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Universidade E. de Feira de Santana Departamento de Ciências Exatas Área de Matemática Engenharia da Computação Lista de Exercícios de EXA703 – Álgebra Linear I Profª. Jany S S Goulart Espaços Vetoriais Reais 1. Verifique se os conjuntos abaixo, com operações usuais são subespaços vetoriais do espaço em que estão inseridos. (a) 2 1 }02|),{( RyxyxW (b) 22 2 }0|),{( RyxyxW (c) 2 3 }1|),{( RyxyxW (d) )(2;0| 221 RMtyxz ty zx V x (e) )(,| 20 0 322 RMRca caa ca V x (f) )(3| 2 2 RPabcbxaxS (g) 3 1 023|),,( RzyxzyxU (h) O conjunto formado pelas matrizes diagonais de ordem n. 2. Sejam )2,3,2( u e )4,2,1(v em 3 R . (a) Escrever o vetor )2,11,7( w como combinação linear de u e v; R.: w = 3u – v. (b) Para que valor de k, o vetor ),14,8( kn é combinação linear de u e v? R.: k = 12 (c) Determine uma relação entre a, b e c para que o vetor ),,( cbaq seja combinação linear de u e v. 3. Sejam 12 2 ttp , 2 tq e ttr 2 2 vetores do espaço )( 2 RP . (a) Verifique se o vetor 755 2 ttu pode ser escrito como combinação linear de p e q. (b) Escrever o vetor 755 2 ttu como combinação linear de p, q e r. (c) Determinar uma condição sobre a, b e c para que o vetor cbtatv 2 seja combinação linear de q e r. (d) É possível escrever p como combinação linear de q e r (use o item (c))? 4. Escreva um vetor arbitrário u=(a,b,c) de 3 R como combinação linear dos vetores p=(1,1,0), q=(0,-1,1) e n=(1,0,1). 5. Seja S o subespaço vetorial de 4 R : }0;02|),,,{( tzyxtzyxS . Verifique se os vetores ),,,( 0321u , ),,,( 0413v e ),,,( 1111w pertencem a S. 6. Seja S o subespaço vetorial de )( 2 RM , Rba bba aba S ,|; 2 . (a) S 21 65 ? (b) se S k 32 4 então quanto vale k? R.: k = -2 7. Verifique que todo vetor de 2 R é combinação linear de u=(1,-1), v=(1,2) e w=(0,1). 8. Classificar em linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.) os seguintes conjuntos: (a) 3 )3,1,2( R (b) 3 )1,1,1();1,1,1( R (c) 2 )5,3();1,1();0,1( R (d) 4 )0,0,0,0();1,2,0,2();0,2,3,1( R (e) )(}2;44;2{ 2 222 RPxxxxxx (f) )(};;21{ 2 222 RPxxxxx (g) )(}2;1{ 2 22 RPxxxx (h) )( 301 501 ; 012 210 ; 423 121 32 RM x 9. Determine o valor de k para que (a) 3 )0,2,();1,1,1();2,0,1( Rk seja LI (b) )( 0 12 ; 00 11 , 01 01 2 RM k seja LD 10. Verifique que se u, v e w são LI então u+v, u+w e v+w também o são. 11. Determine os valores de m para que os conjuntos abaixo sejam LD. (a) })1,,1();,1,({ mmm R.: 1m (b) })1,1,1();,2,1();1,1,({ mmm R.: não existe (c) }),,();0,1,1({ 2 mmmmm R.: m = 0; (d) })2,,0();,1,0();1,1,({ mmmmm R.: m = 0; 2 12. Seja }|),{( RxxxV 2 . Considere as seguintes operações: (i) Adição: Ryx , , ))(,(),(),( 222 yxyxyyxx (ii) multiplicação por escalar: Rx , , ))(,(),( 22 xxxx Verifique o conjunto V , com estas operações, é um espaço vetorial real. 13. Decida se os conjuntos abaixo formam uma base. (a) 2 )1,1();3,1( R (b) 3 )0,2,3();0,1,2();1,1,1( R (c) 4 )5,0,0,0();3,0,0,1();1,1,0,0();0,0,1,1( R (d) )( 00 01 ; 01 10 ; 20 11 , 01 32 2 RM (e) )(}1;1;2{ 2 22 RPxxxx (f) )(}1,;4;{ 3 23 RPxxxxx 14. Determine as coordenadas do vetor v=(6,2) com relação a cada uma das bases de 2 R , dadas abaixo. Represente, graficamente, cada situação. (a) )}2,0();0,3{( (b) )}1,2();2,1{( (c) )}1,0();0,1{( (d) )}0,1();1,0{( 15. Seja };2;3{ 2 xxA base de )( 2 RP . Determine as coordenadas de 2 346 xxv com relação à base A. 16. Determine as coordenadas do vetor )0,1,0,2(u com relação à base de 4 R , B = )5,0,0,0();3,0,0,1();1,1,0,0();0,0,1,1(
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