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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO INTRODUÇÃO AO CÁLCULO Prof. José Edeson Siqueira FUNÇÃO AFIM Problemas Contextualizados e Multidisciplinares 1) Mestre Florindo, raizeiro famoso, vende suas garrafadas medicinais por R$ 5,00 na feira de Caruaru. Para fabricá-las, o mestre gasta R$ 2,00 por garrafada, além de um custo fixo de R$ 900,00. a) Qual é a lei que define o lucro do mestre em função do número de unidades produzidas e vendidas? L(x)=3x-900 b) Quantas garrafadas devem ser comercializadas para que o mestre tenha um lucro de R$ 900,00? 600 c) Esboce o gráfico para este problema. 2) O custo de uma corrida de táxi é constituída por um valor inicial 0Q , fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25. e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25. a) Calcule o valor de 0Q . R$ 3,75 b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia? 30 km c) Esboce o gráfico para este problema. 3) Uma empresa pretende alugar um veículo por um certo período. A locadora Aloca apresentou a seguinte proposta: R$ 1.400,00 mais R$ 3,00 por quilometro percorrido. A proposta da locadora Reloca é: R$ 2.000,00 mais R$ 1,00 por quilômetro percorrido. A partir de quantos quilômetros a locadora Reloca passará a ser mais vantajosa? >300km 4) Num experimento, a temperatura de um certo volume de água varia segundo uma função afim com o tempo. Inicialmente, a água está a uma temperatura de 12ºC e, 8 minutos depois, chega a 8ºC. Calcule o tempo em minutos para que a água atinja 0ºC. 24 min 5) Em uma loja de roupas cada vendedor recebe um salário fixo de R$ 300,00 por mês mais uma comissão de 5% sobre as vendas que ultrapassarem R$ 1.000,00 no mês. No mês em que Júlio, funcionário da loja, vendeu R$ 1.800,00, quanto ele recebeu de salário? R$ 340 6) O gerente de uma agência de turismo promove passeios e bote para descer cachoeiras. Ele percebeu que quando o preço pedido para esse passeio era R$ 25,00, o número médio de passageiros por semana era de 500. Quando o preço era reduzido para R$ 20,00, o número médio de fregueses por semana sofria um acréscimo de 100 passageiros. Considerando que essa demanda seja linear, se o preço for reduzido para R$ 18,00, calcule o número médio de passageiros esperado por semana? 640 7) O custo mensal total de fabricação de um certo produto é igual à soma de um valor fixo de R$ 700,00 com custo de produção de R$ 0,60 por unidade fabricada no mês. Cada unidade é vendida por $ 1,00. De acordo com as informações dadas, analise as afirmativas abaixo. a) O custo de produção de 150 unidades é R$ 90,00. V b) Em um mês em que foram fabricadas 200 unidades, o custo total mensal foi de R$ 820,00. V 8) Os comerciantes do Grupo Coposuco compram cada garrafa de 600 ml de suco pronto ao preço de R$ 1,20 e revendem seu líquido usando copos de 290 ml, cobrando R$ 1,00 cada copo de suco. Sabendo que, em um certo dia, eles venderam 100 garrafas de suco pronto e que somente foram vendidos copos completamente cheios, calcule o lucro dos comerciantes nesse dia. 9) O custo mensal total de fabricação de um certo produto é igual à soma de um valor fixo de R$ 700,00 com custo de produção de R$ 0,60 por unidade fabricada no mês. Cada unidade é vendida por $ 1,00. De acordo com as informações dadas, analise as afirmativas abaixo. a) O custo de produção de 150 unidades é R$ 90,00. V b) Em um mês em que foram fabricadas 200 unidades, o custo total mensal foi de R$ 820,00. V c) O gráfico da função custo mensal total, em reais, em função do número x de unidades fabricadas no mês é: F d) Em um mês em que foram fabricadas 2 000 unidades, o lucro foi de R$ 150,00. F e) Em um mês, para não haver prejuízo, devem ser vendidas, no mínimo, 1 750 unidades. V Definições e Propriedades 10) Os itens a seguir referem-se a uma função afim definida no conjunto R . a) Obtenha a lei de correspondência da função afim que satisfaz os seguintes valores 2)4( f e 5)2( f . f(x)=0,5x+4 b) Determine o zero da função encontrada no item anterior. -8 c) Esboce o gráfico dessa função. d) Diga se a função é crescente ou decrescente. crescente e) Faça o estudo do sinal dessa função f(x)=0, para x=-8 f(x)>0, para x>-8 f(x)<0, para x<-8 Inequações 11) Calcule a raiz quadrada do quadrado da soma dos números inteiros que satisfazem a desigualdade 0)72)(34( xx . 