Moda e mediana

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Prof. Joseane de Menezes Sternadt
EstatísticaEstatística
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
– Média Ponderada, Moda e Mediana
2/642/64
As medidas de tendência central 
são assim denominadas por 
indicarem um ponto em torno do 
qual se concentram os dados. 
Este ponto tende a ser o centro 
da distribuição dos dados.
Medidas de Tendência Central Medidas de Tendência Central 
Média - Moda - MedianaMédia - Moda - Mediana
Vimos que:
3/643/64
MédiaMédia
Aritmética 
simples
Aritmética 
Ponderada
Dados Brutos ou Rol
DF SEM intervalos de 
classes
DF COM intervalos de 
classes
5/645/64
Exemplo:Exemplo:
Suponha que necessitemos de uma 
média de três avaliações, cujas 
notas foram 8,5; 9,0; 7,5, mas a 
primeira avaliação tem 
Peso 2, a segunda 
Peso 3 e a terceira 
 Peso 5. 
 
 
8/648/64
Moda – Notação Mo
A moda é o valor ou 
atributo que ocorre com 
maior freqüência. 
Ela não necessariamente 
existe e, se existir, pode 
não ser única. 
9/649/64
Num conjunto de dados ou numa 
distribuição de freqüências podem 
existir duas modas (diz-se que os 
dados/distribuição é bimodal), 
três modas (trimodais), 
quatro ou mais modas 
(multimodais ou polimodais) 
e, se não houver moda, diz-se que os 
dados/distribuição se enquadram 
como amodal. 
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1º Caso – Dados brutos ou o rol
Exemplo 8: Determine a moda dos seguintes 
conjuntos de dados:
a. 5 5 5 3 1 5 1 4
3 5
Exemplo Determine a moda dos seguintes 
conjuntos de dados:
a. 5 5 5 3 1 5 1 4 3
5
 Unimodal Mo = 5
b. 1 2 2 2 3 4 5 6
6 6 7 9
a. 1 2 2 2 3 4 5 6 6
6 7 9
Bimodal Mo = 2 Mo = 6
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c. 1 2 3 6 7 8 9 10a. 1 2 3 6 7 8 9 10
Amodal – não existe moda
Exemplo 9 (p. 270 da sua apostila): Uma 
pesquisa com estudantes de um curso 
superior perguntou quais eram suas opções 
preferidas de lazer. As respostas mostraram 
que 17% preferiam navegar na internet, 13% 
preferiam se encontrar com amigos, 12% 
preferiam ir ao cinema, 10% optaram por 
praticar esportes, etc. 
 
Exemplo : Uma pesquisa com estudantes de 
um curso superior perguntou quais eram 
suas opções preferidas de lazer. As 
respostas mostraram que 17% preferiam 
navegar na internet, 13% preferiam se 
encontrar com amigos, 12% preferiam ir ao 
cinema, 10% optaram por praticar esportes, 
etc. 
A moda é navegar na internet. 
 
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Exemplo – 
X: 2; 3; 8; 2; 7; 3; 5; 4; 3; 1; 0; 3 Mo = 3 unimodal
 
 
13/6413/64
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
1ª 18 11ª 27 21ª 37 31ª 40 36ª 45
2ª 21 12ª 27 22ª 37 32ª 42 37ª 45
3ª 23 13ª 28 23ª 37 33ª 42 38ª 46
4ª 23 14ª 28 24ª 37 34ª 42 39ª 48
5ª 23 15ª 29 25ª 37 35ª 43 40ª 49
6ª 24 16ª 32 26ª 38
7ª 25 17ª 32 27ª 38
8ª 25 18ª 33 28ª 39
9ª 26 19ª 35 29ª 39
10ª 26 20ª 36 30ª 40
ROL - 
Tabela postada 
14/6414/64
36 1
37 2
38 0
39 4
40 0
Nº de 
filhos
Nº
31 1
32 1
33 1
34 2
35 4
Nº de 
filhos
Nº
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 3
7 1
8 2
9 4
10 3
Nº de 
filhos
Nº
11 0
12 0
13 0
14 2
15 2
16 3
17 2
18 0
19 2
20 2
Nº de 
filhos
Nº
21 1
22 0
23 3
24 0
25 4
26 0
27 0
28 3
29 2
30 2
Nº de 
filhos
Nº
Número de filhos: Mo = 2 (12 ocorrências)
15/6415/64
Exemplo Extra 
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3 
Exemplo Extra 
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4
Exemplo Extra 
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4
Resolver...
Amodal
Multimodal
Unimodal Mo = 4
Mo = 0
Mo = 1
Mo = 2
Mo = 3
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Exemplo Extra – Completar de modo a obter 
seqüências bimodais.
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5;__;__;__
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5;__;__;__
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5;__;__;__
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Exemplo Extra – Completar de modo a obter 
seqüências trimodais.
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5;__;__;__
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5;__;__;__
X: 0; 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5;__;__;__
18/6418/64
2º Caso – Distribuição de freqüência sem 
intervalos de classes
Neste caso, fica ainda mais 
simples observar porque as 
freqüências simples já estão 
indicadas na distribuição e 
basta observar, na coluna da 
freqüência simples absoluta, 
qual a maior freqüência. O 
valor da variável de maior 
freqüência será a moda.
 
