Teoria de discordâncias

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GRUPO DE ESTUDOS SOBRE FRATURA DE MATERIAIS 
DEMET/EM/UFOP 
TEORIA DE DISCORDÂNCIAS
ESTRUTURA DE MATERIAIS
Tipos de descontinuidades cristalinas.
DESCONTINUIDADES LINEARES
TEORIA DE 
DISCORDÂNCIAS
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read 
┴ Densidade de discordâncias 
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Sugestões para consulta inicial:
http://www.doitpoms.ac.uk
http://www.matter.org.uk
Introdução histórica ao conceito de discordâncias
A tensão requerida para 
deformar plasticamente 
um cristal é muito menor 
do que a tensão 
calculada considerando a 
estrutura cristalina livre 
de descontinuidades.
Materiais endurecem 
por deformação: 
quando um material se 
deforma plasticamente, 
ele requer uma tensão 
maior para continuar se 
deformando.
O conceito de 
discordâncias foi 
“inventado” 
independentemente por 
Orowan, Taylor e Polanyi 
em 1934, como uma forma 
de explicar duas 
observações experimentais 
sobre a deformação 
plástica de materiais 
cristalinos
Trabalhos pioneiros:
 Mügge (1883) e Ewing-Rosenhain (1899): observaram que a deformação
plástica dos metais se processa pela formação de bandas de deslizamento,
devido ao cisalhamento de uma porção do cristal em relação à outra, em um
plano do cristal.
 Volterra (1907) e Love (1927): trataram o comportamento elástico de um meio
isotrópico e homogêneo deformado, sendo que alguns de seus modelos
correspondem às discordâncias.
 Darwin (1914) e Ewald (1917): a intensidade de raios-X difratada de cristais
reais era cerca de 20 vezes maior do que aquela esperada para cristais
perfeitos.
 Frenkel (1926): calculou a tensão teórica de cisalhamento, encontrando valores
da ordem de 103 a 104 da tensão real.
 Massing e Polányi (1923), Prandtl (1928) e Dehlinger (1929): propuseram vários
defeitos precursores das discordâncias.
 Orowan, Polányi e Taylor (1934): propuseram a existência da discordância em
cunha.
 Burgers (1939): propôs a existência da discordância em hélice.
Vito Volterra (1860-1940)
Johannes Burgers (1895-1981)
Mihály Polányi (1891-1976)
Geoffrey Taylor (1886-1975) Egon Orowan (1902-1989)
Rudolf Peierls (1907-1995)Nevill Mott (1905-1996)
Frank Nabarro(1916-2006)
Curva tensão-deformação para um monocristal
de magnésio.
Linhas de deslizamento na
superfície do monocristal.
Constatação experimental (Ewing e Rosenhain, 1899):
Formação de marcas superficiais em um monocristal deformado plasticamente.
Bandas de deslizamento num
monocristal de alumínio deformado
em tração na temperatura ambiente.
MEV.
Bandas de deslizamento num policristal
de cobre deformado em compressão
na temperatura ambiente. MEV.
Um cilindro cortado (a) e deformado de seis formas distintas (b-g), conforme
proposta de Volterra.
Cálculo da resistência mecânica - cristais perfeitos
RESISTÊNCIA TEÓRICA DE CISALHAMENTO
(Frenkel, 1926 – tensão limite de escoamento)
a
bG
máx 

