Apostila Cálculo I

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Ca´lculo I
Notas de aulas
Andre´ Arbex Hallack
Setembro/2009
I´ndice
1 Nu´meros reais 1
1.1 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relac¸a˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Func¸o˜es 13
2.1 Definic¸a˜o e elementos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Construc¸a˜o de func¸o˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Inversa˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 47
3.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
i
4 Derivada 69
4.1 A definic¸a˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Derivac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Aplicac¸o˜es da Derivada 93
5.1 Acre´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 A Derivada como raza˜o de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Aplicac¸o˜es em problemas de ma´ximos e/ou mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 Aplicac¸o˜es em esboc¸os de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.8 Apeˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.9 Apeˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.10 Apeˆndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.11 Apeˆndice D: Aproximac¸o˜es via
Polinoˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Refereˆncias 147
Cap´ıtulo 1
Nu´meros reais
1.1 Nu´meros reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos nu´meros reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de nu´meros reais nessa identificac¸a˜o:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (nu´meros naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } (nu´meros inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (nu´meros racionais) ⊂ IR
Temos ainda nu´meros reais que na˜o sa˜o racionais. Sa˜o os chamados nu´meros irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pita´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
Portanto a =
√
2 (e
√
2 na˜o e´ racional).
1
2 CAPI´TULO 1
(B) Outro nu´mero irracional famoso:
FATO: A raza˜o entre o comprimento e o diaˆmetro de qualquer circunfereˆncia e´ constante.
Essa raza˜o e´ um nu´mero chamado pi .
Assim, se C e´ qualquer circunfereˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
2r
= pi
pi e´ um nu´mero irracional (pi ≈ 3, 141592 )
Obs.: Existem muito mais nu´meros irracionais do que racionais !
Operac¸o˜es ba´sicas em IR
Existem em IR duas operac¸o˜es ba´sicas:
ADIC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a+ b ∈ IR (soma)
MULTIPLICAC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)
Essas operac¸o˜es possuem as seguintes propriedades:
COMUTATIVIDADE: a+ b = b+ a
a · b = b · a
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
ASSOCIATIVIDADE: a+ (b+ c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+ 0 = a
a · 1 = a
para todo a ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a+ (−a) = 0 .
Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b+ c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
Nu´meros reais 3
Obs.: O nu´mero 0 e´ o u´nico elemento neutro para a adic¸a˜o e o nu´mero 1 e´ o u´nico elemento
neutro para a multiplicac¸a˜o.
Consequ¨eˆncias: (das propriedades)
1) Duas novas operac¸o˜es:
Subtrac¸a˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a− b = a+ (−b) ;
Divisa˜o: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos: a
b
= a · b−1 .
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , enta˜o a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um u´nico inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a 6= 0 em IR possui um u´nico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a−1 =
1
a
para todo a 6= 0 em IR.
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 enta˜o a = ±b .
Exerc´ıcio: Tente provar as consequeˆncias de 2) a 8) acima.
1.2 Relac¸a˜o de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma unia˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
IR+ e´ o conjunto dos nu´meros reais POSITIVOS;
IR− e´ o conjunto dos nu´meros reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
4 CAPI´TULO 1
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
O produto de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
Exerc´ıcio: Prove que:
a) A soma de dois nu´meros negativos e´ um nu´mero negativo;
b) O produto de dois nu´meros negativos e´ um nu´mero positivo;
c) O produto de um nu´mero positivo por um nu´mero negativo e´ um nu´mero negativo.
Dados nu´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a e´ menor do que
b (ou b e´ maior do que a ) quando b− a ∈ IR+ , ou seja, b− a e´ um nu´mero positivo:
Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a e´ menor ou igual a b quando a < b ou a = b .
Propriedades da relac¸a˜o de ordem: ( Exerc´ıcio: Tente prova´-las ! )
1) Para todo a 6= 0 em IR, tem-se a2 > 0 .
2) Se a < b e b < c enta˜o a < c .
3) Se a, b ∈ IR enta˜o a = b ou a < b ou a > b .
4) Se a < b enta˜o a+ c < b+ c para todo c ∈ IR.
5) Se a < b , temos: c > 0 ⇒ a · c < b · c
c < 0 ⇒ a · c > b · c
6) Se a < b e a′ < b′ enta˜o a+ a′ < b+ b′ .
7) Se 0 < a < b e 0 < a′ < b′ enta˜o 0 < a · a′ < b · b′ .
8) Se a > 0 enta˜o
1
a
> 0 .
9) Se 0 < a < b enta˜o 0 <
1
b
<
1
a
.
Nu´meros reais 5
Intervalos: Dados nu´meros reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
(a,+∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a,+∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞,+∞) = IR
• Atenc¸a˜o: +∞ e −∞ na˜osa˜o nu´meros reais ! Sa˜o apenas s´ımbolos !
Exemplo: Encontre os nu´meros reais que satisfac¸am as desigualdades abaixo e fac¸a a
representac¸a˜o gra´fica na reta real:
(a) 2 + 3x < 5x+ 8
(b) 4 < 3x− 2 ≤ 10
6 CAPI´TULO 1
(c)
7
x
> 2 , x 6= 0
(d)
x
x− 3 < 4 , x 6= 3
(e) (x+ 1)(x+ 5) > 0
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR e´ dito LIMITADO quando existem nu´meros reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
Um conjunto e´ dito ILIMITADO quando ele na˜o e´ limitado. (Exemplos)
Observac¸o˜es:
(A) Todo conjunto finito e´ limitado.
(B) CUIDADO ! NA˜O CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
Nu´meros reais 7
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos nu´meros naturais NA˜O E´ limitado.
Consequ¨eˆncias importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados nu´meros reais a e b , com a > 0 , e´ poss´ıvel obter
um nu´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois nu´meros reais a e b quaisquer, com a < b , e´
poss´ıvel obter um nu´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distaˆncia entre a e b ).
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer nu´mero real x
(mesmo irracional), e´ poss´ıvel obter uma sequ¨eˆncia de nu´meros RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) pi = 3, 141592 . . .
3 3, 1 =
31
10
3, 14 =
314
100
3, 141 =
3141
1000
3, 1415 =
31415
10000
. . . −→ pi
2) Tome um nu´mero racional r1 > 0 e considere:
r2 =
1
2
(
r1 +
3
r1
)
∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 )
↓
r3 =
1
2
(
r2 +
3
r2
)
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r23 > 3 )
↓
r4 =
1
2
(
r3 +
3
r3
)
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r24 > 3 )
↓
...
↓
rn+1 =
1
2
(
rn +
3
rn
)
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r2n+1 > 3 )
↓
...
Esta sequ¨eˆncia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
nu´mero real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
8 CAPI´TULO 1
1.3 Valor absoluto
Dado qualquer nu´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MO´DULO
DE x ) da seguinte forma:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um nu´mero real x e´ a distaˆncia de x ate´
o 0 (zero). (Exemplos)
Obs.: Sa˜o imediatos da definic¸a˜o:
|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;
|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x,−x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exerc´ıcio: Se b 6= 0 em IR, mostre que
∣∣∣∣ 1b
∣∣∣∣ = 1| b | .
Conclua que se a, b ∈ IR com b 6= 0 enta˜o
∣∣∣ a
b
∣∣∣ = | a || b | .
Nu´meros reais 9
4) |a+ b| ≤ |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exerc´ıcio: Mostre que |a− b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
Exemplos:
1) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) |3x+ 2| = 5
(b) |2x− 1| = |4x+ 3|
(c) |5x+ 4| = −3
10 CAPI´TULO 1
(d) |x|+ 2 |x− 2| = 1 + 4x
2) Encontre os nu´meros reais que satisfac¸am as seguintes desigualdades:
(a) |x− 5| < 4
Nu´meros reais 11
(b)
∣∣∣∣3− 2x2 + x
∣∣∣∣ ≤ 4 , x 6= −2
(c) |3x+ 2| > 5
12 CAPI´TULO 1
1.4 Exerc´ıcios
Pa´ginas 10 e 11 da refereˆncia bibliogra´fica [1].
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
2.1 Definic¸a˜o e elementos ba´sicos
Definic¸a˜o 2.1. Uma func¸a˜o f : X → Y e´ constitu´ıda de:
(a) Um conjunto X, na˜o-vazio, chamado o DOMI´NIO da func¸a˜o (onde a func¸a˜o esta´ definida)
(b) Um conjunto Y , na˜o-vazio, chamado o CONTRA-DOMI´NIO da func¸a˜o (onde f “toma os
valores”)
(c) Uma correspondeˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um U´NICO elemento f(x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar func¸o˜es tais que X e Y sa˜o conjuntos de nu´meros
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma func¸a˜o f : X → Y , sua IMAGEM e´ o conjunto
Im (f) = f(X) = { y = f(x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domı´nio sa˜o representados por uma VARIA´VEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem sa˜o representados por uma VARIA´VEL DEPENDENTE.
• Gra´fico: O GRA´FICO de uma func¸a˜o f : X → Y e´ o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .
• Func¸o˜es limitadas: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita LIMITADA quando sua imagem
f(X) e´ um conjunto limitado. Em geral, e´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) e´ um
conjunto limitado.
13
14 CAPI´TULO 2
• Func¸o˜es crescentes ou decrescentes: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .
(Obs.: o mesmo tipo de definic¸a˜o se aplica tambe´m a subconjuntos do domı´nio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa func¸a˜o e´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domı´nio).
Exemplos:
(A) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3]→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4 .
Obs.: Note que as func¸o˜es f1 e f2 acima SA˜O FUNC¸O˜ES DISTINTAS. Apesar de possu´ırem
o mesmo contra-domı´nio e a mesma maneira de associar x 7→ y = f(x) , elas teˆm domı´nios
diferentes (veja a definic¸a˜o de func¸a˜o). Como consequeˆncia, possuem caracter´ısticas diferentes
(f2 e´ limitada, decrescente, enquanto que f1 na˜o e´ limitada, na˜o e´ decrescente e nem crescente).
