Dimensionamento_a_Flexao__Parte_1

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Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
 
 
Estruturas de Aço 
 
Dimensionamento 
 à Flexão – parte 1 
INTRODUÇÃO 
 
O dimensionamento de barras prismáticas submetidas à 
momento fletor e esforço cortante (vigas) tem suas 
condições estabelecidas pelo item 5.4 da NBR 8800. 
 
Do mesmo modo que nos casos de tração e compressão, 
é importante mais uma vez lembrar que a seção 5 da NBR 
8800 trata do dimensionamento de elementos estruturais 
submetidos a ações predominantemente estáticas, o que 
é válido para estruturas civis comuns. 
 
Para as condições adicionais de dimensionamento, tais 
como fadiga, fratura frágil e temperaturas elevadas, ver o 
item 9 da NBR 8800. 
Por uma questão de facilidade de apresentação e de 
exposição, o dimensionamento à flexão será exposto na 
parte 1, e a seguir, na parte 2, será apresentado o 
dimensionamento ao esforço cortante. 
BARRAS SUBMETIDAS À FLEXÃO 
 
BARRAS FLETIDAS SÃO ELEMENTOS ESTRUTURAIS SUJEITOS 
À SOLICITAÇÕES DE MOMENTO FLETOR, ATUANDO OU NÃO 
FORÇA CORTANTE. 
 
EMPREGADAS, EM GERAL, NAS 
FORMAS DE VIGAS E TERÇAS. 
A nova ponte sobre o rio das Velhas da BR-381, na região metropolitana de 
Belo Horizonte (MG), foi construída em quatro meses por R$ 29,3 milhões e 
inaugurada em setembro. O prazo foi obtido com a adoção de 650 t de vigas 
metálicas - produzidas em apenas três meses e transportadas ao local depois 
de prontas - e de método no qual as lajes de concreto foram fabricadas 
simultaneamente às vigas e estacas. 
Com 222 m de comprimento, a ponte é dividida em cinco vãos de 42,8 m e três 
pistas de rolamento, totalizando 16,3 m de largura. No vão mais alto, a ponte dista 
13 m do nível da água. 
 
Toda a infraestrutura (fundações e blocos) e a mesoestrutura (pilares e travessas) 
foram feitas de concreto "in loco". 
Para a fundação foram construídas 18 estacas de 1,5 m de diâmetro escavadas 
mecanicamente e embutidas na rocha. Os pilares são cilíndricos e sempre em 
conjunto de três unidades, sendo ao todo seis apoios. 
O tabuleiro da ponte foi projetado para três faixas de rolamento, com faixa de 
segurança interna de 60 cm de proteção e acostamento de 2,5 m. Além das 
pistas, a ponte tem também uma passarela com 1,50 m de largura de um dos 
lados da ponte. 
CONCEITOS GERAIS 
 
Ao estudar a flexão simples em perfis metálicos, encontramos 
algumas semelhanças importantes com o estudo de compressão 
simples. A expressão básica apresentada pela NBR é semelhante 
às utilizadas para o dimensionamento à tração e compressão, mas 
devido à esbeltez dos elementos constituintes dos perfis, a ruína 
das peças flexionadas, a exemplo das comprimidas, também é 
definida em muitos casos pelo comportamento quanto à 
instabilidade. 
 
É importante expor a conceituação básica do comportamento de 
peças metálicas quando submetidas à flexão. Deve-se atentar que 
existe superposição de dois comportamentos, o de tensões de 
flexão com o de instabilidade. 
 
Do mesmo modo como ocorria nas seções comprimidas, as 
seções flexionadas podem sofrer instabilidades globais (da viga 
como um todo) ou localizadas (dos elementos componentes da 
seção) 
COMPORTAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL SOB 
MOMENTO FLETOR, SEM INFLUÊNCIA DA INSTABILIDADE 
Iniciando pela apresentação do comportamento de uma seção 
flexionada sem instabilidade, ou seja, sem instabilidade 
localizada dos elementos constituintes da seção transversal e 
sem instabilidade lateral da viga, significando que a viga está 
inteiramente contida lateralmente. 
 
