Cristalografia - Projeção

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CRISTALOGRAFIA 
CAPÍTULO IV 
PROJEÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
 
4.1.1. As Diferentes Formas de Projeções de Cristais: 
 A maneira de representarmos a tridimensionalidade de um cristal em uma superfície 
bidimensional (plana) é conhecida como projeção cristalográfica. 
 Podemos utilizar diferentes tipos de projeções, cada um tem uma especificidade e 
qualidade que atenderá a uma determinada finalidade. Conforme nossa necessidade, 
deveremos optar por uma das projeções existentes. Porém, todas as projeções cristalográficas 
possuem um ponto em comum – são produzidas através de uma regra definida que mantenha 
uma relação geométrica capaz de possibilitar a reprodução do cristal.. 
 As ilustrações dos cristais constantes nesta apostila são conhecidas como projeções 
clinográficas; ou seja, são desenhos em perspectiva que procuram representar “fotos” dos 
cristais. Trata-se da melhor forma de se transmitir a aparência de um cristal, suplantando 
inclusive a sua fotografia, pois pode-se vislumbrar através do cristal, como se o mesmo fosse 
transparente. 
 Se levarmos em consideração que, a forma e o tamanho reais das diferentes faces de 
um cristal são, principalmente, o resultado de anormalidades de crescimento; desejaremos, 
quando realizarmos sua projeção, reduzir ao máximo essas imperfeições. Outrossim, será 
imperativo acentuar as relações angulares das faces umas para com as outras, em consonância 
à lei de Steno (existe uma constância dos ângulos interfaciais em todos os cristais de uma 
dada espécie mineral). 
 
4.2. PROJEÇÃO ESFÉRICA 
 
 Utilizamos a projeção esférica para posicionar as faces de um cristal, estritamente 
de acordo com suas relações angulares, sem preocupação com seus tamanhos e formas. 
 Para se compreender melhor esse tipo de projeção, pode-se recorrer a um modelo 
analógico de um cristal qualquer, confeccionado a partir de um modelo cristalográfico 
planificado em papel cartão. Como seu interior é oco, podemos introduzir uma fonte 
luminosa, a qual emitirá feixes luminosos através de orifícios feitos nos centros de todas as 
faces. Posicionando este modelo exatamente no centro do interior de uma grande esfera oca, 
confeccionada com material transparente, os raios luminosos oriundos dos centros 
geométricos das faces do cristal incidirão na superfície interna da esfera, projetando nesta, 
pontos que representam as posições das faces daquele cristal. Esses pontos são denominados 
pólos das faces do cristal na projeção esférica. A posição de cada pólo e, consequentemente, 
sua relação angular com os outros pólos pode ser fixada através de coordenadas angulares 
na esfera. Isto é feito semelhantemente à localização de pontos sobre a superfície da Terra 
através das coordenadas geográficas, longitude e latitude, como se pode ver na ilustração a 
seguir. 
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 Ocorre, porém, duas diferenças entre a localização de pontos, pelas coordenadas 
geográficas e pela projeção esférica: 
 1ª. Na localização geográfica, a latitude é contada a partir do equador para o norte e 
para o sul da Terra; já na projeção esférica, a latitude é contada a partir do norte (0°), estando 
o equador na latitude 90° (co-latitude, ou ângulo polar é designada pela letra grega ρ “ro”). 
 2ª. Na localização geográfica, a longitude de um ponto sobre a superfície da Terra é 
contada a partir de um meridiano, aleatoriamente escolhido (Greenwich), para oeste e para 
leste; já a “longitude” de um pólo de uma face sobre a projeção esférica é contado a partir 
de um “meridiano inicial” (também aleatoriamente escolhido) para oeste, até o ângulo 
máximo de 360°. Para localizar o meridiano inicial (0°), orienta-se o cristal de maneira que a 
face (010) fique sendo o meridiano inicial, por convenção. Assim, o meridiano que passa 
sobre o pólo desta face é considerado zero. Para se determinar a longitude de uma face do 
cristal, passa-se um meridiano sobre o polo da mesma e o ângulo entre ele e o meridiano zero 
é medido no plano do equador (este ângulo é designado pela letra grega φ “fi”). 
 Qualquer superfície plana que cortar a esfera, o fará produzindo círculos. Os círculos 
cujos diâmetros são os maiores possíveis são denominados por círculos máximos. Os 
meridianos sobre a Terra e o equador são círculos máximos, ao passo que os paralelos de 
latitude são círculos menores. 
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 Na projeção esférica de um cristal qualquer, observamos que os pólos de todas as 
faces pertencentes a uma mesma zona posicionam-se ao longo de um círculo máximo de 
projeção. No exemplo, abaixo ilustrado, as faces (001), (101), (100), (101) e (001) situam-se 
em uma zona com o eixo de zona [010]. Como o círculo máximo, ao longo do qual se situam 
os pólos destas faces, passa pelos pólos norte e sul da projeção, denominamo-lo de círculo 
máximo vertical. O eixo da zona é sempre perpendicular ao plano que contém os pólos das 
faces e, assim, todos os círculos verticais possuem eixos de zona horizontais. 
 
 
 
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4.3. PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA 
 
 A partir das considerações feitas até aqui, podemos afirmar que o produto final da 
projeção esférica de um cristal qualquer é similar, por analogia, ao mapa de nosso planeta na 
forma de um globo terrestre. Sendo assim, temos um problema! – O processo de 
transformação do globo terrestre, tridimensional para uma representação plana, bidimensional 
gerará erros ou distorções inevitáveis. Nenhum mapa plano exprime as mesmas proporções de 
áreas e configurações existentes na realidade, pois a Terra não possui a forma plana mas sim 
esférica. 
 Da mesma maneira, quando formos transformar o produto de uma projeção esférica 
de um certo cristal – um desenho esférico – num desenho plano, iremos distorcer suas áreas e 
configurações. Obteremos, portanto, somente as relações angulares entre os elementos 
geométricos do cristal. 
 Isto é suficiente para “guardarmos” todas as informações necessárias para, quando 
necessário, restituirmos a sua forma tridimensional real. Além disso, é possível efetuar-se 
cálculos das posições e relações angulares das faces, eixos, planos, índices, formas e zonas 
presentes no cristal. 
 Duas projeções muito usuais e que atendem as finalidades que acabamos de 
enumerar no parágrafo anterior, são: 
1ª – Projeção Gnomônica: é a projeção perspectiva num plano tangente à superfície 
da esfera, em que o pólo da projeção fica no centro da esfera. A projeção não é 
nem conforme nem equivalente. É a única em que os círculos máximos da 
esfera são apresentados por linhas retas. Em cristalografia, o uso da projeção 
gnomônica se faz mais presente na confecção de desenhos de cristais (projeções 
clinográficas), como aquele que se acha situado no centro da esfera da ilustração 
da página anterior, e também para determinações gráficas das relações axiais, 
bem como para correlacionar as faces de um cristal com os dados derivados das 
medidas de difração dos raios X, indicando-lhes os índices; 
2ª – Projeção Estereográfica: é a projeção conforme perspectiva sobre um plano 
tangente, em que o ponto de projeção situa-se na extremidade oposta ao 
diâmetro da esfera, partindo do ponto de tangência do plano. É o mesmo que 
projeção ortomórfica azimutal. Mais especificamente em cristalografia, a 
projeção estereográfica representa, em um plano, a metade da projeção esférica, 
normalmente o hemisfério norte. Tal plano de projeção é o equatorial e o círculo 
primitivo (círculo que contorna a projeção) é o próprio equador. Por exemplo: 
um segmento de reta com origem no polo sul e extremidade no pólo da face de 
um cristal projetado no hemisfério norte, irá interceptar o plano equatorial em 
um ponto. Este ponto é a projeção estereográfica daquele pólo de face do cristal. 
 Em resumo, podemos realizar uma projeção estereográfica traçando segmentos de 
retas a partir do pólo sul em direção aos pólos das faces,projetados no hemisfério norte. Os 
pólos correspondentes à projeção estereográfica estarão localizados onde estes segmentos de 
retas cortam o plano equatorial. A ilustração a seguir mostra a relação das projeções esférica e 
ortográfica: 
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 “Dado que na prática os pólos são localizados diretamente na projeção 
estereográfica, é necessário determinar as distâncias estereográficas em relação aos ângulos 
da projeção esférica. A ilustração da próxima página mostra uma seção vertical através da 
projeção esférica de um cristal no plano do “meridiano zero”, isto é, o plano que contém o 
pólo de (010). O ângulo φ de qualquer face que se situa nesta seção é 0° quando à direita do 
centro e 180° se à esquerda do mesmo. N e S são, respectivamente, os pólos norte e sul da 
esfera de projeção, O é o centro do cristal projetado. Consideremos a face (011). OD é a 
perpendicular à face (011) e D é o pólo desta face na projeção esférica. A linha vinda do pólo 
sul, SD, corta o traço do plano do equador, FG, no ponto D', o pólo estereográfico de (011). 
O ângulo NOD será reconhecido como o ângulo ρ. De modo a localizar D diretamente sobre a 
projeção estereográfica, é necessário determinar a distância OD' em termos do ângulo ρ. 
Sendo o triângulo ∆SOD isósceles, ∠ ODS = ∠ OSD . ∠ ODS + ∠ OSD = ∠ NOD = ρ. 
Consequentemente, ∠ OSD = ρ/2. OS = r, o raio do círculo primitivo da projeção. 
 
