Lista 1 - Cálculo 1
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Lista 1 - Cálculo 1


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Última atualização: 18/02/2008 
 
ÁREA 1 - FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
FTE - FACULDADE DE TECNOLOGIA EMPRESARIAL 
Engenharias: Ambiental, Computação, Elétrica, Mecatrônica e Produção 
Disciplina: Cálculo Básico 
Professor(a): ___________________ Data: ___ / ___ / ______ 
Aluno(a): ___________________________________________ 
\u2212\u221e=
\u2212\u2192 x
)xcos(lim
0x
\u2212\u221e=
\u2212\u2192 x
)xcos(lim
0x
+\u221e=
+\u2192 x
)xcos(lim
0x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
O conceito de Limite é o pilar do Cálculo Diferencial e Integral desenvolvido 
 por Isaac Newton(1642-1727) 
 e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). 
 
 
 
 1ªªªª Lista de Exercícios 
x
yy = cos(x)/x
Cálculo Básico \u2013 Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 
2
Questão 1. 
Questão 3. 
Questão 2. 
 
 Considere a função ( )xff = abaixo definida no domínio 
\uf8fe
\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1 pipi
\u2212\u2212\u211c
2
,
2
. 
 
 
 
Analisando o gráfico de f , responda, justificando: 
(a) ( )xflim
0x
 
\u2212\u2192
 (b) ( )xflim
x
 
+pi\u2192
 (c) ( )xflim
x
 
\u2212pi\u2212\u2192
 (d) ( )pi\u2212f 
 (e) ( )xflim
x
 
\u2212pi\u2192
 (f) ( )xflim
2
3
x
 
\u2212pi
\u2192
 (g) ( )0f (h) ( )xflim
x
 
pi\u2192
 
 (i) ( )xflim
2
3
x
 
+pi
\u2192
 (j) ( )xflim
x
 
+pi\u2212\u2192
 (k) ( )xflim
2
3
x
 
pi
\u2192
 
(l) ( )pif 
 (m) ( )xflim
x
 
pi\u2212\u2192
 (n) ( )xflim
0x
 
+\u2192
 (o) ( )23f pi (p) ( )xflim
0x
 
\u2192
 
 
 
Esboce o gráfico das funções abaixo e determine ( )xflim
ax
 
\u2212\u2192
, ( )xflim
ax
 
+\u2192
 e, caso exista, ( )xflim
ax
 
\u2192
: 
Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos. 
 
(a) ( ) )2a(
1x,3x
1x2,x
2x,12x4
xf
2
2
\u2212=
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
>+\u2212
\u2264\u2264\u2212
\u2212<+
=
 
 
 (b) ( ) )1a(
1x,x2
1x,1x
1x0,x1
0x,2
xf
2
x
=
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=\u2212
>\u2212
<\u2264\u2212
<
= 
 
 
 
 
(c) ( ) ( ) )1a(
1x,log
1x,21
xf )x(
3
x
=
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
>
\u2264
= 
 
 
 
 
(d) ( ) )a(
2x),xcos(
x0),x(sen
xf pi
pipi
pi
=
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
\u2264\u2264
<\u2264
= 
 
 
 
Considere as funções do exercício 2. Verifique se f é contínua em ax = . Justifique a sua resposta. 
 
Cálculo Básico \u2013 Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 
3
Questão 4. 
Questão 5. 
Questão 6. 
Questão 7. 
Questão 8. 
 
Determine, se possível, as constantes \u211c\u2208ba e de modo que f seja contínua em ox , sendo: 
 
(a) ( ) ( )1x
1x,2x
1x,2ax3
xf o
2
=
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
\u2265\u2212
<+
= 
 
 
 (b) ( ) ( )1x
1x,b
1x,2bx
xf o2
2
=
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=
\u2260+
= 
 
 
 
 
(c) ( ) ( )3x
3x,1x
3x,ax
3x,3x3
xf o
2
\u2212=
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
\u2212<+
\u2212=
\u2212>\u2212
= 
 
 
 
 (d) ( )
( )
( )0x
0x,x2b
0x,a3x7
0x,1xcos.a2
xf o
2
=
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
>\u2212
=\u2212
<++
= 
 
 
 pi
 
 
 
Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações): 
 
