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Transmissão de Calor - UFSM

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizado por: 
 Prof. Ademar Michels 
Aluno Msc. Maruí Samuel F. dos Santos 
Aluno Grad. Anderson Fávero Porte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS, Brasil 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
2
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
3
Sumário: 
 
 
1) GENERALIDADES ____________________________________________ 7 
1.1) Introdução ________________________________________________ 7 
1.2) Regimes de Transmissão de Calor _____________________________ 8 
1.3) Formas de Transmissão de Calor ______________________________ 9 
1.3.1) Transferência de Calor por Condução _______________________ 9 
1.3.2 Transferência de Calor por Convecção ______________________ 15 
1.3.3) Transferência de Calor por Radiação ____________________ 16 
2) CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE ________ 18 
2.1) Introdução _______________________________________________ 18 
2.2) A Parede Plana ___________________________________________ 18 
2.3) Isolantes e o Fator R _______________________________________ 20 
2.4) Sistemas Radiais – Cilindros ________________________________ 20 
2.5) O Coeficiente Global de Transferência de Calor _________________ 22 
2.6) Espessura Crítica de Isolamento _____________________________ 23 
2.7) Sistemas com Geração de Calor _____________________________ 24 
2.7.1) Parede plana com geração de calor _______________________ 25 
2.7.2) Cilindro com Geração de Calor ___________________________ 26 
2.8) Sistemas com Condução e Convecção – Aletas _________________ 28 
2.8.1) Aletas Longas _________________________________________ 30 
2.8.2) Aletas com Perda de Calor Desprezível na Ponta _____________ 31 
2.8.3) Aletas com Convecção na Ponta __________________________ 32 
2.9) Eficiência da Aleta_________________________________________ 33 
3 CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA ___ 36 
3.1) Análise Global do Sistema __________________________________ 36 
3.2) Condição de Contorno Mista ________________________________ 39 
3.3) Placa – Emprego das Cartas de Temperatura Transiente __________ 40 
3.3.1) Equações Adimensionais ________________________________ 41 
3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa ______________ 43 
3.4) Cilindro Longo e Esfera – Emprego das cartas de temperaturas 
transientes __________________________________________________ 45 
3.4.1) Carta de Temperaturas Transientes num Cilindro Longo _______ 45 
3.4.2) Carta de Temperaturas Transientes numa Esfera _____________ 47 
4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS ______________ 50 
4.1) Escoamento Sobre um Corpo ________________________________ 51 
4.1.1) Camada Limite Cinética _________________________________ 51 
4.1.2) Coeficiente de Arraste e Força de Arraste ___________________ 53 
4.1.3) Camada Limite Térmica _________________________________ 54 
4.1.4) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 55 
4.1.5) Relação entre cx e h(x) __________________________________ 56 
4.2) Escoamento no Interior de um Duto ___________________________ 57 
4.2.1) Camada Limite Cinética _________________________________ 57 
4.2.2) Fator de Atrito e Perda de Carga __________________________ 58 
4.2.3) Camada Limite Térmica _________________________________ 60 
4.2.4) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 61 
4.3) Parâmetros Adimensionais __________________________________ 63 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
4
4.4) Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de 
temperatura _________________________________________________ 64 
5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 65 
5.1) Escoamento no Interior de um Tubo Circular ____________________ 65 
5.1.1) Fator de Atrito _________________________________________ 65 
5.1.2) Coeficiente de Transferência de Calor. _____________________ 67 
5.1.3) Fluxo de Calor Constante. _______________________________ 68 
5.1.4) Parede com Temperatura Constante. ______________________ 70 
5.1.5) Estimativa das Propriedades Físicas. ______________________ 70 
5.1.6) Média Logarítmica e Média Aritmética das Diferenças de 
Temperaturas. _____________________________________________ 71 
5.2) Escoamento no Interior de Dutos com Diversas Seções Retas 
Transversais _________________________________________________ 71 
5.2.1) Comprimentos da Entrada Hidrodinâmica e da Térmica ________ 71 
5.3 Escoamento Turbulento no Interior de Dutos ____________________ 74 
5.3.1) Fator de Atrito e Perda de Carga __________________________ 74 
5.4) Coeficiente de Transferência de Calor _________________________ 76 
5.4.1) Equação de Colburn. ___________________________________ 76 
5.4.2) Equação de Dittus-Boelter. ______________________________ 77 
5.4.3) Equação de Sieder e Tate. _______________________________ 77 
5.4.4) Equação de Petukhov. __________________________________ 77 
5.4.5) Equação de Nusselt. ___________________________________ 78 
5.4.6) Equação de Notter e Sleicher. ____________________________ 78 
5.5) Transferência de Calor nos Metais Líquidos ____________________ 79 
5.5.1) Fluxo de Calor Uniforme nas Paredes ______________________ 80 
5.5.2) Temperatura Uniforme nas Paredes _______________________ 80 
6) CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS ______ 82 
6.1) Coeficiente de Transferëncia de Calor no Escoamento Sobre Uma Placa 
Plana ______________________________________________________ 82 
6.1.1) Metais Líquidos num Escoamento Laminar __________________ 82 
6.1.2) Fluidos Ordinários em Escoamento Laminar _________________ 86 
6.1.3) Escoamento Turbulento _________________________________ 91 
6.2) Escoamento Transversal a um Cilindro Circular Isolado ___________ 93 
6.2.1) Coeficiente de Arraste __________________________________ 94 
6.2.2) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 95 
6.3) Escoamento em torno de uma esfera isolada ___________________ 98 
6.3.1) Coeficiente de Arraste __________________________________ 98 
6.3.2) Coeficiente de Transferência de Calor ______________________ 99 
6.4) Escoamento através de feixes de tubos _______________________ 100 
7) TROCADORES DE CALOR ___________________________________ 103 
7.1) Classificação dos Trocadores de Calor _______________________ 103 
7.1.1) Classificação pelo Processo de Transferência ______________ 104 
7.1.2) Classificação de Acordo com a Compacticidade _____________ 105 
7.1.3) Classificação pelo Tipo de Construção ____________________ 106 
7.1.4) Classificação Segundo a Disposição das Correntes __________ 111 
7.1.5) Classificação pelo Mecanismo de Transferência de Calor _____ 113 
7.2) Distribuição de Temperatura nos Trocadores de Calor ___________ 115 
7.3) Coeficiente de Transferência de Calor Global __________________ 118 
7.3.1) Fator de Incrustação __________________________________ 120 
7.4) O Método DTML para Análise dos Trocadores de Calor __________ 122 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
5
7.5) Correção da DTML em Trocadores com Correntes Cruzadas e 
Multipasse _________________________________________________ 125 
7.6) Método ε -NUT para Análise dos Trocadores de Calor ___________ 127 
7.6.2) Relação ε -NUT ______________________________________ 130 
7.6.3) Significado Físico do NUT ______________________________ 132 
7.6.4) Emprego das relações ε -NUT ___________________________ 133 
7.6.5) Problema do Dimensionamento. _________________________ 134 
7.7) Trocadores de Calor Compactos ____________________________ 135 
7.7.1) Perda de Carga em Trocadores com Aletas de Chapa Contínua 138 
7.7.2) Perda de Carga em Trocadores de Tubos Aletados __________ 139 
7.8)Otimização dos Trocadores de Calor _________________________ 139 
7.8.1) Problema do Cálculo da Capacidade ______________________ 141 
7.8.2) Problema de Dimensionamento __________________________ 141 
7.8.3) Problema da Otimização _______________________________ 141 
8) RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE ____________ 142 
8.1) Natureza da radiação térmica _______________________________ 142 
8.2) Radiação do corpo negro __________________________________ 144 
8.2.1) Poder Emissivo do Corpo Negro _________________________ 146 
8.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann _______________________________ 148 
8.2.3) Funções de Radiação do Corpo Negro ____________________ 150 
8.3) Propriedades Radiantes das Superfícies ______________________ 151 
8.3.1) Lei de Kirchhoff ______________________________________ 153 
8.3.2) Corpo Cinzento_______________________________________ 154 
8.3.3) Emissividade ________________________________________ 155 
8.3.4) Poder de Absorção ____________________________________ 155 
8.3.5) Refletividade _________________________________________ 156 
8.3.6) Poder Transmissor ____________________________________ 156 
8.4) Radiação Solar __________________________________________ 157 
8.4.1) Radiação Solar que Chega à Terra _______________________ 159 
8.5) Conceito de Fator de Forma ________________________________ 160 
8.5.1) Fator de Forma entre duas Superfícies Elementares _________ 161 
8.5.2) Fator de Forma de Superfícies Finitas _____________________ 162 
8.5.3) Propriedades dos Fatores de Forma ______________________ 164 
8.6) Métodos para Determinar Fatores de Forma ___________________ 165 
8.6.1) Álgebra dos Fatores de Forma ___________________________ 171 
 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
6
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
7
1) GENERALIDADES 
 
