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A´lgebra Linear
Unifesp - 2o semestre de 2012
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Resolva os sistemas lineares abaixo:
(a) 
x1 + 2x2 + x3 = 3
3x1 − x2 − 3x3 = −1
2x1 + 3x2 + x3 = 4
(b) 
x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 − x3 = 0
4x1 + 2x2 = 8
2x2 + 5x3 = 9
(c) 
x1 + x3 + x4 + 4 = 0
x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 + x3 = 1
Resposta:
(a) x1 = 3, x2 = −2, x3 = 4
(b) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
(c) x1 = −1 + x3, x2 = 1− x3, x3 = x3, x4 = −3− 2x3
2. Resolva os sistemas lineares abaixo e fac¸a uma ana´lise com relac¸a˜o ao nu´mero de
soluc¸o˜es:
(a) 
x1 + x2 + x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 + 3x3 = 3
(b) 
x1 + x2 + x3 = 1
x1 − x2 + x3 = −2
2x2 = −3
3. Resolva os sistemas homogeˆneos a` seguir e, nos casos que o sistema for poss´ıvel,
escreva o conjunto soluc¸a˜o:
(a) 
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0
3x1 − x2 + 3x3 + x4 = 0
x1 − x2 − x3 − 5x4 = 0
1
(b) {
x1 − x2 + x3 + x4 − x5 = 0
x1 − x2 − x3 + 2x4 − x5 = 0
Resposta: {x1 = x4, x2 = −2x4, x3 = −2x4, x4 = x4}, {x1 = x2 − 3x3 + x5, x2 =
x2, x3 = x3, x4 = 2x3, x5 = x5}
4. Verifique se:
(a) e´ poss´ıvel escrever [7, 3, 8] como combinac¸a˜o linear dos vetores [2, 1, 1], [1, 1, 0] e
[0, 0, 1].
(b) e´ poss´ıvel escrever [1, 1, 1] como combinac¸a˜o linear dos vetores [0, 1, 0], [1, 1, 0] e
[0, 0, 3].
5. Determine o valor de a para que o sistema abaixo
2x1 + 3x2 + x3 = 0
4x1 + 7x2 + 2x3 = 3 + a
2x1 + 9x2 + x3 = 1 + a
seja determinado e depois ache as soluc¸o˜es. Resposta: {a = −17/5, x1 = x1, x2 =
−2/5, x3 = −2x1 + 6/5}
6. A equac¸a˜o qu´ımica da reac¸a˜o de fotoss´ıntese e´ da forma
x1CO2 + x2H2O → x3O2 + x4C6H12O6.
Para balancear esta equac¸a˜o e´ necessa´rio ajustar x1, x2 e x3 tais que, o carbono (o
dio´xido de carbono conte´m um a´tomo de carbono e a glicose que conte´m seis) e o
hidrogeˆnio (a a´gua possui 2 a´tomos de hidrogeˆnio e a glicose que conte´m 12), se
balanceiem, por exemplo. Logo, determine o sistema linear e verifique a soluc¸a˜o.
Resposta: x1 = x2 = x3 = 6x4.
7. Sejam
A =
 3 −2 11 0 2
−5 4 3
 ,b =
 −31
7

(a) Verifique se b pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores formados
pelas colunas da matrix A e seus coeficientes.
(b) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o matricial Av = b.
Resposta: {1, 3, 0} e {x1 = 1, x2 = 3, x3 = 0}.
8. Exerc´ıcios do Lay:
2
(a) Pa´ginas 9, 10 - Exerc´ıcios 25, 27
(b) Pa´gina 22 - Exerc´ıcios 21
(c) Pa´gina 34 - Exerc´ıcios 17, 19, 21
(d) Pa´ginas 42, 43 - Exerc´ıcios 17, 27
3

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