GA Lista 5

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PROGRAMA DE INTEGRAC¸A˜O
ESTUDANTIL
GA: F´ısica, Qu´ımica e Estat´ıstica
Eduardo Azzolini Volnistem Lucas Stelmastchuk
16 de Abril de 2015
Resolva todas as questo˜es escrevendo de maneira clara, detalhada e usando argumentos apropriados
para justificar cada afirmac¸a˜o. Na˜o basta fazer os exerc´ıcios, e´ preciso entender a teoria que os cercam.
1. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a− 1), ~v = (a, a− 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determinar a de modo
que 〈~u,~v〉 = 〈(~u+ ~v), ~w〉.
2. Dados os pontos A = (−1, 0, 2), B = (−4, 1, 1) e C = (0, 1, 3), determinar o vetor ~x tal que
2~x− ~AB = ~x+ ( ~BC · ~AB) ~AC.
3. Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (−6,−2, 3) e C = (1, 2, 1), determinar o versor do vetor
3
−→
BA− 2−−→BC.
4. Verificar se sa˜o unita´rios os seguintes vetores: ~u = (1, 1, 1) e ~v =
(
1√
6
,− 2√
6
,
1√
6
)
.
5. Seja ~v = (m+ 7)~i+ (m+ 2)~j + 5~k. Calcular m para que |~v| = √38.
6. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A = (−1,−2, 4), B = (−4,−2, 0) e C = (3,−2, 1). Determinar o
aˆngulo interno ao ve´rtice B.
7. Os lados de um triaˆngulo retaˆngulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular
−→
AB · −→AC +
−→
BA · −−→BC +−→CA · −−→CB.
8. Calcular n para que seja de 30o o aˆngulo entre os vetores ~u = (1, n, 2) e ~j.
9. Dados os vetores ~a = (2, 1, α), ~b = (α+ 2,−5, 2) e ~c = (2α, 8, α), determinar o valor de α para
que o vetor ~a+~b seja ortogonal ao vetor ~c− ~a.
10. Determinar o vetor ~v paralelo ao vetor ~u = (1,−1, 2), tal que 〈~v, ~u〉 = −18.
1
11. Provar que os pontos A = (5, 1, 5), B = (4, 3, 2) e C = (−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
retaˆngulo.
12. Determinar um vetor unita´rio ortogonal ao vetor ~v = (2,−1, 1).
13. Determinar o vetor projec¸a˜o do vetor ~u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o do vetor ~v = (2, 1,−2).
14. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~u = (3, 5, 2) sobre o eixo x?
15. Mostrar que, se ~u e´ ortogonal a ~v e ~w, enta˜o ~u e´ ortogonal a ~v + ~w.
16. Dados os vetores ~u = (1, 2, 1) e ~v = (2, 1, 0), calcular:
a) 2~u× (~u+ ~v)
b) (~u+ 2~v)× (~u− 2~v)
17. Dados os pontos A = (2,−1, 2), B = (1, 2,−1) e C = (3, 2, 1), determinar o vetor −−→CB× (−−→BC−
2
−→
CA).
18. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a+~b e~b−~a, sendo ~a = (3,−1,−2)
e ~b = (1, 0,−3).
19. Se |~u× ~v| = 3√3, |~u| = 3 e 60o e´ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v, determinar |~v|.
20. Calcular a a´rea do paralelogramo cujos lados sa˜o determinados pelos vetores 2~u e −~v, sendo
~u = (2,−1, 0) e ~v = (1,−3, 2).
21. Calcular x, sabendo que A = (x, 1, 1), B = (1,−1, 0) e C = (2, 1,−1) sa˜o os ve´rtices de um
triaˆngulo de a´rea
√
29
2
.
22. Dados os vetores ~u = (2, 1, 0) e ~v = (3,−6, 9), determinar o vetor ~x que satisfaz a relac¸a˜o
~v = ~u× ~x e seja ortogonal ao vetor ~w = (1,−2, 3).
23. Verificar se sa˜o coplanares os seguintes vetores:
a) ~u = (3,−1, 2), ~v = (1, 2, 1) e ~w = (−2, 3, 4)
b) ~u = (2,−1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~w = (7,−1, 2)
24. Verificar se sa˜o coplanares os pontos:
a) A = (1, 1, 1), B = (−2,−1,−3), C = (0, 2,−2) e D = (−1, 0− 2)
b) A = (1, 0, 2), B = (−1, 0, 3), C = (2, 4, 1) e D = (−1,−2, 2)
c) A = (2, 1, 3), B = (3, 2, 4), C = (−1,−1,−1) e D = (0, 1,−1)
2
25. Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u − 2~v, ~w2 = ~u + 3~v e ~w3 = ~i + ~j − 2~k.
Determinar o volume do paralelep´ıpedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3.
3