1.1) INTRODUÇÃO 
 
Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, 
inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de 
energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno 
dá-se o nome de transmissão de calor. 
O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a 
transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental 
importância, para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de 
conhecimento. Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração 
de motores, de ventilação, ar condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode 
dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos 
pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos de fornos ou de regeneradores. 
Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência 
em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores, 
enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o 
Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, 
máquinas térmicas, etc. Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em 
países frios, sentem a importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores 
nas alvenarias das edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes 
de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental. 
Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a 
Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia. 
Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar 
recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se 
perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica.. 
A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com 
sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o 
mecanismo, a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o 
equilíbrio. 
É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a 
segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos 
básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis 
fundamentais da Termodinâmica. 
Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da 
maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença 
de temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor 
potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de 
potencial; percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e 
elétrico, o que é absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e 
pode ser, inclusive, estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, 
quantidade de movimento, etc., resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes 
leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano. 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
8
1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente 
isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma 
temperatura Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado 
instante, eleva-se subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de 
calor na direção x (Fig. 1.4) 
 
 
Fig. 1.4 
 
 
Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para 
cada instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um 
mesmo ponto de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do 
tempo, daí as curvas para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, 
ocorrerá um determinado momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção 
reta não mais variarão sua temperatura com o tempo. 
Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder 
as formas de transmissão de calor. 
Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura 
com o tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a 
temperatura do mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava 
regime estacionário ou permanente; são esses os dois regimes de transmissão de 
calor. 
O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as 
temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei, 
como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura 
de um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-
se denominar regime periódico. 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
9
É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em 
termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é 
constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação 
térmica e não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual 
ao fluxo de calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é 
variável nas diferentes seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é 
diferente do fluxo de calor que sai. 
 
 
1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação. 
Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, 
na realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito 
complexa a solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor. 
O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria 
ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de 
calor,no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não 
consideradas tenham presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados 
finais e oferecendo, autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um 
problema sem solução, dada a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá 
perceber no desenvolvimento de assunto, é em várias ocasiões, absolutamente 
dispensável. 
 Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de 
transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três 
citadas, para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança 
e categoria. 
 
 
1.3.1) Transferência de Calor por Condução 
 
Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra 
que ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa 
temperatura. Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência 
de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura 
 
≈
A
q
x
T
∂
∂
 
 
Quando a constante de proporcionalidade é inserida 
 
x
TkAq ∂
∂−= 1-1 
 
Apos
 
 
 
onde
direç
mate
term
indic
 
 
hom
sign
impo
que 
Inter
 
gove
de p
 
regim
é sim
para
com
situa
varia
elem
 
stila de Tra
e q é a ta
ção do flux
erial, send
modinâmica
cado no sis
A equa
menagem a
ificativas 
ortante obs
k tem u
rnacional d
O probl
erna a tran
partida. 
Conside
me perman
mples dev
a a solução
 o tempo,
ação é ma
ar com o 
mento de e
ansmissão
axa de tra
xo de calo
do o sinal
a, ou seja, 
stema de c
Fig
ação 1-1 
ao físico m
ao tratam
servar que
nidade de
de Unidade
ema a se
nsferência 
ere o sistem
nente, isto
vendo-se s
o nas quan
, ou se ex
ais compli
tempo e 
spessura d
o de Calor
nsferência
or. A const
 de meno
o calor de
coordenada
g. 1-1 Esque
é chamad
matemátic
mento ana
e a Eq. 1-1 
e watt po
es (SI). 
r tratado a
de calor a
ma unidim
o é, se a te
somente in
ntidades de
xistem fon
cada. Con
fontes de 
dx, o segu
a de calor 
tante posit
os inserido
eve fluir no 
as da Fig. 
ema mostra
da de lei 
o francês 
lítico da 
é a equaç
or metro 
agora é o 
através de 
mensional m
emperatura
ntegrar a E
esejadas. E
tes ou su
nsideremos
calor pod
inte balanç
e ∂T/∂x é
tiva k é ch
o para sa
sentido da
1-1 
ando a direç
 
