Exercícios de Álgebra Linear

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A´lgebra Linear
Lista de exerc´ıcios 1
22 de maio de 2013
Notac¸a˜o.: Uma letra em negrito significara´ um vetor de Rn, o qual sera´ representado por uma
coluna. Por exemplo:
x =

x1
x2
...
xn
 , 0 =

0
0
...
0
 .
1. Calcule os seguintes produtos de matrizes:
(a)
[ −1 0 3 −10 ] ·

2
5
−7
1

(b)
[
2 0 1
] ·
 0 −1 02 3 2
0 1 0
 ·
 100
−1

2. Para cada matriz abaixo, fac¸a operac¸o˜es elementares nas suas linhas para reduzi-la a uma
matriz escalonada (Na˜o e´ necessa´rio reduzi-la a` forma escada). Calcule seu posto.
(a) A1 =
 1 1 −22 2 −3
3 −1 2

(b) A2 =
 1 1 −22 2 −3
3 3 1

(c) A3 =
 2 1 3 0−4 −1 −7 2
4 3 5 5

(d) A4 =
 2 0 −1 4 1−2 0 2 −2 0
0 0 1 2 2

1
(e) A5 =

1 3 0 2 0 1 0
−1 −1 0 −1 1 0 1
0 4 0 2 4 3 3
1 3 0 2 −2 1 0

3. Sendo A1, A2, A3 e A5 as matrizes do exerc´ıcio anterior, ache a soluc¸a˜o geral dos seguintes
sistemas lineares:
(a) A1 · x =
 02
12

(b) A2 · x =
 01
7

(c) A3 · x =
 10
−1
,
(d) A5 · x =

1
1
7
1

4. Quais condic¸o˜es os nu´meros b1, b2, b3, b4 devem satisfazer para que o sistema linear, represen-
tado matricialmente por 
2 −4 4
1 −1 3
3 −7 5
0 2 5
 ·
 x1x2
x3
 =

b1
b2
b3
b4
 , (1)
possua pelo menos uma soluc¸a˜o? Sendo satisfeitas estas condic¸o˜es, encontre o conjunto
soluc¸a˜o deste sistema.
5. Para cada sistema linear m × n (S), representado matricialmente por A · x = b, podemos
associar o sistema linear homogeˆneo (S′) dado por A ·x = 0. Mostre que, se x0 e´ uma soluc¸a˜o
de (S), enta˜o todas as soluc¸o˜es de (S) sa˜o obtidas adicionando-se a x0 as soluc¸o˜es de (S
′).
Em outras palavras, se S e S′ sa˜o os conjuntos soluc¸o˜es de (S) e (S′), respectivamente, enta˜o
S = {x0 + y : y ∈ S′}.
Quando m = 1 e n = 3, quais objetos geome´tricos de R3 S e S′ representam? Qual a
interpretac¸a˜o geome´trica da relac¸a˜o entre S e S′?
6. Considere o seguinte sistema linear nas varia´veis x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7:
3x1 + x3 + 4x4 − 2x5 = b1
6x1 + 4x3 + 8x4 − 5x5 + x6 + 2x7 = b2
+ 5x4 + 4x5 + x7 = b3
−3x1 − x3 + 16x4 + 18x5 + 3x7 = b4
6x3 − 10x4 − 11x5 + 3x6 − 2x7 = b5
(2)
2
Quais condic¸o˜es as constantes b1, b2, b3, b4, b5 devem satisfazer para que este sistema possua
pelo menos uma soluc¸a˜o? Sendo satisfeitas estas condic¸o˜es, encontre o conjunto soluc¸a˜o deste
sistema.
Quais condic¸o˜es as constantes λ1 e λ2 devem satisfazer a fim de que o seguinte sistema linear
possua uma u´nica soluc¸a˜o (na˜o e´ necessa´rio calcula´-la)? 1 0 −12 3 λ1
−1 λ2 2
 x1x2
x3
 =

√
2√
3√
5
 (3)
7. Sem calcular determinantes, decida quais matrizes abaixo possuem inversa (lembre que uma
matriz n × n A possui inversa se, e somente se, tiver posto igual a n). Para as que forem
invers´ıveis, calcule a inversa pelo me´todo de Gauss-Jordan.
(a)
 1 2 34 5 6
2 1 0

(b)
 4 2 34 5 6
7 8 8

(c)

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
4 3 2 1

8. Calcule o determinante das seguintes matrizes (fac¸a operac¸o˜es elementares nas linhas ou
colunas para simplificar o ca´lculo):
(a)

2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3

(b)

1 2 2 3
1 0 −2 0
3 −1 1 −2
4 −3 0 2

9. Dados nu´meros a1, ..., an, mostre que o determinante da matriz de Vandermond
1 a1 a
2
1 · · · an−11
1 a2 a
2
2 · · · an−12
1 a3 a
2
3 · · · an−13
...
...
...
. . .
...
1 an a
2
n · · · an−1n

e´ igual a Π1≤i<j≤n(aj − ai).
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