Estradas e Transportes - M5B125 - 25-03-20 - Audrew

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Curvas Verticais
 
Figura 1 - Exemplo de perfil longitudinal. (PIMENTA, p. 97, (2004))
 
1. Perfil Longitudinal 
O perfil longitudinal, ou simplesmente perfil, é o corte do terreno e da estrada projetada por uma superfície vertical 
que contém o eixo da planta. Deve ser escolhido de tal forma que permita aos veículos que percorrerem a estrada uma 
razoável uniformidade de operação. Tal escolha está intimamente ligada ao custo da estrada, especialmente ao custo de 
terraplenagem. 
Condições geológicas e geotécnicas das áreas atravessadas pela estrada terão grande influência na escolha do per-
fil, pois, tanto na execução dos cortes como dos aterros, condições desfavoráveis do solo natural podem exigir a execução 
de serviços especiais de alto custo, como escavações em rocha, obras especiais de drenagem, estabilização de taludes e 
outros. Assim, muitas vezes, a diminuição da altura de um corte ou de um aterro pode reduzir sensivelmente o custo de 
um determinado trecho da estrada. Nem sempre essas reduções são possíveis, devido às características técnicas mínimas 
exigidas, à existência de pontos obrigados como concordância com outras estradas, aos gabaritos de obras civis, às cotas 
mínimas de aterro necessárias à locação do leito da estrada acima dos níveis de enchente etc. 
O greide da estrada é composto por uma sequência de rampas, concordadas entre si por curvas verticais. O proje-
tista deve, sempre que possível, usar rampas suaves e curvas verticais de raios grandes, de forma a permitir que os veícu-
los possam percorrer a estrada com velocidade uniforme. Em termos mais práticos, o perfil de uma estrada é um gráfico 
cartesiano no qual representamos, em abscissas, o estaqueamento do eixo e, em ordenadas, as cotas do terreno e do 
projeto. Um exemplo de projeto de perfil longitudinal é mostrado na Figura 1. 
 
1.1. Rampas 
1.1.1. Comportamento dos Veículos nas Rampas 
Veículos de passageiros conseguem vencer rampas de 4% a 5% com perda de velocidade muito pequena. Em ram-
pas de até 3%, o comportamento desses veículos é praticamente o mesmo que nos trechos em nível. Já os caminhões 
têm perda de velocidade, em rampas, bem maior do que a dos veículos de passageiros. 
Nas rampas ascendentes, a velocidade desenvolvida por um caminhão depende de vários fatores: inclinação e com-
primento da rampa, peso e potência do caminhão, velocidade de entrada na rampa, habilidade e vontade do motorista. 
O tempo de percurso dos caminhões em uma determinada rampa cresce à medida que cresce a relação massa/potência. 
 
1.1.2. Controle de Rampas para Projetos 
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1.1.2.1. Inclinações Máximas e Mínimas das Rampas 
A Tabela 1 mostra os valores de inclinações máximas para rampas recomendados pelas normas para projeto de 
estradas de rodagem do DNER: 
Classe do projeto 
Relevo 
Plano Ondulado Montanhoso 
0 3 4,0 5 
I 3 4,5 6 
II 3 5,0 6 
III 3 5,0 a 6,0 6 a 7 
IV 3 5,0 a 7,0 6 a 7 
Tabela 1 - Inclinação máxima das rampas (%). (PIMENTA, p. 99 (2004)) 
 
Quando a topografia do terreno for desfavorável, poderão ser adotados valores maiores que os indicados para as 
rampas máximas, de forma a dar maior liberdade ao projetista, evitando, assim, pesados movimentos de terra, cortes e 
aterros excessivamente altos, ou mesmo viadutos e túneis que encarecerão a construção da estrada. 
 
1.1.2.2. Comprimento Crítico da Rampas 
Trechos de estrada com sucessão de rampas muito curtas devem ser evitados, pois criam a necessidade de um 
grande número de curvas verticais e, consequentemente, problemas de visibilidade para ultrapassagem, que reduzem a 
capacidade de tráfego e afetam a segurança da estrada. O comprimento máximo de uma rampa não é um elemento que 
possa ser prefixado de uma maneira geral, pois em regiões montanhosas a topografia pode exigir rampas de grande ex-
tensão. Por outro lado, a utilização de rampas com grande extensão provoca a redução de velocidade dos veículos pesa-
dos, dificultando o livre movimento dos veículos mais rápidos e reduzindo, também, a capacidade de tráfego e a segurança 
da estrada. 
O termo comprimento crítico de uma rampa é usado para definir o máximo comprimento de uma determinada 
rampa ascendente na qual o veículo-padrão pode operar sem perda excessiva de velocidade. O valor do comprimento 
crítico deve ser determinado em função dos seguintes fatores: 
• Relação massa/potência do caminhão tipo escolhido como representativo do tráfego da estrada; 
• Perda de velocidade do caminhão tipo na rampa; 
• Velocidade de entrada na rampa, fator que depende das condições do trecho que precede a rampa considerada; 
• Menor velocidade com a qual o caminhão tipo pode chegar ao final da rampa sem grande prejuízo ao tráfego. 
O gráfico da Figura 2, obtido para um caminhão nacional de 154 kg/kW e velocidade de entrada na rampa de 80 
km/h, permite a determinação do comprimento crítico em função da inclinação da rampa e do valor estabelecido para a 
perda de velocidade. 
A Figura 3 mostra o mesmo gráfico publicado pela AASHTO para um caminhão americano de 180 kg/kW e veloci-
dade de entrada na rampa de 90 km/h. 
 