 
de Four
Joseph F
transferên
ção de def
por grau 
 da determ
um sólido
mostrado n
a não varia
Eq. 1-1 e 
Entretanto
midouros 
s o caso 
dem ocorr
ço de ener
é o gradie
hamada co
atisfazer o 
a temperat
ção do fluxo 
rier da co
Fourier qu
ncia de ca
finição de c
Celsius [
minação d
o utilizando
na Fig. 1-2
a com o te
substituir 
, se a tem
de calor n
geral ond
rer no inte
rgia pode s
nte de tem
ondutividad
 segundo 
tura decre
de calor 
ondução d
ue trouxe 
alor por 
condutivida
W/(m.oC)] 
da equação
o a Eq. 1-1
2. Se o sist
mpo, entã
os valores
peratura d
no interior 
de a temp
erior do co
ser feito: 
mperatura 
de térmica 
princípio 
scente, co
de calor, 
contribuiçõ
condução.
ade térmic
no Siste
o básica q
1 como po
tema está 
o o proble
s apropriad
o sólido va
do sólido
peratura po
orpo. Para
10
na 
do 
da 
omo 
em 
ões 
. É 
ca e 
ema 
que 
onto 
em 
ema 
dos 
aria 
o, a 
ode 
a o 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
11
 
Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional 
 
 
Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do 
elemento = variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita. 
Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões: 
Energia conduzida para dentro pela face esquerda: 
 
x
TkAqx ∂
∂−=
 
 
Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx 
 
Variação da energia interna: dxTcAE τ∂
∂ρ=∆ 
 
Energia conduzida para fora pela face direita: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+∂
∂−=∂
∂−= ++ dxx
Tk
xx
TkA]
x
TkAq dxxdxx
 
 
onde q& = energia gerada por unidade de volume 
 c = calor específico do material 
 ρ = densidade 
 
A combinação das relações acima fornece: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+∂
∂−τ∂
∂ρ=+∂
∂− dx
x
Tk
xx
TkAdxTcAAdxq
x
TkA & 
ou τ∂
∂ρ=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ Tcq
x
Tk
x
& 1-2 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
12
 Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo 
de calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para 
dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, 
como mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a: 
 
 Fig.1.3 
 
 
τ+++=+++ +++ d
dEqqqqqqq dzzdyydxxgerzyx
 
 
sendo as quantidades de energia dadas por 
 
x
Tkdydzqx ∂
∂−= 
dydzdx
x
Tk
xx
Tkq dxx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+∂
∂−=+ 
y
Tkdxdzqy ∂
∂−= 
dxdzdy
y
Tk
yy
Tkq dyy ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+∂
∂−=+ 
z
Tkdxdyqz ∂
∂−= 
dxdydz
z
Tk
zz
Tkq dzz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+∂
∂−=+ 
dxdydzqqger &= 
τ∂
∂ρ=τ
Tcdxdydz
d
dE 
 
Assim a equação geral tridimensional da condução fica: 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
13
τρ ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
& 1.3 
 
Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita 
 
τα ∂
∂=+∂
∂+∂
∂+∂
∂ T
k
q
z
T
y
T
x
T 1
2
2
2
2
2
2 & 1.4 
 
onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto 
maior o valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto 
pode ser visto observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α 
pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor 
baixo da capacidade térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que 
menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada 
para elevar a temperatura do material; assim, mais energia encontra-se disponível para 
ser transferida. 
 Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma 
expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram 
considerados no desenvolvimento. 
 Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações 
gerais apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos 
futuros, é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de 
interesse prático. 
 Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor) 
 
