Lista de Exercícios 2

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Exercícios de cálculo I
Lista nOOl
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I I
-2 I -11
I I
1 I
I I
I I
I I
I I
I------1--
I
I
I
I
I
I
I
I
I
b I
I
I
I---i-
a I
I
I
I
I
I
I
I
I
a) lim f(x)
x~-7
d) Um f(x)
x~-5
g) liIn f(x)
x~3-
b) lim f(x)
x~-5
e) fim f(x)
x~-3
h) lün f(x)
x~3+
I
I
I
I
-1--
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
4
I
I
I
I
I---r
c) lim f(x)
x~-5+
f) fim f(x)
x~O+
i)liIn f(x)
x~5
~ Esoo e o gráfico de determine lün, lün f(x) e, caso exista, lim f(x) :
X"""""*G - X"""""*G + X"""""*G
a) f(x) = 2 se x = 1
4x + 1 se x < 1
(a = 1)
x2 -1 se x 2 1e x"* 2
b) f(x) = 1 se x = 2
1- x se x < 1
c)f(x) = {x
2
-x se x 2 OCa= O)
- x se x < °
f. x+ 2 (d) (x) = I I a = -2)x+2
3. Determine, se possível, a E R para que exista lim f (x), sendo:
x"""""*xo
3x - 2 x>-l,
a) f(x)= 3, x = -1 (xo = -1)
5-ax x<-l,
, {(X2 - 4)(x - 2)-1, x"* 2( 2)
b) f(x)= xo=
a x = 2,
a) nos pontos: -7, -5, -3, O,3 :
b) nos intervalos: [-7,-6],[-5,-3],(-2,0),(5,7)
5. Considere as funções A,B, C do exercício 11.Verifique se f é contínua em x = a
justifique.
6. Determine, se possível, C E R de modo que fseja contínua em xo, onde:
{
3CX
2 + 2, x < 1
a) f(x) =
X - 2, X ~ 1
(Xo = 1)
{
CX2 - 1,X :;é 1
b) f(x)= 2 (xo=l)
C X = 1,
{
CX
2
- 2, X> O
c) f(x) = (xo = O)x-3 x<O, -
a) D(±) = 91, existem lün f(x) e lün f(x) mas fé descontínua em x =
x~o x~l+
a) lim (_y5 _3y4 +12y2)
\·~-l
,2
b) fim (_x3 +(~)-O,5x)
x~.t 4
c) lim (log w -ln w)
w~lO
e3x+5
lilll ---
_I J[
X~ 2cOS x
I" sen xe) un ---
J[ 1+ cos xx~-
2
x2 -4
g) liml---I
x~2 2-x
d) Iim eX (x3 - 4)
x~l
. -5x
h) 11m --
x~o- 21xl
(
\"2_9J3j) lim -"--
x~3 x-3
JSI" x-Ii) unx~-l x-I
a) lim f(x)
X~-Y)
b) lim f(x)
x~-2
c) lim f(x)
X~O-
d) lim f(x)
x~o
e) lim f(x)
x~2
f) lirn f(x)
x~4-
g) lim f(x)
x~4+
h) lim f(x)
x~4
i) lim f(x)
X~+YJ
10. Calcule lim f(x) e lim f(x)
x~-oo x~+YJ
{
Lnx,X>Ü
a) f(x) =
eX, x ~ Ü
lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x),lirnf(x), lirn f(x), lirn f(x),
x~-oo x~O- x->o+ x~O x~l x~-l x~e .
fim I( x) ,intervalos onde f é contínua.
x-»-oo
x-5
e)lim----
x-+1x2 -5x+4
'
" 5x-4
g) 1m--
.1-+2 Ix - 21
i) lim cos x
.1-+0 x sen x
3 -,
" (x+h) -x-'
a) lIm -----
17-+0 h
3" z -27
c) 11l1~ " 2
z-+-'(Z-J)
" x-8
e) hm-
I
-
x~ -8
'
" x
g) 1m--
.1-+0+ Ixl+x
.j. 3-1
")}" (x -16)(.1 -8)
I 1me
.1-+2
" t3 +1
I) 11l111og3--
t-+--l t+l
f) lim x -10
.1-+5 x2 -lOx + 25
h) lim cos 3x
.1-+0 X
I" 3x + 1j) lill--x-+3\xl- 3
3
b) 100 x -8
.1-+2 x - 2
d) 100 2x -6
x-+3Ix-31
2
I" x -(a+l)x+a Of) lill ------, a*-
x-+a x3 _a3
xn _an *
h) fim---,a *- O,n,mE Z +
x-+a xm _am
j) 100
.1-+-3
x3 +x2 -21x-45
2x3 +15x2 +36x+27
f(x) = {(X3 -125)(x - 5) -1, x*-5
a) 75 x = 5,
b) f(x) = {C3X + 12)lx + 41-1, x *- -\xo = -4)
4 x=-4,
C)f(X)={(2X-1O)(X-5)-3,X*-5(X
O
=5)
O,x = 5
{
( 1/).1, x> o
b) f(x) = /2
X,X<O
/im f(x), fim f(x) lim
x-+-oo x-»-oo .1-+0
limf(x).
x-+l '
log L/'x > O
/2
c) f(x) = O, x = O
-2 OX ,x <
f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x),
x-+O+ .1-+0 x-+-l
lim f(x), fim f(x) lim f(x), lim f(x) , estude a continuidade de fem
x->-:r.- x-+t-oo .1-+0 .1-+1
x=o
a) lim (2+x-x3)
x-+-.::ç
c) lim (x2 - 3x)
.1-+-00
e) lin1(-2x4 +x3 -2)
x---+t-co
) ,. logxg 1m ----
x-++oo (X)X + 3
i) /im ~x2 - 3x + x
x-++oo
I) lim (x2 + lnx)
x-+O+
b) lim(2x5 +4x2 -3)
x-»-oo
d) lim (4x3 -2x2 +x-5)
.1-+-00
h) lim ~5x2 +x+2
.1-+-00
j) lim - e1-x
.1-+-00
2
I" x + 1a) lm--
.1-+0 sen x
2 2 "
)
}
o x +.)
c lm---
.1-+5 (x-5)2
b) r E-11Ill2.1-+0+ x
2
d) lim 2x +x - 1
.1-+1 x-I
2
I
" x -a
a) nn ---= 4
x~b x-b
2
b) lim x -ax+b = 5
x~3 x-3
c) lim [ax_bX+3]=5
X~+J.:; x+1
" ax3+~2+cr+d
d) lim g(x) = 8 e hm g(x) = 5, onde g(x) = -------
X--+-J.:; x~3 X 2 -7 x +12
1
" 10x3 -2x+3
a) 1m -----
x~+:x: 5 - 3x2 + x3
2 ~ 1
b) lim x +.H+
x~-oo 2x2 - 5x +1
" x2 -4x -25
c) 11111
x~+-.f.; 18x3 - 9x2
d) lirn e(x-l)(3-2x)-1
x~-oo
" 2+x-nx2e) 11msen----
x~+oo 12x-4x2
f) 1im
x~+oo
h) lim ~ ln 2 -ln(3 x +1)}
x~+oo
}" -E-1a)1m--
x~l x-1
I
" -Jt+i-~
b) 1Ill----
t~O 3t
}_ 2
c) lim y
y--+-l y +...)2 + y
d) lim .JX+2 - jj
x~o x4
l
- 3---15+x
e)lm----
x~4 1---15 -x
_ )a-3---15-a
g) hm------
a~-+ .Ja - 2
i) lim (-J x + a - E)
x~+:x;
1) lim .[;+2 +E
x~+X) x-2
a) lim x sen(l/ x)
x~o
c) lim eX sen x
X~-X)
. 2+5x3
e) Itm 7 cos(lnx)
x~+oo 1-3x
f) 100 E-2
x-+4 --1x -4
h) lim E -8
x-+64 VX-4
j) 1im [xC~ x 2 - 1- x )J
x-++oo
m) 100 (~x2 -3x +x)
x-+-oo
b) 100 sen x
x-++oo X
d) lim [X3(4-COSX-2)+ e
X
]
x-+o+ X
{
ZlX+l-l
a) f(x) = x ' x "* O(xo = O)
3,x =0
{
E-2
b) f(x) = x_4,x>4 (xo =4)
3x-(23/ 4),x ~ 4
1.A)G) o;
B) -a;
C)E)F)H) a;
0)1) não xiste
5
lim f(x) = 6, lim f(x) = 1,lim f(x); lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = 3;
x----*1 x~l+ x~l x~2 x~2+ x~2
lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = O;
x----*o- x----*o+ x----*o
o
11m f(:r) = -1, lim f(x) = 1, lim f(x) li
x----*-2 x----*-2+ x~-2
3a) -10;
b) qualquer real
4 a) f é contínua em -7; não existe o limite de f em -5,0,3; lim t{x):;t: f(-3)
x~-3
b)fé contínua em [-7,-6],(5,7];
fnão é contínua em [-5,-3] pois lim f(x) =1= f( -3);
x~3-
fnão é contínua em(-2,0) pois não o é em x =-1.
5. a) não é contínua em -1 pois não existe o lim f(x);
x~l
b) não é contínua em x =2 pois lim f(x) =1= f(2);
x~2
c) é continua em zero pois lim f(x) = f(O) = O;
x~O
8. a) 10 b) -62 c)l-lnlO d) -3e e)l
f) ") 2 g) 4 h) 5/2 i) ° j)216.:.e
9. a) -a b)+O') c) -O') d) não existe e) -O')
t)TO') g) - O') h) não existe i) - O')
10. a)-UJ,-O') b)+CIJ,+CIJ c)+ co ,+0') d) 1,-1
11. c)
a) 0,1, - co, não existe, ° ,I/e, 1, + co, (-co,O), (0,+ co)
b) O,O, -ClJ, 1, não existe, -1, \/z
c) O, -ClJ, +CIJ, 0, não porque lim f(x) =1= f(O)
x~O
i) eY] j)~
17 a) ]O d) e -0.5
b)l/2 g) -I
c ), f) O h) - r:/)
-fi
e) -
2
18. a) 0,5 b)1I2 c) 4/3 d)- CfJ e) -113 t),i),l) O
u) .:t h) 3 m) 3/2 j) -1/2:::>