 
19/6419/64
Xi – N. de filhos
fi - freqüência s. a
Exemplo – Distribuição de 
freqüência do número de 
filhos da empresa do 
Antenado. 
Mo = 2
N filhos Xi fi
0 11
1 8
2 12
3 5
4 4
Total 40
20/6420/64
Histograma do Número de Filhos dos 
Funcionários
8
4
11
5
12
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4
Filhos
Fu
n
ci
o
n
ár
io
s
Xi fi 
0 11 
1 8 
2 12 
3 5 
4 4 
Total 40 
Exemplo 4 (p. 73) – Histograma do número de 
filhos dos funcionários da empresa. 
21/6421/64
Exemplo – Observe as 
distribuições a seguir e 
identifique o(s) valor(es) 
da(s) moda(s) entre as 
50 pessoas estudadas.
Cervejas
Xi
fi
0 11
1 12
2 18
3 5
4 4
Total 50
Mo = 2
22/6422/64
Notas
Xi
fi
6 6
7 10
8 15
9 10
10 9
Total 50 Mo = 8
23/6423/64
H. Estudo
Xi
fi
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
Total 50 Amodal
24/6424/64
Notas
Xi
fi
6 5
7 10
8
9 10
10 5
Extra – Complete 
de modo a tornar a 
distribuição 
unimodal.
A freq. pode ser qualquer valor maior que 10.
 
 
25/6425/64
Notas
Xi
fi
6 5
7 10
8
9 10
10 5
Extra – Complete 
de modo a tornar a 
distribuição 
bimodal.
A freq. pode ser qualquer valor menor que 10. 26/6426/64
Notas
Xi
fi
6 5
7 10
8
9 10
10 5
Extra – Complete 
de modo a tornar a 
distribuição 
trimodal.
A freq. tem que ser o valor 10.
27/6427/64
Notas
Xi
fi
6 5
7 10
8
9 15
10 5
Extra – Complete 
de modo a tornar a 
distribuição 
unimodal.
A freq. pode ser qualquer valor diferente de 15. 28/6428/64
Notas
Xi
fi
6 5
7 10
8
9 15
10 5
Extra – Complete 
de modo a tornar a 
distribuição 
bimodal.
A freq. tem que ser o valor 15.
29/6429/64
 3º Caso – Distribuição de freqüência com 
intervalos de classes 
Existem vários processos usados para 
estimar a moda de dados distribuídos em 
intervalos de classes. Os mais conhecidos 
são: a moda de Pearson, a moda de King e 
a de Czuber. 
A moda de Czuber é a mais precisa, 
embora todos os três valores sejam 
aproximados do verdadeiro. 
Observe a moda por meio 
dos dados brutos. 30/6430/64
Mediana – Notação Md 
�
 É o elemento central (o valor do meio) de uma 
série ORDENADA. 
�
 Ela separa a distribuição em duas partes 
iguais. 
�
 Deixa à sua esquerda a mesma quantidade de 
elemento que deixa à sua direita.
�É o valor para o qual 50% das observações são 
menores e 50% das observações são maiores. 
�É o valor que ocupa a posição (n + 1)/2. 
 
 
31/6431/64
Para obter a 
mediana, é 
necessário 
primeiramente
construir o 
Rol (ordenar 
dados).
2
1n +
32/6432/64
Para calcular a mediana a partir de um conjunto 
de dados, precisamos primeiro posicionar os 
dados em uma disposição ordenada e, em 
seguida, aplicar um dos dois processos a 
seguir:
�
 Se existir um número ímpar de 
observações no conjunto de dados, então a 
mediana é representada pelo valor numérico 
localizado exatamente no meio desta lista.
�Se existir um número par de observações 
no conjunto de dados, então o resultado é 
fracionário, e a mediana é definida como a 
média dos dois valores de posição mais 
próxima.
33/6433/64
1º Caso – Dados brutos ou o rol
a)Se n é ímpar: neste caso, existe um 
termo central “puro” e único que ocupa 
a posição . 
O valor do elemento que ocupa esta 
posição é a mediana.
2
1n +
2
1n +
34/6434/64
4
2
8
2
17
2
1n
==
+
+
Exemplo: Para as notas da Turma C, dispostas 
ordenadamente, temos:
notas 0 6 7 7 7 7,5 7,5
posição 1 2 3 4 5 6 7
Md = 7
35/6435/64
b) Se n é par: neste caso, não existe um 
termo central “puro” e único que ocupa a 
posição (n + 1)/2 . 
O termo central é um vazio entre dois 
termos da série. Ao se calcular a posição 
usando (n + 1)/2 o resultado dará 
fracionário, a mediana é, por convenção, a 
média aritmética entre os valores dos dois 
termos centrais. 
2
1n +
36/6436/64
3,5
2
7
2
16
2
1n
==
+
=
+
Exemplo: Considere o seguinte conjunto de 
dados: {6; 3; 7; 5; 11; 10}
A disposição ordenada se torna:
notas 3 5 6 7 10 11
posição 1 2 3 4 5 6
Md = 6,5
Md = (6+7)/2
 
 
37/6437/64
5
2
10
2
19
2
1n
==
+
=
+
Exemplo: Retomando o exemplo do número de 
filhos por famílias, a mediana é determinada 
como a seguir:
Valores 0 1 1 2 2 2 3 4 10
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Md = 2
Outros exemplos: 
38/6438/64
0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 Média = 1,8 
0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 10 Média = 2,7 
Md = 2
Md = 2
39/6439/64
Mostra-se, assim, que a mediana não é 
influenciada por valores extremos.
Valores 0 1 1 2 2 2 3 4 10
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Md = 2
40/6440/64
Exemplo – Determinar a mediana da série 
X: 2; 23; 12; 15; 13; 8; 10. 
O Rol é dado por X: 2; 8; 10; 12; 13; 15; 23. 
4
2
17
2
1n
=
+
=
+
Posição da mediana:
2 8 10 12 13 15 23
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º
Md= 12
41/6441/64
Interpretação: 12 é o termo central da série. A 
quantidade de termos maiores (ou iguais) a 
ele é igual à quantidade de termos menores 
(ou iguais) a ele.
2 8 10 12 13 15 23
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º
Md= 12
42/6442/64
Exemplo – Determinar a mediana da série 
X: 2; 23; 12; 15; 13; 8; 10; 13.
O Rol é dado por 
X: 2; 8; 10; 12; 13; 13; 15; 23. 
4,5
2
18
2
1n
=
+
=
+
Md = (12+13)/2 = 12,5 
 
 
43/6443/64
2 8 10 12 13 13 15 23
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
Interpretação: 12,5 é o termo central da série. 
A quantidade de termos à sua direita é igual à 
quantidade de termos à sua esquerda. 
Md = (12+13)/2 = 12,5 
44/6444/64
Exemplo – Determine a mediana das 
variáveis: salário, idade e número de filhos 
dos funcionários da empresa utilizando a 
Tabela 8 da aula 3, que é o Rol dos dados. 
Lembre-se de que: n = par = 40.
A posição é dada por (n+1)/2 . A mediana será 
dada pela média aritmética entre os valores 
que ocuparem a vigésima e a vigésima 
primeira posição no ROL. 
Para os salários, tem-se:
3,75
2
3,753,75Md =
+
=
45/6445/64
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
Ordem
Idade
1ª 18 11ª 27 21ª 37 31ª 40 36ª 45
2ª 21 12ª 27 22ª 37 32ª 42 37ª 45
3ª 23 13ª 28 23ª 37 33ª 42 38ª 46
4ª 23 14ª 28 24ª 37 34ª 42 39ª 48
5ª 23 15ª 29 25ª 37 35ª 43 40ª 49
6ª 24 16ª 32 26ª 38
7ª 25 17ª 32 27ª 38
8ª 25 18ª 33 28ª 39
9ª 26 19ª 35 29ª 39
10ª 26 20ª 36 30ª 40
Para a idade, tem-se:
Md = 36,5 anos
46/6446/64
 2º Caso – Distribuição de freqüência 
sem intervalos de classes
Se os dados estão ordenados na forma de 
uma distribuição de freqüência, basta 
calcularmos a posição utilizando (n+1)/2 e 
verificarmos o valor da variável que ocupa 
esta posição utilizando a coluna de 
freqüências acumuladas. 
Se n é par também utilizamos a média dos 
termos centrais. 
47/6447/64
Exemplo – 
Determinar a mediana 
da distribuição a 
seguir:
Xi fi fac
0 3 3
1 2 5
2 8 13
3 13 26
4 5 31
Total 31
16
2
131
2
1n
=
+
=
+
48/6448/64
Xi fi fac
0 3 3
1 2 5
2 8 13
3 13 26
4 5 31
Total 31
 