02
2
=
dx
Td 1.5 
 
Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor 
 
02
2
=+∂
∂
k
q
x
T & 1.6 
 
Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor 
 
02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
y
T
x
T 1.7 
 
 
1.3.1.1) Condutividade Térmica 
 
 A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base 
nesta definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da 
condutividade térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
14
podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar 
com precisão os valores observados experimentalmente. Em alguns casos existemteorias para o cálculo da condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral 
nestas situações os conceitos não são muito claros, permanecendo várias questões em 
aberto. 
 O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de 
uma molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta 
temperatura as moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa 
temperatura. As moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas 
com as outras e trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao 
acaso das moléculas independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. 
Se uma molécula se movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa 
temperatura, ela transporta energia cinética para esta região de baixa temperatura do 
sistema perdendo esta energia através de colisões com moléculas de energia mais 
baixa. 
 Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau 
Celsius [W/(m.oC)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor 
numérico da condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido 
num dado material. Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em 
consideração o modelo molecular discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das 
moléculas, mais rapidamente a energia será transportada. Portanto, a condutividade 
térmica de um gás deve ser dependente da temperatura. Um tratamento analítico 
simplificado mostra que a condutividade térmica de um gás varia com a raiz quadrada 
da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a velocidade do som em um gás varia 
com a raiz quadrada da temperatura absoluta kRTv = ; esta velocidade é 
aproximadamente a velociade média das moléculas.) 
 O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é 
qualitativamente o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais 
complexa, uma vez que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força 
molecular exercem uma forte influência na troca de energia no processo de colisão. 
 A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da 
grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número 
de elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem 
transportar carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta 
temperatura para uma região de baixa temperatura, como nos gases. A energia 
também pode ser transmitida como energia de vibração na estrutura do material. 
Entretanto, este último modo de transferência de energia não é tão efetivo quanto o 
transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual bons condutores elétricos são 
quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o cobre, o alumínio e a 
prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos. 
 Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos 
períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram 
o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas 
(até aproximadamente –250oC). O superisolamento mais efetivo é constituído de 
múltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
15
isolantes. O sistema é evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo 
possível atingir condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.oC). 
 
 
1.3.2 Transferência de Calor por Convecção 
 
É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente 
quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é 
chamado de transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor 
uma noção intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta 
noção intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico 
adequado do problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa 
aquecida influencia a taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o 
resfriamento será linear, ou seja, dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando 
a taxa de calor transferido? Devemos supor que a taxa de transferência de calor será 
diferente se a placa for resfriada com água em vez de ar. Porém de quanto será essa 
diferença? Estas questões podem ser respondidas com o auxílio de algumas análises 
básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos. Agora, o mecanismo físico da 
transferência de calor por convecção será esquematizado e mostrada a sua relação 
com o processo de condução. 
Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a 
temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do 
escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação 
viscosa. Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser 
transferido somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor 
transferido, usando a Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de 
temperatura junto à parede. Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta 
camada, falamos em transferência de calor por convecção e precisamos considerar a 
velocidade do fluido? A resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão 
na qual o calor é removido; uma velocidade alta produz um gradiente elevado de 
temperatura, e assim por diante. Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede 
depende do campo de velocidade; conseqüentemente, em análises posteriores, 
desenvolveremos uma expressão que relaciona essas duas quantidades. Deve ser 
lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência de calor na parede é um 
processo de condução. 
O efeito global da convecção pode ser expresso através da lei de Newton do 
resfriamento 
 
q = h.A.(Tp - T∞) 1.8 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
16
 
Fig. 1-5 transferência de calor por convecção 
 
 
Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a 
parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de 
transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste 
parâmetro. Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações 
complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas 
vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da 
condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 
1.8 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius [W/(m2.oC)] no SI. 
 Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por 
convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua 
dependência das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor 
específico, densidade). Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de 
velocidade e, portanto, a taxa de transferência de energia na região junto à parede. 
 Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa 
de movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de 
densidade nas proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em 
oposição à convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador 
movimentando o ar sobre a placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são 
também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção 
 
 
1.3.3) Transferência de Calor por Radiação 
 
Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é 
transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões 
onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiaçãoeletromagnética 
que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da 
radiação térmica. 
Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro, 
emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do 
corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é 
proporcional à diferença T4. Assim 
 
q = σ.A.(T14 – T24) 1-9 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
17
Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-
Boltzmann que vale σ = 5,669 x 10-8 W/(m2.K4). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-
Boltzmann da radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante 
observar que esta equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de 
radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade. 
 Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo 
com a lei T4. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um 
pedaço de metal coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de 
comportamento. Outros tipos de superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa 
metálica polida, não emitem tanta energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação 
total emita por estes corpos ainda é proporcional a T4. Para levar em consideração a 
natureza “cinzenta” destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a 
emissividade ε, que relaciona a radiação de uma superfície “cinzenta” com a de uma 
superfície negra ideal. Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação 
que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez que a radiação 
eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente. 
Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos fatores na 
Eq. 1-9 
 
 q = Fε.FG.σ.A.(T14 – T24) 1.10 
 
onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A 
determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um 
capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em 
geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10. 
 O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e 
os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, 
interessa-nos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da 
transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção. 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
18
2) CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 
 
 2.1) INTRODUÇÃO 
 
 Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor 
para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos 
físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. 
Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é 
função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância 
axial. Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial 
podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor 
multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos 
as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente 
como resultados destas simplificações. 
 