5 12) Quantos e quais números inteiros satisfazem a desigualdade 3x 1x2 > 0? {1; 2} dois 13) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 732 xx e 135 xx ? três Conexão com outros temas matemáticos 14) Sejam r e s as retas de equações 2x + y = 6 e y = 2 1 x + 2, respectivamente. a) No plano cartesiano da figura abaixo, TRACE as retas r e s e INDIQUE suas interseções com os eixos coordenados. g b) Calcule a área do triângulo limitado pelo eixo dos y e pelas retas r e s. 16/5 u.m. FUNÇÃO QUADRÁTICA 01. Um fazendeiro queria construir um cercado em forma de um retângulo para criar gado. Como o dinheiro que ele tinha era suficiente para fazer apenas 200 metros de cerca, resolveu aproveitar uma parte reta da cerca do vizinho para economizar e construir, com apenas 3 lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual a área deste cercado? 5000 m² 02. Seu Orestes quer fazer um cercado para criar galinhas, de modo que o piso seja retangular e sua região plana tenha área máxima. Para isso, ele dispõe de um rolo de tela com 26m de comprimento. Desse modo, quais devem ser as medidas do cercado? 6,5 m 03. A diretoria de um clube de futebol sabe que o n úmero de torcedores (x), em milhares, que vão ao estádio depende do preço (p) do ingresso da arquibancada segundo a relação p = - 27 10 3 x . a) Qual o preço do ingresso na arquibancada cobrado num jogo em que o público é de 20.000 torcedores? E de 50.000 torcedores? R$ 21,00 e R$12,00 b) Qual preço deverá ser cobrado a fim de proporcionar receita máxima? R$ 13,50 04. Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, com 10 n 70, no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 – n) reais. Nessas condições, o dinheiro total arrecadado pela empresa varia em função do número n. Qual é a maior quantia que a empresa pode arrecadar? R$ 2500,00 05. Um grupo de amigos, numa excursão, aluga uma van por R$ 342,00. Findo o passeio, três deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles R$ 19,00 a mais. Quantos eram os amigos? 9 pessoas 06. Uma loja vende 3.000 DVD’s por mês ao preço de R$ 20,00 a unidade. Uma pesquisa de mercado concluiu que, a cada aumento de R$ 1,00 no preço de cada DVD, as vendas caem 100 unidades por mês. Qual deve ser o preço de cada DVD, para se maximizar o lucro total das vendas? R$25,00 07. Quando o preço do sanduíche é de R$ 4,00 uma lanchonete vende 150 unidades por dia. O número de sanduíches vendidos diariamente aumenta de 5 unidades, a cada diminuição de R$ 0,10 no preço de cada sanduíche. Para qual preço do sanduíche, a lanchonete arrecadará o maior valor possível com a venda diária dos sanduíches? R$ 3,50 08. Um hotel tem 30 quartos para casais. O gerente verificou que, cobrando R$ 120,00 por dia de permanência de cada casal, o hotel permanecia lotado, e cada aumento de R$ 5,00 na diária fazia com que um quarto ficasse vazio. Qual o preço que deve ser cobrado por dia para maximizar a receita do hotel? R$ 135,00 09. Um laboratório farmacêutico, após estudo do mercado, verificou que o lucro obtido com a venda de xmilhares do produto A era dado pela fórmula: L(x) = 100 . (12 000 – x) . (x – 4 000). Analisando-se as afirmações, tem-se que: FVFVV I II 0 0 o laboratório terá lucro para qualquer quantidade vendida do produto A 1 1 o laboratório terá lucro, se vender mais de 4 000 e menos de 12 000 unidades do produto A 2 2 se o laboratório vender mais de 12 000 unidades do produto A, ele terá prejuízo 3 3 o lucro do laboratório será máximo se forem vendidos 8 000 unidades do produto A 4 4 se o laboratório vender 4 000 unidades do produto A, não terá lucro 10. Um restaurante self service vende 100kg de comida por dia, a R$ 12,00 o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que a cada R$ 1,00 de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com um consumo médio de 500g cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? R$ 16,00 11. Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros: Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C. a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas. 5<n<13 b) Calcule o valor de n que proporcione o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro. N=9 e R$ 80,00 Definições e Propriedades 12. Se o gráfico da função de R em R definida por f(x) = x2 + (k – 2)x – 2k, com k R, é tangente ao eixo x, calcule o valor de k. k=-2 13. Para que valores reais de m a função quadrática representada por 32)2()( 2 mmxxmxf não admite raízes reais? m>6 Gráficos 14. Considere o gráfico abaixo, que representa uma função quadrática definida por y = x2 + 2x - 3. Quais são as coordenadas do vértice V da parábola? (-1; -4) 15. O gráfico abaixo representa uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. Calcule a soma dos coeficientes a, b e c. -1+(-1)+2=0 16. Os itens a seguir referem-se a uma função definida no conjunto R . a) Obtenha a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0; 1) e B(-1; -2) e C(-2; 7). b) Encontre o ponto onde a parábola que representa a função quadrática corta o eixo OY. c) Verifique se a parábola que representa a função corta o eixo OX; em caso afirmativo, determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece. d) Determine os vértices da parábola descrita pela função. e) Esboce o gráfico dessa função. f) Determine a imagem do gráfico que você desenhou acima. g) Faça o estudo do sinal dessa função Inequações 17. Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 0700752 2 nn . Assim sendo é correto afirmar que: a) Apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4. b) Apenas dois dos elementos de M são primos. c) A soma de todos os elementos de M é igual a 79. d) M contém exatamente 6 elementos. 18. Resolva a inequação (x2 – 5x + 6) (x2 – 7x + 6) < 0, e calcule a soma dos inversos dos inteiros de sua solução. 9/20 19. Seja a inequação 0 3 1032 x xx Considerando os números inteiros negativos, calcule a soma de seus quadrados. 1 FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA PROBLEMAS MULTIDISCIPLINARES E CONTEXTUAIZADOS 1) A população de uma cidade X aumenta 1.500 habitantes por ano e a população de uma cidade Y aumenta 3% ao ano. Admita que, a população de cada uma dessas cidades seja 100.000 habitantes. a) Qual é a lei que define a população P em cada uma dessas duas cidades daqui a t anos? b) Em 2 anos, qual cidade terá maior número de habitantes? 2) Um banco afirma que empresta dinheiro a taxa de juros de 100% ao ano. Na hora de pagar a sua dívida, um ano depois, um cliente observa que os juros cobrados são mais altos. Ele procura o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros são capitalizados mensalmente, à taxa de %333,8%100 12 1 ao mês. a) Supondo que o cliente tivesse feito um empréstimo de R$ 1.000,00, explique, como seria possível perceber que o banco havia cobrado juros com taxa superior a 100% ao ano. Use: 613,2)08333,1( 12 . b) Qual é a taxa efetivamente cobrada pelo banco anualmente? 3) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos, que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por esse indivíduo. Uma situação envolvendo Curva de aprendizagem segue abaixo: A taxa segundo a qual um funcionário do Correio classifica a correspondência é função da sua experiência. Calcula-se que o funcionário, após t meses de trabalho, consiga classificar tetQ 5,0500700)( cartas por hora. Onde Q =quantidade de cartas classificadas por funcionário, t = meses de experiência, e = 2,7183. a) Quantas cartas um funcionário novo conseguirá classificar por hora? b) Quantas cartas um funcionário com 6 meses de experiência classificará por hora? 4) Meia-vida ou período de semidesintegração é o tempo necessário para a desintegração de metade dos átomos radioativos (ou metade da massa) de um certo isótopo de um elemento químico. A química nos ensina que na verdade, a massa desse isótopo não está sumindo: apenas está diminuindo pelo fato de o isótopo se transformar em outro isótopo. O Cobalto 60, 60 27Co , tem meia-vida de 5 anos. Ele é usado em hospitais na radioterapia, para tratamento de pacientes com câncer. A partir de uma amostra de 10g de cobalto 60, determine: a) A massa desse isótopo daqui a 5 anos e 10 anos. b) Seja x o número de meias-vidas. Encontre a lei que relaciona a massa da amostra em função de x e esboce o gráfico dessa função. 5) Considerando-se as taxas de natalidade e mortalidade, a população da cidade A apresenta crescimento de 3% ao ano, e a população da cidade B aumenta, a cada ano, 2000 habitantes em relação ao ano anterior. Em 1990, a população da cidade A era de 200 000 habitantes e a população da cidade B era de 220 000 habitantes. Supondo que ambas as cidades continuassem crescendo de acordo com as informações dadas, obtenha a lei que representa a população P de cada uma em t anos, a partir de 1990 e suas respectivas populações ao final de 2008. (Use: 702,1)03,1( 18 ) 6) O preço de um automóvel, )(tP , desvaloriza-se em função do tempo t, dado em anos, de acordo com uma função de tipo exponencial tabtP )( , com a e b sendo constantes reais. Se hoje (quando t=0), o preço do automóvel é de 20000 reais, e valerá 16000 daqui a 3 anos (quando t=3), em quantos anos o preço do automóvel será de 8192 reais? (Dado: 48,0 20000 8192 ). 7) Um investidor inglês tem 21.000 libras esterlinas para investir por um período de um ano. Para ser investido no Brasil, o valor é convertido para reais e, após o período de investimento, é novamente convertido para libras, antes de retornar ao investidor. Os juros pagos no Brasil são de 1,5 ao mês, e os juros pagos na Inglaterra são de 5% ao ano. Supondo que o valor da libra hoje é de R$ 4,00 reais e que o seu valor em um ano será de R$ 4,20, analise justificando as afirmações a seguir. I II 0 0 Se o investidor escolher o Brasil para aplicar, ele receberá aproximadamente 4000 libras de juros. 1 1 Se aplicar na Inglaterra, o investidor receberá 1050 libras de juros. 2 2 Se o investidor escolher o Brasil para aplicar, o montante da aplicação será de aproximadamente 100.800 reais. 3 3 Se o investidor escolher o Brasil para aplicar, ele receberá, de juros, o equivalente a aproximadamente 20% do valor aplicado em libras estrelinhas. 4 4 Se o investidor aplicar na Inglaterra, ele receberá, de juros, aproximadamente um quarto do valor que receberia se aplicasse no Brasil. CONCEITO E PROPRIEDADES 8) Seja *: f a função definida por xaxf )( , com a >0, 1a , assinale justificando as afirmações a seguir em V ou F: a) O domínio da função f é . b) A função f é crescente em seu domínio quando 0< a <1. c) Se 2a , então 2 1 )1( f . d) Se 3 1 a e 243)( xf , então 81x . EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 9) Calcule a raiz quadrada da soma dos quadrados das raízes da equação: 64 1 2 25 xx . 10) Seja a função f , de * R em R , de definida por 14)( xxf . Qual é o valor de x , se 34)(2 xxf ? 11) Quantos números inteiros e estritamente positivos são soluções da inequação 39333 11 xxx ? 12) Qual o conjunto x real que é solução da desigualdade 2 4 8 2 1 x x . 13) Seja f a função de * R em R definida por xxf 2)( . Qual é o valor de )5()4( )3()2()1( xfxf xfxfxf ? 14) Ao resolver a inequação 164 1 xx , um aluno da 1ª série do Ensino Médio acabou cometendo um erro. Encontre o erro, em seguida, resolva corretamente. 164 1 xx 412 22 xx 412 22 2 x , então, 412 2 x 052 2 x , após fazer o estudo do sinal, temos: 58,158,1/ xRxS . 15) O número real K satisfaz a equação 775555 11 xxx , então, determine o valor de 2K . 16) Indique a solução da equação 2 5 22 1325 xx . 17) Resolva, em R, a inequação xx 210164 . GRÁFICOS 18) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo xabxf )( , conforme o gráfico abaixo. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 19) O gráfico a seguir, pode ser representado por xkaxf )( , sendo k e a , constantes positivas. Desse modo, calcule o valor de 2 1 f . PROBLEMAS MULTIDISCIPLINARES E CONTEXTUALIZADOS 1) Júnior comprou um apartamento 2006, pelo preço de R$ 120.000,00. O plano de Junior é vender o apartamento por um preço de R$ 200.000,00. Se o valor do apartamento aumenta, de maneira cumulativa, a uma taxa anual de 4%, em quantos anos Júnior venderá o apartamento? (Dados: Use as aproximações 51,0 3 5 ln e 04,004,1ln .) 2) Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use 3,02log e 48,03log ) 3) Em uma cidade, a população vive que vive nos subúrbios é dez vezes maior a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após determinado tempo t, medido em anos. Se x t log 1 , determine o valor de x . 4) Um país contraiu um empréstimo de 1 milhão de dólares para pagar em t anos a taxa de juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial nada foi pago até hoje e a dívida foi sendo “rolada” com capitalização anual dos juros, chegando a 5 bilhões de dólares em 2001. A partir destas informações, descubra o ano em que foi contraída a dívida. (Use 3,02log e 037,009,1log ) 5) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções )1(log2)( 2 txA e )1(log2)( 2 txB , onde a variável t representa o tempo em anos. a. Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes 1t e 7t ? b. Após certo instante t , a população da cidade A é sempre maior que a da cidade B. Determine o valor mínimo desse instante t . 6) Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente. Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? (Dados: use as aproximações ln(3) 1,08 e ln(1,09) 0,09.) 7) O preço de venda de um automóvel é de R$ 20.000,00. Sabendo que sua desvalorização é de 5% ao ano, calcule o tempo necessário para que seu valor corresponda a um terço do valor de venda. GRÁFICOS E O CÁLCULO DE ÁREA 8) Analisando as funções representadas por xxf 2log)( e xxg 2)( a. Esboce o gráfico de )(xf e )(xg . b. Determine o domínio e o conjunto imagem de )(xf e )(xg . 9) O gráfico abaixo representa a função definida por xxf 3)( , Rx . Calcule a área da região hachurada. (Dados: 3,02log e 48,03log ) LOGARITMOS, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARITMICAS 10) Se xlog representa o logaritmo decimal do número positivo x , encontre a soma das raízes de 0log2log2 xx . 11) Define-se cologaritmo de b na base a como o oposto do logaritmo b na mesma base, isto é, bbco aa loglog . Agora, resolva a equação 1)2(log)1(log 22 xcox . 12) Encontre a maior solução inteira para a inequação )65(log 22 xx <1. 13) Se 1x e 2x são as raízes da equação 0462 xx , qual será o valor de )(5)(6log 21214 xxxx ? 14) Se o número real m é solução da equação 3log)23log()2log()2log( xxx , então quem é m ? (Observe que a base é a mesma em todos os log.) 15) Seja )12(log)43(log)( 33 xxxf . Calcule os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz 1)( xf . 16) Se )2(log 21 xA e )6(log21 xB , calcule x para que 1 BA . FUNÇÃO MODULAR 1) Qual é o produto das raízes reais da equação modular 11 x ? 2) Seja 12)( 2 xxf , Rx . Determine os valores de x para os quais )(xf < 1 . 3) Sendo 1 )( 2 x x xf definida no conjunto dos números reais. Analise justificando as seguintes afirmações: a) )()( xfxf . b) Se 0)( xf , então, existe duas soluções reais. c) Se 4x , então 15 4 )( xf . d) )(xf está definida para todo número real. 4) Resolva, em R, a inequação 7log1log 1,0 x . 5) Analise justificando as afirmações seguintes assinalando V ou F: Considere a função RRf : dada por 52)( xxf . a) O valor mínimo assumido por f é zero. b) O gráfico f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0; 5). c) O gráfico de f é uma reta. d) )2()2( ff . e) A função é crescente para todo 0x . 6) Em determinado mês, verificou-se que o número n de pessoas que compraram no supermercado Superbarato era dado pela lei: 3002520)( xxn , em que x 1, 2, 3, ..., 30 representa cada dia do mês. a) Em dia do mês 500 pessoas compraram produtos no supermercado Superbarato? b) Em que dia do mês foi registrado o menor número de visitas ao supermercado Superbarato? Qual foi esse número? 7) Os números reais x e y são solução do sistema de equações 7284 15 yx yx . Desse modo, descubra x e y , e calcule o valor de xy . 8) No gráfico acima está representada a função afim descrita por 3 5 3 )( xxf . Esboce o gráfico da função representada por 1)()( xfxg ou 13 5 3 )( xxg .
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