Func¸o˜es 15
(C) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = |x| .
(D) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1]→ [0,+∞) dada por f5(x) =
√
1− x2 .
(F) f6 : [−1, 1]→ IR que associa x 7→ y tais que x2 + y2 = 1 .
16 CAPI´TULO 2
(G) f7 : IR→ IR dada por f7(x) =

1
x
se x >
1
4
−3 se x ≤ 1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2]→ IR dada por f8(x) = x .
(I) f9 : IR→ IR dada por f9(x) = −2x+ 1 .
(J) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) = −
√
x .
Func¸o˜es 17
• Ma´ximos e mı´nimos: Dizemos que uma func¸a˜o f : X → Y assume VALOR
MA´XIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ X . Neste caso f(c) e´ chamado VALOR MA´XIMO ABSOLUTO DE f .
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ (a, b) ∩X , enta˜o c e´ dito um PONTO DE MA´XIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)
e´ um VALOR MA´XIMO RELATIVO DE f .
De modo ana´logo, definimos tambe´m MI´NIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MI´NIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustrac¸a˜o)
Exemplo: f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
Observac¸o˜es:
(i) Todo ma´ximo (mı´nimo) absoluto e´ ma´ximo (mı´nimo) local.
(ii) Uma func¸a˜o PODE NA˜O ASSUMIR valores ma´ximos ou mı´nimos.
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-
termine seus pontos e valores ma´ximos e mı´nimos, se existirem.
18 CAPI´TULO 2
2.2 Construc¸a˜o de func¸o˜es a partir de outras
Via operac¸o˜es aritme´ticas:
Sejam f : X → IR e g : Y → IR func¸o˜es tais que X ∩ Y 6= φ .
A partir de f e g vamos construir novas func¸o˜es (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)
(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) = √4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1,+∞) dada
por g(x) =
√
x2 − 1 :
(B) Consideremos agora a func¸a˜o indentidade f : IR→ IR dada por f(x) = x e func¸o˜es
constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c e´ um nu´mero real qualquer,
fixado).
Utilizando a func¸a˜o identidade e func¸o˜es constantes, podemos construir (atrave´s das operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o) um importante tipo de func¸a˜o p : IR → IR chamada FUNC¸A˜O
POLINOMIAL e dada por:
p(x) = anx
n + an−xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 para todo x ∈ IR
an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an 6= 0
(essa e´ dita uma func¸a˜o polinomial de grau n)
(Exemplos)
Func¸o˜es 19
Obs.: Alguns tipos especiais de func¸o˜es polinomiais:
1) Func¸o˜es constantes: f : IR→ IR com f(x) = c ∀ x ∈ IR , sendoc ∈ IR fixo.
Sa˜o as func¸o˜es polinomiais de grau 0 (zero).
(Exemplos)
2) Func¸o˜es polinomiais de grau 1: f : IR→ IR com f(x) = ax+ b , a, b ∈ IR e a 6= 0 .
Seus gra´ficos sa˜o retas, na˜o paralelas aos eixos coordenados.
Se a > 0, f e´ crescente. Se a < 0, f e´ decrescente.
(Exemplos)
3) Func¸o˜es quadra´ticas: f : IR→ IR com f(x) = ax2 + bx+ c , a, b, c ∈ IR e a 6= 0 .
Sa˜o as func¸o˜es polinomiais de grau 2.
Seus gra´ficos sa˜o para´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade
voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
A intersec¸a˜o da para´bola (gra´fico) com o eixo de simetria e´ o VE´RTICE da para´bola, tem
coordenadas
(−b
2a
,
−∆
4a
)
, sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o ma´ximo ou mı´nimo absoluto
da func¸a˜o, de acordo com a concavidade do gra´fico (sinal de a).
(Exemplos)
20 CAPI´TULO 2
Se quisermos agora utilizar a operac¸a˜o de divisa˜o para construir o quociente de duas func¸o˜es
dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “diviso˜es por 0 (zero)”.
Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemos
definir:
(f/g) : (X ∩ Y )− Z → IR pondo (f/g)(x) = f(x)
g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) = √4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1,+∞) dada
por g(x) =
√
x2 − 1 :
(B) Chamamos de FUNC¸O˜ES RACIONAIS as func¸o˜es dadas pelo quociente de func¸o˜es
polinomiais:
p, q : IR→ IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR− Z → IR dada por (p/q)(x) = p(x)
q(x)
(Exemplos)
Func¸o˜es 21
Via composic¸a˜o de func¸o˜es:
Sejam f : X → IR e g : Y → Z func¸o˜es tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f esta´
contida no domı´nio de g).
A cada elemento de X associamos um u´nico elemento de Z, aplicando inicialmente a func¸a˜o
f e depois a func¸a˜o g.
Podemos pensar enta˜o em uma func¸a˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um u´nico elemento g(f(x)) ∈ Z :
(g ◦ f) : X −→ Z
x 7−→ g(f(x))
Essa nova func¸a˜o g ◦ f : X → Z e´ chamada a func¸a˜o COMPOSTA de g com f .
Exemplos:
(a) Se f : IR→ IR e´ dada por f(x) = x2+5 e g : [0,+∞)→ IR e´ dada por g(x) = √x ,
obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel.
(b) Seja h : IR→ IR dada por h(x) = (5x2− 2x+1)5 . Obtenha func¸o˜es f e g tais que
h = g ◦ f .
22 CAPI´TULO 2
2.3 Exerc´ıcios
1) Sejam f : IR → IR dada por f(x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e
h = f/g . Obtenha:
(a) O Domı´nio de h ; (b)
5h(−1)− 2h(0) + 3h(5)
7
; (c) f ◦ h ;
(d) h2(5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) .
2) Para cada uma das func¸o˜es dadas abaixo, fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o e obtenha:
o conjunto imagem da func¸a˜o, se a func¸a˜o e´ ou na˜o limitada, ma´ximos e mı´nimos (absolutos
ou locais), intervalos do domı´nio onde a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente e identifique ainda
quais sa˜o polinomiais ou racionais:
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = x2 + 8x+ 14
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4x− 1
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = (x− 2)2
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = −(x+ 2)2
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = x3
(f) f6 : IR→ IR dada por f6(x) = 4− x3
(g) f7 : (−5, 3]→ IR dada por f7(x) = |x|
(h) f8 : IR− {2} → IR dada por f8(x) = 1
x− 2
(i) f9 : [−4, 7]→ IR dada por f9(x) = −2
x+ 5
(j) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) =
√
2x
3) Exprimir como func¸a˜o de x (na˜o se esquec¸a do domı´nio e do contra-domı´nio):
(a) A a´rea de um cubo de aresta x.
(b) A a´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base e´ um quadrado de lado x.
(c) O comprimento l de uma corda de um c´ırculo de raio 4 cm, sendo x a distaˆncia da
corda ao centro do c´ırculo.
4) Exprimir a func¸a˜o l obtida na Letra (c) do Exerc´ıcio 3) acima como a composta de duas
func¸o˜es.
Func¸o˜es 23
5) Sejam f, g : IR→ IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5− 2x . Fac¸a um esboc¸o dos
gra´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gra´ficos, os valores
de x para os quais f(x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequac¸a˜o.
6) X ⊂ IR e´ dito sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .
Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.
Y = (−5, 3] na˜o e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 6∈ Y .
Seja f : X → IR uma func¸a˜o tal que X e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
A func¸a˜o f e´ dita...
... PAR quando f(−x) = f(x) para todo x ∈ X .
Exemplos: −√x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , 1
1 + x2
(x ∈ IR) , etc.
... I´MPAR quando f(−x) = −f(x) para todo x ∈ X .
Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , x
1 + x2
(x ∈ IR) , etc.
Alguma observac¸o˜es e propriedades interessantes:
(1) O produto/quociente de duas func¸o˜es pares (ou duas ı´mpares) e´ uma func¸a˜o PAR (prove);
(2) O produto/quociente de uma func¸a˜o par por uma func¸a˜o ı´mpar (ou vice-versa) e´ uma
func¸a˜o I´MPAR (prove);
(3) O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
(4) O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem O(0, 0) (ilustre);
(5) E´ o´bvio que existem func¸o˜es que na˜o sa˜o pares nem sa˜o ı´mpares (deˆ exemplos);
(6) Toda func¸a˜o f : X → IR (X sime´trico em relac¸a˜o ao 0) pode ser escrita como a soma de
uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar (desafio = tente provar).
7) Sejam f, g : IR→ IR dadas por f(x) = 3x− 5
2
e g(y) =
2y + 5
3
.
(a) Obtenha (g ◦ f)(x) e (f ◦ g)(y) .
(b) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gra´ficos de f e g ?
(c) Seja f : [1, 3]→ [−5, 3] dada por f(x) = 4− x2 .
Obtenha uma func¸a˜o g : [−5, 3]→ [1, 3] que cumpre as condic¸o˜es da Letra (a) e fac¸a esboc¸os
dos gra´ficos de f e g.
24 CAPI´TULO 2
8) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = −x2 + 4x− 3 .
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Dado h 6= 0, calcule m0(h) = f(0 + h)− f(0)
h
e deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica
para m0(h) .
(c) Qual o significado de m0(h) quando h se aproxima de 0 ?
(d) Sabemos que o gra´fico de f e´ uma para´bola. Se V = (a, b) e´ o ve´rtice dessa para´bola,
obtenha suas coordenadas a e b.
(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do ve´rtice) e, dado h 6= 0, tente adivi-
nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma(h) =
f(a+ h)− f(a)
h
quando
h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).
9) Se f : IR → IR e´ dada por f(x) = ax2 + bx + c , com a 6= 0 , USE O EXERCI´CIO
ANTERIOR para deduzir as coordenadas do ve´rtice da para´bola que e´ o gra´fico da func¸a˜o f .
10) Um grupo de amigos trabalha no per´ıodo de fe´rias vendendo salgadinhos nas praias.