 
 
 
Figura 3 - Comprimento crítico das rampas - caminhão nacional 
de 154 kg/kW. (PIMENTA (2004, p. 101)) 
Figura 2 - Comprimento crítico das rampas - caminhão ameri-
cano de 180 kg/kW. (PIMENTA (2004, p. 101)) 
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O uso do gráfico implica a aceitação do caminhão tipo e da velocidade de entrada utilizados, escolhe-se a maior perda 
de velocidade aceitável (geralmente 25 km/h), entra-se no gráfico com o valor da inclinação da rampa e tira-se o compri-
mento crítico em função da curva de redução de velocidade escolhida. 
Quando a rampa analisada é precedida por uma rampa descendente que permite o embalo dos veículos pesados, 
estes, geralmente, aumentam a velocidade na entrada da rampa de forma a vencê-la com menor perda. Quando projeta-
mos rampas com comprimento maior que o crítico e desejamos que o tráfego tenha um escoamento normal, precisamos 
criar, a partir do ponto onde a rampa atinge o comprimento crítico, uma faixa adicional para o tráfego dos veículos lentos. 
 
1.2. Curvas Verticais de Concordância 
 
Figura 4 - Curva vertical parabólica. (PIMENTA (2004, p. 103)) 
 
1.2.1. Elementos da curva vertical 
𝑃𝐼𝑉 Ponto de intersecção das tangentes (𝑚) 
𝑃𝐶𝑉 Ponto de curva vertical = início da curva vertical (𝑚) 
𝑃𝑇𝑉 Ponto de tangente vertical = fim da curva vertical (𝑚) 
𝐿𝑣 Comprimento da curva vertical (projeção horizontal) (𝑚) 
𝑖1 Inclinação da primeira rampa (+) ascendente; (-) descendente (° ′ ′′) 
𝑖2 Inclinação da segunda rampa (+) ascendente; (-) descendente (° ′ ′′) 
𝛿𝑖 Variação total de inclinação, pela diferença algébrica de rampas(𝑖1 − 𝑖2) (° ′ ′′) 
𝑟𝑚𝑟 Razão de mudança da rampa. (° ′ ′′/𝑚) 
𝑅𝑣 Raio de curvatura no vértice da parábola (𝑚) 
Quadro 1 - Grandezas utilizadas no estudo da superlargura. (Do autor, (2016)) 
Importante: toda medida em perfil é feita na projeção horizontal e não ao longo das rampas ou curvas. 
 
1.2.2. Formulário 
𝐸(𝑃𝐶𝑉) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) −
𝐿𝑣
2
 𝐸(𝑃𝑇𝑉) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) +
𝐿𝑣
2
 
𝑦𝑃𝐶𝑉 = 𝑦𝑃𝐼𝑉 −
𝑖1 ∙ 𝐿𝑣
2
 𝑦𝑃𝑇𝑉 = 𝑦𝑃𝐼𝑉 +
𝑖1 ∙ 𝐿𝑣
2
 
𝑟𝑚𝑟 =
𝛿𝑖
𝐿𝑣
 𝑅𝑣 =
𝐿𝑣
𝛿𝑖
=
1
𝑟𝑚𝑟
 
Quadro 2 – Formulário utilizado em cálculos de curvas verticais. (Do autor, (2016)) 
 
1.2.3. Equação da curva 
Sendo a curva uma parábola de eixo vertical, a equação geral é𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐. 
 
