GA Lista 3

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PROGRAMA DE INTEGRAÇÃO ESTUDANTIL
Preceptores: Eduardo Azzolini Volnistem e Lucas Stelmastchuk
LISTA 3: VETORES NO PLANO
1. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores A⃗B e A⃗D , sendo
M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:
(a) A⃗D + A⃗B
(b) B⃗A + D⃗A
(c) A⃗C – B⃗C
(d) A⃗N + B⃗C
(e) M⃗D + M⃗B
(f) B⃗M - 
1
2
D⃗C
2. Dados os vetores a⃗ , b⃗ e c⃗ , apresentar, graficamente, um
representante do vetor x⃗ tal que
(a) x⃗=4 a⃗−2b⃗−c⃗
(b) ( a⃗+b⃗+c⃗ )+ x⃗=0⃗
(c) a⃗+ c⃗+ x⃗=2b⃗
3. Dados os vetores u⃗ e v da figura, mostrar num gráfico, um 
representante do vetor: 
a) u⃗ − v⃗ 
b) v⃗−u⃗
c) −v⃗ - 2u⃗
d) 2u⃗−3 v⃗
4. Sabendo que o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗ é 60o, determinar o
ângulo formado pelos vetores:
(a) u⃗ e −v⃗ (b) −u⃗ e 2 v⃗ (c) −u⃗ e −v⃗ (d) 3 u⃗ e 5 v⃗
5. Na figura estão representados os vetores coplanares u⃗ , v⃗ e w⃗ .
Indicar, na própria figura, os vetores:
(a) a v⃗ e b w⃗ tal que u⃗=a v⃗+b w⃗ 
(b) α u⃗ e β w⃗ tal que v⃗=α u⃗+β w⃗
Teria sido possível realizar este exercício no caso de os vetores u⃗ , v⃗
e w⃗ serem não-coplanares?
6. Dados os vetores u⃗=2 i⃗−3 j⃗ , v⃗=i⃗− j⃗ e w⃗=−2 i⃗+ j⃗ , determinar:
(a) 2u⃗− v⃗ (b) v⃗−u⃗+2 w⃗ (c) 
1
2
u⃗ – 2 v⃗ – w⃗ (d) 3 u⃗ –
1
2
v⃗ –½ w⃗
7. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v⃗ = (2, −5),
sabendo que sua origem é o ponto A = (−1, 3). 
8. Dados os vetores u⃗=(3,−1) e v⃗=(−1,2) , determinar o vetor x⃗ tal que
(a) 4 (u⃗− v⃗ )+
1
3
x⃗=2u⃗− x⃗ 
(b) 3 x⃗−(2 v⃗−u⃗ )=2(4 x⃗−3 u⃗)
9. Dados os pontos A = (−1,3), B = (2,5) e C = (3,−1), calcular O⃗A - A⃗B ,
O⃗C - B⃗C e 3 B⃗A -4 C⃗B . 
10.Dados os pontos A = (2,−3,1) e B = (4,5,−2), determinar o ponto P tal que
A⃗P = P⃗B . 
11. Dados os vetores u⃗=(2,−4) , v⃗=(−5,1) e w⃗=(−12,6) , determinar
a1 e a2 tais que w⃗=a1 u⃗+a2 v⃗ .
12.Sejam os pontos A(-5,1) e B(1,3). Determinar o vetor v⃗=(a ,b) tal que
(a) B=A+2 v⃗ (b) A=B+3 v⃗
13.Determinar o vetor v⃗ sabendo que (−3, 7, 1) + 2 v⃗ = (6, 10, 4) - v⃗ .
 
14.Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD para A (-3,-1), B (4,2)
e C (5,5).
15.Calcular os valores de a para que o vetor u⃗=(a ,−2) tenha módulo 4.
16.Determinar a e b de modo que os vetores u⃗ = (4,1−3) e v⃗ = (6,a,b)
sejam paralelos. 
17.Verificar se são colineares os pontos:
a) A = (−1,−5,0), B = (2,1,3) e C = (−2,−7,−1) 
b) A = (2,1,−1), B = (3,−1,0) e C = (1,0,4)
 18 . Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A = (3,1,−2), 
 B = (1,5,1) e C = (a, b, 7). 
 19 . Mostrar que os pontos A = (4,0,1), B = (5,1,3), C = (3,2,5) e D = (2,1,3) são 
vértices de um paralelogramo. 
 20 . Determinar o simétrico do ponto P = (3, 1,−2) em relação ao ponto 
A = (−1, 0, −3) .