tg ρ/2 = OD'/r, ou OD' = r.(tg p/2) 
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 Em resumo: para se achar a distância projetada estereograficamente a partir do centro 
da projeção do pólo de qualquer face, é necessário achar a tangente natural da metade de ρ 
daquela face e multiplica-la pelo raio da projeção. A distância obtida desta maneira será, 
quaisquer que sejam as unidades, usada para medir o raio do círculo primitivo da projeção. 
 Além de determinar a distância a que um pólo deve situar-se a partir do centro da 
projeção, é preciso determinar também sua "longitude" ou ângulo φ. Como o ângulo é medido 
no plano do equador, o qual é também o plano da projeção estereográfica, ele pode ser 
marcado diretamente no primitivo por meio de um transferidor circular. Primeiramente, é 
necessário fixar o "meridiano zero", fazendo um ponto no círculo primitivo para representar o 
pólo de (010). Uma linha reta passando por este ponto e pelo centro da projeção é o meridiano 
zero. Com a margem do transferidor ao longo desta linha e o ponto central no centro da 
projeção, o ângulo φ pode ser marcado. Numa linha traçada do centro da projeção passando 
por este ponto, situam-se todos os pólos de faces possíveis, tendo o ângulo φ especificado. Os 
ângulos φ positivos são marcados no sentido dos ponteiros de um relógio a partir de (010); os 
negativos são marcados em sentido contrário aos mesmos, como mostra a ilustração abaixo. 
Para localizar o pólo que tem este dado valor, é necessário achar a tangente natural de metade 
de ρ, multiplicá-la pelo raio da projeção e marcar a distância resultante ao longo da linha φ. 
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 Embora possa ser escolhida qualquer projeção do raio, usa-se habitualmente uma de 
10 centímetros. Esta é suficientemente grande para ser exata sem ser incômoda e, ao mesmo 
tempo, simplifica os cálculos. Com um raio de 10 centímetros, é necessário somente ver a 
tangente natural, mover a vírgula decimal uma casa para a direita e localizar o resultado em 
centímetros a partir do centro da projeção. Quando os pólos das faces do cristal estão loca-
lizados estereográficamente, como explicado antes, sua simetria de arranjo deve ser aparente 
(conforme ilustração abaixo). Vimos que um círculo máximo na projeção esférica é o lugar 
dos pólos das faces que se situam em uma zona do cristal. Quando projetados estereogra-
ficamente, os círculos máximos verticais tornam-se diâmetros da projeção. Todos os outros 
círculos máximos projetam-se como arcos de círculo que subtendem um diâmetro. O limite 
destes círculos máximos é o primitivo da projeção que é, ele próprio, um círculo máximo co-
mum às projeções tanto esférica como estereográfica. Os pólos das faces verticais do cristal 
situam-se no primitivo e, assim, eles são projetados sem distorção. 
 
 
 
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4.4. A REDE ESTEREOGRÁFICA 
 
 Tanto a medição como a localização dos ângulos na projeção estereográfica são 
grandemente facilitadas por meio da rede estereográfica, conhecida como rede de Wulff 
(Wulff, G.V. 1863-1925), ilustrada abaixo. Todos os círculos, tanto os máximos como os 
menores, estão desenhados na rede com intervalos de 1° ou 2°. Na ilustração, os intervalos 
são de 2°. Uma projeção feita em papel transparente pode ser colocada sobre a rede, lendo-se 
os ângulos diretamente. Os ângulos φ são determinados onde uma linha reta vinda do centro 
da projeção e passando pelo pólo da face corta o primitivo. Para se determinar o ângulo ρ, a 
projeção deve girar em torno do centro até que o pólo da face fique em um dos círculos 
máximos verticais. O ângulo pode ser lido então diretamente na rede. 
 Se os ângulos φ e ρ são conhecidos, o estereograma pode ser feito, invertendo-se o 
processo. Primeiramente, marca-se um ponto no primitivo em φ = 0° de modo que a projeção 
possa sempre retornar à sua posição inicial. O pólo de uma face é localizado da seguinte 
maneira: (1) marcar um ponto no primitivo do ângulo φ; (2) girar a projeção até que este 
ponto esteja na extremidade de um círculo máximo vertical; (3) marcar o ângulo ρ ao longo 
desta linha à distância exata do centro. Este é o pólo da face. 
 Em vez de medir os ângulos φ e ρ, o aluno mede usualmente os ângulos interfaciais, 
que podem ser localizados facilmente com o auxílio da rede estereográfìca. 
 
REDE ESTEREOGRÁFICA DE WULFF 
 
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SIMBOLOGIAS E CONVENÇÕES 
 
 + PÓLOS DE FACES NO HEMISFÉRIO SUPERIOR 
 ○ PÓLOS DE FACES NO HEMISFÉRIO INFERIOR 
 ∙ PÓLOS DE FACES NO EQUADOR 
 ◉ PÓLOS DE ZONAS 
 φ LONGITUDE OU AZIMUTE (ler no equador no sentido horário) 
 ρ LATITUDE OU INCLINAÇÃO (ler do centro para a periferia do diagrama de 
 Wulff, ou seja, do polo norte = 0°, para o equador = 90º) 
 
 ZONAS (sempre são traçadas sobre círculos máximos) 
 PLANOS DE SIMETRIA (são indicados por “linhas cheias” sobre círculos máximos) 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO 
 
 
1. Efetuar a projeção estereográfica das seguintes faces de um cristal: 
 
 
 face A face B face C face D 
 
 φ 40° 310° 120° 180° 
 
 ρ 40° 60° 60° 75° 
 
 
 Procedimento: Conforme item 2.8.4. e acompanhamento em sala de aula. 
 
 
2. Efetuar a projeção estereográfica das zonas [AB] e [CD]; 
 Procedimento: Efetuar a rotação do papel vegetal sobre o diagrama de Wulff de maneira 
 a coincidir os pólos das faces A e B num mesmo círculo máximo. Idem para a zona [CD]. 
 
3. Efetuar as medições dos ângulos entre as faces: A ∧ B e C ∧ D; 
 Procedimento: Fazer a zona [AB] coincidir com o círculo máximo, no qual ela foi 
 traçada, e efetuar a contagem, em graus, diretamente na rede estereográfica, do espaço 
 que separa o pólo da face A do pólo da face B. Idem para com C e D; 
 
4. Sabendo-se que o pólo de uma zona dista 90° da mesma (e vice-versa); determine os 
 pólos das zonas [AB] e [CD]; 
 Procedimento: Fazer a zona [AB] coincidir com o círculo máximo, no qual ela foi 
 traçada, e efetuar a contagem de 90° a partir dela, diretamente na rede estereográfica, 
 sobre o círculo máximo horizontal que passa pelo pólo norte. Idem para a zona [CD]; 
 
5. Efetuar as medições dos ângulos φ e ρ para os pólos das zonas [AB] e [CD]; 
 Procedimento:Basta efetuarmos o caminho inverso das etapas seguidas na execução do 
 primeiro exercício da presente lista. 
 
6. Sabendo-se que o ponto de interseção entre duas zonas quaisquer determina o pólo de 
 uma face comum a estas duas zonas; localize no diagrama de Wulff o pólo “P” da face 
 comum às zonas [AB]e [CD] e calcule seu azimute (longitude φ) e inclinação (latitude ρ); 
 
7. Medir o ângulo formado pelas zonas [AB] e [CD]; 
 Procedimento: Esta medição poderá ser realizada diretamente sobre a projeção da zona 
 do pólo “P”, a qual dista 90° de “P” e intercepta, obrigatoriamente, os pólos das zonas 
 [AB] e [CD]. Ao longo da zona de “P” determinar quantos graus separam as interseções 
 com as zonas [AB] e [CD]. 
 