2

 
Deslocamento, x 
Tensão 
Valores reais do limite de escoamento de materiais
Tabela: limite de escoamento teórico e experimental para vários materiais.
Adaptação de R.W.Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, Wiley, 1989.
Material G/2 Limite de Escoamento experimental
(GPa) (MPa) m / exp
Prata 12,6 0,37  3 x 104
Alumínio 11,3 0,78  1 x 104
Cobre 19,6 0,49  4 x 104
Níquel 32,0 3,2-7,35  1 x 104
Ferro 33,9 27,5  1 x 103
Molibdênio 54,1 71,6  8 x 102
Nióbio 16,6 33,3  5 x 102
Cádmio 9,9 0,57  2 x 104
Magnésio (basal) 7,0 0,39  2 x 104
Magnésio (prismático) 7,0 39,2  2 x 102
Titânio (prismático) 16,9 13,7  1 x 103
Berílio (basal) 49,3 1,37  4 x 104
Berílio (prismático) 49,3 52,0  1 x 103
Imperfeições em um cristal deformado por flexão, de acordo com
Massing e Polányi.
Em 1934, E. Orowan, M. Polanyi e G. I. Taylor propuseram, em
trabalhos independentes, a existência de uma descontinuidade
cristalina linear denominada “Versetzung”, em alemão, por Orowan e
Polanyi, e “dislocation”, por Taylor. Esta descontinuidade será
denominada discordância neste curso, embora alguns grupos de
pesquisa no Brasil prefiram o termo deslocação.
O conceito de discordância, na verdade de discordância em cunha,
pode justificar a discrepância entre as tensões calculada e medida nos
sólidos cristalinos para a deformação plástica. O conceito de
discordância em hélice, que será apresentado a seguir, foi
introduzido por J. M. Burgers somente em 1939, junto com os
conceitos de vetor e circuito, hoje conhecidos como vetor de Burgers
e circuito de Burgers.
Uma discordância em cunha em um
cristal cúbico simples.
Uma discordância em hélice em um
cristal cúbico simples.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read 
┴ Densidade de discordâncias 
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Quando um cristal é submetido a uma deformação plástica, descontinuidades da
rede tendem a se acomodar ao longo dos planos de deslizamento. Estas
descontinuidades são chamadas de discordâncias. Uma observação no microscópio
eletrônico de transmissão teria o seguinte aspecto:
(A) Representação esquemática de uma foto de MET, mostrando uma seção do 
plano de deslizamento. (B) Vista tridimensional da mesma seção.
Definição de discordâncias
Outra maneira para evidenciar a presença de discordâncias: interseção de 
discordâncias na superfície do cristal, técnica de “etch-pits”.
Imagem no MET de uma folha de alumínio, mostrando 
o arranjo de discordâncias ao longo de um plano de 
deslizamento, idêntico ao esquema anterior.
Imagem no MET de uma folha de aço inoxidável 
18Cr-8Ni, mostrando o arranjo de discordâncias ao 
longo de um plano de deslizamento, idêntico ao 
esquema anterior.
A discordância pode ser definida como o limite, no plano de deslizamento, onde a
operação da deformação plástica ocorre. Em outras palavras, a discordância é uma
linha que forma o limite, no plano de deslizamento, entre a região que foi
deslocada e a região que não foi deslocada. Desta forma, a linha da discordância
ou será um anel fechado ou terminará em uma superfície livre do cristal, ou em um
contorno de grão.
Esquemas para discordância em cunha e discordância em hélice. 
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
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Classificação de discordâncias
Tipos de 
Discordâncias
Cunha Hélice Mista
Formas de 
Discordâncias
Reta CurvaAnel
Descontinuidades Lineares (Discordâncias)
– São descontinuidades unidimensionais ao redor das quais os 
átomos estão desalinhados.
• Discordância em cunha :
– meio-plano extra de átomos inserido na estrutura do cristal
– b  à linha da discordância
• Discordância em hélice:
– rampa planar espiral resultante da deformação cisalhante
– b  à linha da discordância
vetor de Burgers, b: medida da distorção da rede.
Discordância em cunha, proposta em 1934 por Polanyi, Orowan e Taylor. 
Discordância em cunha, (a) sob o 
ponto de vista da mecânica do 
contínuo e (b) mostrando a posição 
dos átomos. 
Discordância em hélice, proposta por Burgers em 1939.
Discordância em hélice, (a) sob o 
ponto de vista da mecânica do 
contínuo e (b) mostrando a posição 
dos átomos.
Cunha
Hélice
Mista
Comparação entre a disposição dos planos cristalinos.
(a) Cristal perfeito.
(b) Ao redor de uma discordância cunha (observe a introdução da cunha).
(c) Ao redor de uma discordância hélice (observe o movimento helicoidal).
Modelos para discordância em cunha e discordância em hélice.
Discordância em cunha.
Discordância em hélice.
Uma linha de discordância pode formar um
anel fechado. Na figura ao lado, CF e DE 
são componentes cunha, enquanto CD e FE 
são componentes hélice.
Anéis de discordâncias não são necessariamente quadrados. Uma forma elíptica
seria energeticamente mais favorável do que o quadrado. Neste caso, o tipo de
discordância muda continuamente ao longo da linha.
Existe um outro tipo de anel, chamado de
“anel prismático”, criado quando um disco
de lacunas é inserido ou removido do
cristal. Este anel é formado por
discordâncias cunha de sinal contrário.
a) Discordância em 
cunha positiva.
b) Discordância em 
cunha negativa.
c) Discordância em 
hélice à direita.
d) Discordância em 
hélice à esquerda.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
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┴ Interseção de discordâncias
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┴ Velocidade de discordâncias
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┴ Células de discordâncias e sub-grãos
O vetor de Burgers
O vetor de Burgers é o vetor que define a magnitude e a direção de deslizamento,
sendo assim uma das principais características geométricas de uma discordância.
Uma maneira conveniente de se definir o vetor de Burgers de uma discordância é
através de seu circuito de Burgers. O vetor b mede a falha de fechamento do
circuito, sendo orientado no sentido do fim para o início de mesmo.
Uma vez que o campo de forças periódico da rede cristalina requer que os átomos
se movam de uma posição de equilíbrio para outra posição de equilíbrio, conclui-
se que o vetor de Burgers precisa conectar uma posição de equilíbrio à outra. Daí,
a estrutura cristalina determinará os possíveis vetores de Burgers.
Um vetor de Burgers é especificado pelos seus componentes ao longo dos eixos da
célula cristalográfica.
Exemplos para o sistema cúbico:
Origem ao centro do cubo:
Vetor de Burgers =
Módulo =
Origem ao centro de uma face do cubo:
Vetor de Burgers = 
Módulo = 
Origem a um vértice:
Vetor de Burgers = 
Módulo =
 111
2
1b
2
3
444
222 aaaa
b 
 101
2
1b
2
2
4
0
4
22 aaa
b 
 1001b
aab  002
Circuito de Burgers para uma discordância em cunha.
a) A linha da discordância é perpendicular ao seu vetor de Burgers.
b) Uma discordância em cunha move-se (no seu plano de deslizamento) na 
direção do vetor de Burgers (direção de deslizamento).
Circuito de Burgers para uma discordância em hélice.
a) A linha da discordância é paralela ao seu vetor de Burgers.
b) Uma discordância em hélice move-se (no seu plano de deslizamento) 
numa direção perpendicular ao vetor de Burgers (direção de 
deslizamento).
(a) Circuito de Burgers ao redor de
uma discordância em cunha
(b) Mesmo circuito para um cristal
perfeito
(a) Circuito de Burgers ao redor de
uma discordância em hélice
(b) Mesmo circuito para um cristal
perfeito
O plano de deslizamento é definido pelo vetor de Burgers e sua discordância.
Assim, o plano de deslizamento para uma discordância em cunha é bem definido,
pois b é perpendicular à discordância. Por outro lado, para uma discordância em
hélice, como b é paralelo à discordância, nenhum plano específico é por eles
definido.
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Movimento sem discordância
Movimento com discordância
Como uma discordância em cunha se move no interior de um cristal. 
Agora podemos afirmar que a deformação plástica ocorre pelo
movimento de discordâncias “varrendo” os planos de
escorregamento. O movimento das discordâncias envolve o rearranjo
de apenas alguns átomos ao seu redor e não mais o movimento
simultâneo e cooperativo de todos os átomos de um plano cristalino,
conforme supõe o modelo de Frenkel. Os planos de escorregamento,
isto é, os planos onde as discordâncias se movimentam, são
normalmente aqueles de maior densidade atômica. A movimentação
atômica ao redor de uma discordância em cunha em movimento é
mostrada na figura abaixo.
Analogias para o movimento de uma discordância: (a) tapete; (b) lagarta.
Intuitivamente, é evidente que a deformação plástica causada pela
movimentação de uma discordância exige uma tensão muito menor
que a necessária para movimentar um plano de átomos como um
todo.
É muito freqüente fazer-se a analogia do tapete ou da lagarta para
justificar o movimento facilitado pela presença de discordâncias.
Analogia com o deslocamento de um tapete. Para deslocar o tapete (parte
superior do cristal) sobre o chão (parte inferior do cristal), pode-se deslizar em
bloco todo o tapete sobre o chão. Por outro lado, ao formar uma corcova
(discordância) ao longo da largura do tapete, e deslocar esta corcova pelo
comprimento do tapete, o resultado final será o mesmo, mas a força necessária
será notadamente inferior ao primeiro caso.
Como uma discordância em 
hélice se move no interior de 
um cristal.
Analogia com o movimento de tábuas no chão de uma fábrica. É mais
fácil deslocar cada tábua separadamente do que todas de uma só vez.
Uma discordância cunha positiva e uma discordância cunha negativa, movendo-se em
sentidos opostos, produzem o mesmo cisalhamento. Neste caso, as direções de
cisalhamento e de movimento das discordâncias são idênticos.
Uma discordância hélice à direita e uma discordância hélice à esquerda, movendo-se
em sentidos opostos, produzem o mesmo cisalhamento. Neste caso, as direções de
cisalhamento e de movimento das discordâncias são perpendiculares.
Um anel também pode ser ejetado do cristal, através de sua expansão. 
Deslocamento de (a) uma 
discordância cunha, (b) 
uma discordância hélice, 
(c) uma discordância mista, 
e (d) criação de um degrau 
de deslizamento 
irreversível igual ao vetor 
de Burgers da discordância 
considerada.
Regra da mão direita
Dada uma discordância, existem quatro direções importantes associadasà ela:
 direção e sentido da linha de discordância;
 vetor de Burgers, que dá o módulo e a direção do escorregamento;
 direção do movimento da linha e
 direção do fluxo ou movimento do material. Esta direção é sempre paralela à
direção do vetor de Burgers, mas não tem necessariamente o mesmo sentido
dele.
As direções mencionadas acima não são independentes e estão “amarradas” na
chamada regra da mão direita. Segundo a regra da mão (aberta) direita:
 o dedo indicador deve apontar na direção da linha de discordância;
 o polegar deve estar voltado para o lado em que o fluxo ou movimento do
material ocorre no mesmo sentido do vetor de Burgers e
 o dedo médio, o qual deve fazer um ângulo reto com o indicador, indica então a
direção do movimento da linha de discordância.
Vamos aplicar a regra da mão direita na discordância em hélice da figura a seguir.
Discordância em hélice em movimento da
posição AA’ para BB’.
Se assumirmos que a linha da discordância da figura acima está orientada de A
para A’, o dedo indicador terá esta direção e sentido. O polegar deverá estar
voltado para cima, pois a parte de cima ou superior do cristal está deslocando da
esquerda para a direita, isto é, no mesmo sentido do vetor de Burgers.
Conseqüentemente, o dedo médio indica a direção e o sentido da linha de
discordância, isto é, perpendicular à AA’ e no sentido de AA’ para BB’. Note que,
se o sentido da linha de discordância for invertido, o sentido do movimento da
linha também o será. De uma maneira geral, o sentido da linha de discordância não
é indicado nos livros textos, mas na maioria dos casos ele pode ser rapidamente
determinado com auxílio da regra da mão direita. Procure determinar como
exercício, o sentido das discordâncias nos textos que você utilizar.
Se a deformação plástica é 
enormemente facilitada por meio da 
movimentação de discordâncias, duas 
possibilidades decorrem imediatamente 
para aumentar a resistência mecânica 
de um material:
Aumento da 
resistência 
mecânica
Dificultar o movimento 
das discordâncias: 
mecanismos de 
endurecimento
Projeto de 
ligas
Tratamentos 
termomecânicos
Reduzir drasticamente 
a densidade de 
discordâncias
Whiskers
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┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Origem das discordâncias
a. Discordâncias provenientes de abaixamento de temperatura
b. Discordâncias provenientes da conformação mecânica
Discordâncias provenientes de abaixamento de temperatura:
a) Defeitos presentes em “sementes nucleadoras”
b) Nucleação acidental:
i. Tensões internas geradas por impurezas ou contração térmica
ii. Coalescimento de dendritas
iii. Colapso de lacunas, para resfriamento bem rápido
iv. Crescimento epitaxial de deposição em substratos
Representação esquemática da
formação de uma discordância a
partir de uma partícula. A
nucleação da discordância resulta
da tensão produzida ao redor da
partícula, por contração diferente
entre a matriz e a partícula
durante o resfriamento.
Aneis prismáticos de
discordâncias produzidos em um
monocristal de cloreto de prata,
para relaxar o campo de
deformação criado ao redor de
uma pequena esfera de vidro,
causado por contração diferencial
durante o resfriamento do
material. Mitchell (1958).
Representação esquemática da formação de discordâncias a partir da nucleação
de grãos durante a solidificação.
Anéis de lacunas formados em uma amostra de níquel, aquecida a
660oC por 10 mim, e temperada em nitrogênio líquido.
Crescimento epitaxial de filmes finos.
Discordâncias provenientes da deformação plástica dos materiais:
a) Nucleação homogênea:
Deformação convencional
Ondas de choque
b) Nucleação heterogênea:
i. Fontes de Frank-Read
ii. Deslizamento cruzado múltiplo
iii. Escalada
iv. Contornos de grãos
Nucleação homogênea de discordâncias através de deformação convencional.
Nucleação homogênea de discordâncias,
a partir de carregamento por choque.
Distribuição uniforme de discordâncias em
níquel carregado por choque, 15GPa, 2s, 77K.
Representação esquemática do
movimento de discordância na
fonte de Frank-Read. O
deslizamento ocorreu na área
hachurada.
Fonte de Frank-Read em uma amostra de silício. 
Dash (1957).
Fonte de Frank-Read em uma amostra de alumínio.
Crescimento lateral de bandas de
deslizamento em um monocristal de
fluoreto de lítio. As discordâncias são
observadas pela técnica de “etch pit”.
Gilman e Johnston (1962).
Sequência de eventos para o
deslizamento cruzado em um metal
CFC.
Anéis concêntricos formados a partir de uma fonte de escalada em uma
liga de Al-13,5%Mg temperada a partir de 550oC. Smallman et alli, 1962.
Emissão de discordâncias a partir de um contorno de grão.
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Observação das discordâncias
Principais técnicas:
a) Métodos superficiais
b) Métodos de decoração
c) Topogafia por difração de raios-X
d) Microscopia de campo iônico
e) Microscopia eletrônica de transmissão
f) Simulação computacional
Métodos superficiais:
Se um cristal contendo discordâncias for submetido a um ambiente que remove
átomos de sua superfície, a taxa de remoção de átomos ao redor do ponto onde as
discordâncias emergem na superfície deve ser diferente da taxa relativa à matriz.
Como consequência, “pites” serão formados nestes locais.
Formação de “etch pits” no
local onde uma discordância
emerge na superfície.
Principais técnicas:
i. Ataque químico e 
eletroquímico;
ii. Ataque térmico 
(evaporação);
iii.Ataque por 
bombardeamento 
iônico.
“Etch pits” produzidos na superfície de
um monocristal de tungstênio
(Schadler e Low).
“Etch pits” formados no contorno de grão entre dois grãos
de germânio (Vogel et alli, 1953). Este foi o primeiro
trabalho realizado para confirmar a correspondência entre
as discordâncias e os “etch pits”.
Discordâncias observadas pela técnica de “etch-pits” em uma amostra de LiF, e
contornos de sub-grãos. Johnson e Gilman, 1957.
“Etch pits” produzidos na superfície de um monocristal de fluoreto de lítio (Gilman e Johnston, 1957). O
cristal foi atacado três vezes, para se estudar o movimento das discordâncias em função de uma tensão
aplicada.
Uma lâmina monocristalina de KCl examinado em um microscópio ótico. Partículas de prata
precipitaram em discordâncias, que se apresentam aqui na forma de uma rede. Amelinckx, 1958.
Métodos de decoração:
Discordâncias em uma lâmina cristalina são transparentes à luz visível e à luz
infravermelha, não sendo portanto visíveis quando iluminadas com esta radiação.
Por outo lado, é possível “decorar” as discordâncias, forçando a precipitação ao
longo destas descontinuidades. A posição das discordâncias será então revelada
pelo espalhamento da luz nos precipitados, podendo ser observadas em um
microscópioótico.
Arranjo hexagonal de discordâncias em uma
amostra de NaCl decorada com prata.
Amelinckx, 1947.
Precipitação de carboneto de molibdênio
em discordâncias de um aço ferrítico.
Irani, 1964.
Microscopia eletrônica de transmissão:
Trata-se da técnica mais utilizada para
observação de discordâncias e outras
descontinuidades cristalinas. Um feixe de
elétrons com energia da ordem de 100