Pretende-se apresentar o estudo do comportamento dessa viga 
sob momentos fletores crescentes, que atuam no plano que 
contém um eixo principal da seção. 
 
Partindo de um momento fletor nulo, para essa primeira condição 
de interesse, o comportamento das tensões na seção transversal 
pode ser representada na figura: 
A tensão em uma fibra distante y da linha neutra da seção, é dada por: 
 
onde y é a distância representada na figura e I é a inércia da seção. 
 
Para a fibra mais distante, ocorre a tensão máxima, cuja expressão também já é 
conhecida: 
 
 
Quando a distância até a fibra extrema é passada ao denominador, a expressão da 
tensão máxima fica: 
 
 
onde W é chamado de módulo de resistência elástico da seção. 
Na medida em que Msd cresce, as tensões nas fibras 
extremas também aumentam, até o instante em que essa 
tensão máxima alcança, em uma ou em ambas as fibras 
extremas ao mesmo tempo, a tensão de escoamento. 
 
O momento fletor que corresponde ao início do escoamento da 
seção, é chamado pela NBR 8800 de Mr, e utilizando as 
expressões anteriores, pode-se definir Mr como: 
Na expressão acima, W é o módulo de resistência elástico com 
relação ao eixo da flexão, ou o mínimo caso a seção tenha módulos 
diferentes com relação à fibra superior e inferior. A nomenclatura 
apresentada segue a adotada pela NBR, que apresenta expressões 
onde são utilizadas essas variáveis Wsup, Winf e W. 
A partir de Mr, com o crescimento de Msd, a tensão máxima 
não ultrapassa fy e a distribuição de tensões na seção 
assume a configuração representada na figura: 
Na situação de plastificação integral da seção, o equilíbrio pode ser 
escrito como: 
 
ΣMRc = 0 Rt.(h/2) = MPL, mas Rt = 1/2b.h.fy, daí: 
 
(1/2b.h).h/2.fy = MPL, que, por semelhança com a expressão da 
distribuição de tensões na seção transversal, já apresentada 
anteriormente, pode ser escrita como: 
Z = módulo de resistência plástico, que para a seção retangular 
vale 1/4.b.h2, e que pode ser calculado de modo semelhante para 
qualquer seção. 
 
De modo geral, o valor de Z é fornecido pela tabela das 
propriedades geométricas de uma seção transversal. 
Resumindo as definições apresentadas, pode-se distinguir três condições 
características de funcionamento da seção transversal fletida: 
 
- Seção transversal apenas com tensões elásticas, para 0<Msd<Mr, e Mr=fy.W; 
- Seção transversal com tensões de escoamento, para Mr<Msd<MPL; 
- Seção transversal totalmente plastificada, com MPL = Z.fy. 
O módulo de resistência plástico Z pode ser entendido como a soma 
dos momentos estáticos das áreas da seção, acima e abaixo da 
linha neutra, calculados com relação à linha neutra. 
 
Z = At.yt + Ac.yc 
 
A partir dessa condição, com o aumento de Msd, se alcança a 
terceira e última situação (teórica) que é o escoamento ou 
plastificação integral da seção. 
 
O momento fletor correspondente a essa condição é chamado MPL. 
 
Para representar a distribuição de tensões, novamente será 
utilizada seção retangular como exemplo. 
Também como complemento, a relação entre MPL e Mr para uma 
seção transversal, é independente das propriedades do material 
e é conhecida como fator ou coeficiente de forma da seção. 
 
Esse fator é dado pela relação: 
 
Coeficiente de forma = Z/W 
 
que pode ser obtida dividindo as expressões de MPL pela de Mr. 
COMPORTAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL SOB 
MOMENTO FLETOR, COM INFLUÊNCIA DA INSTABILIDADE 
No estudo de flexão das vigas, é necessário também analisar 
a instabilidade da seção, que pode ocorrer em qualquer 
instante durante o aumento do valor de Msd. 
 
Ou seja, a barra submetida a fletores crescentes, percorre as 
condições descritas anteriormente até alcançar MPL, a menos 
que ocorra a instabilidade da seção durante esse “trajeto”. 
 