 
49/6449/64
Xi fi fac
0 3 3 0 0 0 do 1º ao 3º
1 2 5 1 1 apenas o 4º e 5º
2 8 13 2 2 2 2 2 2 2 2 do 6º ao 13º
3 13 26 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 3 3 do 14º ao 26º
4 5 31 4 4 4 4 4 do 27º ao 31º
Total 31
Md = 3
50/6450/64
Exemplo – Determinar a mediana do 
número de filhos dos funcionários do 
Antenado utilizando o ROL que foi 
postado. 
 Lembre-se de que n = 40, logo, a 
mediana será a média aritmética 
entre os dois termos centrais (20º e 
21º). 
51/6451/64
Xi fi fac
0 11 11
1 8 19
2 12 31
3 5 36
4 4 40
Total 40
Distribuição de 
freqüência do número 
de filhos da empresa 
do Antenado. 
Elaborada na sua Aula 
3, slides 6 a 37.
20,5
2
140
=
+
52/6452/64
Xi fi fac
0 11 11
1 8 19
2 12 31
3 5 36
4 4 40
Total 40
53/6453/64
Xi fi fac
0 11 11 Do 1º ao 11º não tiveram filhos
1 8 19 Do 12º ao 19º tiveram 0 filhos
2 12 31 Do 20º ao 31º tiveram 2 filhos
3 5 36 Do 32º ao 36º tiveram 3 filhos
4 4 40 Do 37º ao 40º tiveram 4 filhos
Total 40 Md = 2 54/6454/64
Existe um processo para estimar a 
mediana quando os dados estão 
agrupados em intervalos de classes. 
Dele resulta uma medida estimada e 
imprecisa que, por esta razão, não 
estudaremos. 
 3º Caso – Distribuição de 
freqüência com intervalos de 
classes 
 
 
55/6455/64
A média é mais influenciada por 
valores discrepantes.
Comparação entre a média e a 
mediana
56/6456/64
Em distribuições simétricas, a média, a 
mediana e a moda são iguais. 
57/6457/64
Em distribuições assimétricas, a média 
tende a deslocar-se para o lado da 
cauda mais longa da curva.
Neste exemplo, a 
cauda da curva 
desloca-se para o 
lado direito.
58/6458/64
 Utilização das medidas de 
tendência central
�
 Normalmente, usamos apenas uma das 
medidas para representar a distribuição. 
�
 E medida ideal é a que melhor representa 
a série/distribuição. 
�
 Vimos que a média considera em seu 
cálculo todos os valores da série e, por esta 
razão, pode ser afetada por valores 
extremos. 
59/6459/64
�
 Vimos que a média considera em seu 
cálculo todos os valores da série e, por 
esta razão, pode ser afetada por valores 
extremos. 
�A moda e a mediana não têm esse 
inconveniente, pois a mediana é o valor 
do meio e a moda é o(s) mais freqüente(s).
 
� A média possui propriedades 
matemáticas interessantes enquanto a 
mediana requer que a ordenação dos 
dados seja feita, o que é problemático. 
60/6460/64
�
 Devemos optar pela média, quando 
houver forte concentração de dados na 
área central da série. 
�
 Devemos optar pela mediana, quando 
houver forte concentração de dados no 
início ou no final da série. 
�
 A moda deverá ser usada como medida 
de tendência central apenas quando 
houver um elemento típico, cuja 
freqüência seja muito superior à 
freqüência dos demais elementos.
 
 
61/6461/64
� No estudo da renda pessoal, a mediana 
é a medida escolhida por não ser 
influenciada por rendas extremas. O mesmo 
ocorre ao se estudar o valor das residências 
brasileiras e outros valores de bens.
62/6462/64