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Centro Universita´rio UNA Geometria Anal´ıtica - Vetores 1. Dados os vetores ~u = 2~i− 3~j, ~v =~i−~j e ~w = −2~i+~j, determine: (a) 2~u− ~v (b) ~v − ~u+ 2~w (c) 1 2 ~u− 2~v − ~w (d) 3~u− 1 2 ~v − 1 2 ~w 2. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determine o vetor ~x tal que: (a) 4(~u− ~v) + 1 3 ~x = 2~u− ~x (b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u) 3. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5), C(3,−1) e O(0, 0), calcule: (a) −→ OA−−→AB (b) −→ OC −−−→BC (c) 3 −→ BA− 4−−→CB 4. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determine a1 e a2 tais que ~w = a1~u+ a2~v. 5. Dados os pontos A(3,−4) e B(−1, 1) e o vetor ~v = (−2, 3), calcule: (a) (B − A) + 2~v (b) (A−B)− ~v (c) B + 2(B − A) (d) 3~v − 2(A−B) 6. Sejam os pontos A(−5, 1) e B(1, 3). Determine o vetor ~v = (a, b) tal que: (a) B = A+ 2~v (b) A = B + 3~v 1 7. Represente no gra´fico o vetor −→ AB e o correspondente vetor posic¸a˜o, nos casos: (a) A(−1, 3) e B(3, 5) (b) A(−1, 4) e B(4, 1) (c) A(4, 0) e B(0,−2) (d) A(3, 1) e B(3, 4) 8. Calcule os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha mo´dulo 4. 9. Calcule os valores de a para que o vetor ~u = (a, 1 2 ) seja unita´rio. 10. Dado o vetor ~v = (−1, 3), determinar o vetor paralelo a ~v que tenha: (a) o sentido contra´rio ao de ~v e duas vezes o mo´dulo de ~v. (b) o mesmo sentido de ~v e mo´dulo 2. (c) sentido contra´rio ao de ~v e mo´dulo 4. 11. Dados os vetores ~u = (1,−1), ~v = (−3, 4) e ~w = (8,−6), calcule: (a) |~u| (b) |~v| (c) |~w| (d) |2~u− ~w| (e) |~w − 3~u| (f) v |~v| (g) ∣∣∣ u|~u| ∣∣∣ 12. Dados os vetores ~u = (1,−2, 1), ~v = (2, 0,−4) e w = (−4,−4, 14), determine k1 e k2 tal que ~w = k1~u+ k2~v. 13. Dados os pontos A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2) determine o ponto P tal que −→AP = −−→PB. 14. Determine o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)− ~v. 15. Determine a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos. 16. Sabendo que 3~u − 4~v = 2~w, determine a, b e c, onde ~u = (2,−1, c), ~v = (a, b − 2, 3) e ~w = (4,−1, 0). 17. Dados A(2,−2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor ~v = (1, 3,−4), calcule: (a) A+ 3~v (b) (A−B)− ~v 2 (c) B + 2(B − A) (d) 2~v − 3(B − A) 18. Quais dos seguintes vetores ~u = (4,−6, 2), ~v = (−6, 9,−3), ~w = (14,−21, 9) e ~t = (10,−15, 5) sa˜o paralelos? 19. Dado o vetor ~w = (3, 2, 5), determine a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2,−1) e ~v = (a, 6, b) + 2~w sejam paralelos. 20. Determine o valor de n para que o vetor ~v = (n,−1 2 , 3 4 ) seja unita´rio. Respostas 1) a) (3,−5) b) (−5, 4) c) (1,−1 2 ) d) (13 2 ,−9) 2) a) (−15 2 , 15 2 ) b) (23 5 ,−11 5 ) 3) a) (−4, 1) b) (2, 5) c) (−5,−30) 4) a1 = −1 e a2 = 2 5) a) (−8, 11, ) b) (6,−8) c) (−9, 11) d) (−14, 19) 6) a) v = (3, 1) b) v = (−2,−2 3 ) 8) ±2√3 9) ± √ 3 2 10) a) (−2, 6) b) ( 2√ 10 ,− 6√ 10 ) c) (− 4√ 10 , 12√ 10 ) 11) a) √ 2 b) 5 c) 10 d) √ 13 e) 2 √ 13 f) √ 34 g) (−3 5 , 4 5 ) h) 1 12) k1 = 2 e k2 = −3 13) P (3, 1,−1 2 ) 14) (1, 1, 1) 15) a = 3 2 e b = −9 2 16) a = −1 2 , b = 7 4 e c = 4 17) a) (5, 7,−9) b) (0,−6, 2) c) (−1, 7, 9) d) (5,−3,−14) 18) sa˜o paralelos: ~u, ~v e ~t 19) a = 9 e b = −15 20) ± √ 3 4 3
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