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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA TRANSMISSÃO DE CALOR Atualizado por: Prof. Ademar Michels Aluno Msc. Maruí Samuel F. dos Santos Aluno Grad. Anderson Fávero Porte Santa Maria, RS, Brasil Apostila de Transmissão de Calor 2 Apostila de Transmissão de Calor 3 Sumário: 1) GENERALIDADES ____________________________________________ 7 1.1) Introdução ________________________________________________ 7 1.2) Regimes de Transmissão de Calor _____________________________ 8 1.3) Formas de Transmissão de Calor ______________________________ 9 1.3.1) Transferência de Calor por Condução _______________________ 9 1.3.2 Transferência de Calor por Convecção ______________________ 15 1.3.3) Transferência de Calor por Radiação ____________________ 16 2) CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ________ 18 2.1) Introdução _______________________________________________ 18 2.2) A Parede Plana ___________________________________________ 18 2.3) Isolantes e o Fator R _______________________________________ 20 2.4) Sistemas Radiais – Cilindros ________________________________ 20 2.5) O Coeficiente Global de Transferência de Calor _________________ 22 2.6) Espessura Crítica de Isolamento _____________________________ 23 2.7) Sistemas com Geração de Calor _____________________________ 24 2.7.1) Parede plana com geração de calor _______________________ 25 2.7.2) Cilindro com Geração de Calor ___________________________ 26 2.8) Sistemas com Condução e Convecção – Aletas _________________ 28 2.8.1) Aletas Longas _________________________________________ 30 2.8.2) Aletas com Perda de Calor Desprezível na Ponta _____________ 31 2.8.3) Aletas com Convecção na Ponta __________________________ 32 2.9) Eficiência da Aleta_________________________________________ 33 3 CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA ___ 36 3.1) Análise Global do Sistema __________________________________ 36 3.2) Condição de Contorno Mista ________________________________ 39 3.3) Placa – Emprego das Cartas de Temperatura Transiente __________ 40 3.3.1) Equações Adimensionais ________________________________ 41 3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa ______________ 43 3.4) Cilindro Longo e Esfera – Emprego das cartas de temperaturas transientes __________________________________________________ 45 3.4.1) Carta de Temperaturas Transientes num Cilindro Longo _______ 45 3.4.2) Carta de Temperaturas Transientes numa Esfera _____________ 47 4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS ______________ 50 4.1) Escoamento Sobre um Corpo ________________________________ 51 4.1.1) Camada Limite Cinética _________________________________ 51 4.1.2) Coeficiente de Arraste e Força de Arraste ___________________ 53 4.1.3) Camada Limite Térmica _________________________________ 54 4.1.4) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 55 4.1.5) Relação entre cx e h(x) __________________________________ 56 4.2) Escoamento no Interior de um Duto ___________________________ 57 4.2.1) Camada Limite Cinética _________________________________ 57 4.2.2) Fator de Atrito e Perda de Carga __________________________ 58 4.2.3) Camada Limite Térmica _________________________________ 60 4.2.4) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 61 4.3) Parâmetros Adimensionais __________________________________ 63 Apostila de Transmissão de Calor 4 4.4) Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura _________________________________________________ 64 5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 65 5.1) Escoamento no Interior de um Tubo Circular ____________________ 65 5.1.1) Fator de Atrito _________________________________________ 65 5.1.2) Coeficiente de Transferência de Calor. _____________________ 67 5.1.3) Fluxo de Calor Constante. _______________________________ 68 5.1.4) Parede com Temperatura Constante. ______________________ 70 5.1.5) Estimativa das Propriedades Físicas. ______________________ 70 5.1.6) Média Logarítmica e Média Aritmética das Diferenças de Temperaturas. _____________________________________________ 71 5.2) Escoamento no Interior de Dutos com Diversas Seções Retas Transversais _________________________________________________ 71 5.2.1) Comprimentos da Entrada Hidrodinâmica e da Térmica ________ 71 5.3 Escoamento Turbulento no Interior de Dutos ____________________ 74 5.3.1) Fator de Atrito e Perda de Carga __________________________ 74 5.4) Coeficiente de Transferência de Calor _________________________ 76 5.4.1) Equação de Colburn. ___________________________________ 76 5.4.2) Equação de Dittus-Boelter. ______________________________ 77 5.4.3) Equação de Sieder e Tate. _______________________________ 77 5.4.4) Equação de Petukhov. __________________________________ 77 5.4.5) Equação de Nusselt. ___________________________________ 78 5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. ____________________________ 78 5.5) Transferência de Calor nos Metais Líquidos ____________________ 79 5.5.1) Fluxo de Calor Uniforme nas Paredes ______________________ 80 5.5.2) Temperatura Uniforme nas Paredes _______________________ 80 6) CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS ______ 82 6.1) Coeficiente de Transferëncia de Calor no Escoamento Sobre Uma Placa Plana ______________________________________________________ 82 6.1.1) Metais Líquidos num Escoamento Laminar __________________ 82 6.1.2) Fluidos Ordinários em Escoamento Laminar _________________ 86 6.1.3) Escoamento Turbulento _________________________________ 91 6.2) Escoamento Transversal a um Cilindro Circular