O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessa´rios para a produc¸a˜o custam R$ 2000,00
por meˆs. O custo do material de cada salgadinho e´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal
como func¸a˜o do nu´mero de salgadinhos elaborados.
11) Um fabricante produz pec¸as para computadores pelo prec¸o de R$ 2,00 cada uma.
Calcula-se que, se cada pec¸a for vendida por x reais, os consumidores comprara˜o por meˆs
(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como func¸a˜o do prec¸o. Obter
o prec¸o o´timo de venda.
12) O prec¸o de uma corrida de ta´xi e´ constitu´ıdo de uma parte fixa, chamada bandeirada,
e de uma parte varia´vel, que depende do nu´mero de quiloˆmetros rodados. Em uma cidade X
a bandeirada e´ R$ 10,00 e o prec¸o do quiloˆmetro rodado e´ R$ 0,50.
(a) Determine a func¸a˜o que representa o prec¸o da corrida.
(b) Se algue´m pegar um ta´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de
distaˆncia, quanto pagara´ pela corrida ?
13) Um avia˜o com 120 lugares e´ fretado para uma excursa˜o. A companhia exige de cada
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o nu´mero de
passageiros que torna ma´xima a receita da companhia ?
Func¸o˜es 25
14) Uma indu´stria comercializa um certo produto e tem func¸a˜o custo total em mil reais,
dada por CT (q) = q2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A func¸a˜o receita
total em mil reais e´ dada por R(q) = 120q .
(a) Determinar o lucropara a venda de 80 unidades.
(b) Em que valor de q acontecera´ lucro ma´ximo ?
Respostas:
1) (a) IR− {7} (b) −263
98
(c) f ◦ h : IR− {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) = 8x+ 4
x− 7
(d) h2(5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) = 11
7
2) (a) Im (f1) = [−2,+∞) , f1 na˜o e´ limitada, x = −4 e´ ponto de mı´nimo absoluto.
f1 e´ decrescente em (−∞,−4] e crescente em [−4,+∞) . f1 e´ polinomial.
(b) Im (f2) = (−∞, 3] , f2 na˜o e´ limitada, x = 2 e´ ponto de ma´ximo absoluto. f2 e´
crescente em (−∞, 2] e decrescente em [2,+∞) . f2 e´ polinomial.
(c) Im (f3) = [0,+∞) , f3 na˜o e´ limitada, x = 2 e´ ponto de mı´nimo absoluto. f3 e´
decrescente em (−∞, 2] e crescente em [2,+∞) . f3 e´ polinomial.
(d) Im (f4) = [−∞, 0] , f4 na˜o e´ limitada, x = −2 e´ ponto de ma´ximo absoluto. f4 e´
crescente em (−∞,−2] e decrescente em [−2,+∞) . f4 e´ polinomial.
(e) Im (f5) = IR , f5 na˜o e´ limitada e na˜o possui ma´ximos ou mı´nimos. f5 e´ crescente
(em todo seu domı´nio). f5 e´ polinomial.
(f) Im (f6) = IR , f6 na˜o e´ limitada e na˜o possui ma´ximos ou mı´nimos. f6 e´ decrescente
(em todo seu domı´nio). f6 e´ polinomial.
(g) Im (f7) = [0, 5] , f7 e´ limitada, x = 0 e´ ponto de mı´nimo absoluto, x = 3 e´ ponto
de ma´ximo local. f7 e´ decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] .
(h) Im (f8) = IR − {0} , f8 na˜o e´ limitada e na˜o possui ma´ximos ou mı´nimos. f8 e´
decrescente em (−∞, 2) e crescente em (2,+∞) . f8 e´ racional.
(i) Im (f9) = [−2,−1/6] , f9 e´ limitada, x = −4 e´ ponto de mı´nimo absoluto, x = 7 e´
ponto de ma´ximo absoluto. f9 e´ crescente (em todo seu domı´nio). f9 e´ racional.
(j) Im (f10) = [0,+∞) , f10 na˜o e´ limitada, x = 0 e´ ponto de ma´ximo absoluto. f10 e´
crescente (em todo seu domı´nio).
3) (a) A : (0,+∞)→ IR dada por A(x) = 6x2 ;
(b) A : (0,+∞)→ IR dada por A(x) = 2x2 + 4V
x
;
26 CAPI´TULO 2
(c) l : [0, 4]→ IR dada por l(x) = 2√16− x2 .
4) l = g ◦ f , com f : [0, 4]→ IR dada por f(x) = 16− x2 e g : [0,+∞)→ IR dada por
g(x) = 2
√
x .
5) S =
(
−∞ , 2
3
)
7) (a) (g ◦ f)(x) = x e (f ◦ g)(y) = y
(b) Os gra´ficos de f e g sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` reta y = x .
(c) g[−5, 3]→ [1, 3] dada por g(y) = √4− y .
8) (b) m0(h) = −h + 4 e´ o coeficiente angular da reta secante ao gra´fico de f , passando
pelos pontos (0, f(0)) e (h, f(h)).
(c) Como h varia, o ponto (h, f(h)) varia sobre o gra´fico de f , enquanto que o ponto
(0, f(0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da
reta tangente ao gra´fico de f no ponto (0, f(0)) e m0(h) se aproxima do coeficiente angular
dessa tangente.
(d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) e´ o ve´rtice da para´bola.
(e) ma(h) = −h tende a 0 quando h tende a 0.
10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 + x
10
(x e´ o nu´mero de salgadinhos
elaborados)
11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Prec¸o o´timo de venda:
x = 301 .
12) (a) P : [0,+∞) dada por P (x) = 10 + x
2
.
(b) R$ 14,00.
13) 105 passageiros.
14) L : [0,+∞)→ IR dada por L(q) = −q2 + 100q − 475 .
(a) L(80) = R$1.125.000,00 ;
(b) Em q = 50 acontecera´ lucro ma´ximo.
Func¸o˜es 27
2.4 Inversa˜o de func¸o˜es
Seja f : X → Y uma func¸a˜o. A cada x ∈ X esta´ associado um u´nico f(x) ∈ Y .
Nos interessa a situac¸a˜o em que a associac¸a˜o inversa f(x) 7→ x e´ uma func¸a˜o de Y em X.
Para isso, f devera´ possuir duas caracter´ısticas:
• f(X) = Y (a imagem de f e´ todo o conjunto Y );
• x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a
imagem de f e´ todo o contradomı´nio Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada INJETORA quando elementos distintos do domı´nio
teˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Exemplos:
(a)
(b)
28 CAPI´TULO 2
(c)
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ INVERTI´VEL quando ela e´ sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNC¸A˜O g : Y → X que associa y 7→ g(y) e
tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g e´ dita A INVERSA DA FUNC¸A˜O f e escrevemos g = f−1 .
Exemplo:
Func¸o˜es 29
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dadas posteriormente, fac¸a o que se pede:
a) Fac¸a um esboc¸o do GRA´FICO da func¸a˜o.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a func¸a˜o dada e´ LIMITADA ou na˜o.
c) Em que partes de seu domı´nio a func¸a˜o e´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MA´XIMOS ou MI´NIMOS (quando existirem).
e) A func¸a˜o e´ INJETORA ? Justifique.
f) A func¸a˜o e´ SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a func¸a˜o dada for INVERTI´VEL, determine sua INVERSA e fac¸a um esboc¸o do
GRA´FICO DA FUNC¸A˜O INVERSA.
1) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 .
2) g1 : IR→ [0,+∞) dada por g1(x) = |3x− 1| .
3) h1 : IR→ IR dada por h1(x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3]→ (0, 6] dada por p1(x) = 2x .
5) q1 : (−∞, 5]→ IR dada por q1(x) =
{
x2 se x < 1
−x+ 2 se x ≥ 1 .
6) r1 : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por r1(x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR→ IR dada por s1(x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3]→ IR dada por u1(x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR
+ → IR+ dada por v1(x) = x2 .
10) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = − |x| .
11) g2 : IR→ IR dada por g2(x) = − x
3
+ 1 .
30 CAPI´TULO 2
12) h2 : (−3,+∞)→ IR dada por h2(x) = − x
3
+ 1 .
13) p2 : [0,+∞)→ (−∞, 0] dada por p2(x) = −
√
2x .
14) q2 : IR→ IR dada por q2(x) =
{
1 se 1 ≤ x ≤ 3
0 se x < 1 ou x > 3
.
15) r2 : IR→ IR dada por r2 = q2.s1 .
16) s2 : IR→ IR dada por s2(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0
.
17) v2 : (−∞,−1) ∪ [0,+∞)→ IR dada por v2(x) =
{
−pi se x < −1
x2 se x ≥ 0 .
18) f3 : (−1, 1]→ IR dada por f3(x) = 1−
√
1− x2 .
2.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
Revisa˜o:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = 1
an
(n = 1, 2, 3, . . .) .
n PAR e a ≥ 0 : b = n√a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
n I´MPAR e a ∈ IR : b = n√a ⇔ bn = a .
Definimos poteˆncias RACIONAIS de nu´meros reais positivos do seguinte modo:
a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q√ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x e´ racional, ja´ temos ap/q = q
√
ap .
Func¸o˜es 31
Se x e´ IRRACIONAL, sabemos que e´ poss´ıvel obter uma sequ¨eˆncia de racionais r1, r2, r3, . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1, r2, r3, r4, r5, . . . −→ x
FATO: A sequ¨eˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um nu´mero real, o qual DEFINI-
MOS como ax .
Temos enta˜o a nossa func¸a˜o exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a func¸a˜o fa : IR→ IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR
e´ chamada FUNC¸A˜O EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
ax · ay = ax+y , (ax)y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1
Gra´fico:
Crescimento ou decrescimento: fa(x) = a
x e´
{
CRECENTE se a > 1
DECRESCENTE se a < 1
Inversa: Se a 6= 1 enta˜o fa : IR → IR+
x 7→ ax
e´ SOBREJETORA e INJETORA, ad-
mitindo portanto uma func¸a˜o inversa f−1a : IR
+ → IR
y 7→ f−1a (y)
.
f−1a e´ chamada FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA DE BASE a e escrevemos f
−1
a (y) = loga y .
