 
• Convenciona-se representar o vetor com origem no 
ponto em relação ao qual se calcula o gradiente. 
Vetor Gradiente 
• O vetor gradiente é ortogonal ao vetor tangente à 
curva. Portanto , o gradiente de uma função f(x,y) no 
ponto é ortogonal à curva de nível da função 
que passa por esse ponto. 
)( 0,00 yxP
Derivada Direcional 
Aula 04 – Cálculo Vetorial 
Professor: Éwerton Veríssimo 
Derivada Direcional 
• Determina a taxa de variação em uma direção 
qualquer. 
Derivada Direcional 
Notação: A derivada de f em na direção de u 
0P
Derivada Direcional 
• Gradiente e Vetor unitário 
Derivada Direcional 
• Derivada Direcional e Vetor Gradiente 
– A derivada direcional consiste no produto escalar 
do vetor gradiente por um vetor unitário em uma 
determinada direção. 
Interpretação Geométrica 
 
Superfície S: 
Reta tangente 
Derivada Direcional 
• Gradiente e Reta Tangente à Curva de Nível 
– Em todo ponto no domínio de uma função 
diferenciável f(x,y), o gradiente de f é normal à 
curva de nível por . 
 00 , yx
 00 , yx
Derivada Direcional 
• Em qual sentido e direção um pássaro deverá 
deslocar-se a fim de resfriar-se o mais rápido 
possível? 
Derivada Direcional 
• Propriedades da Derivada Direcional 
 
Derivada Direcional 
• Propriedades Algébricas do Vetor Gradiente 
Derivada Direcional 
• Plano Tangente e Reta Normal 
 
– O plano tangente no ponto na 
superfície de nível f(x,y,z)=c é o plano que passa 
por e é normal à 
Definição: 
         0000000  zzPfyyPfxxPf zyx
),,( 0000 zyxP
0P
Derivada Direcional 
• Plano Tangente e Reta Normal 
 
– A reta normal no ponto na superfície 
de nível f(x,y,z)=c é a reta que passa por e tem 
o gradiente como vetor diretor. 
Definição: 
 
 
 tPfzz
tPfyy
tPfxx
z
y
x
0
0
0



),,( 0000 zyxP
0P
Derivada Direcional 
   kjikyjxif P  4222| 4,2,10
O plano tangente é, portanto, 
0)4()2(4)1(2  zyx
1442  zyx
Derivada Direcional 
 A reta normal à superfície no ponto dado é: 








tz
ty
tx
4
42
21
Derivada Direcional 
• Plano Tangente à uma Superfície z=f(x,y) 
O plano tangente à uma superfície z=f(x,y) de uma 
função diferenciável f no ponto 
é: 
 
   ),(,,,, 00000000 yxfyxzyxP 
Derivada Direcional 
    11.01cos0,0  xx yeyf
    1100,0  xy exsenyf
O plano tangente é, portanto: 
      000.10.1  zyx
0 zyx
Exercícios 
1. Determine as equações para o plano 
tangente e reta normal no ponto P na 
superfície dada. 
a. 
)3,1,1(,7²²2²),(  Pzyxyxyxf
b. 
)2,1,0(,4²cos),( Pyzeyxxyxf xz  
Exercícios 
2. Determine a derivada direcional da função 
em P na direção de a. 
a. 
b. 
²²2),( yxyxf 
a=3i-4j; P(-1,1) 
zxyzxyzyxf ),,(
a=3i+6j-2k; P(1,-1,2) 
c. 
zxexyzyxf yz lncos),,( 
a=i+2j+2k; P(1,0,1/2) 
Exercício 
3. Em que direção e sentido a função dada 
cresce mais rapidamente no ponto dado? Em 
que direção e sentido decresce mais 
rapidamente? 
a. 
b. 
²²),( yxyxyxf 
 em P(-1,1) 
senyeyxyxf xy ²),(
em P(1,0) 
Exercício 
4. Em que direção a derivada de f(x,y)= xy+y² 
em P(3,2) é igual a zero?