Isolado ___________ 93 6.2.1) Coeficiente de Arraste __________________________________ 94 6.2.2) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 95 6.3) Escoamento em torno de uma esfera isolada ___________________ 98 6.3.1) Coeficiente de Arraste __________________________________ 98 6.3.2) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 99 6.4) Escoamento através de feixes de tubos _______________________ 100 7) TROCADORES DE CALOR ___________________________________ 103 7.1) Classificação dos Trocadores de Calor _______________________ 103 7.1.1) Classificação pelo Processo de Transferência ______________ 104 7.1.2) Classificação de Acordo com a Compacticidade _____________ 105 7.1.3) Classificação pelo Tipo de Construção ____________________ 106 7.1.4) Classificação Segundo a Disposição das Correntes __________ 111 7.1.5) Classificação pelo Mecanismo de Transferência de Calor _____ 113 7.2) Distribuição de Temperatura nos Trocadores de Calor ___________ 115 7.3) Coeficiente de Transferência de Calor Global __________________ 118 7.3.1) Fator de Incrustação __________________________________ 120 7.4) O Método DTML para Análise dos Trocadores de Calor __________ 122 Apostila de Transmissão de Calor 5 7.5) Correção da DTML em Trocadores com Correntes Cruzadas e Multipasse _________________________________________________ 125 7.6) Método ε -NUT para Análise dos Trocadores de Calor ___________ 127 7.6.2) Relação ε -NUT ______________________________________ 130 7.6.3) Significado Físico do NUT ______________________________ 132 7.6.4) Emprego das relações ε -NUT ___________________________ 133 7.6.5) Problema do Dimensionamento. _________________________ 134 7.7) Trocadores de Calor Compactos ____________________________ 135 7.7.1) Perda de Carga em Trocadores com Aletas de Chapa Contínua 138 7.7.2) Perda de Carga em Trocadores de Tubos Aletados __________ 139 7.8)Otimização dos Trocadores de Calor _________________________ 139 7.8.1) Problema do Cálculo da Capacidade ______________________ 141 7.8.2) Problema de Dimensionamento __________________________ 141 7.8.3) Problema da Otimização _______________________________ 141 8) RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE ____________ 142 8.1) Natureza da radiação térmica _______________________________ 142 8.2) Radiação do corpo negro __________________________________ 144 8.2.1) Poder Emissivo do Corpo Negro _________________________ 146 8.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann _______________________________ 148 8.2.3) Funções de Radiação do Corpo Negro ____________________ 150 8.3) Propriedades Radiantes das Superfícies ______________________ 151 8.3.1) Lei de Kirchhoff ______________________________________ 153 8.3.2) Corpo Cinzento_______________________________________ 154 8.3.3) Emissividade ________________________________________ 155 8.3.4) Poder de Absorção ____________________________________ 155 8.3.5) Refletividade _________________________________________ 156 8.3.6) Poder Transmissor ____________________________________ 156 8.4) Radiação Solar __________________________________________ 157 8.4.1) Radiação Solar que Chega à Terra _______________________ 159 8.5) Conceito de Fator de Forma ________________________________ 160 8.5.1) Fator de Forma entre duas Superfícies Elementares _________ 161 8.5.2) Fator de Forma de Superfícies Finitas _____________________ 162 8.5.3) Propriedades dos Fatores de Forma ______________________ 164 8.6) Métodos para Determinar Fatores de Forma ___________________ 165 8.6.1) Álgebra dos Fatores de Forma ___________________________ 171 Apostila de Transmissão de Calor 6 Apostila de Transmissão de Calor 7 1) GENERALIDADES 1.1) INTRODUÇÃO Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de transmissão de calor. O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores. Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental. Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica.. A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio. É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da Termodinâmica. Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano. Apostila de Transmissão de Calor 8 1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x (Fig. 1.4) Fig. 1.4 Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrerá um determinado momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua temperatura com o tempo. Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmissão de calor. Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou permanente; são esses os dois regimes de transmissão de calor. O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma- se denominar regime periódico. Apostila de Transmissão de Calor 9 É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que sai. 1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação. Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, na realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor. O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor,no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo, autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável. Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria. 1.3.1) Transferência de Calor por Condução Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura. Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura ≈ A q x T ∂ ∂ Quando a constante de proporcionalidade é inserida x TkAq ∂ ∂−= 1-1 Apos onde direç mate term indic hom sign impo que Inter gove de p regim é sim para com situa varia elem stila de Tra e q é a ta ção do flux erial, send modinâmica cado no sis A equa menagem a ificativas ortante obs k tem u rnacional d O probl erna a tran partida. Conside me perman mples dev a a solução o tempo, ação é ma ar com o mento de e ansmissão axa de tra xo de calo do o sinal a, ou seja, stema de c Fig ação 1-1 ao físico m ao tratam servar que nidade de de Unidade ema a se nsferência ere o sistem nente, isto vendo-se s o nas quan , ou se ex ais compli tempo e spessura d o de Calor nsferência or. A const de meno o calor de coordenada g. 1-1 Esque é chamad matemátic mento ana e a Eq. 1-1 e watt po es (SI). r tratado a de calor a ma unidim o é, se a te somente in ntidades de xistem fon cada. Con fontes de dx, o segu a de calor tante posit os inserido eve fluir no as da Fig. ema mostra da de lei o francês lítico da é a equaç or metro agora é o através de mensional m emperatura ntegrar a E esejadas. E tes ou su nsideremos calor pod inte balanç e ∂T/∂x é tiva k é ch o para sa sentido da 1-1 ando a direç de Four Joseph F transferên ção de def por grau da determ um sólido mostrado n a não varia Eq. 1-1 e Entretanto midouros s o caso dem ocorr ço de ener é o gradie hamada co atisfazer o a temperat ção do fluxo rier da co Fourier qu ncia de ca finição de c Celsius [ minação d o utilizando na Fig. 1-2 a com o te substituir , se a tem de calor n geral ond rer no inte rgia pode s nte de tem ondutividad segundo tura decre de calor ondução d ue trouxe alor por condutivida W/(m.oC)] da equação o a Eq. 1-1 2. Se o sist mpo, entã os valores peratura d no interior de a temp erior do co ser feito: mperatura de térmica princípio scente, co de calor, contribuiçõ condução. ade térmic no Siste o básica q 1 como po tema está o o proble s apropriad o sólido va do sólido peratura po orpo. Para 10 na do da omo em ões . É ca e ema que onto em ema dos aria o, a ode a o Apostila de Transmissão de Calor 11 Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento = variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: Energia conduzida para dentro pela face esquerda: x TkAqx ∂ ∂−= Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx Variação da energia interna: dxTcAE τ∂ ∂ρ=∆ Energia conduzida para fora pela face direita: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂−=∂ ∂−= ++ dxx Tk xx TkA] x TkAq dxxdxx onde q& = energia gerada por unidade de volume c = calor específico do material ρ = densidade A combinação das relações acima fornece: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂−τ∂ ∂ρ=+∂ ∂− dx x Tk xx TkAdxTcAAdxq x TkA & ou τ∂ ∂ρ=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Tcq x Tk x & 1-2 Apostila de Transmissão de Calor 12 Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a: Fig.1.3 τ+++=+++ +++ d dEqqqqqqq dzzdyydxxgerzyx sendo as quantidades de energia dadas por x Tkdydzqx ∂ ∂−= dydzdx x Tk xx Tkq dxx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂−=+ y Tkdxdzqy ∂ ∂−= dxdzdy y Tk yy Tkq dyy ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂−=+ z Tkdxdyqz ∂ ∂−= dxdydz z Tk zz Tkq dzz ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂−=+ dxdydzqqger &= τ∂ ∂ρ=τ Tcdxdydz d dE Assim a equação geral tridimensional da condução fica: Apostila de Transmissão de Calor 13 τρ ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ Tcq z Tk zy Tk yx Tk x & 1.3 Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita τα ∂ ∂=+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ T k q z T y T x T 1 2 2 2 2 2 2 & 1.4 onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida. Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no desenvolvimento. Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse prático. Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor) 02 2 = dx Td 1.5 Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor 02 2 =+∂ ∂ k q x T & 1.6 Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor 02 2 2 2 =∂ ∂+∂ ∂ y T x T 1.7 1.3.1.1) Condutividade Térmica A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética Apostila de Transmissão de Calor 14 podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores observados experimentalmente. Em alguns casos existemteorias para o cálculo da condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto. O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia através de colisões com moléculas de energia mais baixa. Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius [W/(m.oC)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material. Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta kRTv = ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.) O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma forte influência na troca de energia no processo de colisão. A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos. Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até aproximadamente –250oC). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores Apostila de Transmissão de Calor 15 isolantes. O sistema é evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.oC). 1.3.2 Transferência de Calor por Convecção É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos. Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e mostrada a sua relação com o processo de condução. Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa. Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede. Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido; uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante. Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade; conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência de calor na parede é um processo de condução. O efeito global da convecção pode ser expresso através da lei de Newton do resfriamento q = h.A.