Temos enta˜o: y = ax ⇔ x = loga y .
x
fa7−→ ax = y f
−1
a7−→ x = loga y = loga ax
y
f−1a7−→ x = loga y fa7−→ y = ax = aloga y
32 CAPI´TULO 2
• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a func¸a˜o f−1a : IR+ → IR dada por f−1a (y) = loga y .
Propriedades:
loga(x · y) = loga x+ loga y , loga(xy) = y · loga x , loga 1 = 0
Gra´fico:
Um nu´mero especial:
Consideremos a soma 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . . Mostra-se que esta soma converge
(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um nu´mero real conhecido por
CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
Assim, podemos escrever e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . .
E´ fa´cil ver que 2 < e < 3 :
2 < 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . < 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+ . . . = 3
O nu´mero real e acima definido ira´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Ca´lculo I, no que se refere a`s func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica, nabase e :
fe : IR → IR+ dada por fe(x) = ex (func¸a˜o exponencial de base e) e sua inversa
f−1e : IR
+ → IR dada por f−1e (x) = loge x (func¸a˜o logar´ıtmica de base e).
Escrevemos tambe´m loge x = log x = lnx .
Obs.: Outro modo de obter o nu´mero e :(
1 +
1
1
)1
,
(
1 +
1
2
)2
,
(
1 +
1
3
)3
,
(
1 +
1
4
)4
,
(
1 +
1
5
)5
, . . . −→ e
Func¸o˜es 33
2.6 Func¸o˜es trigonome´tricas
• Medidas de aˆngulos em radianos:
Um aˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunfereˆncia (centrada
no ve´rtice do aˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunfereˆncia considerada:
Assim, um aˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunfereˆncia considerada:
θ
1
=
l
r
⇒ l = θ · r
Desta forma, e´ fa´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos e´ 2pi rad :
2pir = θ · r ⇒ θ = 2pi rad
• Relac¸o˜es trigonome´tricas nos triaˆngulos retaˆngulos:
Consideremos 0 < θ <
pi
2
e um aˆngulo de θ rad em um triaˆngulo retaˆngulo:
sen θ =
b
a
cos θ =
c
a
tg θ =
sen θ
cos θ
=
b
c
cos2 θ + sen 2θ = 1
34 CAPI´TULO 2
• O c´ırculo trigonome´trico:
Relac¸o˜es:
cos2 θ + sen 2θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2θ , csc2 θ = 1 + ctg 2θ
ctg θ =
1
tg θ
( sen θ 6= 0) , sec θ = 1
cos θ
(cos θ 6= 0) , csc θ = 1
sen θ
( sen θ 6= 0)
• Aˆngulos nota´veis:
θ (rad) 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 pi 3pi/2 2pi
sen θ 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1 0
cos θ 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0 1
tg θ 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @ 0
• Fo´rmulas de transformac¸a˜o:
A partir das fo´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferenc¸a de dois aˆngulos,
podemos deduzir (veja exerc´ıcios mais a` frente) outras importantes fo´rmulas de transformac¸a˜o,
as quais teˆm utilidade no ca´lculo de certas integrais trigonome´tricas. cos(a+ b) = cos a · cos b− sen a · sen b cos(a− b) = cos a · cos b+ sen a · sen bsen (a+ b) = sen a · cos b+ sen b · cos a sen (a− b) = sen a · cos b− sen b · cos a
Func¸o˜es 35
• Func¸o˜es trigonome´tricas:
Func¸a˜o SENO:
sen : IR −→ IR
x 7−→ sen x
Gra´fico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (e´ uma func¸a˜o I´MPAR)
sen (x+ 2pi) = senx (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = 2pi)
A func¸a˜o SENO e´ ...
... CRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k I´MPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MA´XIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kpi + pi/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MI´NIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kpi + 3pi/2 (k ∈ Z)
Se sen x 6= 0 , enta˜o temos cscx = 1
sen x
. Assim, na˜o e´ dif´ıcil ver que a func¸a˜o
csc : IR− {kpi , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gra´fico:
36 CAPI´TULO 2
A func¸a˜o SENO NA˜O E´ injetora e NA˜O E´ sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı´nio e seu contra-domı´nio, temos uma nova func¸a˜o f : [−pi/2, pi/2] −→ [−1, 1]
x 7−→ sen x
, a qual
e´ BIJETORA
e tem portanto inversa f
−1 : [−1, 1] −→ [−pi/2, pi/2]
y 7−→ f−1(y) = arc sen y
Exerc´ıcio: Fac¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a func¸a˜o SENO, para as func¸o˜es
COSSENO e TANGENTE.
2.7 Exerc´ıcios
1) Sabendo que f : IR → IR e´ uma func¸a˜o polinomial do 1o grau, que f(−1) = 2
e f(2) = 3 , determine f(x) para cada x ∈ IR (uma func¸a˜o polinomial do 1o grau esta´
totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta
esta´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).
2) Sabendo que g : IR → IR e´ uma func¸a˜o polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,
g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma func¸a˜o polinomial do
2o grau esta´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =
uma para´bola esta´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).
Func¸o˜es 37
3) (Polinoˆmios de Lagrange) Sejam x1, x2, x3 nu´meros reais distintos e y1, y2, y3
nu´meros reais na˜o necessariamente distintos. O u´nico polinoˆmio p(x) do 2o grau tal que
p(x1) = y1 , p(x2) = y2 e p(x3) = y3 e´ dado por
p(x) = y1 · (x− x2)(x− x3)
(x1 − x2)(x1 − x3) + y2 ·
(x− x1)(x− x3)
(x2 − x1)(x2 − x3) + y3 ·
(x− x1)(x− x2)
(x3 − x1)(x3 − x2)
(a) Usando o resultado acima, refac¸a o exerc´ıcio anterior.
(b) Generalize o resultado acima e obtenha a func¸a˜o polinomial do 3o grau que assume em
−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0,−2 , respectivamente.
4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 e f : X → IR uma func¸a˜o.
(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = 1
2
[f(x) + f(−x)] e´ uma func¸a˜o par e que
h : X → IR dada por h(x) = 1
2
[f(x)− f(−x)] e´ ı´mpar (veja Exerc´ıcio 6 da pa´g. 23).
(b) Obtenha a soma g+h e tente fazer agora (se voceˆ ainda na˜o fez) o item 6) do Exerc´ıcio
6 da pa´g. 23.
(c) Seja f : IR−{−1, 1} → IR a func¸a˜o dada por f(x) = x− 1
x+ 1
. Mostre que f na˜o e´ par
e na˜o e´ ı´mpar. Escreva f como a soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar.
5) Prove que cada uma das func¸o˜es abaixo e´ invert´ıvel (bijetora) e obtenha a inversa:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = 3x+ 4 ;
(b) g : IR− {a} → IR− {0} dada por g(x) = 1
x− a (a ∈ IR) ;
(c) h : IR− {a} → IR− {1} dada por g(x) = x+ a
x− a (a ∈ IR) ;
(d) r : [1,+∞)→ [0,+∞) dada por r(x) = √x− 1 .
6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = x
1− |x| . Prove que g e´ invert´ıvel
(ou seja, bijetora) e obtenha g−1 .
7) Se f : IR→ IR e´ dada por f(x) = 2x , mostre que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2f(x)
.
8) Dada φ : (−1, 1)→ IR dada por φ(x) = ln 1− x
1 + x
, verifique a igualdade:
φ(a) + φ(b) = φ
(
a+ b
1 + ab
)
38 CAPI´TULO 2
9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o ra´dio, o uraˆnio
ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a
taxa de decaimento da massa desses materiais e´ utilizando o conceito de meia-vida.
A meia-vida de um material radioativo e´ definida como o tempo necessa´rio para que sua
massa seja reduzida a` metade.
Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa
presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela func¸a˜o exponencial dada por
M = M0e
−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.
A equac¸a˜o acima e´ conhecida como modelo de decaimento exponencial.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e´ de aproximadamente 5730 anos, determinar:
(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) A quantidade de massa presente apo´s dois per´ıodos de meia-vida, se no instante t = 0
a massa era M0;
(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenc¸a do carbono-14 neste
e´ 80% da quantidade original.
10) Uma certa substaˆncia radioativa decai exponencialmente e, apo´s 100 anos, ainda restam
60% da quantidade inicial.
(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substaˆncia.
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necessa´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.
11) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = 2x ;
(b) g : IR→ IR dada por g(x) = e−x ;
(c) h : IR→ IR dada por h(x) = −ex ;
(d) s : IR− {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ;
(e) l : (−∞, 0)→ IR dada por l(x) = ln(−x) ;
(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |lnx| ;
(g) n : (−1,+∞)→ IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .
Func¸o˜es 39
12) Uma func¸a˜o f : X → IR e´ dita PERIO´DICA quando existe um nu´mero T > 0
(chamado o per´ıodo de f) tal que f(x+T ) = f(x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gra´fico
se repete a cada intervalo de comprimento T .
As func¸o˜es trigonome´tricas constituem exemplos cla´ssicos de func¸o˜es perio´dicas:
(a) Mostre que as func¸o˜es fn : IR→ IR dadas por fn(x) = sennx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) sa˜o
todas ı´mpares e perio´dicas de per´ıodo T = 2pi .
(b) Mostre que as func¸o˜es gn : IR → IR dadas por gn(x) = cosnx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
sa˜o todas pares e perio´dicas de per´ıodo T = 2pi .
13) (Fo´rmulas de Transformac¸a˜o) Prove as seguintes identidades trigonome´tricas:
sen 2a =
1− cos 2a
2
cos2 a =
1 + cos 2a
2cos a · cos b = 1
2
· cos(a+ b) + 1
2
· cos(a− b)
sen a · sen b = 1
2
· cos(a− b)− 1
2
· cos(a+ b)
sen a · cos b = 1
2
· sen (a+ b) + 1
2
· sen (a− b)
14) Seja f : IR− {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f(θ) = tg θ . Verifique:
f(2θ) =
2f(θ)
1− [f(θ)]2
15) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = sen 3x ;
(b) g : IR→ IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;
(c) h : IR→ IR dada por h(x) = 1 + senx ;
(d) s : IR→ IR dada por s(x) = | sen x| ;
(e) l : IR→ IR dada por l(x) = sen (x− (pi/2)) .