(a) 
x2x
4x
 lim 2
2
2x
\u2212
\u2212
\u2192
 (b) 
4x4x3
8x2
 lim 2
2
2x
\u2212\u2212
\u2212
\u2192
 (c) 
1
12
3
2
1
\u2212
+\u2212
\u2192 x
xx
 lim
x
 
 
(d) 
27x
3x4xlim 3
2
3x
\u2212
+\u2212
\u2192
 (e) \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\u2192 2x
24x3loglim
3
62x
 
(f) ( )( ) ]2x.8x[senlim 1
2x
\u2212
\u2192
\u2212\u2212
3
 pi 
 
(g) 
x2x3x
x4xlim 23
3
2x +\u2212
\u2212
\u2192
 (h) 
12x7x
6xx
 lim 2
2
3x +\u2212
\u2212\u2212
\u2192
 (i) 22
33
ax ax
axlim
\u2212
\u2212
\u2192
 
 
 
 
Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais): 
 
(a) 
1x
1xlim
1x
\u2212
\u2212
\u2192
 (b) 
x3
x11xlim
0x
\u2212\u2212+
\u2192
 
(c) 
x2x
x1lim
2
1x ++
\u2212
\u2212\u2192
 
 
(d) 
1x
32xlim 31x
\u2212
\u2212+
\u2192
 (e) 
4x
2xlim
4x
\u2212
\u2212
+\u2192
 (f) 
32x2
4xlim
16x
\u2212
\u2212
\u2192
 
 
(g) 
x51
x53lim
4x
\u2212\u2212
+\u2212
\u2192
 (h) 
x
24xlim
2
0x
\u2212+
\u2192
 (i) 
x3x
516xlim 2
2
3x
\u2212
\u2212+
\u2192
 
 
 
Calcule ( )x flim
x \u2212\u221e\u2192
 e ( )x flim
x +\u221e\u2192
 para os itens c,b,a do exercício 2. 
 
 
Analisando o gráfico da questão 1, responda, justificando: 
 
 
(a) ( )xflim
2
x
 
+pi
\u2192
 (b) ( )xflim
2
x
 
pi
\u2212\u2192
 (c) ( )xflim
2
x
 
\u2212pi
\u2192
 (d) ( )xflim
2
x
 
pi
\u2192
 
 (e) ( )xflim
x
 
+\u221e\u2192
 (f) ( )xflim
x
 
\u2212\u221e\u2192
 
(g) f é contínua em 
 0xo = ? 
(h) f é contínua em 
 pi\u2212=ox ? 
 (i) f é contínua em 
 23xo pi= ? 
(j) f é contínua em 
 pi=ox ? 
 
 
 
 
Cálculo Básico \u2013 Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 
4
Questão 10. 
Questão 11. 
Questão 9. 
Questão 12. 
Questão 13. 
 
Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas em cada caso: 
 
(a) 
\ufffd ( ) 1xflim
0x
=
\u2192
 \ufffd não existe ( )xflim
1x
 
\u2192
 \ufffd f é descontínua em 0x = 
(b) 
 
\ufffd ( ) +\u221e=
\u2212\u221e\u2192
xflim
x
 \ufffd ( ) \u2212\u221e=
+\u221e\u2192
xflim
x
 \ufffd não existe ( )xflim
2x
 
\u2212\u2192
 \ufffd ( ) 3xflim
4x
=
\u2192
 
\ufffd f é descontínua em 
 0x = 
 
 
 
Calcule os limites a seguir (do tipo \u221e\u221e ): 
 
(a) 23
2
x x9x18
25x4x2lim
\u2212
\u2212\u2212
+\u221e\u2192
 
(b) ( )( )( )( )( )x24x31x
5x23xxlim
x
\u2212+\u2212
+\u2212
\u2212\u221e\u2192
 
 
(c) 
1x
4x3x2lim 4
2
x +
\u2212\u2212
+\u221e\u2192
 
(d) ( ) ( ) 1x23.1x
x
2lim
\u2212
\u2212\u2212
\u2212\u221e\u2192
 
 
(e) 
x2x4
1xx3lim 3
5
x
\u2212
+\u2212\u2212
\u2212\u221e\u2192
 
(f) ( ) ( ) 123 1x.x
x
lim
\u2212
\u2212
+\u221e\u2192
pi1 
(g) 2n n
n321lim ++++
\u221e\u2192
L
 (***) (h) 3
2222
n n
n321lim ++++
\u221e\u2192
L
 (***) 
 
(***)Sugestão: 
\ufffd A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula ( ) 21nn + . 
\ufffd A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula ( )( ) 61n21nn ++ . 
 