(Tp - T∞) 1.8 Apostila de Transmissão de Calor 16 Fig. 1-5 transferência de calor por convecção Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro. Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade). Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de transferência de energia na região junto à parede. Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção 1.3.3) Transferência de Calor por Radiação Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiaçãoeletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica. Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à diferença T4. Assim q = σ.A.(T14 – T24) 1-9 Apostila de Transmissão de Calor 17 Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan- Boltzmann que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan- Boltzmann da radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade. Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a lei T4. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é proporcional a T4. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos fatores na Eq. 1-9 q = Fε.FG.σ.A.(T14 – T24) 1.10 onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção. Apostila de Transmissão de Calor 18 2) CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 2.1) INTRODUÇÃO Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados destas simplificações. 2.2) A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta ( )12 TTx kAq −∆−= 2-1 para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é ( ) ( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −+−∆−= 212212 2 TTTTxAkq o β 2.2 Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito c 34 c B 23 B A 12 A x TTAk x TTAk x TTAkq ∆ −−=∆ −−=∆ −−= Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por Ak/xAk/xAk/x TTq cCBBAA 41 ∆+∆+∆ −= 2-3 Apos Four com resis de c que F F stila de Tra Aqui é c rier. A tax binação d stência a e calor, e a e é uma rela Fig. 2-1 Tran Fig. 2-2 Tran ansmissão convenient xa de tran da condutiv este fluxo. quação de ação seme nsferência d nsferência d o de Calor te introduz nsferência vidade tér A tempera e Fourier p de Fluxo elhante à le de calor unid de calor em s zir um pont de calor rmica, esp atura, e a f ode ser es R Difcalor e = ei de Ohm dimensional elétr série e em p analogia to de vista pode ser pessura do função pot scrita ea Resistênci p deferença na teoria d l através de rica paralelo atra elétrica. conceitua considera o material encial, ou elétrica potencial de circuitos uma parede avés de uma al diferente ada como , e a área motora, pa s elétricos e composta a parede co e para a lei um fluxo a como u ara este flu 2-4 . a e analogia mposta e a 19 de o, a uma uxo Apostila de Transmissão de Calor 20 Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a lado agem como três resistências térmicas em série. A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita ∑ ∆= t total R Tq 2-5 onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais. É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a obtenção de uma solução. 2.3) ISOLANTES E O FATOR R Para classificação de desempenho de um isolamento, é prática comum na industria de construção a utilização de um fator R, definido como Aq TR ∆= 2-6 Observe que isto difere do conceito de resistência térmica discutido acima, pois aqui é usado um fluxo de calor por unidade de área. 2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura(Ti – Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada é r. Apostila de Transmissão de Calor 21 Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é Ar = 2πrL E, portanto a lei de Fourier fica dr dTkAq rr −= ou dr dTkrL2q r π−= 2-7 com as condições de contornoT =Ti em r = ri T = Te em r = re A solução da Eq. 2-7 é ( ) ( )ie ei rr TTkL q ln 2 −= π 2-8 e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2- 4 a solução é Apostila de Transmissão de Calor 22 ( ) ( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr TTL q 342312 41 lnlnln 2 ++ −= π 2-9 O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então ei ei r1r1 )TT(k4q − −π= 2-10 2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em um dos lados. O calor transferido é dado por ( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTTx kATTAhq −=−∆=−= Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas AhkAxAh TT q BA 21 11 +∆+ −= 2.11 Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U, definido pela relação totalTUAq ∆= 2.12 Apostila de Transmissão de Calor 23 onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o coeficiente global de transferência de calor é 21 11 1 hkxh U +∆+= A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos. Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor é dado por ( ) ee ie ii BA AhkL rr Ah TT q 1 2 ln1 ++ −= π 2.13 de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa. ( ) ee iiei i i hA A kL rrA h U 1 2 ln1 1 ++ = π 2-14 ( ) e iee ii e e hkL rrA hA A U 1 2 ln1 1 ++ = π 2-15 2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada Apostila de Transmissão de Calor 24 em Ti, e a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor transferido vale Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento ( ) ( ) hrk rr TTLq e ie i 1ln 2 + −= ∞π 2-16 Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é ( ) ( ) 2 2 1ln 112 0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− == ∞ hrk rr hrkr TTL dr dq e ie ee iπ que fornece como resultado h kre = 2.17 A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto aumenta a superfície externa do isolamento. 