16) Seja f : [1, 100]→ IR dada por f(x) = arc sen [log10(x/10)] . Obtenha f(1), f(100)
e f(
√
10 ) .
40 CAPI´TULO 2
17) (Func¸o˜es Hiperbo´licas) Definimos as func¸o˜es hiperbo´licas ba´sicas:
• Func¸a˜o Seno Hiperbo´lico: senh : IR→ IR dada por senhx = e
x − e−x
2
• Func¸a˜o Cosseno Hiperbo´lico: cosh : IR→ IR dada por coshx = e
x + e−x
2
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es senh e cosh.
(b) Prove que cosh2 x− senh 2x = 1 para todo x ∈ IR .
(c) Prove que coshx ≥ 1 para todo x ∈ IR .
Definimos ainda:
tgh : IR→ IR dada por tghx = senh x
coshx
ctgh : IR− {0} → IR dada por ctghx = coshx
senh x
sech : IR→ IR dada por sechx = 1
coshx
csch : IR− {0} → IR dada por cschx = 1
senh x
(d) Obtenha (prove) relac¸o˜es entre as func¸o˜es tgh e sech e entre ctgh e csch .
18) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 2 senhx−3 tghx . Obtenha f(2) , f(−1) e f(0) .
Respostas de exerc´ıcios:
• Exerc´ıcio da pa´gina 17:
(A) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo absoluto f1(0) = 4 .
f1 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo.
(B) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor ma´ximo absoluto f2(1) = 3 .
Mı´nimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor mı´nimo absoluto f2(3) = −5 .
(C) Mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor mı´nimo absoluto f3(0) = 0 .
(D) Ma´ximo local em x = 0 onde assume o valor ma´ximo local f4(0) = 4 . Mı´nimo
absoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor mı´nimo absoluto f4(2) = 0 .
(E) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo absoluto f5(0) =
1 . Mı´nimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor mı´nimo absoluto
Func¸o˜es 41
f5(−1) = 0 .
(F) f6 na˜o e´ func¸a˜o.
(G) Ma´ximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor ma´ximo local f7(−2) =
−3 . Mı´nimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor mı´nimo absoluto
f7(−4) = −3 .
(H) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor ma´ximo absoluto f8(2) = 2 .
f8 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo.
(I) f9 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo.
(J) Ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo absoluto f10(0) = 0 .
f10 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo.
• Exerc´ıcio da pa´gina 29:
1) Im (f1) = IR . f1 na˜o e´ limitada. f1 e´ crescente em todo o seu domı´nio. f1
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. f1 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa f−11 : IR→ IR dada por f−11 (y) =
y + 1
3
.
2) Im (g1) = [0,+∞) . g1 na˜o e´ limitada. g1 e´ decrescente em (−∞, 1/3] e crescente
em [1/3,+∞) . g1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume
valor mı´nimo absoluto 0. g1 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo. g1 e´ sobrejetora mas
na˜o e´ injetora e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
3) Im (h1) = (−∞, 9] . h1 na˜o e´ limitada. h1 e´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
em [0,+∞) . h1 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
ma´ximo absoluto 9. h1 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo. h1 na˜o e´ injetora e na˜o e´
sobrejetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
4) Im (p1) = (0, 6] . p1 e´ limitada. p1 e´ crescente (em todo o seu domı´nio). p1 possui
ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor ma´ximo 6. p1 na˜o possui
nenhum ponto de mı´nimo. p1 e´ injetora e sobrejetora, possuindo inversa p
−1
1 : (0, 6]→ (0, 3]
dada por p−11 (w) =
w
2
.
5) Im (q1) = [−3,+∞) . q1 na˜o e´ limitada. q1 e´ crescente em [0, 1] e decrescente
em (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de ma´ximo local em x = 1 onde assume valor
ma´ximo local 1. q1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor
mı´nimo absoluto −3 e possui ponto de mı´nimo local em x = 0 onde assume valor mı´nimo
local 0. q1 na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
6) Im (r1) = [0,+∞) . r1 na˜o e´ limitada. r1 e´ crescente em [0, 3/2] e em [3,+∞)
e decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de ma´ximo local em x = 3/2 onde assume
42 CAPI´TULO 2
valor ma´ximo local 9/4. r1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}
onde assume valor mı´nimo absoluto 0. r1 e´ sobrejetora mas na˜o e´ injetora e por isso na˜o e´
invert´ıvel.
7) Im (s1) = [2,+∞) . s1 na˜o e´ limitada. s1 e´ decrescente em (−∞, 0] e crescente
em [0,+∞) . s1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
mı´nimo absoluto 2. s1 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo. s1 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´
injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
8) Im (u1) = [2, 11] . u1 e´ limitada. u1 e´ decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] .
u1 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mı´nimo absoluto
2. u1 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor ma´ximo
absoluto 9 e possui ponto de ma´ximo local em x = −2 onde assume valor ma´ximo local 6.
u1 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
9) Im (v1) = IR
+ . v1 na˜o e´ limitada. v1 e´ crescente em todo o seu domı´nio. v1
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. v1 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa v−11 : IR
+ → IR+ dada por v−11 (z) =
√
z .
10) Im (f2) = (−∞, 0] . f2 na˜o e´ limitada. f2 e´ crescente em (−∞, 0] e decrescente
em [0,+∞) . f2 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor
ma´ximo absoluto 0. f2 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo. f2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´
injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
11) Im (g2) = IR . g2 na˜o e´ limitada. g2 e´ decrescente em todo o seu domı´nio. g2
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. g2 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa g−12 : IR→ IR dada por g−12 (y) = −3y + 3 .
12) Im (h2) = (−∞, 2) . h2 na˜o e´ limitada. h2 e´ decrescente em todo o seu domı´nio.
h2 na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. h2 e´ injetora mas na˜o e´ sobrejetora
e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
13) Im (p2) = (−∞, 0] . p2 na˜o e´ limitada. p2 e´ decrescente em todo o seu domı´nio. p2
possui nenhum ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor ma´ximo
absoluto 0. p2 na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo. p2 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversa p−12 : (−∞, 0]→ [0,+∞) dada por p−12 (t) =
t2
2
.
14) Im (q2) = {0, 1} . q2 e´ limitada. q2 na˜o e´ crescente ou decrescente em intervalo
algum. q2 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor
ma´ximo absoluto 1. q2 possui ponto de mı´nimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor
mı´nimo local 1. q2 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde
assume valor mı´nimo absoluto 0. q2 possui ponto de ma´ximo local no conjunto IR − [1, 3]
onde assume valor ma´ximo local 0. q2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´
Func¸o˜es 43
invert´ıvel.
15) Im (r2) = {0} ∪ [3, 11] . r2 e´ limitada. r2 e´ crescente em [1, 3] . r2 possui ponto
de ma´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor ma´ximo absoluto 11. r2 possui
ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto IR− [1, 3] onde assume valor mı´nimo absoluto
0. r2 possui ponto de ma´ximo local no conjunto IR− [1, 3] onde assume valor ma´ximo local
0. r2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
16) Im (s2) = IR . s2 na˜o e´ limitada. s2 e´ decrescente em (−∞, 0] e em [0,+∞) . s2
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo ou de mı´nimo. s2 e´ injetora e sobrejetora, possuindo
inversas−12 = s2 .
17) Im (v2) = {−pi} ∪ [0,+∞) . v2 na˜o e´ limitada. v2 e´ crescente em [0,+∞) .
v2 possui ponto de ma´ximo local em (−∞,−1) onde assume valor ma´ximo local −pi. v2
possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) no conjunto (−∞,−1) onde assume valor mı´nimo
absoluto −pi. v2 possui ponto de mı´nimo local em x = 0 onde assume valor mı´nimo local 0.
v2 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
18) Im (f3) = [0, 1] . f3 e´ limitada. f3 e´ crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] .
f3 possui ponto de ma´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor ma´ximo absoluto
1. f3 possui ponto de mı´nimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mı´nimo
absoluto 0. f3 na˜o e´ sobrejetora e na˜o e´ injetora, e por isso na˜o e´ invert´ıvel.
• Exerc´ıcio da pa´gina 36 (antes da Sec¸a˜o 2.7):
Func¸a˜o COSSENO:
cos : IR −→ IR
x 7−→ cosx
(Gra´fico)
Im (cos) = [−1, 1]
cos(−x) = cosx (e´ uma func¸a˜o PAR)
cos(x+ 2pi) = cosx (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = 2pi)
A func¸a˜o COSSENO e´ ...
... CRESCENTE em [kpi, (k + 1)pi] , k I´MPAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kpi, (k + 1)pi] , k PAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MA´XIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kpi (k ∈ Z)
Assume o VALOR MI´NIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kpi + pi (k ∈ Z)
44 CAPI´TULO 2
Se cos x 6= 0 , enta˜o definimos secx = 1
cosx
.
Assim, sec : IR− {kpi + pi/2 , k ∈ Z} → IR associa x 7→ sec x = 1/ cosx . (Gra´fico)
A func¸a˜o COSSENO NA˜O E´ injetora e NA˜O E´ sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı´nio e seu contra-domı´nio, temos uma nova func¸a˜o g : [0, pi] −→ [−1, 1]
x 7−→ cosx
, a qual e´ BI-
JETORA (Gra´fico) e tem portanto inversa g
−1 : [−1, 1] −→ [0, pi]
y 7−→ g−1(y) = arc cos y
(Gra´fico)
Func¸a˜o TANGENTE:
tg : IR− {x ∈ IR ; cos x = 0 } −→ IR
x 7−→ tg x = sen x
cosx
(Gra´fico)
Im ( tg ) = IR
tg (−x) = − tg x (e´ uma func¸a˜o I´MPAR)
tg (x+ pi) = tg x (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = pi)
A func¸a˜o TANGENTE e´ ...