keV deve atravessar uma amostra
bastante fina (100 a 1000 nm). A interação
resultante forma figuras de difração e uma
imagem ampliada de 102 a 106 vezes. A
imagem simplesmente revela a variação
de intensidade do feixe de elétrons
selecionado transmitido pela amostra.
Duas operações básicas dos sistemas de
formação de imagem do MET, envolvendo a
projeção (a) das figuras de difração e (b) da
imagem na tela de observação.
Formação de contraste.
Como certos planos próximos à linha da discordância
são distorcidos, podem surgir orientações fortemente
propícias para a difração de elétrons (equação de
Bragg). Com isto, a intensidade do feixe diretamente
transmitido será reduzida (e do feixe difratado será
aumentada). As discordâncias aparecerão como
linhas escuras na imagem por campo claro (ou linhas
claras na imagem por campo escuro).
O vetor g é perpendicular aos planos que difratam os
eletrons; o vetor u representa o deslocamento de
átomos provocados pelas discordâncias. Soluções
para as equações que fornecem a intensidade do
feixe eletrônico contêm um fator g u.
Consequentemente, condições de difração que
forneçam g u = 0 não produzirão contraste. Esta
situação de chama critério de invisibilidade.
Micrografia de folha fina no MET mostrando
dois conjuntos paralelos de discordâncias.
Cada linha escura é produzida por uma
discordância. O diagrama esquemático
ilustra a distribuição das discordâncias na
folha fina, e demonstra que a foto acima
representa uma imagem projetada de um
arranjo tridimensional de discordâncias.
A forma real da imagem da discordância
depende das condições de difração, da
natureza das discordâncias e a sua
profundidade na folha fina. Ela pode
aparecer como uma linha única (não
necessariamente centrada na discordância
real), uma linha dupla, uma linha ondulada
ou uma linha partida. A linha também pode
estar invisível, fato que pode ser explorado
para determinação do vetor b de Burgers.
Ilustração do uso do método g b = 0, para
determinar o vetor de Burgers b de
discordâncias. Aqui, três diferentes vetores de
difração g foram escolhidos para produzir três
diferentes imagens do mesmo campo de
visão. Ele contém uma rede de quatro
conjuntos de linhas de discordâncias.
Lindroos, 1971.
Aplicação do critério g b = 0. O efeito da mudança da condição de difração faz
com que a discordância B, que aparece em (a) desapareça em (b). Hirsch, Howie e
Whelan, 1960.
Arranjos de discordâncias produzidos por deformação plástica no ferro. (a) Células de
discordâncias formadas após 9% de deformação a 20oC. (b) Arranjo uniforme de discordâncias
formadas após 7% a -135oC. Keh e Weissmann, 1963.
Evolução da subestrutura de discordâncias em Fe-3,25%Si deformado e recozido. (a) Distribuição uniforme
de discordâncias em um cristal deformado 20%. (b) Formação de pequenos subgrãos em material
deformado e recozido por 15min a 500oC. (c) Mesma situação de (b), porém recozido por 15min a 600oC.
(d) Mesma situação de (b), porém recozido por 30min a 600oC. Hu, 1964.
Extensivas redes de discordâncias observadas em ferro CCC. Dadian e Talbot-Besnard.
Discordâncias em uma amostra de titânio 
observada em um MET. Plichta, 1990
Discordâncias em um aço inoxidável, 
observadas em um MET. Ashby, 1980.
Discordâncias em (a) níquel, (b) 
titânio e (c) silício, observadas em um 
MET.
Discordâncias em (a) Al2O3 e (b) TiC, observadas em um MET.
Topografia por difração de raios-X:
Esta técnica é também chamada de método de Berg-Barrett (1945), e utiliza princípios
semelhantes à microscopia eletrônica.
A amostra é colocada em um dispositivo móvel, e orientada com relação ao feixe de raios-X
de tal sorte que um conjunto de planos cristalográficos que obedeçam a equação de Bragg
vai provocar difração. O feixe refletido é então examinado em uma tela contendo um filme
sensível aos raios-X, colocada bem próxima da amostra.
Como no caso da difração de elétrons, qualquer distorção da rede causada pela presença de
discordâncias resulta numa mudança das condições de reflexão, e os raios-X serão
espalhados diferentemente nesta região. A diferença na intensidade dos raios-X difratados
será gravada fotograficamente.
Uma vez que a penetração de raios-X é maior do que a penetração de elétrons, esta técnica
tem a vantagem de poder utilizar amostras mais espessas.
Esquema mostrando uma amostra montada
em um goniômetro, em posição para o
método de Berg-Barrett.
Topografia por difração de raios-X mostrando discordâncias em um monocristal de silício.
Nenhuma ampliação da topografia é obtida, mas com a posterior utilização de emulsões
fotográficas, aumentos de até 500X podem ser conseguidos. Jenkinson e Lang, 1962.
Topografia por difração de raios-X mostrando anéis de discordâncias em um monocristal de
magnésio. g = 0110. Vale e Smallmann, 1977.
(a) LiF observado no MO. Discordâncias cunha diagonais e discordâncias hélice horizontais.
(b) Raios-X na difração (200), discordâncias cunha. (c) Raios-X na difração (220),
discordâncias hélice. (d) Raios-X na difração (202), os dois tipos. Newkirk, 1959.
Microscopia de campo iônico:
Esta técnica possibilita aumentos de 106 vezes e resoluções de 0,2 a 0,3nm. A
amostra é um arame fino com uma das pontas polida eletroliticamente com forma
hemisférica de raio entre 100 a 300 raios atômicos. A amostra é carregada
positivamente em uma câmara de alto vácuo contendo traços de gás hélio ou
neônio. Os átomos do gás tornam-se polarizados, se aproximam e colidem com a
ponta da amostra. Eles cedem elétrons, se ionizam, e são projetados em um
anteparo fluorescente, produzindo a imagem.
Esquema de um microscópio de
campo iônico.
Colisão de átomo de gás polarizado e emissão de
íon de gás a partir da ponta da amostra.
Imagem de campo iônico de um contorno de grão na ponta de uma agulha de
tungstênio. Cada spot brilhante representa um átomo de tungstênio. 1967.
Discordância hélice em uma amostra de
tungstênio observada em um microscópio
de campo iônico. Inal, 1990.
Interseção de discordâncias na superfície
de uma amostra de platina observada em
um microscópio de campo iônico.
10.000.000 X. Muller, 1962.
Simulação computacional:
O potencial dos computadores tem sido explorado em duas áreas particulares
relacionadas com a estrutura atômica e com a morfologia de discordâncias.
Na primeira situação, os computadores auxiliam alguma técnica experimental bem
conhecida, como a microscopia eletrônica de transmissão.
Na segunda situação, os computadores são empregados para modelar o
comportamento atômico dos cristais, e promover informações que não são obtidas
por investigação experimental.
(a) Posições atômicas em um plano (112)
perpendicular a uma discordância em
cunha situada na direção [112], com
vetor de Burgers ½[110] em um cristal
de cobre. A discordância se dissociou
em duas parciais de Shockley nas
posições mostradas. Os deslocamentos
atômicos tanto dentro como fora do
plano da figura são indicados por
pequenos ou grandes círculos,
respectivamente.
(b) O plano (112) visto com certa
inclinação, para mostrar mais
claramente as componentes cunha e
hélice das parciais.
Imagem real e imagem obtida por simulação computacional de anéis de lacunas
produzidas por severo bombardeamento iônico de rutênio. O vetor de difração é
g , os anéis α e β possuem o vetor de Burgers b e a normal n aos anéis.
Tetraedro de falha de empilhamento em cobre
irradiado. (a) Átomos em dois planos {111}
através de um tetraedro na simulação
computacional. (b) Imagem experimentale (c)
simulada , mostrando a orientação do defeito.
Schaublin et alli, 1998.
(a) Estrutura atômica obtida por simulação
computacional da estrutura de uma
discordância maclada em um contorno de
macla (1012) em titânio HC. As células
unitárias são mostradas e a posição do
contorno é indicada por uma linha
tacejada. A discordância maclada, definida
pelos vetores da rede tλ e tμ , tem um vetor
de Burgers muito pequeno, mas requer um
deslocamento de átomos nas camadas
marcadas com um S. Bacon e Serra
(1994). (b) Imagem experimental no MET
de um contorno em titânio contendo uma
discordância maclada. A linha tracejada
mostra a localização da interface, e os
pontos negros indicam as posições de
alguns átomos próximos da interface.
Serra et alli (1996).
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read 
┴ Densidade de discordâncias 
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Tensão de Peierls-Nabarro
O processo de movimento de uma discordância na rede cristalina perfeita
pode ser encarado como uma transição de estados de energia:
Para minimizar a energia do processo, o material deslizado “crescerá” às custas
da região não deslizada, através do avanço de uma região interfacial, que é uma
discordância de largura w.


















b
aG
b
wG
NP
)1(
2
exp
1
22
exp
1
2





w p
Metais: W é grande
Cerâmicos: W é 
pequeno
Relação a/b : planos densos e direções densas
fornecem menor valor para p.
A relação de Peierls-Nabarro representa a
resistência que uma rede perfeita oferece a uma
discordância retilínea.
A força necessária para movimentar uma discordância através da rede cristalina
está relacionada com a largura da discordância através da relação de Peierls-
Nabarro (1940/1947):
O movimento das discordâncias pode ser conservativo ou não
conservativo. Quando a discordância se movimenta no plano de
deslizamento, que são normalmente os planos de maior densidade
atômica (e a direção de deslizamento é também a direção de maior
densidade atômica), diz-se que o movimento é conservativo. Se o
movimento da discordância se der fora do plano de deslizamento,
perpendicularmente ao vetor de Burgers, diz-se que ele é não
conservativo, ou de escalada.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
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┴ Energia da discordância
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read 
┴ Densidade de discordâncias 
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Força exercida sobre 
uma discordância
Seja um cristal de espessura unitária (e = 1), submetido a um cisalhamento
absoluto b, que corresponde ao vetor de Burgers de uma discordância.
Seja F a força por unidade de comprimento da discordância, necessária para
promover este deslizamento irreversível.
Para deslocar uma unidade de comprimento de discordância, da face A para a
face B, o trabalho será igual a F.L .
A força exercida no plano de
deslizamento é igual a .L (tensão
cisalhante multiplicada pela área
do plano de deslizamento), e
promove um cisalhamento
absoluto b .
O trabalho, que é igual a .L.b ,
deve ser igual ao trabalho
necessário para deslocar a
discordância.
Conclusão (Mott e Nabarro, 1948):
A força F é, portanto, a força que se deve exercer sobre uma discordância por
unidade de comprimento de discordância, para a promoção do cisalhamento do
cristal.
bFbLLF  
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
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┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
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┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Tensão de linha de uma discordância
Toda discordância possui uma energia de deformação elástica por unidade de
comprimento de sua linha.
A energia de deformação de uma discordância é a energia necessária para
deslocar os átomos situados na vizinhança da linha da discordância, em relação à
sua posição teórica de equilíbrio na rede cristalina perfeita.
No sentido de manter a energia total do cristal a mais baixa possível, a
discordância tende a encurtar o seu comprimento. Surge então uma tensão de
linha, que age no sentido de tornar a discordância mais retilínea, para reduzir o
seu comprimento.
Em primeira aproximação, a tensão de linha T de uma discordância é igual à sua
energia de deformação elástica por unidade de comprimento (Nabarro, 1952):
2
2bG
T 
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┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Redes de discordâncias
Em cristais recozidos, as discordâncias
formam uma rede tridimensional,
chamada de rede de Frank.
A quantidade de discordâncias
presentes por unidade de volume do
cristal é a densidade de discordâncias ,
caracterizada pelo comprimento total de
discordâncias por unidade de volume.
Redes de discordâncias
Mesmo os cristais mais perfeitos
possuem uma densidade  entre 102 e
103 cm/cm3. Em geral, a maioria dos
cristais metálicos não deformados
contêm entre 106 e 107 cm/cm3,
enquanto aqueles severamente
deformados contêm entre 1011 e 1012
cm/cm3.
Rede de discordâncias em uma amostra de ferro normalizado. MET, 50.000X.
McLean, 1960.
Rede de discordâncias em uma amostra de diboreto de titânio. MET.
Hoke e Gray.
Um exemplo típico de redes bidimensionais de discordâncias é observado em
contornos de grão de baixo ângulo e em sub-grãos. Estas redes são
freqüentemente formadas durante o recozimento de metais trabalhados a frio.
Sub-grãos formados em amostra de alumínio.
Os diversos segmentos de discordâncias convergem para pontos chamados de
nós. Considerando l a distância média entre os nós, esta distância se relaciona
com a densidade  pela relação:

1
l
Uma característica básica dos nós é que a soma dos vetores de Burgers
correspondentes é nula:
0
1

n
ib
Considere uma discordância b1, que se dissocia em
duas discordâncias b2 e b3. Um circuito de Burgers foi
desenhado ao redor de cada discordância, seguindo do
diagrama que b1 =b2 + b3.
O circuito maior à direita engloba duas discordâncias,
mas como ele passa atravésdo mesmo material que o
circuito menor à esquerda, o vetor de Burgers precisa
ser o mesmo. Daí, tem-se b1 + b2 + b3 =0.
Os nós da rede de Frank constituem pontos de ancoragem das linhas de
discordâncias. Como conseqüência, quando o cristal está submetido a uma
tensão, os segmentos de discordâncias tendem a se curvar, mas permanecem
fixos nos pontos de ancoragem. Pode-se então calcular a tensão cisalhante
necessária para curvar um segmento de discordâncias. Para tal, usa-se o
conceito de tensão de linha da discordância.
Considera-se uma discordância curva, com um
raio de curvatura igual a R. A tensão de linha T
se opõe a esta curvatura, produzindo uma
força perpendicular à discordância e
apontando para o centro de curvatura.
A discordância somente se manterá curva se
uma tensão cisalhante  desenvolver uma
força igual e oposta à tensão de linha.
As forças que agem no segmento dS
são iguais e opostas, daí:
2
sen2
 TdSb 
Considerando o ângulo  muito pequeno, então sen(/2)  /2 e
/dS é igual a 1/R. Daí, a tensão necessária para manter a
discordância na forma curva será:
R
bG
Rb
T
2

Na realidade, a expressão para a tensão  cisalhante capaz de movimentar uma
discordância através de obstáculos deve ser acrescida de um termo 0 , chamado
de tensão de fricção da rede cristalina.
A tensão 0 corresponde ao cisalhamento necessário para vencer a resistência
intrínsica da rede cristalina ao deslocamento da discordância.
Esta tensão depende da natureza e da intensidade das ligações atômicas, assim
como de sua estrutura cristalina. Trata-se da tensão de Peierls-Nabarro.
Quanto mais intensas e direcionais forem as ligações atômicas, maior será a
resistência intrínsica da rede cristalina. Para os metais, a tensão de fricção será
mais elevada para estruturas CCC do que para estruturas mais compactas – CFC e
HC.
R
bG
2
0  
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┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Campo de tensões em torno de discordâncias
Ao observar atentamente o esquema de uma discordância pode-se constatar que os
átomos ao seu redor estão fora das suas posições de equilíbrio, ou seja, o reticulado
cristalino está distorcido. Pode-se notar também que as distorções são diferentes e
dependem do tipo de discordância. À estas distorções (deformações) pode-se
associar campos elásticos de tensão, calculados com auxílio da Teoria da
Elasticidade.
Antes de analisar os campos elásticos de
tensão ao redor das discordâncias, deve-se
definir uma notação para as tensões
normais e cisalhantes. Para isto é
conveniente considerar um cubo unitário
(uma unidade de volume), que está em
equilíbrio sob ação de um estado
tridimensional de tensões. A figura ao lado
apresenta um cubo unitário submetido ao
estado de tensões mencionado. x
y
z
Discordância hélice
Discordância cunha
x
y
z
xy
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┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Energia da discordância
A presença de uma discordância no reticulado cristalino causa um aumento da
energia interna. Esta energia tem duas parcelas: a energia do núcleo da
discordância e a energia elástica.
Pode-se notar nas figuras relacionadas com os campos de tensões a presença de um
raio r0, o qual delimita o núcleo da discordância. Dentro do núcleo, as deformações
do reticulado são muito grandes, impossibilitando o uso da teoria da elasticidade,
pois as deformações elásticas nos sólidos cristalinos são em geral bem menores
que 1%. Fora do núcleo, isto é, fora de r0 pode-se calcular a energia da
discordância com auxílio da teoria da elasticidade.
Dentro do núcleo, o cálculo da energia é extremamente complexo. Por outro lado,
pode-se confirmar experimentalmente que a energia do núcleo da discordância
representa menos de 5% do valor total.
Energia de uma discordância hélice:
Energia de uma discordância cunha:
Energia de uma discordância mista:
Energia total: UT = Unúcleo + Uperiferia
Energia do núcleo da discordância:









o
h
r
rbG
U ln
4
2

  









o
c
r
rbG
U ln
14
2

 
  









o
m
r
rbG
U lncos1
14
2
2

10
2bG
U núcleo 
bro 5
Energia de uma discordância curva.
Exemplo: discordância cunha.
    


















oo
c
r
RbG
r
rbG
U 1
22
ln
14
ln
14 
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┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Campo de forças entre discordâncias
Considerando que as discordâncias possuem seu próprio campo interno de
tensões, deve-se esperar que, quando duas discordâncias se aproximam uma da
outra, alguma interação deva ocorrer.
Os casos mais simples são de duas discordâncias em cunha e em hélice,
situados em planos de deslizamento paralelos.
Interação entre (A) duas discordâncias em cunha paralelas e (B) duas discordâncias em hélice paralelas.
Para o caso de discordâncias em cunha paralelas, assume-se que a linha das
discordâncias está orientada segundo o eixo OZ e que o plano de deslizamento
é XZ. A força exercida entre as duas discordâncias possui as componentes Fx e
Fy, respectivamente paralelas aos eixos OX e OY.
Para o caso de discordâncias em hélice paralelas, assume-se que os dois vetores
de Burgers são paralelos ao eixo OZ. Como no caso anterior, existem duas
componentes Fx e Fy.
 
 
 222
222
12 yx
yxxbG
Fx



   
 
 222
222 3
12 yx
yxybG
Fy



 
 22
2
2 yx
xbG
Fx


  22
2
2 yx
ybG
Fy



Pode-se mostrar que duas discordâncias em hélice paralelas sempre se repelem
uma em relação à outra quando os vetores de Burgers de ambas discordâncias
possuem o mesmo sinal, e sempre se atraem para vetores de Burgers de sinais
opostos. Em qualquer um dos casos, a magnitude da força é inversamente
proporcional à distância entre as duas discordâncias.
Por outro lado, a força que atua entre duas discordâncias em cunha apresenta
uma reversão de sinal, quando a distância horizontal x entre as duas
discordâncias torna-se menor do que a distância vertical y entre os planos de
deslizamento. Observa-se que as discordâncias de mesmo sinal se repelem para
x > y ( < 450) e se atraem para x < y ( > 450) , o inverso ocorrendo para
discordâncias de sinaisopostos.
Fx é igual a zero para x = 0 e x = y. A situação x = 0, onde as discordâncias
estão situadas uma sobre a outra, é uma condição de equilíbrio: trata-se da
situação encontrada para arranjos de discordâncias em contornos de grãos de
pequeno ângulo (sub-grãos).
Variação de Fx com a distância x, onde x é expresso em unidades de y, entre duas discordâncias cunha.
(A) de mesmo sinal. (B) de sinais opostos.

T
T
x
y
Arranjos de discordâncias em
cunha com vetor de Burgers
paralelos:
(a)De mesmo sinal e contidas
no mesmo plano;
(b)De sinais opostos e contidas
no mesmo plano;
(c)De sinais opostos e contidas
em planos paralelos;
(d)Combinação das duas
discordâncias de (c),
deixando uma fileira de
lacunas.
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┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Deslizamento 
cruzado
Movimento de uma discordância hélice durante o deslizamento cruzado.
Inicialmente, a discordância move-se em um plano vertical. Em seguida, ela muda
de plano, passando a se movimentar em um plano horizontal.
Representação esquemática do deslizamento
cruzado em um metal hexagonal compacto.
Deslizamento cruzado em uma 
amostra de magnésio. Reed-Hill e
Robertson, 1957.
Deslizamento cruzado em uma amostra de alumínio. Cahn, 1950.
Representação esquemática do deslizamento cruzado duplo.
┴ Introdução histórica
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┴ Escalada 
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┴ Velocidade de discordâncias
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┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Escalada
Escalada: processo termicamente ativado de movimento de discordâncias 
em cunha na direção perpendicular ao plano de deslizamento (não conservativo).
Formação de degraus ao longo da linha de discordância:
nj : número de degraus por comprimento da discordância
no: número de nós por comprimento da discordância
Uj : energia de ativação necessária para nuclear um degrau
k : constante de Boltzmann
T : temperatura
: constante (aprox. 0,2)
G : módulo de cisalhamento
b1 : vetor de Burgers da discordância
b2 : comprimento do degrau







Tk
U
nn
j
oj exp
2
2
1 bbGU j 
Escalada positiva da discordância cunha.
Escalada negativa da discordância cunha.
A existência de uma tensão compressiva na direção de
deslizamento causa uma força na direção da escalada positiva.
Similarmente, uma tensão trativa perpendicular ao plano extra
causa uma força na direção da escalada negativa. Assim, a
superposição de tensão com elevada temperatura necessária para
difusão resulta numa elevação da taxa de escalada.
Escalada não é possível com discordâncias hélice, uma vez que
neste caso não existe plano extra de átomos.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read 
┴ Densidade de discordâncias 
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias parciais e falhas de empilhamento
┴ Células de discordâncias e sub-grãos
Interseção de 
discordâncias
Interseção de duas discordâncias cunha com vetores de Burgers perpendiculares.
Interseção de duas discordâncias cunha com vetores de Burgers paralelos.
(a) Interseção de uma discordância cunha com uma discordância hélice.
(b) Interseção de duas discordâncias hélice.
De uma maneira geral, a presença de degraus em discordâncias em cunha não afeta o posterior
movimento deste tipo de discordâncias. O mesmo não ocorre com as discordâncias em hélice.
Na figura abaixo, o plano de deslizamento do degrau é PRR’P’. Se a discordância em hélice se
deslocar no plano B’Q’P’R’ o movimento do degrau no plano PQQ’P’ não será conservativo, e
requer a ocorrência de escalada. Portanto, a mobilidade de discordâncias em hélice fica restrita.
Pode-se imaginar que durante a deformação plástica as discordâncias vão adquirindo degraus e a
sua mobilidade vai se tornando cada vez mais dificultada. Esta explicação foi proposta por Hirsch
e Mott, no início da década de 1960, para explicar o aumento da resistência de um material à
medida que ele vai sendo deformado (encruamento).
Discordância em hélice contendo um degrau em cunha.
Movimento de uma discordância em hélice
contendo degraus. (a) Discordância retilínea, na
ausência de tensão aplicada. (b) A discordância se
curva sob a ação da tensão cisalhante aplicada. (c)
Movimento da discordância e emissão de lacunas
pelos degraus.
O movimento de discordâncias em
hélice contendo degraus é um dos
mecanismos responsáveis pela geração
de lacunas (e de instersticiais) durante
a deformação plástica.
Pode-se criar e reter em baixa
temperatura este tipo de
descontinuidade por meio de
resfriamento rápido a partir de altas
temperaturas, por meio de irradiação
do cristal com partículas de alta energia
(por exemplo, nêutrons, elétrons e
íons), ou por meio de deformação
plástica.
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Fonte de Frank-Read
Representação esquemática da operação de uma fonte de Frank-Read. A
discordância é impedida de se movimentar. Para continuar o deslizamento, deve-se
elevar a tensão aplicada. A discordância vai dobrando-se, até a geração de um anel.
A operação de uma fonte de Frank-Read consiste numa aplicação do conceito
de tensão de linha T e da tensão  para curvar uma discordância.
a) Um segmento de discordância de comprimento l está ancorado entre os
pontos P e P’.
b) Sob a ação da tensão  a discordância se curva; o seu raio de curvatura R é
superior a l / 2. Aqui vale a expressão:
R
bG
Rb
T
2

c) Uma elevação na tensão  provoca uma curvatura mais pronunciada; o raio
de curvatura R vai diminuindo, até alcançar seu valor mínimo, R = l / 2. Nesta
situação a tensão  atinge seu máximo valor:
l
bG

d) A partir deste momento, as configurações seguintes vão surgir para tensões
cisalhantes menores. Um anel será formado, a partir da anulação de
segmentos com vetores de Burgers opostos. Novos anéis serão gerados, até
que o sistema crie uma resistência à sua formação.
A fontede Frank-Read foi proposta por estes dois pesquisadores, de forma
independente em 1950, como um mecanismo de multiplicação de discordâncias.
Um tratamento mais rigoroso fornece a seguinte expressão para a tensão
necessária para provocar o encurvamento da linha da discordância:
O raio de curvatura será mínimo quando
R = l / 2. Assim, tomando-se valores
típicos de  = 0,33 e l = 103 , tem-se a
tensão máxima para o equilíbrio local:
a) Discordância cunha:
b) Discordância hélice:
 
 















2
1lncos43
2
1
14
2
2  R bGRTb

bG
2
1


bG
2
3

Fonte de Frank-Read em uma amostra de silício.
Dash, 1957. Observe que a configuração do anel
formado não é um arco de circunferência,
porque o valor local da tensão da linha varia
com a orientação. Fonte de Frank-Read em uma amostra de alumínio.
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Densidade de discordâncias
A tensão cisalhante necessária para que o limite de escoamento de um
monocristal seja atingido (ou seja, a tensão para movimentar discordâncias na
rede de Frank) é dada pela equação abaixo, onde R = l / 2 (l é a distância média
entre nós da rede):
R
bG
2
0  
Quando as discordâncias entram em movimento, se multiplicam e varrem os
planos de deslizamento, elas se cruzam e sua densidade  aumenta.
Conseqüentemente, a distância l, que é inversamente proporcional a , diminui,
devendo-se aplicar uma tensão  mais elevada para que a deformação plástica
prossiga. Este fenômeno se chama encruamento.
O raciocínio também é válido para policristais.
Multiplicação de discordâncias durante a deformação plástica, superliga Hastelloy.
a) Material recozido;
b) Material deformado 5%;
c) Material deformado 15%.
Equação geral que descreve o encruamento:   0
Variação do limite de escoamento com a densidade de discordâncias
para amostras de titânio deformadas na temperatura ambiente e
numa taxa de 10-4s-1. Jones e Conrad, 1969.
 = o + k 
1/2
 = o + k 
1/2
Variação da tensão de cisalhamento resolvida com a densidade de
discordâncias para amostras de cobre. Rall, Courtney e Wulff, 1976.
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Velocidade de discordâncias
Experiência de Gilman e Johnson, para determinação da velocidade de
uma discordância.






TR
Q
kv m exp
Compilação de resultados da
literatura, sobre a dependência
da velocidade de discordâncias
com a tensão aplicada.
Cisalhamento produzido pela passagem de discordâncias paralelas.
vb
bdxb
dxdxdx
dxN
dx
bN
p
l










113
321
2
3
13
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Discordâncias Parciais e Falhas de Empilhamento
Seja um cristal CFC, obtido por meio
do empilhamento de planos de máxima
densidade atômica, do tipo {111},
sendo que a seqüência de
empilhamento é do tipo
ABCABCABC...
A passagem de uma discordância por
um plano deste tipo causa deformação
plástica e não deve provocar alteração
da estrutura original do cristal. Este tipo
de discordância é denominada
discordância unitária ou perfeita.
Quando a estrutura original não é
mantida, a discordância é denominada
discordância parcial ou imperfeita.
Deformação plástica em um cristal CFC.
A passagem de uma discordância unitária com vetor de Burgers b1 não altera a
seqüência de empilhamento. No entanto, o mesmo resultado final pode ser
obtido de maneira mais fácil, desde que o movimento seja feito em duas etapas,
em ziguezague. Neste caso, o deslocamento é representado por duas
discordâncias parciais, denominadas de parciais de Schockley, com vetores de
Burgers b2 e b3, respectivamente.
As parciais de Schockley se repelem com uma força:
onde
b2 . b3 é o produto escalar e
d é a distância entre as parciais
d
bb
GF
2
32 
Dissociação de Schockley em um cristal CFC.
Se as parciais mantiverem-se
separadas (dissociadas), a
seqüência de empilhamento
na região externa às parciais
será ABCABCABC... e numa
faixa, dentro das parciais, a
seqüência de empilhamento
será alterada para
ABCACABC... Esta região é
denominada falha de
empilhamento.
Existe uma força de repulsão
entre as parciais, uma vez que
o ângulo  entre os vetores de
Burgers b2 e b3 é igual a 60
0
(conforme visto no item
anterior “Força entre
discordâncias”).
Formação de duas discordâncias
parciais e de uma região falhada, a
partir de uma discordância normal.
Esta combinação é chamada de
“discordância estendida”.
Formação de duas discordâncias parciais e de uma região falhada em uma
estrutura CFC. A falha corresponde a um empilhamento HC. Comparação
com a formação de uma macla.
Outro tipo de discordância parcial são as chamadas parciais de Frank. Estas 
discordâncias podem ser criadas pela remoção ou pela inserção de um plano de 
átomos do tipo {111}. A seqüência de empilhamento será alterada nos dois 
casos, gerando falhas denominadas:
(a) Falha intrínsica ou simples.
(b) Falha extrínsica ou dupla.
Um tipo de reação entre discordâncias muito
importante é o que leva à formação das
barreiras ou travas de Lomer-Cottrell.
Considere duas discordâncias unitárias,
contidas em planos do tipo {111}, e paralelas à
linha de intersecção entre os dois planos. Estas
duas discordâncias podem dissociar-se em
parciais, as quais delimitam falhas de
empilhamento. Se duas destas parciais
reagirem, a discordância parcial formada é do
tipo cunha, situa-se na intersecção dos planos,
tem vetor de Burgers fora dos planos e não
pode movimentar-se neles. Esta discordância é
uma barreira (ou trava) ao movimento das
outras discordâncias. O encruamento dos
metais e ligas também pode ser atribuído à
formação de barreiras de Lomer-Cottrel
durante a deformação plástica.
As falhas de empilhamento são delimitadas por discordâncias parciais. Estas discordâncias parciais se
repelem. Quanto maior for a energia por unidade de área da falha de empilhamento, mais próximas
estarão as discordâncias parciais, de modo a minimizar a área defeituosa.
A EFE é um dos mais importantes parâmetros indicativos das propriedades dos materiais. Por
exemplo, um material com baixa EFE apresentaapós deformação plástica maior densidade de
discordâncias, distribuição mais uniforme de discordâncias e maior energia armazenada na
deformação, do que um material com elevada EFE e deformado nas mesmas condições. Além disto, os
materiais com baixa EFE geralmente apresentam maior taxa de encruamento, maior resistência à
fluência e maior susceptibilidade à corrosão sob tensão do que materiais de elevada EFE.
A energia de falha de empilhamento – EFE – pode ser determinada experimentalmente medindo-se a
distância entre as discordâncias parciais, com auxílio do MET. A distância de equilíbrio de separação
entre duas discordâncias reflete o balanço entre a força de repulsão das parciais e a associada EFE.
Tem-se então:
Medição da distância d entre parciais no MET. Aço AISI 304.
  EFE
bG
d
 

12
2
Energia de falha de empilhamento – EFE – de alguns metais e ligas.
EFE
Imagens de discordâncias e de falhas de empilhamento no MET.
Falha de empilhamento em um
aço inoxidável.
a) Contraste normal de franjas;
b) Contraste realçando as 
discordâncias parciais.
Imagens de discordâncias estendidas no MET.
Exemplo de dissociação em cristal CFC.
Grupo de falhas de empilhamento em um aço SAE 302, 
barradas em um contorno de grão. Wilsdorf, 1986.
Falhas de empilhamento em um aço 18Cr-8Ni. 
Michalak, 1973.
Falhas de empilhamento em GaP. P.Pirouz.
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Células de discordâncias e sub-grãos
A distribuição de discordâncias em um metal ou liga deformado plasticamente depende de vários
fatores: estrutura cristalina, energia de falha de empilhamento, temperatura e velocidade de
deformação.
Por exemplo, quando um metal com estrutura CFC e baixa EFE é deformado por métodos usuais
(ensaio de tração, laminação, forjamento, etc.), suas discordâncias têm baixa mobilidade, devido ao
fato das discordâncias parciais estarem muito afastadas entre si. Isto implica em dificuldade para
ocorrência de fenômenos de deslizamento cruzado e escalada de discordâncias. Uma vez tendo baixa
mobilidade, as discordâncias geradas na deformação tenderão a ter uma distribuição plana
(homogênea) na microestrutura.
Arranjo esquemático de
discordâncias homogeneamente
distribuídas em um grão encruado.
Por outro lado, metais e ligas com estrutura CCC, ou com estrutura CFC e elevada EFE, deformados
plasticamente por métodos habituais na temperatura ambiente apresentam discordâncias dissociadas
em parciais próximas umas das outras, facilitando a ocorrência de deslizamento cruzado e de escalada.
Isto implica em discordâncias com elevada mobilidade, que tendem a se localizar em planos
cristalinos de baixos índices de Miller, assim como aniquilar-se com discordâncias vizinhas de sinal
oposto. Devido a estes fatores, materiais com elevada EFE tendem a apresentar uma distribuição
heterogênea de discordâncias.
Arranjo esquemático de células de
discordâncias distribuídas em um
grão encruado.
As discordâncias concentram-se preferencialmente em
paredes de células (formando emaranhados de
discordâncias), e o interior das células permanece
praticamente livre de discordâncias. A diferença de
orientação entre células vizinhas é em geral muito pequena,
menor que 20.
Uma elevação na temperatura de deformação e/ou
diminuição na velocidade de deformação favorecem a
formação da estrutura celular.
(a) Liga Fe-34%Ni de elevada EFE, arranjo de
células de discordâncias.
(b) Liga Fe-15%Cr-15%Ni de baixa EFE,
arranjo planar de discordâncias.
Efeito da EFE na subestrutura de
discordâncias. Ambos materiais foram
deformados por choque, numa pressão de
pico de 7,5 GPa em um pulso de 2s.
Um monocristal ou um grão em um agregado policristalino pode estar subdividido em sub-grãos , que
têm entre si pequenas diferenças de orientação, em geral menores do que 50. A fronteira que separa
dois sub-grãos é denominada contorno de pequeno ângulo ou sub-contorno.
Em geral, os contornos de pequeno ângulo podem ser descritos por arranjos convenientes de
discordâncias. Um tipo particular de sub-contorno é o contorno inclinado puro, composto apenas de
discordâncias em cunha.
Arranjo de discordâncias em cunha,
formando um contorno de sub-grãos.
A diferença de orientação é dada neste caso pelo ângulo, em
radianos, que pode ser calculado pela relação:
D
b

onde b é o vetor de Burgers e D é o espaçamento médio
entre discordâncias.
Note que as discordâncias neste tipo de arranjo minimizam
a energia, devido a seus campos de tensão. Embora sub-
contornos do tipo inclinado puro realmente existam, a
maioria dos sub-contornos é mais geral e contém vários
tipos de discordâncias.
D
Representação esquemática do mecanismo de poligonização. (a) Distribuição ao acaso de discordâncias em
um monocristal deformado por flexão. (b) Rearranjo das discordâncias ativado termicamente, originando os
sub-contornos (poligonização).
Um mecanismo de formação de sub-contornos foi proposto por Cahn em 1950. Segundo seu modelo,
durante o aquecimento de um metal deformado plasticamente, as discordâncias são reagrupadas,
havendo aniquilação de discordâncias de sinais opostos e rearranjo das restantes, minimizando seus
campos de tensão elástica. Este mecanismo é denominado poligonização.
Uma das primeiras fotografias em MET do extensivo trabalho pioneiro de Hirth, Horne e Whelan, 1956,
sobre a poligonização em alumínio, 65.000 X.
A diferenciação entre células de discordâncias e
sub-grãos é um tanto arbitrária. O principal
critério para diferenciá-los é o grau de ativação
térmica envolvido na sua formação, já que ambos
são constituídos de arranjos de discordâncias e a
diferença de orientação entre regiões vizinhas que
eles separam é da mesma ordem de grandeza.
Em geral, um sub-contorno é mais “aperfeiçoado”
que uma parede de célula, pois a subestrutura de
sub-grãos envolve uma considerável ativação
térmica durante sua formação, o que permite o
rearranjo das discordâncias.
A energia dos sub-contornos depende fortemente
da diferença de orientação, ao contrário da energia
dos contornos de grãos. Esta energia depende
também da natureza do sub-contorno, ou seja, do
tipo e do arranjo de discordâncias do sub-
contorno.
A figura abaixo compara os arranjos atômicos
nas vizinhanças de contornos de baixo e de alto
ângulo.