P2_GA_2014_solucaocomentada

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Geometria Anal´ıtica - Turma J
Geometria Anal´ıtica - Turma J - Avaliac¸a˜o P2
Nome: ________________________________________________________________
RA: ____________________________________________________
1. Considere as retas r e s dadas respectivamente por X = A + λ−→u , λ ∈ R e X =
B + µ−→v , µ ∈ R em que A = (1, 2,−1), B = (4, 2, 0), −→u = (3, 0, 1) e −→v = (2, 1, 1)
a) Verifique que os vetores −→u e −→v sa˜o LI;
b) Verifique que r e s sa˜o coplanares;
c) Calcule o aˆngulo entre r e s.
Comenta´rios: Para responder estes itens relembre:
As retas r e s do problema esta˜o dadas na forma vetorial, parame´trica ou geral?
Quando dois vetores do espac¸o sa˜o LI (Linearmente Independentes) e LD (Linear-
mente Dependentes)?
Quando duas retas no espac¸o sa˜o coplanares (coincidentes, concorrentes ou parale-
las?
Como se calcula o aˆngulo entre duas retas no espac¸o (e no plano)?
2. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta r1 que passa pela origem O = (0, 0, 0) e e´
perpendicular a reta r2 de equac¸a˜o vetorial
−→
X = (1, 0, 0) + t(2,−1, 3), t ∈ R.
Comenta´rios: Para responder este item relembre:
Quando duas retas na forma vetorial sa˜o concorrentes? paralelas? coincidentes?
O que precisamos determinar para obter uma reta perpendicular a uma reta dada
no espac¸o?
3. Considere ra = o terceiro algarismo do teu registro acadeˆmico (contado da esquerda
para a direita) e os vetores −→u = (2, 3, 5), −→v = (−1, ra, 2) e −→v = (3, 3, 5):
a) Verifique se o conjunto B = {−→u ,−→v ,−→w } e´ LI;
b) Caso afirmativo escreva o vetor −→a = (−2, 5, 3) em relac¸a˜o a base B.
c) Mude o vetor −→a em relac¸a˜o a base B para a base canoˆnica C =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Comenta´rios: Para responder estes itens relembre:
1
Quando dois vetores do espac¸o sa˜o LI (Linearmente independentes)? E quando eles
sa˜o LD?
O que e´ uma base para um espac¸o vetorial no espac¸o? Quantos elementos deve ter
uma base no espac¸o? Que propriedades deve ter estes elementos?
Qual e´ a base canoˆnica do espac¸o?
Como se escreve um vetor numa base do espac¸o˜?
Como se faz uma mudanc¸a de uma base B para uma C no espac¸o?
4. Dados os pontos A = (−1, 1), B = (2, 2) e C = (4, 0),
a) Escreva os vetores −→v = −→AC, −→u = −→AB;
b) Calcule a a´rea do triaˆngulo ∆ABC de ve´rtices A, B e C dados utilizando
vetores, por exemplo:
A =
1
2
||−→u || ||−→v − proj−→v −→u ||
c) Calcule a a´rea do triaˆngulo ∆ABC de ve´rtices A, B e C dados utilizando
vetores, por exemplo:
A =
1
2
||−→u || ||−→v || sen(θ)
em que θ e o angulo entre −→u e −→v .
Comenta´rios: Para responder estes itens relembre:
O que e´ um vetor de origem num ponto A e extremidade num ponto B do plano (do
espac¸o)?
Quando 3 pontos do plano formam um triaˆngulo?
Como voceˆ aprendeu calcular a a´rea de um triaˆngulo?
E´ poss´ıvel calcular a a´rea de um triaˆngulo utilizando o produto escalar dos vetores
que formam seus lados?
Como determinar a projec¸a˜o de um vetor na direc¸a˜o de outro vetor dado?
5. Prove que o triaˆngulo formado pelos pontos A1 = (1,−1, 1), A2 = (−3, 2, 2) e
A3 = (2, 2, 4) e´ (na˜o e´ ) retaˆngulo.
Comenta´rios: Para responder estes itens relembre:
O que e´ um triaˆngulo retaˆngulo?
Como voceˆ aprendeu demonstrar que um triaˆngulo e´ retaˆngulo?
E´ poss´ıvel mostrar que um triaˆngulo e´ retaˆngulo utilizando o produto escalar dos
vetores que formam seus lados?
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6. Considere o ponto P = (1, ra, 2) e a reta r que passa pelo ponto A = (3, 1, 1) e tem
a direc¸a˜o do vetor −→v = (−1, 1, 0).
a) Esboce um representac¸a˜o grafica de P e r;
b) Determine a distaˆncia entre o ponto P e a reta r.
Comenta´rios: Para responder estes itens relembre:
Qual e´ a equac¸a˜o (vetorial, parame´trica) da reta que passa por um ponto e tem a
direc¸a˜o de um vetor dado?
Como representar uma reta no espac¸o tridimensional?
Como definir a distaˆncia entre um ponto e uma reta?
Como definir a distaˆncia entre um ponto e um plano do espac¸o?
Comenta´rio final: Reveja toda a mate´ria dos cap´ıtulos 1 a 4 do livro texto:
BALDIN, Y. Y. e FURUYA, Y. K. S. Geometria Anal´ıtica para todos e atividades
com Octave e GeoGebra, Sa˜o Carlos , EDUFSCar, 2011.
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