... CRESCENTE em [kpi − pi/2, kpi + pi/2] , k ∈ Z
NA˜O ASSUME VALOR MA´XIMO OU MI´NIMO EM NENHUM PONTO.
Se tg x 6= 0 , enta˜o definimos ctg x = 1
tg x
=
cosx
sen x
.
Assim, ctg : IR − {x ∈ IR ; sen x = 0 } → IR associa x 7→ ctg x = 1/ tg x = cosx
sen x
.
(Gra´fico)
A func¸a˜o TANGENTE E´ SOBREJETORA e NA˜O E´ injetora, mas a quando restringimos
seu domı´nio temos uma nova func¸a˜o h : (−pi/2, pi/2) −→ IR
x 7−→ tg x
, a qual e´ BIJETORA
(Gra´fico) e tem portanto inversa h
−1 : IR −→ (−pi/2, pi/2)
y 7−→ h−1(y) = arc tg y
(Gra´fico)
Func¸o˜es 45
• Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 2.7:
1) f(x) =
x+ 7
3
.
2) g(x) =
x2
3
+ 2x+
2
3
.
3) (b) h : IR→ IR dada por h(x) = −4x
3 + 15x2 − 11x
30
.
4) (b) g + h = f (c) f(x) =
x2 + 1
x2 − 1 +
2x
1− x2 .
5) (a) f−1 : IR→ IR dada por f−1(y) = y − 4
3
.
(b) g−1 : IR− {0} → IR− {a} dada por g−1(w) = 1 + aw
w
.
(c) h−1 : IR− {1} → IR− {a} dada por h−1(z) = a+ az
z − 1 .
(d) r−1 : [0,+∞)→ [1,+∞) dada por r−1(x) = x2 + 1 .
9) (a) K =
log 2
5730
(b) M0/2 (c) t =
[− log(0, 8)] · 5730
log 2
≈ 1846 anos.
10) (a) M = M0 · e
log 0, 6
100
· t
(b) t1/2 =
−100. log 2
log 0, 6
≈ 135, 6915448856724 anos.
(c) t =
100. log 0, 15
log 0, 6
≈ 371, 3830897713448167 anos.
16) f(1) = −pi/2 , f(100) = pi/2 , f(√10 ) = −pi/6 .
17) (d) 1− tgh 2x = sech 2x e 1− ctgh 2x = − csch 2x .
18) f(2) =
e8 − 3e6 + 3e2 − 1
e6 + e2
, f(−1) = 1− 3e+ 3e
3 − e4
e3 + e
, f(0) = 0 .
46 CAPI´TULO 2
Cap´ıtulo 3
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade
3.1 Motivac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanc¸a de x por uma
func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma reta e´ atrave´s da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x, f(x)) ,
se houver esta tangente.
Consequ¨eˆncia: Podemos relacionar uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gra´fico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
47
48 CAPI´TULO 3
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
(C)
f assumindo ma´ximo ou mı´nimo local
no interior de um intervalo
}
⇒ mt = 0 no ponto de ma´ximo ou mı´nimo.
(D)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para cima, em um intervalo
}
⇒ mt crescente neste intervalo.
(E)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para baixo, em um intervalo
}
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) :
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 49
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAC¸O˜ES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gra´fico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :
Temos enta˜o uma func¸a˜o msa : I − {a} → IR
x 7→ msa(x) =
f(x)− f(a)
x− a
Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x→ a ).
O esperado e´ que, quando x→ a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
nu´mero real e teremos
msa(x)→ mta ∈ IR , quando x→ a
Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e´ chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f ′(a) ).
Obs.: E´ fundamental, para fazermos x→ a , que possamos aproximar o ponto a por uma
sequ¨eˆncia de pontos do domı´nio X de f , diferentes de a.
Exemplo:
50 CAPI´TULO 3
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma func¸a˜o g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x→ a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x)→ L ∈ IR quando
x→ a .
3.2 Limites
Dada uma func¸a˜o f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando
x se aproxima de a , x 6= a .
Para isso, a na˜o precisa pertencer ao domı´nio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do domı´nio:
Definic¸a˜o 3.1. (Ponto de acumulac¸a˜o): Um ponto a e´ chamado um PONTO DE ACUMULAC¸A˜O
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, ta˜o pro´ximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 51
Consideremos agora, por exemplo, a func¸a˜o f : IR− {1} → IR dada por
f(x) =
3x2 − 2x− 1
x− 1
1 na˜o pertence ao domı´nio de f , mas e´ ponto de acumulac¸a˜o de IR − {1} . Podemos
enta˜o observar o comportamento de f(x) quando x→ 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)
Temos:
x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a` medida que x→ 1 .
Dizemos enta˜o que 4 e´ o limite de f(x) quando x tende a 1 (x→ 1) e escrevemos:
lim
x→1
3x2 − 2x− 1
x− 1 = 4 .
A definic¸a˜o de limite
Definic¸a˜o 3.2. Sejam f : X → IR uma func¸a˜o e a ∈ X ′ (a e´ ponto de acumulac¸a˜o do
domı´nio - na˜o precisa pertencer a X).
Dizemos que um nu´mero real L e´ o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
quando ...
... podemos obter f(x) ta˜o pro´ximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-
lores (no domı´nio de f) diferentes de a .
m TRADUZINDO
... para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um
δ > 0 (em geral dependendo do �) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < � .
52 CAPI´TULO 3
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (func¸a˜o constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f1(x) = lim
x→a
c = c
• Seja f2 : IR→ IR dada por f2(x) = x ∀ x∈ IR (func¸a˜o identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f2(x) = lim
x→a
x = a
• Seja f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
sen x = 0
• Seja f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
cosx = 1
• Seja f5 : IR− { 0} → IR dada por f5(x) = sen x
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
sen x
x
= 1
• Seja f6 : IR− { 0} → IR dada por f6(x) = cosx− 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
• Seja f7 : IR− { 0} → IR dada por f7(x) = e
x − 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 53
3.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites
Teorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a
(f(x)− L) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)− L| = 0
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim
x→a
f(x) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)| = 0 .
Exemplo: Sabemos que lim
x→0
x = 0 . Enta˜o segue que lim
x→0
|x| = 0 .
Teorema 3.2. (Sandu´ıche) Sejam f , g , h func¸o˜es tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x 6= a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
h(x) , enta˜o lim
x→a
g(x) = L .
Exemplo: Vamos mostrar que lim
x→0
sen x = 0 .
54 CAPI´TULO 3
Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e lim
x→a
f(x) = L , lim
x→a
g(x) = M . Enta˜o:
lim
x→a
[f(x)± g(x)] = L±M ;
lim
x→a
f(x) · g(x) = L ·M ;
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
se M 6= 0 ;
lim
x→a
n
√
f(x) =
n
√
L
{
se n e´ I´MPAR e L e´ qualquer real
se n e´ PAR e L > 0
Exemplos:
(A) Seja p : IR→ IR dada por p(x) = cnxn + cn−1xn−1 + . . .+ c1x+ c0 ,
com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e´ uma func¸a˜o polinomial de grau n).
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 55
(B) Func¸o˜es racionais (quocientes de func¸o˜es polinomiais)
(C) lim
x→0
cosx = 1
56 CAPI´TULO 3
(D) lim
x→0
sen x
x
= 1
(E) lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 57
Teorema 3.4. Se lim
x→a
f(x) = 0 e g e´ limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
(sem precisar estar definida em a), enta˜o lim
x→a
f(x) · g(x) = 0 .
(Exemplo)
Teorema 3.5. (Troca de varia´veis) Se lim
u→b
f(u) = L , lim
x→a
u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
x 6= a⇒ u 6= b , enta˜o
lim
x→a
f(u(x)) = lim
u→b
f(u) = L
Exemplos:
(A) lim
x→0
sen 4x
4x
(B) lim
x→0
sen 3x
x
(C) lim
x→0
5x − 1
x
58 CAPI´TULO 3
3.4 Exerc´ıcios
(A) Prove que se lim
x→a
f(x) = L 6= 0 e lim
x→a
g(x) = 0 enta˜o @ (na˜o existe) lim
x→a
f(x)
g(x)
.
Sugesta˜o: Suponha que exista lim
x→a
f(x)
g(x)
= M e considere lim
x→a
f(x) = lim
x→a
[
f(x)
g(x)
· g(x)
]
.
(B) Calcule os limites abaixo, justificando:
1) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 2) limx→1/2
3 + 2x
5− x 3) limx→0
√
x+ 2−√2
x
Sugesta˜o: racionalize o numerador
4) lim
x→2
x− 2
x4 − 16 Sugesta˜o: use que (a
n − bn) = (a− b).(an−1 + an−2b+ . . .+ abn−2 + bn−1)
5) lim
x→−3
x+ 3
(1/x) + (1/3)
6) lim
x→0
|x|√
x4 + 7
7) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12 8) limu→1
1√
5− u
9) lim
x→0
x3 sen
(
1
3
√
x
)
10) lim
h→0
4−√16 + h
h
11) lim
x→3
3
√
2 + 5x− 3x3
x2 − 1 12) limy→−2
y3 + 8
y + 2
13) lim
t→0
1− cos t
sen t
14) lim
x→2
x2 − x− 2
(x− 2)2 15) limx→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36 16) limw→0
sen 3w
sen 5w
17) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
18) lim
x→0
1 + tg x
sen x
19) lim
t→0
sen 22t
t2
20) lim
x→pi
sen x
x− pi
21) lim
x→0
x
cosx
22) lim
x→0
1− cosx
x2
23) lim
x→0
3x − 1
x
24) lim
x→0
3x2
1− cos2(x/2)
25) lim
x→1/√2
x5 − (1/√2)5
x− (1/√2) 26) limx→−2
(x− 1)(x+ 2)
x2 + 4x+ 4
27) lim
x→3
√
x2 − 9
x− 3
28) lim
y→0
e7y − 1
sen y
29) lim
x→0
(1− sec x). ctg x. cosx
x
30) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
(x+ 1)(x− 3) 31) limx→√3
pi
√
3− pix
x3 − 3√3 32) limx→pi/2
x− pi/2
cosx
33) lim
x→0
sen 3x
5x(1− cosx) 34) limy→0
3
√
1− e2y
y
35) lim
x→√2
3x− 3√2
x6 − 8 36) limy→0
√
sen piy
y
37) lim
x→1
x2 − 1
(1− x)3
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 59
38) lim
x→−pi
1 + cos x
x+ pi
39) lim
x→0
ex + sen 2x− 1
x
40) lim
x→3
3
√
x− 3
27− x3 41) limx→−1
x3 + 2x2 + x
x+ 1
42) lim
x→0
e senx − 1
2x
43) lim
y→0
sen 7y + cospiy − 1
y
44) lim
x→0
1− cosx√
5 · x · sen x
45) lim
x→√3
x3 − 3√3
4x− 4√3 46) limy→0
e2y − 1
sen (3y)
47) lim
x→−1
x3 + x2 − x− 1
x3 − x 48) limx→pi/2
1− sen x
x− (pi/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
O lim
x→a
f(x) , quando existe, e´ u´nico.
Teorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = lim
x→a
f(x) enta˜o a func¸a˜o f e´
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
x
∀ x 6= 0 .
0 e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio IR− {0} .
Podemos afirmar que NA˜O EXISTE o lim
x→0
1
x
, pois f na˜o e´ limitada em nenhum
intervalo aberto contendo 0 .
Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = lim
x→a
f(x) .
Se L > M enta˜o f(x) > M para todo x 6= a do domı´nio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim
x→a
f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 para todo x 6= a do domı´nio em um
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim
x→a
f(x) = L < M .
60 CAPI´TULO 3
Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim
x→a+
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e´, por valores x ∈ X, com x > a)
lim
x→a−
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e´, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim
x→a
f(x) se, e somente se, existem e sa˜o iguais a L
ambos os limites laterais, ou seja: lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) .
Exemplos: (a) Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = |x|
x
.
(b)
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBE´M PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAC¸O˜ES !
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 61
Exerc´ıcios:
1) Sejam f, g : IR→ IR dadas por:
f(x) =
{
x3 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
Fac¸a um estudo sobre os limites: lim
x→1
f(x) lim
x→1
g(x) lim
x→1
(f.g)(x)
2) Mostre que lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(se existirem)
3) Para cada func¸a˜o f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩X ′ (a e´ ponto do domı´nio e
ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio), tambe´m fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)).
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx e a = pi/6 .
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx e a = pi/6 .
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .
(f) f6 : (0,+∞)→ IR dada por f6(x) = 1/x e a =
√
2 .
Fac¸a ainda um esboc¸o e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboc¸o.
Sugesto˜es:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),
fazendo x→ a.
Para as letras (c),(d) e (e), use tambe´m o exerc´ıcio anterior.
Pode tentar tambe´m fazer antes o Exerc´ıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-
xerc´ıcio se torna um caso particular.
4) Para cada func¸a˜o f : X → IR do exerc´ıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !
62 CAPI´TULO 3
3.5 Continuidade
Definic¸a˜o 3.3. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o).
Dado um ponto a , dizemos que f E´ CONTI´NUA NO PONTO a quando as seguintes
condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim
x→a
f(x) ;
3) lim
x→a
f(x) = f(a) .
Se f na˜o e´ cont´ınua em um ponto a pertencente a seu domı´nio, dizemos que f E´
DESCONTI´NUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
Dizemos que f : X → IR e´ uma FUNC¸A˜O CONTI´NUA EM X quando ela e´ cont´ınua em
todos os pontos de seu domı´nio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVI´VEL:
(D) Contra-exemplo:uma descontinuidade ESSENCIAL:
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 63
Continuidade e operac¸o˜es entre func¸o˜es
Teorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .
Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto a ∈ X , enta˜o:
(f ± g) sa˜o cont´ınuas em a ;
(f · g) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em a ;
(f/g) e´ cont´ınua em a se g(a) 6= 0 .
Teorema 3.11. (Composic¸a˜o) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR esta´ bem definida
Se f e´ cont´ınua em a ∈ X e g e´ cont´ınua em b = f(a) ∈ Y enta˜o a composta
g ◦ f : X → IR e´ cont´ınua no ponto a ∈ X .
Func¸o˜es cont´ınuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre ma´ximos e mı´nimos, podemos ter func¸o˜es que na˜o
assumem valores ma´ximos e/ou mı´nimos.
Por exemplo:
f : IR→ IR dada por f(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
g : (−1, 2)→ IR dada por g(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
64 CAPI´TULO 3
Existe uma situac¸a˜o (envolvendo continuidade) na qual estes problemas na˜o ocorrem:
Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b]→ IR e´ uma func¸a˜o cont´ınua (em todos os pontos
do intervalo limitado e fechado [a, b]), enta˜o f assume valores ma´ximo e mı´nimo absolutos
neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]
f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das func¸o˜es cont´ınuas e´ a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-
TERMEDIA´RIO”:
Teorema 3.13. (Teorema do valor intermedia´rio) Se f : X → IR e´ cont´ınua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f(a) 6= f(b) , enta˜o f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .
(Ilustrac¸a˜o)
(Exemplo)
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 65
3.6 Exerc´ıcios
1) Seja f : [0,+∞)→ IR dada por f(x) = √x .
(i) Mostre que lim
x→0
√
x = 0 (Sugesta˜o: Considere apenas o limite lateral lim
x→0+
√
x - pois 0
so´ pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare
√
x com 3
√
x para 0 < x < 1 )
(ii) Conclua que f e´ cont´ınua (em todos os pontos de seu domı´nio).
(iii) Mostre que @ lim
x→0
√
x
x
(racionalize).
(iv) Generalize para g : [0,∞)→ IR dada por g(x) = n√x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e´ cont´ınua ou na˜o),
justificando:
(a) f : (−∞, 16]→ IR dada por f(x) = √16− x .
(b) f : [0,+∞)→ IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1
x2
se x 6= 0 .
(c) f : IR→ IR dada por f(x) =

x+ 1
x3 + 1
se x 6= −1
3 se x = −1
.
3) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equac¸a˜o f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
4) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
5− x se x ≥ 2
(a) Onde f e´ cont´ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
66 CAPI´TULO 3
5) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) Sabendo que f e´ crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10,+∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
6) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , e´ poss´ıvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre
a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
7) (a) Seja f : IR → IR uma func¸a˜o tal que f(x) = sen [pi(x− 1)]
x− 1 ∀ x 6= 1 . f pode ser
cont´ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
na˜o, JUSTIFIQUE.
(b) Seja g : IR → IR uma func¸a˜o tal que g(x) = |x− 1|
x− 1 ∀ x 6= 1 . g pode ser cont´ınua
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se na˜o,
JUSTIFIQUE.
Respostas de exerc´ıcios:
• Exerc´ıcio (B) da Sec¸a˜o 3.4:
1) 6 2)
8
9
3)
√
2
4
4)
1
32
5) −9 6) 0 7) 1
7
8)
1
2
9) 0 10) − 1
8
11) −2 12) 12 13) 0 14) @ (na˜o existe) 15) 1 16) 3
5
17)
1
3
18) @
19) 4 20) −1 21) 0 22) 1
2
23) ln 3 24) 12 25) 5/4 26) @
27)
√
6 28) 7 29) −1/2 30) 0 31) − pi
9
32) −1
33)
2
5
34) − 3√2 35)
√
2
16
36)
√
pi 37) @ 38) 0
39) 1 40) − 1
3
41) 0 42)
1
2
43) 7
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 67
44)
1
2
√
5
45)
9
4
46)
2
3
47) 0 48) 0
• Exerc´ıcios da pa´gina 61:
1) @ lim
x→1
f(x) , @ lim
x→1
g(x) , lim
x→1
(f.g)(x) = 4
2) Fac¸a a mudanc¸a de varia´veis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de func¸o˜es
compostas !
3) (a) f ′1(−5) = mt−5 = 3
(b) f ′2(3) = mt3 = −6
(c) f ′3(pi/6) = mtpi/6 =
√
3
2
(d) f ′4(pi/6) = mtpi/6 = −
1
2
(e) f ′5(2) = mt2 = e
2
(f) f ′6(
√
2) = mt√2 = −
1
2
4) (a) f ′1(a) = 3
(b) f ′2(a) = −2a
(c) f ′3(a) = cos a
(d) f ′4(a) = − sen a
(e) f ′5(a) = e
a
(f) f ′6(a) = −
1
a2
• Exerc´ıcios da Sec¸a˜o 3.6:
2) Cont´ınua em...
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim
x→16−
√
16− x = 0 = f(16)
b) ... (0,+∞) . Em a = 0 temos: @ lim
x→0+
f(x)
c) ... IR− {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim
x→−1
f(x) = 1/3 6= f(−1)
68 CAPI´TULO 3
3) (a) f e´ cont´ınua em todo a 6= 0 e na˜o e´ cont´ınua em a = 0 .
(b) Como a func¸a˜o f e´ cont´ınua no intervalo [−2,−1] e f(−2) < 0 < f(−1) , temos
enta˜o pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO que existe x entre −2 e −1 tal que
f(x) = 0 .
4) (a) f e´ cont´ınua em todo a ∈ IR .
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a func¸a˜o e´ cont´ınua e “muda de sinal”.
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO nos garante que sob estas condic¸o˜es a func¸a˜o
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
5) (a) f e´ cont´ınua em a = 3 (verificados tambe´m os limites laterais).
(b) SIM! f e´ cont´ınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume a´ı
ma´ximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se enta˜o (com as outras hipo´teses)
que f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ IR .
6) (a) f na˜o e´ cont´ınua em a = −1 (@ lim
x→−1
f(x) ).
