Integralporsubstituição[1]

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE NITERÓI – UNIAN
 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Prof. Adilson Principe
1. O MÉTODO DE CONJETURAR E VERIFICAR
	Para se encontrar primitivas simples, um bom método é fazer uma conjectura a qual deve ser a resposta e depois verifica-lá derivando. Se obtivermos o resultado esperado, acabou, caso contrário, repetimos o processo.
	Na regra da cadeia este método é útil pois :
	 = f’ (g(x)).g’(x) onde temos: g(x) – função de “dentro”
 f’ – derivada da função de “fora”
 g’ – derivada da função de “dentro”
	Observa-se que qualquer função resultante da aplicação da regra da cadeia é o produto de dois fatores: a derivação da “função de fora” (ou externa) e a derivação da “função de dentro” (ou interna).
Exemplo 1 – Encontre 
Pode-ae ver que a função 3x2cosx3 parece ser obtida através da regra da cadeia pois existe a “função de dentro” : x3 (sua derivada : 3x2) e a “função de fora” cosseno que tem o seno como primitiva.
Vamos verificar: então 
Exemplo 2 – Encontre dt
Parece que t2+ 1 é a função interna. Daí é uma primitiva pois pela regra da cadeia derivando uma exponencial obtemos a mesma exponencial, mulyiplicada por outros fatores.
Verificando: , temos que voltar a conjecturar pois temos 2 quando seria 1, então...................
Logo sabemos que: 
Exemplo 3 - Encontre 
A função interna: x4 + 5 e sua derivada aparece como um fator (x3) exceto pela falta da constante 4.
Logo temos mais ou menos a forma: g’(x) com g(x) = x4 + 5 
Sabemos que é uma primitiva de então 
Vamos verificar: 
Observamos que existe o fator 4. Então a correta é: 
Portanto: 
2. O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Quando temos um integrando complicado nos ajuda a formalizar o método da conjectura verificando-se da seguinte forma:
Para fazer uma substituição teremos:
Seja u a “função de dentro” e du = u’(x) dx = 
Vamos fazer o exemplo 1 pelo método da substituição, então:
Encontre 
Fazemos x3 = u então du = u’(x)dx = 3x2 dx, reescrevendo, temos:
Vamos demonstrar que realmente a substituição funciona. Supunhamos que temos uma integral da forma onde g(x) é a função de dentro e f(x) a função de fora. Se F é uma primitivade f, então F’ = f e, pela regra da cadeia, , daí, teremos: 
Como u = g(x) e então 
Por outro lado, como F’ = f, temos que : 
Portanto, as duas integrais a seguir são iguais: 
Concluimos que substituir a função de dentro por u e escrever du = u’(x)dx não muda a integral indefinida.
Vamos observar o 2º exemplo já visto, fazendo-o por substituição :
Encontre : 
Como ( é a função de dentro cuja derivada é 2t então u = t2 + 1, logo du = u’(t)dt = 2tdt
Como o integrando original tem apenas tdt e não 2tdt, escrevemos: du = tdt, e então:
Exemplo 4 : Encontre 
Função interna: x4 + 5, sua derivada : 4x3, então u = x4 + 5, daí du = u’(x)dx = 4x3dx redundando que
Temos: 
ATENÇÃO : Podemos aplicar o método da substituição quando um fator constante está faltando da derivada dá função interna. Não seremos capazes de usar o método de substituição se está faltando um fator que não é constante.
Exemplo: neste caso se fizermos u = x4 + 5 não adianta nada já que x2dx não é múltiplo constante de du = 4x3 dx.
Portanto para que seja possível usar o método de substituição, é preciso que o integrando contenha a derivada da função interna a menos de um fator constante.
Exemplo 5 – Encontre 
Como u = cos e sua derivada é - sen , temos: du = u’()d = - send então: -du = send,
Daí temos: 
Exemplo 6 – Encontre 
Vemos que u = 1 + pois u’ = , logo = 
ln = ln (1 + et ) + C (pois 1 + et 0)
EXERCICIOS:
Resolva as seguintes integrais:
1. ....................................R.: - ln 2. ................................R.: ¼
3. .......................................R.: ln 2 4. ......................................... R.: 
5. .................................. R.: 6. dx ................................ R.: 
7. ................................... R.: 
8. ................................. R.: 9. ................................. R.: 
10. ......................... R.: 
11. ..............................R.: 12. ......................................R.: - ln
13. .................................R.: 14. ................................... R.: 
15. ..................................... R.: