Lista de exercicios aplicação de derivadas e integral + Gabarito

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Universidade Estadual de Feira de Santana DEXA 
Disciplina: Calculo Diferencial e Integral I-E Curso: Eng Computação 
Prof: Eduardo Sales Semestre 2014_1 
Lista 03 – Aplicação de Derivadas e integral 
 
OTIMIZAÇÃO 
1) Molde um fio de arame de comprimento L em forma de um retângulo cuja área seja a maior 
possível. 
2) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, 
gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo. 
3) Dentre os retângulos com base no eixo Ox e vértices superiores sobre a parábola 
212y x
,determine o de área máxima. 
4) Um caixa com fundo quadrado e sem tampa deve ser forrada com couro. Quais devem ser 
as dimensões da caixa que requerem a quantidade mínima de couro, sabendo que a sua 
capacidade é 32 litros? 
5) Um cartaz deve conter 50cm
2
 de matéria impressa com duas margens de 4cm em cima e 
embaixo e duas margens laterais de 2cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz 
de modo que a sua área total seja mínima. 
6) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes; com uma das partes faz-
se uma circunferência e com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame 
para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima ? 
7) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada 
curral deve possuir uma certa área A, qual o comprimento da menor cerca necessária? 
8) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por metro 
quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do 
tanque para que o custo seja mínimo. 
9) Desejamos fazer uma caixa retangular aberta com um pedaço de papelão de 8cm de 
largura e 15cm de comprimento, cortando um pequeno quadrado em cada canto e dobrando 
os lados para cima. Determine as dimensões da caixa de volume máximo. 
10) Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, 
derivando-as. 
a) 
dxx5
 
b) 
dx
x
1
2
 
c) 
dx5
 
d) 
dt)2t5t3( 2
 
e) 
dy
y
1
y
2
y3
3
 
f) 
dxxx
2
ex
 
 
g) 
du
2
u
e
u2
3
u3
1 2
2
 
 
h) 
dx
x
1x2x
2
2 
 
i) 
dx
x
xx 5
1
)2( 23
 
j) 
dttt )1( 2
 
 
11) Calcule as integrais abaixo aplicando o Método de substituição como no exemplo abaixo: 
 
Exemplo: Calcule:
dxx 5)1(
 
Solução: 
Fazendo: u = x +1, temos: 
dxdu
dx
du
1
 
Logo, 
k
u
k
u
duudxx
66
)1(
66
55
=
k
x
6
)1( 6 
a) 3(2 1) x dx 
b) 5 7x dx 
c) 3 7 2(2 1) . x x dx 
d) 23 . (7-6x )x dx 
e) 
2
3 6
( 1)
 
(x 3 1)
x
dx
x 
f) 21 x x dx 
g) 3 21 x x dx(dica: u = 1 + x² 
du = 2x dx) 
h) 2 89( 3 5) (2 3) x x x dx 
i) 2 1
x
dx
x 
j) 2
3
 
1
x
dx
x 
k) 1
x
dx
x 
(dica: u = 1 + x u – 1 = x e du = dx) 
l) 
k
e
dxe
x
x
7
...
7
7
 
m) cos (4x) dx 
n) 2.cos (x ) x dx 
o) 19)
cos
 
x
dx
x (dica: 
xdx
du
xu
2
1
) 
p) 3(cos 5x sen 5x) dx 
(dica: xdx
du
xu 5sen55cos ) 
q) 
2(ln x)
 dx
x 
r) 
kdx
x 2
 x)(ln
... 
ln x 2
 
s) kxdxx |ln| ln... ln x . 
1
 
 
12) Calcule as integrais indefinidas abaixo aplicando o Método de Integral por partes : 
 
a) dx e xx 
b) dx e x2x 
c) dxln x x 
d) dxln x 2x 
e) dx (ln x) 2x 
f) dx .e 2xx 
g) dx x cosx 
h) dx x senx 
i) dx x cos2x 
j) dx x senx2 
k) dx x cosxe 
l) dx x senxe 
 
Integral definida 
 
Exemplos: Calcule 
 
dx 
2
1
2x
= ... = 
3
7
 
Solução: 
3
)(
3x
xF
 é uma primitiva de f(x) = x
2
 e f é contínua em [1 , 2] 
Assim, 
dx 
2
1
2x
=
 
3
1
-
3
8
3
2
1
3x = 
3
7
 
 
13) Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) 
3
1
2 3 dxx
 = ... = 28 
b) 
dx 4
3
1
= ... = 16 
c) 
dx )13(
2
0
3 xx
= ... = 8 
d) 
dx 
12
1 2x
= ... = 
2
1
 
e) 
4
1
 
2
dx
x
 = ... = ln 16 2,77 
f) 
dx 
112
1 3xx
= ... = 
8
32ln8
 
g) 
dx 
1
0
xe
= ... = 
e
1
1
 
h) 
2
2
 x os dxc
 = ... = 2 
 
14) Cálculo de área 
a) Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , 
y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x 
b) Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , 
y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x2. 
c) Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = 
x3, pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1. 
d) Represente geometricamente e calcule a integral definida 
.
11
5
dx
x
 
e) Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas y = x2 + x, y = x + 
1 e pelas retas x = 2 e x = 4. 
f) Represente geometricamente e determine a área limitada pela parábola y = x2 – 4 e 
pela reta y = 2–x. 
 
 
 
GABARITO 
1. 
2. e Altura= 
3. base = 4, altura = 8 
4. 4 × 4 × 2 dm3 
5. 9 × 18 
6. Área mínima se 
7. A 
8. base: 5x5cm2 e altura: 5cm 
9. 5/3cm, 14/3cm, 35/3cm 
Questão 10 
k) 
k
6
x6
 
l) 
k
x
1
 
m) 
kx5
 
n) 3
3 2 5 2
3
t
t t k
 
o) 
3
2
1
2 1y n y k
y
 
p) 
52
2 5
xe
x k
 
q) 3
21 31 
3 2 3
u
n u e u k
u
 
r) 
k
x
xnx
1
 1 2
 
s) 
kxx
3
11
x
4
5 234
 
t) 
7 32 2
7 3
t t k
 
Questão 11 
a) 4(2 1)
8
x
k
 
b) 
32 (5 7)
15
x k
 
c) 3 8(2 1)
48
x
k
 
d) 2 43 (7-6x )
16
k
 
e) 
3 5
1
15( 3 1)
k
x x
 
f) 2 3(1 )
3
x
k
 
g) 2 5 2 3(1 ) (1 )
5 3
x x
k
 
(dica: u = 1 + x2 du = 2x dx) 
h) 
2 9( 3 5)x x k
 
i) 
2ln 1 x k
 
j) 23 ln |x 1|
2
k
 
k) 
1 ln |1 x |x k
 
(dica: u = 1 + x u – 1 = x e du = dx) 
l) 7
7
xe
k
 
m) 
en (4 )
4
s x
k
 
n) 2en ( )
2
s x
k
 
o) 
2sen x k
 
 (dica: xdx
du
xu
2
1
) 
p) 4cos 5
20
x
k
 
(dica: xdx
du
xu 5sen55cos ) 
q) 3(ln x)
3
k
 
r) 2(ln x)
2
k
 
s) 
ln | ln |x k
 
Questão 12 
a) (x – 1) ex + k 
b) ex (x2 – 2x + 2) + k 
c) fazendo u = ln x e dv = xdx => 
k
2
1
xln
2
x2
 
d) fazendo: u = ln x e dv = x2dx 
k
3
1
xlnx
3
1 3
 
e) 
k
2
1
xln)x(ln
2
x 2
2
 
f) 
k
2
1
xe 
2
1 2x
 
g) kxxx cossen. 
h) kxxx sencos. 
i) kxxxxx sen2cos.2sen.2 
j) kxxxxx cos2sen.2cos.2 
k) 
kxx
e x
)cos(sen
2 
l) 
kxx
e x
)cos(sen
2 
Questão 13 já existe 
Questão 14 
a) 2
1
2
x
dx 
1
0
2
1
0
xA
 
b) 3
1
3
x
dx 
1
0
3
1
0
2xA
 
c) Área = 2
1
4
1
4
1
xdx 
0
1
1
0
33 dxx 
d) 
1 1
55
1
ln | | ln 5 1,61dx x
x 
e) 50/3 u.a. 
f) 125/6 u.a.