Basicamente, pode ocorrer nas vigas fletidas dois tipos de 
instabilidade, um global, da viga como um todo, outro 
localizado, em qualquer dos elementos da seção transversal. 
Paratanto, a NBR 8800, no seu item 5.4.2.1, define 
configurações básicas de instabilidade, ou estados limites, que 
devem ser verificadas em peças fletidas: 
 
Flambagem Local da Alma – FLA – situação onde a alma de 
seção se torna instável; 
 
Flambagem Local da Mesa – FLM – condição em que a mesa 
comprimida se torna instável; 
 
Flambagem Lateral com torção – FLT - Instabilidade por 
flexo-torção, quando há uma combinação dos dois efeitos 
simultaneamente e a rotação da seção pela instabilidade; 
 
Flambagem Local da Aba, aplicável a seções formadas por 
duas cantoneiras, constituindo uma seção similar à seção T; 
 
Flambagem Local da Parede do Tubo, que naturalmente se 
aplica a seções tubulares ou assemelhadas; 
FLAMBAGEM LATERAL COM TORÇÃO 
FLAMBAGEM LOCAL DA MESA FLAMBAGEM LOCAL DA ALMA 
“Seção Compacta”, cujas dimensões da seção são robustas o 
suficiente para alcançar o MPL antes de ocorrer instabilidade; 
(Mres = Mpl) 
 
“Seção semicompacta”, que não alcança a plastificação integral 
antes de uma das condições de instabilidade antes definidas, ou 
seja, ocorre a flambagem local após ter ocorrido uma 
plastificação parcial; (Mres > My) 
 
“Seção não-compacta ou esbelta”, que se torna instável antes 
de qualquer das fibras das seção alcançar fy. (Mres<My) 
As seções das vigas são divididas em três classes, conforme a 
influência da flambagem local: 
EQUAÇÃO DE DIMENSIONAMENTO 
 
No dimensionamento de peças fletidas, a condição de 
segurança pode ser escrita como: 
CONDIÇÕES DE APLICABILIDADE 
 
Nos itens 5.4.1.1, 5.4.1.2 e 5.4.2.2, a NBR 8800 coloca as condições de 
aplicabilidade das expressões. 
QUANTO À SEÇÃO TRANSVERSAL : 
 
a) Seções I e H com dois eixos de simetria, fletidas com relação a um desses 
eixos; 
b) Seções I e H com apenas um eixo de simetria, situado no plano médio da 
alma, fletidas em relação ao eixo central de inércia perpendicular à alma; 
c) Seções T, fletidas em relação ao eixo central de inércia perpendicular à alma; 
d) Seções constituídas por duas cantoneiras, ligadas em forma de T, fletidas em 
relação ao eixo central de inércia perpendicular ao eixo de simetria; 
e) Seções U, fletidas em relação a um dos eixos centrais de inércia; 
f) Seções caixão e tubulares retangulares com dois eixos de simetria, fletidas em 
relação a um desses eixos de simetria; 
g) Seções sólidas circulares e retangulares, fletidas em relação a um dos eixos 
centrais de inércia; 
h) Seções tubulares circulares, fletidas em relação a qualquer eixo que passe 
pelo centro geométrico. 
QUANTO AO CARREGAMENTO 
 
“O carregamento transversal deve sempre estar em um plano 
de simetria, exceto no caso de perfis U fletidos em relação ao 
eixo perpendicular à alma, quando a resultante do 
carregamento transversal deve passar pelo centro de 
cisalhamento da seção transversal ou a torção deve ser 
impedida”. 
QUANTO AO VALOR DE MRD, PARA ASSEGURAR A VALIDADE DA 
ANÁLISE ELÁSTICA: 
 
Onde, W é o módulo de resistência elástico mínimo da seção 
com relação ao eixo de flexão. 
MOMENTO FLETOR RESISTENTE DE CÁLCULO PARA VIGAS DE 
ALMA NÃO ESBELTA 
 
