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Lista de exercicios sobre Espaços Vetoriais

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Universidade E. de Feira de Santana 
Departamento de Ciências Exatas 
Área de Matemática 
Engenharia da Computação 
 
Lista de Exercícios de EXA703 – Álgebra Linear I 
Profª. Jany S S Goulart 
Espaços Vetoriais Reais 
 
 
1. Verifique se os conjuntos abaixo, com operações usuais são subespaços vetoriais do 
espaço em que estão inseridos. 
 
 (a) 
2
1
}02|),{( RyxyxW 
 (b) 
22
2
}0|),{( RyxyxW 
 
 (c) 
2
3
}1|),{( RyxyxW 
 (d) 
)(2;0|
221
RMtyxz
ty
zx
V
x














 
 (e) 
)(,|
20
0
322
RMRca
caa
ca
V
x















 (f) 
  )(3|
2
2
RPabcbxaxS 
 
 (g) 
 
3
1
023|),,( RzyxzyxU 
 
 (h) O conjunto formado pelas matrizes diagonais de ordem n. 
 
 
2. Sejam 
)2,3,2( u
 e 
)4,2,1(v
 em 3
R
. 
 
(a) Escrever o vetor 
)2,11,7( w
 como combinação linear de u e v; R.: w = 3u – v. 
(b) Para que valor de k, o vetor 
),14,8( kn 
 é combinação linear de u e v? R.: k = 12 
(c) Determine uma relação entre a, b e c para que o vetor 
),,( cbaq 
 seja combinação 
linear de u e v. 
 
3. Sejam 
12
2
 ttp
, 
2 tq
 e 
ttr 
2
2
 vetores do espaço 
)(
2
RP
. 
 
(a) Verifique se o vetor 
755
2
 ttu
pode ser escrito como combinação linear de p e q. 
(b) Escrever o vetor 
755
2
 ttu
 como combinação linear de p, q e r. 
(c) Determinar uma condição sobre a, b e c para que o vetor 
cbtatv 
2
 seja 
combinação linear de q e r. 
(d) É possível escrever p como combinação linear de q e r (use o item (c))? 
 
4. Escreva um vetor arbitrário u=(a,b,c) de 3
R
 como combinação linear dos vetores 
p=(1,1,0), q=(0,-1,1) e n=(1,0,1). 
 
5. Seja S o subespaço vetorial de 4
R
: 
}0;02|),,,{(  tzyxtzyxS
. Verifique se 
os vetores 
),,,( 0321u
, 
),,,( 0413v
 e 
),,,( 1111w
 pertencem a S. 
 
6. Seja S o subespaço vetorial de 
)(
2
RM
, 














 Rba
bba
aba
S ,|;
2
. 
 
(a) 
S





21
65
? (b) se 
S
k








32
4
 então quanto vale k? R.: k = -2 
 
7. Verifique que todo vetor de 2
R
 é combinação linear de u=(1,-1), v=(1,2) e w=(0,1). 
 
8. Classificar em linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.) os 
seguintes conjuntos: 
 
 (a) 
 
3
)3,1,2( R
 (b) 
 
3
)1,1,1();1,1,1( R
 
 (c) 
 
2
)5,3();1,1();0,1( R
 (d) 
 
4
)0,0,0,0();1,2,0,2();0,2,3,1( R
 
 (e) 
)(}2;44;2{
2
222
RPxxxxxx 
 (f) 
)(};;21{
2
222
RPxxxxx 
 
 (g) 
)(}2;1{
2
22
RPxxxx 
 (h) 
)(
301
501
;
012
210
;
423
121
32
RM
x































 
 
9. Determine o valor de k para que 
 
 (a) 
 
3
)0,2,();1,1,1();2,0,1( Rk 
 seja LI (b) 
)(
0
12
;
00
11
,
01
01
2
RM
k














 
















 seja LD 
 
10. Verifique que se u, v e w são LI então u+v, u+w e v+w também o são. 
 
11. Determine os valores de 
m
 para que os conjuntos abaixo sejam LD. 
 
(a) 
})1,,1();,1,({ mmm
 R.: 
1m
 (b) 
})1,1,1();,2,1();1,1,({ mmm 
 R.: não existe 
(c) 
}),,();0,1,1({
2
mmmmm 
 R.: m = 0; (d) 
})2,,0();,1,0();1,1,({ mmmmm 
 R.: m = 0; 2 
 
12. Seja 
}|),{( RxxxV 
2
. Considere as seguintes operações: 
(i) Adição: 
Ryx  ,
, 
))(,(),(),(
222
yxyxyyxx 
 
(ii) multiplicação por escalar: 
Rx  ,
, 
))(,(),(
22
xxxx  
 
 
Verifique o conjunto 
V
, com estas operações, é um espaço vetorial real. 
 
 
13. Decida se os conjuntos abaixo formam uma base. 
 
 (a) 
 
2
)1,1();3,1( R
 (b) 
 
3
)0,2,3();0,1,2();1,1,1( R
 
 (c) 
 
4
)5,0,0,0();3,0,0,1();1,1,0,0();0,0,1,1( R
 (d) 
)(
00
01
;
01
10
;
20
11
,
01
32
2
RM





















 







 









 
 (e) 
)(}1;1;2{
2
22
RPxxxx 
 (f) 
)(}1,;4;{
3
23
RPxxxxx 
 
 
14. Determine as coordenadas do vetor v=(6,2) com relação a cada uma das bases de 2
R
, 
dadas abaixo. Represente, graficamente, cada situação. 
 
 (a) 
)}2,0();0,3{(
 (b) 
)}1,2();2,1{(
 (c) 
)}1,0();0,1{(
 (d) 
)}0,1();1,0{(
 
 
15. Seja 
};2;3{
2
xxA 
 base de 
)(
2
RP
. Determine as coordenadas de 2
346 xxv 
 
com relação à base A. 
 
16. Determine as coordenadas do vetor 
)0,1,0,2(u
 com relação à base de 4
R
, B = 
 )5,0,0,0();3,0,0,1();1,1,0,0();0,0,1,1(

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