(b) NA˜O PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2,−1] . Temos:
−1 = f(−2) < 1/2 < f(−1) = 1 mas na˜o existe nenhum c ∈ [−2,−1] tal que f(c) = 1/2 .
7) (a) SIM! f(1) = pi para que f seja cont´ınua em x = 1 .
(b) NA˜O ! g na˜o pode ser cont´ınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .
Cap´ıtulo 4
Derivada
4.1 A definic¸a˜o da Derivada
Definic¸a˜o 4.1. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio).
Dizemos que f e´ DERIVA´VEL em a ∈ X quando existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
O nu´mero f ′(a) ∈ IR e´ chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
Observac¸o˜es:
• Em nossas aplicac¸o˜es, o domı´nio X sera´ quase sempre um intervalo (e ja´ teremos X ⊂ X ′ );
• Outras notac¸o˜es para f ′(a) :
f ′(a) = Dxf(a) =
df
dx
(a) =
df
dx
∣∣∣∣
x=a
ou ainda f ′(a) = y′(a) =
dy
dx
(a) , se y = f(x)
• Podemos considerar a func¸a˜o f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f ′(x) . f ′ e´ chamada a FUNC¸A˜O DERIVADA DE f .
69
70 CAPI´TULO 4
Interpretac¸a˜o geome´trica
Ja´ vimos, como motivac¸a˜o para o estudo de limites, que se f : X → IR e´ deriva´vel em
a ∈ X , enta˜o f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) :
Vimos tambe´m que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento da func¸a˜o f .
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR→ IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .
Derivada 71
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g′(2) , por exemplo:
Exerc´ıcio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 enta˜o g′(x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) enta˜o f ′(x) = nxn−1 .
(C) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = senx .
Exerc´ıcio: Obtenha a derivada deg : IR→ IR dada por g(x) = cosx .
(D) Seja u : IR→ IR dada por u(t) = et (func¸a˜o exponencial na base e).
72 CAPI´TULO 4
(E) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = |x| .
(F) Seja g : IR− {0} → IR dada por g(x) = 1
x4
= x−4 .
Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
enta˜o g′(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR→ IR dada por u(t) = at (func¸a˜o exponencial na base a).
Derivada 73
4.2 Derivadas e continuidade
Teorema 4.1. Se f : X → IR e´ DERIVA´VEL em a ∈ X , enta˜o f e´ CONTI´NUA em a.
De fato:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ X , enta˜o existe o limite lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) .
Existe f(a) (pois a ∈ X).
Se x 6= a , temos: f(x)− f(a) =
[
f(x)− f(a)
x− a
]
· (x− a) .
Como lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) e lim
x→a
(x− a) = 0 , segue que
lim
x→a
f(x)− f(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a · limx→a (x− a) = f
′(a) · 0 = 0
Logo lim
x→a
f(x) = f(a) e portanto f e´ cont´ınua no ponto a .
Algumas consequ¨eˆncias:
• Sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de seus domı´nios as func¸o˜es:
f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
(n = 1, 2, 3. . . .) ,
g1 : IR→ IR dada por g1(x) = senx , g2 : IR→ IR dada por g2(x) = cosx ,
u : IR→ IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sa˜o todas deriva´veis em todos os pontos de
seus domı´nios.
• Se uma determinada func¸a˜o e´ descont´ınua
em algum ponto de seu domı´nio, enta˜o ela na˜o e´
deriva´vel neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Na˜o podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma func¸a˜o que e´ cont´ınua mas na˜o e´ deriva´vel em determinados pontos.
Exemplo: f(x) = |x| e´ cont´ınua no ponto 0 ( lim
x→0
|x| = 0 = f(0) ), mas ja´ vimos que @ f ′(0) .
74 CAPI´TULO 4
4.3 Exerc´ıcios
1) (a) Seja f(x) =
1
x3
∀x 6= 0 . Obtenha, via definic¸a˜o, f ′(1) .
(b) Seja f(x) = senx ∀x ∈ IR . Obtenha (via definic¸a˜o) f ′(2pi/3) .
(c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definic¸a˜o) que g′(x) = 5x. ln 5 ∀x ∈ IR .
(d) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 3 · 3√x ∀ x ∈ IR
Mostre, via definic¸a˜o, que @ (na˜o existe) f ′(0) e que f ′(a) =
1
3
√
a2
∀ a 6= 0 .
2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a e´ ponto de acumulac¸a˜o BILATERAL
de X e f e´ definida de modos diferentes a` direita e a` esquerda de a, a existeˆncia do limite
que define a derivada no ponto a e´ verificada observando-se a existeˆncia e a igualdade dos
limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE
f (A` DIREITA OU A` ESQUERDA) NO PONTO a:
f ′+(a) = lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a e f
′
−(a) = lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a
(a) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
f e´ deriva´vel em x = 0 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f ′(0). Se na˜o for, justifique.
(b) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
6x− 2 se x ≤ 1
5− x se x > 1
f e´ deriva´vel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(1). Se na˜o, justifique.
(c) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
f e´ deriva´vel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(3). Se na˜o for, justifique.
(d) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
7− x2 se x ≥ 2
f e´ deriva´vel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f ′(2). Se na˜o for, justifique.
(e) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
f e´ deriva´vel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(−1). Se na˜o, justifique.
Derivada 75
4.4 Regras de derivac¸a˜o
Teorema 4.2. Se f , g : X → IR sa˜o deriva´veis em a ∈ X , enta˜o:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR e´ deriva´vel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a) ;
(b) f ± g sa˜o deriva´veis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ;
(c) (f · g) e´ deriva´vel em a e (f · g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a) ;
(d) (f/g) e´ deriva´vel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) = f
′(a).g(a)− f(a).g′(a)
[g(a)]2
.
Exemplos:
(A) Para cada func¸a˜o f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)
1) f : IR→ IR dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x+ 7 .
2) f : IR→ IR dada por f(t) = 6t− 10
t2 + 5
.
3) f : IR− Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f(x) = tg x .
Exerc´ıcio: Obtenha
d
dx
ctg x ,
d
dx
sec x ,
d
dx
csc x
4) f : IR→ IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cosu) .
76 CAPI´TULO 4
5) f : IR→ IR dada por f(t) = sen 2t .
6) f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = 4− x2 .
1) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g e que e´ paralela a` reta y = 2x .
Derivada 77
3) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gra´fico e´ “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente e´ positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente e´ negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de func¸o˜es compostas
Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a
composta (g ◦ u) : X → IR esta´ bem definida:
Dado a ∈ X , se u e´ deriva´vel em a (existe u′(a)) e g e´ deriva´vel em b = u(a) (existe
g′(b) = g′(u(a)) ), enta˜o a composta (g ◦u) : X → IR e´ deriva´vel em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u)′(a) = g′(b) · u′(a) = g′(u(a)) · u′(a)
Quanto a` func¸a˜o derivada (g◦u)′ : x 7→ (g◦u)′(x) , escrevemos (g◦u)′(x) = g′(u(x))·u′(x)
para todo x onde existirem as derivadas.
78 CAPI´TULO 4
Exemplos:
Para cada func¸a˜o f : IR→ IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):
(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f(t) = (4t3 − t2 + 3t− 2)2 .
(C) f dada por f(x) = (5x2 − 2x+ 1)−3 .
(D) f dada por f(w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).
Derivada 79
(F) f dada por f(t) = sen 2t .
(G) f dada por f(t) = cos5 t .
(H) f dada por f(x) = e(x
2) .
(I) f dada por f(w) = (ew − senw)2 .
(J) f dada por f(t) = epi cos(2t
3) .
80 CAPI´TULO 4
Derivadas de func¸o˜es inversas
Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo)→ J (intervalo) uma func¸a˜o INVERTI´VEL (bijetora =
injetora e sobrejetora) e CONTI´NUA (em todos os pontos de seu domı´nio I).
Sua inversa g : J → I e´ cont´ınua em todos os pontos de J .
Mais ainda:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ I e f ′(a) 6= 0 , enta˜o g e´ deriva´vel em b = f(a) e podemos
obter g′(b) atrave´s da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da func¸a˜o logar´ıtmica na base e:
Exerc´ıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g′(x) se g : (0,+∞)→ IR e´ dada por
g(x) = loga x
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0,+∞) ⇒ g′(x) =
1
x ln a
∀ x > 0 .
Derivada 81
(B) Ra´ızes:
(C) Func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas:
Exerc´ıcio:
(a) Se g : [−1, 1]→ [0, pi] e´ dada por g(x) = arc cos x , mostre que
g′(x) = − 1√
1− x2 ∀ x ∈ (−1, 1)
82 CAPI´TULO 4
(b) Se h : IR→ (−pi/2, pi/2) e´ dada por h(x) = arc tg x , mostre que
h′(x) =
1
1 + x2
∀ x ∈ IR
4.5 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Seja f : [−1, 1]→ IR a func¸a˜o dada por f(x) = √1− x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f(x) , temos:
y =
√
1− x2
⇓
y2 = 1− x2 , y ≥ 0
⇓
(∗) x2 + y2 = 1 (y ≥ 0)
A equac¸a˜o (*) acima estabelece uma relac¸a˜o entre x e y = f(x) . Juntamente com a
restric¸a˜o y ≥ 0 ela define bem a func¸a˜o f . Por isso dizemos que f ESTA´ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e´ func¸a˜o de x , e´ fa´cil ver que a equac¸a˜o (*)
estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a func¸a˜o constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAC¸A˜O A` VARIA´VEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e´ deriva´vel e tomando o cuidado de lembrar
que y = f(x) , ou seja, y2 e´ uma composic¸a˜o de func¸o˜es e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x2 + y2 = 1
⇓
2x+ 2yy′ = 0
⇓
(∗∗) y′ = − x
y
(y 6= 0)
Lembrando que y = f(x) =
√
1− x2 , temos:
f ′(x) = y′ = − x√
1− x2 , x ∈ (−1, 1)
Derivada 83
Poss´ıveis vantagens da derivac¸a˜o impl´ıcita:
• Derivar a equac¸a˜o (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar