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CCE0117_AV2_201202259961 » CÁLCULO NUMÉRICO

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	Avaliação: CCE0117_AV2_201202259961 » CÁLCULO NUMÉRICO       
	Tipo de Avaliação: AV2
	Aluno: 201202259961 - CARLOS ALBERTO VIGNA MONTEIRO 
	Nota da Prova: 6,0 de 8,0         Nota do Trab.: 0        Nota de Partic.: 0        Data: 29/11/2014 09:11:18 (F)
	
	 1a Questão (Ref.: 120958)
	Pontos: 1,5  / 1,5 
	O que entende por matriz mal condicionada? Que cuidados devem ser tomados quando aparecem em sistemas lineares. (0,5 ponto) O que entende por convergência linear e convergência quadrática, no cálculo de raízes ?(0,5 ponto) Explique a importância do Método LU.
		
	
Resposta: Matriz mal condicionada = Seus valores não apresentam resultados exatos. Sistemas lineares = nos sistemas lineares sempre obeservar sua composição/ordem. Convergência linear = apresenta um valor. Convergência quadrádica = apresenta mais de um valor. Métudo LU =
	
Gabarito: Entende-se por Matriz Mal Condicionada a matriz cujo determinante é muito pequeno quando comparado com a ordem de grandeza de seus elementos. (uma definição mais precisa exigiria definir norma de matriz). São matrizes que, quando envolvidas na solução de sistemas lineares, tornam os resultados pouco confiáveis, pois pequenos arredondamentos nos componentes da matriz, ou em resultados intermediários, alteram profundamente o cálculo final das raízes do sistema. Tendo um Sistema Linear uma matriz mal condicionada, os cálculos deverão ser feitos com a maior precisão possível, procurando-se minimizar a propagação desses erros, que são críticos nesse caso, podendo levar a resultados profundamente diferentes dos verdadeiros. Convergência¿ quando se calcula uma raiz de uma equação por um processo iterativo, busca-se, a cada nova iteração, aproximar-se mais e mais do verdadeiro valor da raiz. Em cada iteração, entretanto, há um erro associado a ela. Num método que convirja, a tendência é a da diminuição dos erros, que deverão tender a zero. Se o erro de uma iteração é aproximadamente proporcional ao erro da iteração anterior, isto é, ei+1 » k.ei , diz que a convergência é linear, sendo |k| < 1. Se ei+1 » k ei2 , isto é, se cada novo erro é proporcional ao quadrado do erro anterior, diz-se que a convergência é quadrática. Admitindo-se que os erros sejam pequenos, o quadrado do erro tende a zero mais rapidamente, daí a convergência quadrática ser mais rápida que a convergência linear. Método LU para resolução de Sistemas Lineares¿ nesse método, fatora-se a matriz do sistema no produto de duas matrizes: uma triangular inferior e outra triangular superior. Assim, transforma-se um sistema A.X = B num sistema L.U.X = B, onde L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior. Chamando-se U.X de Y , tem-se o sistema L.Y = B, de imediata solução, pois L é uma matriz triangular. Calculado o vetor Y, passa-se ao sistema U.X = Y, também triangular e de solução imediata. Assim calcula-se X, que é a solução do sistema A.X = B. É muito comum, na prática, ter-se que resolver sistemas onde só muda o vetor B, considerado, em geral, a carga do sistema. A solução fica acelerada pela fatoração inicial da matriz A e a resolução posterior de dois sistemas triangulares. Para cada novo vetor B, lado direito do sistema, repete-se a solução dos dois sistemas triangulares, de solução rápida. 
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 110623)
	Pontos: 0,5  / 0,5 
	
		
	
	-11
	
	-5
	
	2
	
	3
	
	-3
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 121179)
	Pontos: 0,5  / 0,5 
	Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
		
	
	3x - 1 
	
	x + 2
	
	3x + 7
	
	x - 3
	
	2x + 5
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 110637)
	Pontos: 0,5  / 0,5 
	Considere o valor exato 1,026 e o valor aproximado 1,000. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
		
	
	0,026 e 0,026
	
	0,026 e 0,024
	
	0,024 e 0,026
	
	0,024 e 0,024
	
	0,012 e 0,012
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 152999)
	Pontos: 0,5  / 0,5 
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jordan
	
	Gauss Jacobi
	
	Bisseção
	
	Newton Raphson
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 110712)
	Pontos: 0,5  / 0,5 
	A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
		
	
	1,6
	
	0
	
	3,2
	
	0,8
	
	2,4
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 152780)
	Pontos: 0,0  / 0,5 
	Considere o seguinte sistema linear:
 
 
Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida?
 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		Gabarito Comentado.
	
	
	 8a Questão (Ref.: 121207)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
		
	
	0,333
	
	0,48125
	
	0,125
	
	0,328125
	
	0,385
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 110681)
	Pontos: 1,0  / 1,0 
	Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
		
	
	[1,2]
	
	[0,3/2]
	
	[0,3]
	
	[3/2,3]
	
	[1,3]
		Gabarito Comentado.
	
	
	 10a Questão (Ref.: 152467)
	Pontos: 0,0  / 1,5 
	Suponha que desejemos fazer a interpolação utilizando o método de Lagrange dos seguintes pontos A (0,5), B(1,2) e C(-1, 12). O polinômio P(x) terá o seguinte aspecto:
 
P2(x) = f(x0).M0(x) + f(x1).M1(x) + f(x2).M2(x)
 
Considerando x0 = 0, x1 = 2 e x2 = -1, determine M0(x).
 
 
 
		
	
Resposta: 1,73.
	
Gabarito: M0(x) = (2 + x - x2)/2

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