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8. Medir o ângulo formado pelos pólos das zonas [AB] e [CD]. 
 Procedimento: Esta medição poderá ser realizada diretamente sobre a projeção da zona 
 do pólo “P”, a qual dista 90° de “P”, e intercepta, obrigatoriamente, os pólos das zonas 
 [AB] e [CD]. Ao longo da zona de “P” determinar quantos graus separam as interseções 
 com os pólos das zonas [AB] e [CD]. 
 
Obs. A somatória do ângulo formado por duas zonas com o ângulo formado pelos 
respectivos pólos resulta sempre em 180°. 
Verifique esta propriedade com os resultados dos dois últimos exercícios 
 
9. Construir a bissetriz do ângulo formado pelas zonas [AB] e [CD]; 
 Procedimento: Sobre a zona de “P” que deverá estar sobre um círculo máximo, localizar 
 o ponto que eqüidista das interseções com as zonas [AB] e [CD]; ou seja, a metade do 
 ângulo encontrado no exercício 7 da presente lista (½ de [AB]∧[CD]). Ligar esse ponto 
 com o pólo da face comum às zonas [AB] e [CD]; ou seja, o pólo “P”, através de um 
 círculo máximo que os contenha. Este traçado resultante será a bissetriz procurada. 
 
 10. Determinar o pólo da bissetriz do ângulo formado pelas zonas [AB] e [CD] 
(Bbissetriz [AB]∧[CD]); 
 Procedimento: Seguir o mesmo procedimento descrito para a execução do exercício 4. 
 Observar que o pólo será plotado sobre a zona de “P”. 
 
 11. Calcular o azimute (longitude φ) e inclinação (latitude ρ) do pólo da bissetriz 
 (Pbissetriz [AB]∧[CD]) localizado no exercício anterior; 
 Procedimento: Seguir o mesmo procedimento descrito para a execução do exercício 5. 
 
 12. Traçar as zonas [AB] e [CD] no hemisfério inferior; 
 Procedimento: Fazer a zona [AB] coincidir com o círculo máximo no qual ela foi 
 traçada. Encontrar o círculo máximo simetricamente oposto ao pólo norte e traçar, 
 através de linha tracejada, a projeção estereográfica da zona [AB] no hemisfério inferior. 
 
 
 
REPETIR OS 12 EXERCÍCIOS ACIMA, COM OS NOVOS DADOS ABAIXO: 
 
 
 
 face A face B face C face D 
 
 φ 20° 130° 170° 90° 
 
 ρ 15° 40° 50° 90° 
 
 
 
 
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4.5. MEDIDA DOS ÂNGULOS DOS CRISTAIS 
 
 Acabamos de demonstrar como podemos determinar graficamente os ângulos entre 
as faces de um cristal. Porém, experimentalmente, podemos obter diretamente nos cristais 
essas medidas de ângulos utilizando-nos de aparelhos denominados goniômetros. 
 Para uma medição precisa, particularmente em pequenos cristais, usa-se o 
goniômetro de reflexão. Este é um instrumento sobre o qual se monta o cristal a ser medido, 
de modo a ser girado em torno de um eixo de zona e a refletir raios de luz de suas faces, 
através de um telescópio, ao olho do observador. O ângulo a ser girado pelo cristal para que 
lance raios de luz sucessivos de duas faces adjacentes dentro do telescópio determina o ângulo 
entre as faces. 
 Podemos observar, na ilustração abaixo, que o ângulo entre m e a pode ser 
determinado, registrando-se as posições de reflexão, primeiro da face a e depois da face m, 
anotando-se a diferença angular. O ângulo determinado desta maneira é ó ângulo interno. 
Estes ângulos internos, suplementos dos ângulos interfaciais externos, são os que se 
mencionam nos dados cristalográficos. 
 Um aparelho mais simplificado, usado para determinações menos precisas e com 
cristais de maior tamanho, é o goniômetro de contato. A ilustração abaixo demonstra o uso 
desse instrumento.