O cálculo do momento fletor resistente é divido pela NBR em seções 
não-esbeltas (Anexo G) e seções esbeltas (Anexo H). Será apresentado 
a seguir o cálculo de MRd em vigas de seção não-esbelta (Anexo G da 
NBR 8800). 
São consideradas seções não-esbeltas: 
 
a) As seções I, H, U, caixão e tubulares retangulares cujas almas, 
quando perpendiculares ao eixo de flexão, têm parâmetro de esbeltez, 
definidos na tabela tabela G.1 da NBR 8800 
 
b) Seções I ou H soldada, com 
 
c) Seções tubulares circulares com relação entre diâmetro e espessura 
de parede não superior a 0,45E/fy; 
d) Seções formadas por duas cantoneiras em forma de T, e sólidas 
circulares ou retangulares de quaisquer dimensões; 
VERIFICAÇÃO DE FLT: 
VERIFICAÇÃO DE FLM E FLA 
As notas relacionadas à Tabela G.1 são: 
DETERMINAÇÃO DE CB 
 
A verificação de FLT quando , pode exigir o cálculo do parâmetro 
Cb, chamado de fator de modificação para diagrama de momento fletor não-
uniforme. 
 
Esse cálculo refere-se a situações onde o diagrama de fletores não é uniforme 
no trecho destravado de viga (chamado de Lb). O cálculo de Cb é apresentado 
na NBR 8800, item 5.4.2.3 e 5.4.2.4. 
 
 No caso de ambas as mesas serem destravadas, a expressão de Cb é: 
Onde: 
 
Mmáx – Maior momento fletor, em módulo, do trecho destravado; 
MA – Valor de Msd, em módulo, na seção situada a um quarto do 
comprimento destravado, medido a partir da extremidade da esquerda; 
MB – Valor de Msd, em módulo, no centro do trecho destravado; 
MC – equivalente a MA, na seção a três quartos do comprimento 
destravado; 
Rm – parâmetro de monossimetria, igual a 1,00 em todos os casos, com 
exceção de: seções com um eixo de simetria, fletidas com relação ao eixo 
que não é de simetria, no caso em que são submetidas à curvatura reversa; 
 
Rm= 0,5 + 2(Iyc / Iy)2 
 
Iyc – Inércia da mesa comprimida com relação ao eixo de simetria. Como a 
curvatura é reversa, trata-se da mesa com menor inércia; 
Iy – Inércia da seção com relação ao eixo de simetria. 
 
Cb = 1,00 em trechos em balanço, entre o trecho com restrição a 
deslocamento lateral e a extremidade livre. 
De modo geral o MRd é constante ao longo do trecho destravado, com 
exceção de seções com um eixo de simetria, fletidas com relação ao eixo 
que não é de simetria, e sujeitas á curvatura reversa. 
 
Cada mesa terá seu MRd que deverá ser igual ou superior ao MSd que 
comprime a mesa correspondente. 
 
O caso em que uma das mesas está contida lateralmente de modo 
contínuo e a outra está livre, a NBR 8800 (5.4.2.4) fornece as seguintes 
expressões, válidas para: 
 
Seções I, H e U, fletidas em relação ao eixo de inércia perpendicular à 
alma; 
 
Seções caixão e seções tubulares retangulares, fletidas em relação a um 
eixo central de inércia. 
 
a) Quando a mesa com contenção lateral estiver tracionada em pelo 
menos uma extremidade do comprimento destravado: 
onde: 
 
Mo – maior MSd, tomado com sinal negativo, que comprime a mesa livre na 
extremidade do comprimento destravado; 
M1 – MSd na outra extremidade do comprimento destravado. Se M1 comprime 
a mesa livre entra na expressão com sinal negativo. Se M1 traciona, entra com 
sinal positivo no segundo termo e com valor zero no terceiro; 
M2 – MSd na seção central do trecho destravado. M2>0 se tracionar a mesa 
livre e M2<0 se tracionar a mesa com contenção lateral contínua. 
b) Em trechos com momento nulo nas extremidades, submetidos a uma força 
transversal uniformemente distribuída, com apenas a mesa tracionada contida 
lateralmente contra deslocamento lateral – Cb = 2,00 
c) Em todos os outros casos – Cb = 1,00. 
 
Para verificação do estado limite FLT, deve-se tomar como MSd o maior 
momento fletor que comprime a mesa livre.