Lista de Exercício (transf.Linear-autovetores)

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ÁLGEBRA LINEAR /2012.2 
Atividades de Aprendizagem 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES, NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
1) Podemos entender transformações lineares como um tipo "apropriado" de funções entre espaços veto-
riais, pois, como em um espaço vetorial são definidas duas operações, são de interesse as funções que 
preservam essas operações. Retome a definição de transformação linear e use na resolução dos itens 
abaixo. 
Considere a função f : R
2
  R3, com f (x, y) = (x – y, 2x, y) 
a) Calcule a imagem, por f, dos vetores u = (– 1, 2) e v = (1, 3) e a soma dessas imagens; 
b) Calcule a imagem, por f, da soma dos vetores u e v; 
c) Calcule a imagem, por f, do vetor u multiplicado por 3; 
d) Multiplique a imagem de u por 3; 
e) Para os vetores e escalar dados nos exercícios acima, as operações de soma e o produto por escalar 
são preservadas pela função f ? Por quê? 
f) O que fizemos acima pode ser aceito com a prova de que f é linear? Se não, faça a prova; 
g) Escreva o conjunto Dom(f ), domínio de f; 
h) Escreva o conjunto CDom(f ), contra-domínio de f; 
i) Qual dos vetores r = (5, 6, – 2) e s = (3, – 4, 6) está no conjunto Im(f ), imagem de f ? Justifique; 
j) Escreva o vetor que define as imagens, por f, como uma combinação linear de coeficientes x e y; 
k) Escreva, a partir da combinação linear acima, um conjunto gerador do subespaço Im(f ); 
l) A partir do conjunto gerador da imagem, obtenha uma base para o subespaço Im(f ) e dê a dimensão 
desse subespaço; 
m) Escreva o conjunto Im(f ); 
n) Verifique quais dos vetores p = (2, 5) e q = (0, 0) estão no conjunto Nu(f ), núcleo de f; 
o) Escreva o subespaço Nu(f ) e a sua dimensão; 
p) Verifique a propriedade das dimensões: dimNu(f ) + dimIm(f ) = dimDom(f ); 
 
2) Use a definição de Transformação Linear para reconhecer se as funções abaixo são ou não lineares. 
Para as que não são lineares, dê um contra-exemplo como justificativa. Para as lineares, faça a prova 
da linearidade, determine os subespaços imagem e núcleo, escreva uma base para a imagem e dê as 
suas dimensões. Dica: inicie pelo vetor nulo. 
 
a) 
),()(L;:L 1
2
1 xxx RR
; 
b) 
),(),,(;:L 3221321
23
2 xxxxxxx  RR
; 
c) 
12L;:L 3223 













 dcba
dc
ba
RM
; 
d) 
 0L;:L 413234 ebda
fed
cba















MM
; 
e) L5:R
3R3; L5(x, y, z)= (x+1, y + z) 
f) L6:RR; L6(u )= u
2
 
3) Verifique quais das seguintes funções são transformações lineares: 
a) T:R² R definida por T(x,y)=2x+3y é linear. 
b) F:R³ R² definida por F(x, y,z)=(y,z). 
c) F:R³ R² definida por F(x,y,z)=(x+1,y+4). 
d) F:R² R³ definida por F(x,y)=(x+y,0,0). 
4) A transformação linear T: R2R2 definida por T (x, y) = 2(x, y) leva cada vetor do plano num vetor 
de mesma direção e sentido de v, mas de módulo maior, exatamente o dobro. Escreva essa transfor-
mação Linear na forma de matriz ou vetores coluna. 
5) Seja L na forma de matriz, 
2222:L MM 
definida por 
1 2 1 2
L( )=
1 1 1 1
   
      
v v v
. Prove que L é linear 
e encontre uma base para os subespaços Nu(L) e Im(L). Confirme, depois, o Teorema da Dimensão. 
6) Qual a transformação Linear T: R2R3 tal que T (0, 1) = (2, -1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1)? 
Determine: 
 
7) Núcleo e imagem da transformação nula, T:VW; T(v) = 0. 
 
8) Núcleo e imagem da transformação identidade, T:VV; T(v) = v 
 
9) Dado o operador projeção, T: R2R2; T1(x, y) = (x, 0), determine: 
a) O núcleo de T; 
b) uma base  para o núcleo de T; 
c) a dimensão do núcleo de T; 
d) A Imagem de T; 
e) A dimensão da Imagem de T 
 
 
 
10) Dado o operador Projeção, T:R3R3; T2(x, y, z) = (x, 0, z), determine: 
 
 
a) O núcleo de T; 
b) uma base  para o núcleo de T; 
c) a dimensão do núcleo de T; 
d) A Imagem de T; 
e) A dimensão da Imagem de T 
 
11. Seja T: R3R3 a transformação Linear dada por T(x, y, z)= (x + y, 2 x – y + z). 
a) Dar uma base  e adimensão do núcleo de T; 
b) dar uma base  e a dimensão de Imagem de T 
 
12) Seja L: R3R3 
 






























z
y
x
z
y
x
221
211
101

. 
a) 










3
1
0  Im(L)? b) 










 4
4
3  Im(L)? 
 
c) Encontre Im(L). 
d) 










0
1
2  Nu(L)? 
 
e) Encontre Nu(L). 
 
 
 
 
13) Seja L:M22  M22 a transformação linear definida por 





















c
a
dc
ba
0
0
L
. 
Verifique que dim Nu(L) + dim Im(L) = dim M22. 
ISOMORFISMO 
14) Mostre que a transformação Linear T: R2R2; T(x, y)= (x + y, x) é bijetora. 
15) Seja T: R3R3; T(x, y, z)= (x – 2y, z, x + y). Mostre que T é um isomorfismo e calcule a sua inversa 
T
-1
. 
16) Seja T: R3R4 dada por T(x, y, z)= (x, x - y, y – z, z): 
a) Mostre que T é linear; 
b) Mostre que T é injetora, mas não é um Isomorfismo. 
17) Mostre se é possível existir uma transformação linear injetora T: R3R2. 
18) Mostre se é possível existir uma transformação linear sobrejetora T: R2R3. 
19) Determine os geradores da Imagem das tranformações lineares abaixo e também uma base para a 
imagem. Conclua se T é ou não sobrejetora 
a) T: R3R4 , tal que T(x, y, z)= (x + 2z, 0, y, 0); 
b) T: R2R2 , tal que T(x, y)= (- x, y). 
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
20) Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares: 
(a) T : R
2
 R2, T(x; y) = (2x + 2y; x + 3y) 
(b) T : R
2R2, T(x; y) = (y;- x) 
(c) T : R
3
 R3, T(x; y; z) = (x + y + z; 2y + z; 2y + 3z). 
 
Rspostas 
(a)λ1 = 1, v1 = (- 2y; y) 
λ2 = 4, v2 = (x; x) 
(b) não existem 
(c) λ 1 = λ 2 = 1, v = (x; y;-y) 
λ 3 = 4, v3 = (x; x; 2x)