2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente Apostila de Transmissão de Calor 25 reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial. 2.7.1) Parede plana com geração de calor Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é 02 2 =+ k q dx Td & 2-18 Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto é, T = Tp em x = .L 2-19 A solução geral da Eq.2-18 é 21 2 2 CxCx k qT ++−= & 2-20 Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20 To = C2 Portanto, a distribuição de temperatura é 2 2 x k qTT o &−=− 2-21ª 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=− − L x TT TT op o 2-21b que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio To pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim, LAq dx dTkA Lx 22 &=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤− = Apostila de Transmissão de Calor 26 onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b: ( ) ( ) L TT L xTT dx dT op Lx op Lx 22 2 −=⎥⎦ ⎤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=⎥⎦ ⎤ == Então ( ) Lq L TTk op &=−− 2 e po Tk LqT += 2 2& 2-22 Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor 2.7.2) Cilindro com Geração de Calor Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial apropriada pode ser obtida da equação 012 2 =++ k q dr dT rdr Td & 2-23 As condições de contorno são T = Tp em r = R e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície Apostila de Transmissão de Calor 27 Rrdr dTRLkLRq = ⎥⎦ ⎤−= ππ 22& Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se especificar que 0= dr dT em r = 0 Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas.A Eq. 2-23 pode ser escrita k rq dr dT dr Tdr &−=+2 2 sendo que ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+ dr dTr dr d dr dT dr Tdr 2 2 Portanto a integração fornece 1 2 2 C k rq dr dTr +−= & e 21 2 ln 4 CrC k rqT ++−= & Da segunda condição de contorno acima, R C k Rq k Rq dr dT Rr 1 22 +−=−=⎥⎦ ⎤ = && e, portanto C1 = 0 A solução final para a distribuição de temperatura é ( )22 4 rR k qTT p −=− & 2-24 ou, na forma adimensional 2 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=− − R r TT TT po p onde To é a temperatura em r = 0 dada por Apostila de Transmissão de Calor 28 po Tk RqT += 4 2& 2.8) SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido(ou fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em aplicações de trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático. Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no Capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns problemas simples de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja temperatura é T∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta é To. Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim Fig. 2-9 Aleta retangular Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita + energia perdida por convecção A equação que define o coeficiente de calor por convecção é q = hA(Tp - T∞,) 2-29 Apostila de Transmissão de Calor 29 onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja A a área transversal da aleta e P o seu perímetro. Portanto, as quantidades de energia são Energia entrando pela face esquerda: dx dTkAqx −= Energia saindo pela face direita ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−=⎥⎦ ⎤−= + + dxdx Td dx dTkA dx dTkAq dxx dxx 2 2 Energia perdida por convecção ( )∞−= TThPdxq A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de energia fica ( ) 02 2 =−− ∞TTkA hP dx Td Este resultado é escrito mais compactamente na forma 0)()( 22 2 =− xm dx xd θθ 2.30 onde m2 = hP/(Ak) θ(x) = T(x) - T∞ A Eq. 2.30 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta. Uma vez conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da aleta é facilmente determinado. A Eq. 2.30 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma θ(x) = C1e-mx + C2emx 2.31 onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas no problema da aleta. A solução da Eq. 2.31 é a mais conveniente para utilizar na resolução da equação da aleta 2.30, no caso de uma aleta longa. Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser construídos pela combinação de e-mx e emx , é possível exprimir a solução 2.31 nas seguintes formas alternativas θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx 2.32a θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x) 2.32b Apostila de Transmissão de Calor 30 A solução dada pelas Eq. 2.32 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito. A distribuição de temperatura θ(x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq. 2.31 ou da Eq. 2.32, se as constantes de integração C1 e C2 forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da aleta e a outra no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é conhecida, isto é θ(0) = To - T∞ = θ o 2.33 onde To é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são possíveis no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes condições: Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente. Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na ponta, e, assim dT/dx = 0 Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua extremidade. 2.8.1) Aletas Longas Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura T∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a formulação matemática do problema das aletas é 0)()( 22 2 =− xm dx xd θθ em x > 0 2.34a θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.34b θ(x) → 0 em x → ∞ 2.34c onde m2 = Ph/Ak. A solução é obtida na forma da Eq. 2.31 θ(x) = C1e-mx + C2emx 2.35 A condição de contorno 2.34c exige que C2 = 0, e a aplicação da condição de contorno 2.34b dá C1 = θo. Então, a resolução se torna ( ) ( ) mx oo e TT TxTx − ∞ ∞ =− −=θ θ 2.36 Apostila de Transmissão de Calor 31 que é a solução mais simples do problema da aleta. Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equação ( ) 0= ⎥⎦ ⎤−= xdx xdAkQ θ 2.37 Derivando-se a Eq. 2.36 em função de θ(x) e substituindo o resultado na Eq.2.37, obtém-se PhkAmAkQ oo θθ == 2.38 uma vez que )/(kAPhm = 2.8.2) Aletas com Perda de Calor Desprezível na Ponta A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais, e a condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é dθ/dx = 0 em x = L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se torna 0)()( 22 2 =− xm dx xd θθ em Lx ≤≤0 2.39a θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.39b ( ) 0= dx xdθ em x = L 2.39c Escolhemos a solução na forma da Eq. 2.32b θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 2.40 A razão desta escolha está em que a solução 2.40 tem uma forma na qual uma das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições de contorno. De fato, a condição de contorno (2.39c) exige que C2 = 0; então, a aplicação da condição de contorno (2.39b) dá C1 = θo/cosh mL, e a solução se torna Apostila de Transmissão de Calor 32 ( ) ( ) ml xLm TT TxTx oo cosh )(cosh −=− −= ∞ ∞ θ θ 2.41 A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a solução Eq 2.41 na Eq 2.37. Assim, obtemos Q = Akθom tg mL = mL tgPhkAoθ2.42 2.8.3) Aletas com Convecção na Ponta Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a formulação matemática do problema da condução de calor se torna 0)()( 22 2 =− xm dx xd θθ em Lx ≤≤0 2.43ª θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.43b 0)()( =+ xh dx xdk eθθ em x = L 2.43c onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente. A solução é escolhida na forma da Eq. 2.32b θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 2.44 A aplicação das condições de contorno 2.43b e 2.43c, respectivamente, nos dá θo = C1 cosh mL + C2 senh mL 2.45ª e -k C2m + he C1 = 0 2.45b uma vez que ( ) senhmLmkhmL xLsenhmmkhxLm TT TxTx e e oLxo )/(cosh )()/()(cosh)( + −+−=− −= ∞ ∞ =θ θ 2.46 A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq. 2.37. Então, vem Apostila de Transmissão de Calor 33 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + += senhmLmkhmL mLmkhsenhmL PhkAq e e o )/(cosh cosh)/(θ 2.47 2.9) EFICIÊNCIA DA ALETA Na análise precedente, consideramos somente aletas de seção reta uniforme. Em numerosas aplicações, são utilizadas aletas de seção reta variável. A determinação da distribuição de temperatura, e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante complicada, e fica além do objetivo desse curso. Entretanto, a análise de transferência de calor foi realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas, e os resultados foram apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da aleta η definido pela relação entre a transferência real de calor através da aleta e transferência ideal de calor através de uma aleta, se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura To da base da aleta ideal aleta Q Q=η 2.48 Aqui, Qideal é dado por ofideal haQ θ= 2.49a onde, af = área de superfície da aleta h = coeficiente de transferência de calor θo = To - T∞ Portanto, se a eficiência da aleta η for conhecida, a transferência de calor Q através da aleta é denominada pela relação ofidealaleta haQQ θηη == 2.49b As gráficos 2.1 e 2.2 mostram a efeciência da aleta num gráfico em função do parâmetro )/(2 kthL com geometrias típicas de aletas. O gráfico 2.1 mostra a eficiência de aletas axiais em que a espessura da aleta varia com a distância x em relação à base da aleta, onde a espessura é t. O gráfico 2.2 é a eficiência de aletas em forma de disco circular de espessura constante. Nas aplicações práticas, uma superfície aletada, no que se refere à trasferência de calor, é composta pelas superfícies das aletas e pela fração lisa. A transferência de calor, Qtotal, desta superfície é obtida somando-se a transferência de calor através das aletas com a da fração lisa Qtotal = Qaleta + Qfração lisa = ηafhθo + (a – af)hθo 2.50 Apostila de Transmissão de Calor 34 Onde a = área total de transferência de calor (isto é, superfícies das aletas + superfície lisa) af = área de transferência de calor das aletas. A equação pode ser escrita mais compactamente como ( )[ ] oototal ahahQ θηθβηβ ′≡−+= 1 2.51 onde =−+≡′ ββηη 1 rendimento da aleta ponderada pela área a a f=β Embora a colocação de aletas numa superfície aumente a área da superfície de transferência de calor, aumenta também a resistência térmica sobre a fração da superfície onde as aletas foram fixadas. Por isso, podem haver situações em que a colocação de aletas não aumenta a transferência de calor. Como guia prático a razão Pk/(Ah) deve ser muito maior que a unidade, para justificar o emprego de aletas. No caso de aletas em forma de placas, por exemplo, P/A ≅ 2/t; então Pk/(Ah) se torna [2(k/t]h, implicando que a condutância interna da aleta deve ser muito maior que o coeficiente de transferência de calor para que as aletas aumentem a taxa de transferência de calor Apostila de Transmissão de Calor 35 Apos 3 TEM temp ante distr posiç com temp hipó temp glob calo temp 3.1) cond To, q uma cons conv distr unifo exclu sólid stila de Tra CONDU MPERA Se a te peratura no es que seja ribuição de ção como a posição peratura fu tese é a po, a análi al de cond O empr r transient peratura va ANÁLISE Conside dutividade que é repe a temperat siderado. vecção, co ribuição de orme, de usiva do t do pode se Fig.3.1 No ansmissão UÇÃO ATURA emperatura o interior d a atingida e temperatu com o tem o é despre unção excl análise gl ise é muito dução trans rego de ca te, simple aria com o GLOBAL ere um só térmica k, entinament tura unifor A transfe om um c e temperatu tal modo tempo, isto er escrita co omenclatura o de Calor TRANS a da face do sólido p a distribui ura é assu mpo. Em m ezível dura lusiva do t lobal do s o simples. siente de c artas de te es, numa tempo e c L DO SISTE ólido de fo , densidad te imerso, me T∞. A rência de coeficiente ura dentro que a te o é, T(t). A omo a da análise SIENTE de um co principia a v ção de tem unto compl muitas aplic ante o est tempo. A a sistema; po Por isso, calor. emperatura placa, nu com a posi EMA orma arbit e ρ, calor no instant fig. 3-1 il calor en e de trans o do sólido, emperatura A equação e global do s E US orpo sólido variar com mperatura icado, pois cações prá tado trans análise da or ser a t neste cap a é ilustra m cilindro ção. trária, volu específico te t = 0, e lustra o si ntre o sól sferência , em qualq a de sólid o de ener sistema dura SO DE o for alter m o tempo. estacioná s a temper áticas, a v iente e, po a transferê temperatur pítulo, princ ado para re o ou numa ume V, á o cp, a uma em um fluid istema da ido e o de calor quer instan o pode se rgia na tra ante o fluxo E CAR rada repen Passa-se ária. A dete ratura varia ariação da or isso, co ncia de ca ra função cipiamos c esolver a a esfera, rea superf a tempera do agitado transferên líquido se h. Admi nte seja su er conside ansferência o transiente RTAS D ntinamente algum tem erminação a tanto com a temperat onsidera-se alor com e exclusiva com a aná condução nas quais ficial total tura unifor o e mantid ncia de ca e realiza te-se que ficienteme erada funç a de calor de calor 36 DE e, a mpo da m a tura e a esta do lise de s a A, rme o a alor por e a ente ção no Apostila de Transmissão de Calor 37 Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da energia interna do sólido de volume V. Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos, obtém-se: [ ] dt tdTVctTTAh p )()( ρ=−∞ 3.1 ou 0])([)( =−+ ∞TtTVc Ah dT tdT pρ em t > 0 3.2 sujeito à condição inicial T(t) = To em t = 0 Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t) θ(t)≡ T(t) - T∞ Então a equação 3-2 torna-se 0)()( =+ tm dt td θθ em t > 0 3-3 e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 onde definimos Vc Ahm pρ≡ 3.4 A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é dada por θ(t) = C e-mt 3.5 A aplicaçãoda condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura do sólido em função do tempo é mt oo e TT TtTt − ∞ ∞ =− −= )()(θ θ 3.6 A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce. Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o aumento da área superficial, para um dado volume, e o Apos coef dens ser c seja e o n onde ou c trans se Disc adm que sólid unifo maio stila de Tra ficiente de sidade, o c Para es considerad aplicável, número de e k é a co cilindro lon siente, em cutiremos mitiremos qu O signif é a razão do e a co orme no in or do que o ansmissão e transferê calor espec Fig. 3.2 A t stabelecer da uniform vamos de e Biot, Bi, c ndutividad go ou esfe qualquer mais adia ue a anális ficado físico entre o co ondutância nterior do s o coeficien o de Calor ncia de c cífico, ou o temperatura alguns cr me no inter efinir um co como e térmica era, a dist instante, é ante este se global d o do núme B oeficiente a específic sólido é vá te de trans alor provo o volume, h a adimensio itérios com ior do sólid omprimento do sólido. tribuição d é uniforme Bi assunto, do sistema ero de Biot ss Lk hBi = de transfe ca do sóli álida se a sferência c ocam o au haverá dim onal θ(t)/θo e m que a d do, e com o caracterí A VLs = k hLBi s= Em sólido de tempera e, com um ,0≤= s s k hL que se t é aplicáve visualiza-s erência de ido. Porta condutânc convectiva umento de minuição de em função d istribuição que a an ístico Ls co s os que ten atura dentr erro meno 1 tornará en el nas situa se melhor convectiva nto, a hip cia especí de calor. e m. Aume e m. do tempo. de tempe álise globa omo nham a for ro do sólid or do que ntão mais ações em q se for esc a calor na pótese de fica do só entando-se eratura pos al do siste rma de pla do, no esta cerca de 5 claro. Aq que Bi < 0, rito na form superfície temperat lido for mu 38 e a ssa ema 3.7 3.8 aca, ado 5%, 3.9 qui, ,1. ma do tura uito Apos 3.2) front quan fluxo To. supe pela coef cont placa com Para Dess onde stila de Tra CONDIÇÃ Na disc teiras da ndo parte d o de calor, Conside Em qualqu erfícies com outra su ficiente de torno do pr Fig. 3.3 N Vamos a. O balan a condiçã a conveniê sa forma, a e definimos ansmissão ÃO DE CO cussão pr região est da fronteir como vam ere uma pl uer instan m uma co uperfície, transferên roblema. Nomenclatur admitir áre nço de ene ão inicial ência na an as Eqs. = 3 s o de Calor ONTORNO recedente, tavam suje ra está suje mos ilustrar laca de es nte t > 0, nstante de para um ncia de cal ra para anál eas iguais rgia, neste AAq + nálise, defin 3.10 são e dt td )(θ θ(t) = m ρ≡ MISTA , consider eitas a co eita a conv r agora. spessura L fornece-se e q (W/m2) ambiente or h. A fig lise global d s A na tran e caso part tTTAh )([ −∞ Thq [ −+ ∞ T(t) = To nimos uma θ(t) = T escritas tm =+ )() θ To - T∞ ≡ θ Lc h pρ e ramos um onvecção. vecção e o L, inicialme e calor à ), enquanto com tem . 