Figura 5 - Termos da equação da parábola.(PIMENTA, p.105 (2004)) 
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Uma posição muito favorável para o cálculo da curva é a colocação da origem no PCV, portanto, sobre a curva; o 
termo independente (c) fica igual a zero. Para determinar os coeficientes a e b impomos a condição de que a parábola 
concorde com as rampas, isto é, que as tangentes à curva nos pontos PCV e PTV tenham a mesma inclinação das rampas 
i1 e i2, rescpectivamente. Considerando que a derivada da parábola tem equação 𝑦 = 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏, temos: 
No PCV, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑖1 = 2 ∙ 𝑎 ∙ (0) + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑖1. 
No PTV, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑖2 = 2 ∙ 𝑎 ∙ (𝐿𝑣) + 𝑏 ⇒ 𝑎 =
𝑖2−𝑖1
2∙𝐿𝑣
=
𝛿𝑖
2∙𝐿𝑣
, então: 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ⇒ 𝑦 =
𝛿𝑖
2∙𝐿𝑣
∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 
A equação fornece a ordenada y em qualquer ponto P da curva, sendo x = distância do PCV ao P e y = diferença de 
cota entre o P e o PCV. Assim, para obter a cota do ponto, basta somar y à cota do PCV, que é obtida no cálculo da rampa 
anterior. 
 
1.2.4. Pontos de máximo e de mínimo 
Seja V o ponto de ordenada máxima ou mínima da curva, para os casos de rampas com sinais diferentes, e x0 sua 
abscissa. Derivando a equação da curva, temos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝛿𝑖
𝐿𝑣
∙ 𝑥 + 𝑖1. Igualando a zero, porque no ponto extremo a inclinação 
é nula, temos: 
𝛿𝑖∙𝑥0
𝐿𝑣
+ 𝑖1 = 0 ⇒ 𝑥0 =
𝑖1∙𝐿𝑣
𝛿𝑖
 e a ordenada do ponto V será 𝑦0 =
𝑖1
2∙𝐿𝑣
2∙𝛿𝑖
. 
 
1.2.5. Coordenadas, em relação ao PCV, de alguns pontos singulares. 
 
Figura 6 - Pontos singulares da curva. (PIMENTA, p. 106 (2004)) 
1.2.6. Formulário 
Ponto 𝒙 𝒚 
PCV 0 0 
PTV 𝐿𝑣 (𝑖1 + 𝑖2) ∙
𝐿𝑣
2
 
PIV 
𝐿𝑣
2
 𝑖1 ∙
𝐿𝑣
2
 
M 
𝐿𝑣
2
 𝛿𝑖 ∙
𝐿𝑣
8
+ 𝑖1 ∙
𝐿𝑣
2
 
V −𝑖1 ∙
𝐿𝑣
𝛿𝑖
 −𝑖1
2
𝐿𝑣
2 ∙ 𝛿𝑖
 
Tabela 2 - Coordenadas dos pontos singulares da curva. 
PIMENTA (2004, p. 106) 
 
1.2.7. Cálculo das cotas dos pontos da curva em relação à primeira tangente 
Em relação ao sistema de coordenadas da figura 7 as ordenadas dos pontos da primeira rampa serão 𝑦 = 𝑖1 ∙ 𝑥. 
A equação da curva fornece: 𝑦 =
𝛿𝑖
2∙𝐿𝑣
∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥, consequentemente, o valor da flecha f para qualquer ponto da 
curva será: 𝑓 = 𝑖1 ∙ 𝑥 − (
𝛿𝑖
2∙𝐿𝑣
∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥) ou 𝑓 = −
𝛿𝑖
2∙𝐿𝑣
∙ 𝑥2, a partir da rampa. 
Em particular, no PIV (𝑥 =
𝐿𝑣
2
), temos: 𝐹 = −
𝛿𝑖∙𝐿𝑣
8
, ou seja, 𝑓 =
4∙𝑥2
𝐿𝑣
2 ∙ 𝐹 
 
1.2.8. Comprimento mínimo das curvas verticais 
O comprimento de uma curva vertical Lv é escolhido em função de uma análise cuidadosa dos diversos fatores 
condicionantes do projeto, com o objetivo de obter um greide econômico com características técnicas satisfatórias. A 
parábola simples, utilizada para curvas verticais, é muito próxima de uma circunferência. Por isso, é usual referir-se ao 
valor do raio Rv da curva vertical, que deve ser entendido como o raio da circunferência equivalente à parábola, isto é, 
uma circunferência de raio Rv igual ao raio instantâneo no vértice da parábola. 
A equação que relaciona o raio ao comprimento da curva é: 𝐿𝑣 = 𝛿𝑖 ∙ 𝑅𝑣. 
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1.2.9. Curvas verticais convexas 
O comprimento mínimo de uma curva vertical convexa é determinado em função das condições necessárias de 
visibilidade da curva, isto é, é escolhido de forma a proporcionar ao motorista o espaço necessário para uma frenagem 
segura quando este avista um obstáculo em sua faixa de tráfego. Condições de conforto e boa aparência são normalmente 
alcançadas quando a curva atende às condições mínimas de visibilidade. Assim, para todas as curvas convexas da estrada 
devemos ter: S ≥ dp 
Em que: 
𝑆 Distância de visibilidade do motorista (m) 
𝑑𝑝 Distância mínima de parada (m) 
 
1.2.9.1. Distância mínima de parada 
𝑑𝑝 = 0,7 ∙ 𝑣 +
𝑣2
255 ∙ (𝑓 + 𝑖)
 
Em que: 
𝑣 é a velocidade de projeto; 
𝑓 é o coeficiente de atrito dinâmico estimado entre pneu e pavimento; 
𝑖 é a inclinação da pista. 
 
𝑣(𝑘𝑚/ℎ) 30 40 50 60 70 80 90 100 120 
𝑓 0,40 0,37 0,35 0,33 0,31 0,30 0,29 0,28 0,25 
Tabela 3 - Coeficiente de atrito longitudinal pneu/pavimento, considerando a velocidade de projeto. DNIT, 1999. 
 
Exemplo: Calcular os valores do raio da curva vertical (𝑅𝑉), da flecha (𝐹), e a Nota Serviço Simplificada, em estrada 
do tipo 2, com velocidade de 100 km/h, 𝐿𝑉 = 200 𝑚; 𝐸𝑃𝐼𝑉 = 𝐸(84) + 0,0 𝑚; 𝑦𝑃𝐼𝑉 = 670 𝑚; 𝑖1 = 1,5%; 𝑖2 = −3,5%; 
Para a, b em 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 utilize até 6 casas decimais e em c 2 casas decimais, se houverem. 
Variação total de inclinação 𝛿𝑖 = 𝑖1 − 𝑖2 
Distância de parada 𝑑𝑝 = 0,7 ∙ 𝑣 +
𝑣2
255 ∙ (𝑓 + 𝑖)
 
Verificação do 𝐿𝑉𝑚𝑖𝑛
 𝐿𝑉𝑚𝑖𝑛
=
𝑑𝑝
2
412
∙ 𝛿𝑖% 
Raio de curvatura no vértice da parábola 𝐿𝑉 = |𝛿𝑖| ∙ 𝑅𝑉 
Metade da projeção horizontal do comprimento, em estacas 
𝐿𝑉
2
 
Flecha máxima 𝐹 =
𝛿𝑖 ∙ 𝐿𝑉
8
 
Número de estacas do ponto de curva vertical 𝐸(𝑃𝐶𝑉) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) −
𝐿𝑉
2
 
Ordenada do ponto de curva vertical 𝑦𝑃𝐶𝑉 = 𝑦𝑃𝐼 −
𝑖1 ∙ 𝐿𝑉
2
 
Número de estacas do ponto de tangência vertical 𝐸(𝑃𝑇𝑉) = 𝐸(𝑃𝐼𝑉) +
𝐿𝑉
2
 
Ordenada do ponto de tangência vertical 𝑦𝑃𝑇𝑉 = 𝑦𝑃𝐼 +
𝑖2 ∙ 𝐿𝑉
2
 
Distância horizontal do PCV ao vértice 𝐿0 =
𝑖1 ∙ 𝐿𝑉
𝛿𝑖
 
Distância vertical do PCV ao vértice 𝑦0 =
𝑖1
2 ∙ 𝐿𝑉
2 ∙ 𝛿𝑖
 
Número de estacas do vértice 𝐸(𝑉) = 𝐸(𝑃𝐶𝑉) + 𝐿0 
Cota do vértice 𝑦𝑉 = 𝑦𝑃𝐶𝑉 + 𝑦0 
Cálculo da função da curva através do V, PCV e PTV 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
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Calcular os valores do raio da curva vertical (𝑅𝑉), da flecha (𝐹), e a Nota Serviço Simplificada, em estrada do tipo 1, com 
velocidade de 100 km/h: 
• 𝐿𝑉 = 300 𝑚; 
• 𝐸𝑃𝐼𝑉 = 𝐸(115 + 5,0 𝑚); 
• 𝑦𝑃𝐼𝑉 = 500 𝑚; 
• 𝑖1 = 𝐴%; 
• 𝑖2 = −𝐵%; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
ANTAS, P. M.; et al. Estradas: projeto geométrico e de terraplanagem. 2010, Rio de Janeiro: Interciência, 264 p. 
DNIT – DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES. Diretrizes Básicas para Elaboração de Estu-
dos e Projetos Rodoviários. 1999, Brasília: Ministério dos Transportes, 228 p. 
PIMENTA, C. R. T. Projeto Geométrico de Rodovias. 2004, São Paulo. RIMA, 198 p. 
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