 
Calcule os limites a seguir (do tipo \u221e\u2212\u221e+ ): 
 
(a) )1xln()1xln(lim 2
x
+\u2212\u2212
+\u221e\u2192
 (b) x2xlim
x
\u2212+
+\u221e\u2192
 (c) x2xlim
x
\u2212+
+\u221e\u2192
2
 (d) xx4xlim
x
\u2212+
+\u221e\u2192
2
 
 
 
Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e k \u2260\u2260\u2260\u2260 0): 
 
(a) ( )24x 4x
5xlim
\u2212
\u2212
\u2192
 (b) ( )( )xsen.x
xcoslim
0x
 
\u2192
 (c) ( )2
2
5x 5x
3x2lim
\u2212
+
\u2192
 
 
(d) 
4x5x
5xlim 21x +\u2212
+
\u2192
 (e) 
3x
11x3lim
3x
\u2212
\u2212
\u2192
 (f) 32x )2x(
x3lim
\u2212
\u2212
\u2192
 
 
 
Calcule as constantes a, b, c e d de modo que: 
 
(a) 4
bx
axlim
2
bx
=
\u2212
\u2212
\u2192
 (b) 5
3x
baxxlim
2
3x
=
\u2212
+\u2212
\u2192
 
(c) 5
1x
3bx
axlim
x
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
+
+
\u2212
+\u221e\u2192
 
 
(d) 
8x4x4
dcxbxax)x(f,1)x(flim3)x(flim 2
23
2xx
\u2212+
+++
===
\u2212\u2192+\u221e\u2192
 sendo e (e) 
6
1
1x
a3xblim
1x
=
\u2212
\u2212+
\u2192
 
 
 
Cálculo Básico \u2013 Limites 
______________________________________________________________________________________ 
 
5
Questão 14. 
Questão 15. 
Questão 17. 
Questão 18. 
Questão 16. 
 
 
Calcule os seguintes limites (envolvendo o limite fundamental trigonométrico): 
 
(a) ( )
x
x4senlim
0x
 
\u2192
 (b) ( )
x2
x7tglim
0x
 
\u2192
 (c) ( )20x x
xcos1lim \u2212
\u2192
 
 
 (d) \uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee +\u2212
\u2192 x
xsenxx2lim
3
0x
 
(e) ( )( )xsenx
xcos1lim
0x
\u2212
\u2192
 (f) ( )2
2
0x x3
xcos77lim \u2212
\u2192
 
 
 
Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e \u2245\u2245\u2245\u2245 2,7182): 
 
(a) 
3x
x x
21lim
+
\u2212\u221e\u2192
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+ (b) 
x
x x
31lim \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212\u221e\u2192
 (c) 
6x3
x x
41lim
+
+\u221e\u2192
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+ (d) 
4x6
x x
5xlim
+
+\u221e\u2192
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +
 
 (e) ( )( ) ( )xsec3
2x
xcos1lim +
\u2192
 
pi
 
(f). 
x2
1elim
x
0x
\u2212
\u2192
 (g) 
h
33lim
xhx
0h
\u2212
+
\u2192
 
(h) )xsen(
1elim
x
0x
\u2212
\u2192
 
 
 
Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites (diversos): 
 
(a) 3
53
0x x6
)x(senx5lim +\u2212
\u2192
 (b) \uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +
+\u221e\u2192
2
2
x2
x1
x
2lim (c) 
cbx
x x
a1lim
+
+\u221e\u2192
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+ (d) 
x3
x9lim
2
3x
\u2212
\u2212
\u2192
 
 
(e) ( )55x 10x-2
-x3lim 
\u2212\u2192
 (f) 
5x2
5x2lim
2x
\u2212
+
+\u221e\u2192
 (g) 
x
)xsen()x(tglim
0x
+
\u2192
 h) ( )2x
eelim
2x
2x
\u2212
\u2212
\u2192
 
 
 
Aplicações 
 
 
O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que 
um novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 9
t
e1030)t(Q
\u2212
\u2212= novas 
unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se 
 
(a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento? 
 
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ? 
 
 
 
Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que 
tomaram conhecimento é dado por
t5,0e241
600)t(N
\u2212+
= , onde t representa o número de dias após ocorrer a notícia. 
 
Pergunta-se 
 
(a) Quantas pessoas souberam