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A´lgebra Linear
Unifesp - 2o semestre de 2012
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Encontre os autovalores a autovetores das matrizes abaixo:
(a)
[
2 3
3 2
]
(b)
[
1 0
0 2
] (c)
[
1 2
0 −1
]
(d)
[
1 1
1 1
] (e)
[ −3 4
−1 2
]
(f)
[ √
3 −1
1
√
3
]
Resposta:
(a) λ1 = 5,v1 =
[
1
1
]
e λ2 = −1,v2 =
[ −1
1
]
.
(b) λ1 = 1,v1 =
[
1
0
]
e λ2 = 2,v2 =
[
0
1
]
.
(c) λ1 = −1,v1 =
[ −1
1
]
e λ2 = 1,v2 =
[
1
0
]
.
(d) λ1 = 2,v1 =
[
1
1
]
e λ2 = 0,v2 =
[ −1
1
]
.
(e) λ1 = 1,v1 =
[
1
1
]
e λ2 = −2,v2 =
[
4
1
]
.
(f) λ1 =
√
3 + i,v1 =
[
i
1
]
e λ2 =
√
3− i,v2 =
[ −i
1
]
.
2. Ache os autovalores e autovetores de 1 0 2−1 0 1
1 1 2
 .
Resposta: λ1 = 3,v1 =
 10
1
 , λ2 = −1,v2 =
 −1−2
1
 e λ3 = 1,v1 =
 −11
0
.
3. Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) = (2x + 3y, y + 2x)
(a) ache os autovalores e autovetores.Resposta: λ1 = 4,v1 =
[
3
2
]
, λ2 = −1,v2 =
[
1
−1
]
.
1
(b) Verifique que os autovetores sa˜o linearmente independentes. Eles podem cons-
tituir uma base para R2?
(c) Em qual base a representac¸a˜o matricial deste operador e´ diagonal? Resposta: a
mesma dos autovalores
(d) Escreva a representac¸a˜o matricial deste operador na base do item anterior.Resposta:[T ]ββ =[
4 0
0 −1
]
4. Seja a transformac¸a˜o T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (3x− 3y − 4z, 3y + 5z,−z).
Determine os autovalores e autovetores. Resposta: λ1 = 3,v1 =
 10
0
 , λ2 = −1,v2 = −1−20
16
 .
5. Seja a matriz
A =
 0 7 −6−1 4 0
0 2 −2

(a) Determine seus autovalores. Resposta: 1,−1 e 2
(b) Determine seus autovetores. Resposta:
 93
2
 ,
 51
2
 ,
 42
1
 .
(c) Ache a matriz que diagonaliza a matriz A Resposta:
 9 5 43 1 2
2 2 1

(d) Ache a forma da matriz diagonalizada. Resposta:
 1 0 00 −1 0
0 0 2

6. Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2 e
3 associados aos autovalores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente. Resposta: T (x, y) =
(−6y,−x+ y)
2