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A´lgebra Linear
Unifesp - 2o semestre de 2012
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Mostre que T : R → R dada por T (x) = (1 − x)2 − (1 + x)2 e´ uma transformac¸a˜o
linear.
2. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo determine uma base e a dimensa˜o
do nu´cleo e imagem:
(a) T : R3 → R2 definida como T (x, y, z) = (x+ y, 2x− y + z) Resposta: ker(T ) =
[(−1, 1, 3)], dim(ker(T )) = 1, Im(T ) = [(1, 2), (0, 1)] , dim(Im(T )) = 2
(b) T : R3 → R4 definida por T (x, y, z) = (x−y−z, x+y+z, 2x−y+z,−y) Resposta:
ker(T ) = ∅, dim(ker(T )) = 0, Im(T ) = [(1, 1, 2, 0), (−1, 1,−1,−1), (−1, 1, 1, 0)] , dim(Im(T )) =
3
(c) T : P2(R)→ P2(R) definida por T (f(t)) = t2f ′′(t) Resposta: ker(T ) = [1, t] , dim(ker(T )) =
2, Im(T ) = [t2] , dim(Im(T )) = 1
(d) T : M(2, 2)→M(2, 2) definida por T (X) = MX +X onde
M =
[
1 1
0 0
]
Resposta: ker(T ) = ∅, dim(ker(T )) = 0, Im(T ) = M(2, 2), dim(Im(T )) = 4
3. Seja T : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear que tem representac¸a˜o matricial dada
por
[T ]ββ =
[
4 1
2 3
]
.
Ache T (x, y) , onde β = {(4, 2), (−1, 0)}. Resposta: T (x, y) = (−x+ 9y,−2x+ 8y)
4. Mostre que a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x − y, x) e´
invers´ıvel e determine sua inversa. Resposta: T−1(x, y) = (y, y − x)
5. Exerc´ıcio 13, pa´gina 172 do livro do Boldrini.
6. Mostre que a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x − 3y −
2z, y− 4z, z) e´ invers´ıvel e determine a inversa. Resposta: ker(T ) = {(0, 0, 0)}. Logo
T e´ bijetor, e invers´ıvel. T (x, y, z) = (x+ 3y + 14z, y + 4z, z)
1
7. Seja T : R3 → R3 definido na base canoˆnica: T (1, 0, 0) = (2, 3, 1), T (0, 1, 0) = (5, 2, 7)
e T (0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Determine T (x, y, z) e mostre que e´ uma transformac¸a˜o
linear. Resposta: T (x, y, z) = (2x+ 5y − 2z, 3x+ 2y, x+ 7y + 7z).
8. Ache a representac¸a˜o matricial do operador T : R3 → R2 dado por T (x, y, z) =
(x+y, y+z) nas bases β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β′ = {(1, 0), (1, 1)}. Resposta:
[T ]ββ′ =
[
0 1 1
2 1 0
]
9. Sejam as bases β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β′ = {(1, 0), (1, 1)}. Dado T : R2 →
R3 representado matricialmente por [T ]β
′
β =
 0 21 1
1 0
 ache a tranformac¸a˜o linear.
Resposta:T (x, y) = (2x+ y, x+ 2y, 2y)
10. Seja T : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear tal que T (1, 0) = (4, 3) e T (1, 1) =
(1,−1).
(a) Calcule T (2,−3) Resposta: (17, 18)
(b) Determine a matriz que representa T na base {(1, 2), (2, 1)} Resposta:
[ −8/3 −1/3
1/3 8/3
]
2