3.3 mostr do fluxo tran nsferência ticular dá ALcp)] ρ= ctT )]( ρ=− em t = a nova tem T(t) - T∞ Q θo Q ρ≡ ma situaçã Este méto o restante ente a uma placa atra o se dissip mperatura ra a geom nsiente de c de calor e dt tdT )( dt tdTLcp )( = 0 mperatura θ em t > 0 em t = 0 Lc q pρ ão em qu odo també está sujeit a temperat avés de u pa calor po uniforme etria e as calor em um em ambas em t > θ(t) ue todas ém se ap to a um ce tura unifor uma de su or convecç T∞ com condições a placa. s as faces > 0 3-1 3-1 3-1 3-1 39 as lica erto rme uas ção um de da 10a 10b 11a 11b Apostila de Transmissão de Calor 40 A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução particular na forma θ(t) = Ce-mt + θp 3-12 onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por m Q p =θ 3-13 Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos m QCet mt += −)(θ 3-14 A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como m QCo +=θ 3-15 Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de calor: ( ) m Qeet mtmto −− −+= 1)( θθ ou ( ) h qeet mtmto −− −+= 1)( θθ 3-16 Para t → ∞, esta solução simplifica-se em ( ) h q m Q ==∞θ 3-17 que é a temperatura estacionária da placa. 3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado. Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos, com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias Apostila de Transmissão de Calor 41 obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego. Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t = 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contornode fig. 3.4b, é dada por (a) (b) Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa. t T x T ∂ ∂=∂ ∂ α 1 2 2 em 0 < x < L, e t > 0 3.18a 0=∂ ∂ x T em x = 0, e t > 0 3.18b ∞=+∂ ∂ hThT x Tk em x = L, e t > 0 3.18c T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d 3.3.1) Equações Adimensionais O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais: aladimensiona temperatur),( =− −= ∞ ∞ TT TtxT i θ 3.19a Apostila de Transmissão de Calor 42 aladimension coordenada== L xX 3.19b Biotde número== k hLBi 3.19c Fourierde número ou al,adimension tempo2 == L tατ 3.19d Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em τ θθ ∂ ∂=∂ ∂ 2 2 X em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a 0=∂ ∂ X θ em X = 0, e τ > 0 3.20b 0=+∂ ∂ θθ Bi X em X = 1, e τ > 0 3.20c θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se a equação 3.19d for reordenada na forma C W/,L volumeno L de longo ao calor de retenção de taxa C W/,L volumeno L de longo ao calor de condução de taxa / )/1( o3 o3 3 2 2 === tLc LLk L t pρ ατ 3.21a Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier, mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo. O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for escrita na forma L ocompriment no sólido do acondutânci sólido do superfície nacalor de ncia transferêde ecoeficient / === Lk h k hLBi 3.21b Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a condutância do sólido sobre o comprimento característico. Apostila de Transmissão de Calor 43 Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20, concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito seguintes parâmetros físicos: x, t, L, k, α, h, Ti, T∞ Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três seguintes parâmetros adimensionais: X, Bi, e τ Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso, é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referência rápida. 3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To, saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa. Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi < 0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado Apos para Fig am A F adim Q re dura stila de Tra a que a aná g. 3.5 Carta d mbas as face Fig.3.6 Mo mensional, epresenta ante a trans ansmissão álise globa de temperat es. (a) Temp ostra o c em vários a quantid sferência d o de Calor al do sistem turas transie peratura To calor adim valores do dade total de calor. A Qo = ρcp ma fosse a entes numa no plano ce com a pa mensional o número d de energ A quantidad pV(Ti - T∞) plicável. placa de es entral x=0; (b arte (a). transferid de Biot, nu gia perdida de Qo, defin spessura 2L b) correção o Q/Qo e uma placa a pela pla nida como L sujeita a co de posição em função de espess aca até ce 3. onvecção e o para utiliza o do tem sura 2L. Aq erto tempo 22 44 m ar mpo qui, o t, Apos repre 3.4) TEM trans ser c 3.4.1 raio supe h pa mate stila de Tra esenta a e Fig. CILINDRO MPERATUR A distrib sferência d calculados 1) Carta de Conside b, inicialm erfície em ara um am emática de ansmissão energia inte 3.6 Calor a O LONGO RAS TRAN buição das de calor, s nos casos e Tempera ere a cond mente a um r = b é suj mbiente à este proble R 1 ∂ ∂ ∂ ∂ θ = 1 o de Calor erna inicial dimensiona E ESFER NSIENTES s tempera semelhante s de um cil aturas Tra ução de ca ma tempera jeita a con à temperat ema de con θ⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ R R RR 0= R θ 0=+∂ ∂ θθ Bi R da placa n al transferido RA – EMPR S aturas adim es aos que lindro long ansientes alor, unidim atura unifo vecção, co tura T∞ e ndução de τ θ ∂ ∂=⎠ ⎞ 0 em na tempera o Q/Qo num REGO DAS mensionais e estão na o e no de num Cilin mensional, orme Ti. Re om um coe mantida calor é da em 0 em R em R m 0 ≤ R ≤ 1 atura amb ma placa de S CARTAS s transient as Figs 3.5 uma esfer ndro Long , transiente epentinam eficiente de assim em ada em form < R < 1, e R = 0, e τ > R = 1, e τ > 1, e τ = 0 iente. espessura 2 S DE tes e os r 5 e 3.6, tam ra. o e, num cilin ente, no te e transferê m t > 0. A ma adimen e τ > 0 > 1 0 2L. resultados mbém pod ndro longo empo t = 0 ência de ca A formulaç nsional com 3.2 3.2 3.2 3.2 45 da dem o de 0, a alor ção mo 23a 23b 23c 23d Apostila de Transmissão de Calor 46 onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte == k hbBi número de Biot 3.24a == 2b tατ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b ( ) =− −= ∞ ∞ TT TtrT i ,θ temperatura adimensional 3.24c == b rR coordenada radial adimensional 3.24d O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b. Apostila de Transmissão
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