 
2.2) A PAREDE PLANA 
 
 Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta 
da lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta 
 
( )12 TTx
kAq −∆−= 2-1 
 
para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das 
faces da parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de 
acordo com alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de 
calor é 
 
( ) ( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −+−∆−= 212212 2 TTTTxAkq o β 2.2 
 
Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada 
na Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito 
 
c
34
c
B
23
B
A
12
A x
TTAk
x
TTAk
x
TTAkq ∆
−−=∆
−−=∆
−−=
 
 
Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções. 
 Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por 
 
Ak/xAk/xAk/x
TTq
cCBBAA
41
∆+∆+∆
−=
 
 2-3 
Apos
 
 
 
 
Four
com
resis
de c
 
que 
F
F
 
stila de Tra
Aqui é c
rier. A tax
binação d
stência a e
calor, e a e
é uma rela
Fig. 2-1 Tran
Fig. 2-2 Tran
ansmissão
convenient
xa de tran
da condutiv
este fluxo. 
quação de
ação seme
nsferência d
nsferência d
o de Calor
te introduz
nsferência 
vidade tér
A tempera
e Fourier p
de Fluxo
elhante à le
de calor unid
de calor em s
zir um pont
de calor 
rmica, esp
atura, e a f
ode ser es
R
Difcalor e =
ei de Ohm 
dimensional
elétr
série e em p
analogia 
to de vista 
pode ser 
pessura do
função pot
scrita 
ea Resistênci
p deferença 
na teoria d
l através de 
rica 
paralelo atra
elétrica. 
conceitua
considera
o material
encial, ou 
elétrica
potencial
de circuitos
uma parede
avés de uma
al diferente
ada como 
, e a área
motora, pa
 
s elétricos
e composta
 
a parede co
e para a lei
um fluxo
a como u
ara este flu
2-4 
. 
 
a e analogia 
mposta e a 
19
 de 
o, a 
uma 
uxo 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
20
 Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos 
três termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três 
paredes lado a lado agem como três resistências térmicas em série. 
 A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais 
complexos envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema 
típico e o seu circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor 
unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita 
 
∑
∆=
t
total
R
Tq 2-5 
 
onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais. 
 É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode 
resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, 
C e D forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas 
para a obtenção de uma solução. 
 
 
2.3) ISOLANTES E O FATOR R 
 
 Para classificação de desempenho de um isolamento, é prática comum na 
industria de construção a utilização de um fator R, definido como 
 
Aq
TR ∆= 2-6 
 
Observe que isto difere do conceito de resistência térmica discutido acima, pois aqui é 
usado um fluxo de calor por unidade de área. 
 
 
2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS 
 
 Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, 
tal como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de 
temperatura(Ti – Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar 
que o fluxo é transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que 
deve ser especificada é r. 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
21
 
Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica 
 
 
 
Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica 
 
 
Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A 
área para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é 
 
Ar = 2πrL 
E, portanto a lei de Fourier fica 
dr
dTkAq rr −= 
ou 
 
dr
dTkrL2q r π−= 2-7 
com as condições de contornoT =Ti em r = ri 
T = Te em r = re 
 
A solução da Eq. 2-7 é ( )
( )ie
ei
rr
TTkL
q
ln
2 −= π 2-8 
 
e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma 
maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-
4 a solução é 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
22
( )
( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr
TTL
q
342312
41
lnlnln
2
++
−= π 2-9 
 
O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b. 
 Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a 
temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então 
 
ei
ei
r1r1
)TT(k4q −
−π= 2-10 
 
 
2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em 
um dos lados. O calor transferido é dado por 
( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTTx
kATTAhq −=−∆=−= 
 
Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana 
 
 
O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da 
resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a 
diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas 
 
AhkAxAh
TT
q BA
21 11 +∆+
−= 2.11 
 
 Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. 
O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é 
freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor 
U, definido pela relação 
 
totalTUAq ∆= 2.12 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
23
onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, 
o coeficiente global de transferência de calor é 
 
21 11
1
hkxh
U +∆+= 
 
 A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e 
externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos 
fluidos. 
 
Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies 
interna e externa 
 
 
 Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste 
caso. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. 
Neste caso, o fluxo total de calor é dado por 
 
( )
ee
ie
ii
BA
AhkL
rr
Ah
TT
q
1
2
ln1 ++
−=
π
 2.13 
 
de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas 
das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor 
pode ser baseado tanto na área interna como na externa. 
 
( )
ee
iiei
i
i
hA
A
kL
rrA
h
U
1
2
ln1
1
++
=
π
 2-14 
 
( )
e
iee
ii
e
e
hkL
rrA
hA
A
U
1
2
ln1
1
++
=
π
 2-15 
 
 
2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO 
 
 Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um 
tubo circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
24
em Ti, e a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o 
calor transferido vale 
 
 
Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento 
 
 ( )
( )
hrk
rr
TTLq
e
ie
i
1ln
2
+
−= ∞π 2-16 
 
 Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de 
isolamento re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é 
 
( )
( ) 2
2
1ln
112
0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−
==
∞
hrk
rr
hrkr
TTL
dr
dq
e
ie
ee
iπ
 
 
que fornece como resultado 
h
kre = 2.17 
 
 A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio 
externo for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor 
será aumentada com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o 
valor crítico, um aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da 
transferência de calor. O conceito central é que para valores de h suficientemente 
pequenos as perdas de calor por convecção podem aumentar com o aumento da 
espessura do isolamento, porque isto aumenta a superfície externa do isolamento. 
 
 
2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR 
 
 Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão 
relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores 
nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
25
reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais 
especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial. 
 
 
2.7.1) Parede plana com geração de calor 
 
 Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como 
mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as 
dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor 
seja considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a 
condutividade térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta 
situação pode ser produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de 
um condutor. Do Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é 
 
02
2
=+
k
q
dx
Td & 2-18 
 
Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da 
placa, isto é, 
 
T = Tp em x = .L 2-19 
 
 A solução geral da Eq.2-18 é 
21
2
2
CxCx
k
qT ++−= & 2-20 
 
 Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser 
zero. A temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20 
 
To = C2 
 
Portanto, a distribuição de temperatura é 
 
2
2
x
k
qTT o
&−=− 2-21ª 
 
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
−
L
x
TT
TT
op
o 2-21b 
 
que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio 
To pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor 
total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim, 
LAq
dx
dTkA
Lx
22 &=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤−
=
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
26
onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é 
obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b: 
 
( ) ( )
L
TT
L
xTT
dx
dT
op
Lx
op
Lx
22
2 −=⎥⎦
⎤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎥⎦
⎤
== 
 
Então ( ) Lq
L
TTk op &=−− 2
 
 
e po Tk
LqT +=
2
2& 2-22 
 
 
Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor 
 
 
2.7.2) Cilindro com Geração de Calor 
 
 Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e 
condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a 
temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial 
apropriada pode ser obtida da equação 
 
012
2
=++
k
q
dr
dT
rdr
Td & 2-23 
 
As condições de contorno são 
T = Tp em r = R 
 
e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
27
Rrdr
dTRLkLRq
=
⎥⎦
⎤−= ππ 22&
 
 
 Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se 
especificar que 
0=
dr
dT em r = 0 
 
Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado 
automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas.A Eq. 2-23 pode ser escrita 
k
rq
dr
dT
dr
Tdr
&−=+2
2
 
 
sendo que 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+
dr
dTr
dr
d
dr
dT
dr
Tdr 2
2
 
 
Portanto a integração fornece 
1
2
2
C
k
rq
dr
dTr +−= & e 
21
2
ln
4
CrC
k
rqT ++−= & 
 
Da segunda condição de contorno acima, 
 
R
C
k
Rq
k
Rq
dr
dT
Rr
1
22
+−=−=⎥⎦
⎤
=
&&
 
 
e, portanto C1 = 0 
 
A solução final para a distribuição de temperatura é 
( )22
4
rR
k
qTT p −=− & 2-24 
 
ou, na forma adimensional 
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−
−
R
r
TT
TT
po
p 
 
onde To é a temperatura em r = 0 dada por 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
28
po Tk
RqT +=
4
2& 
 
 
2.8) SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS 
 
 O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido(ou 
fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por 
condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em 
aplicações de trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado 
para a remoção de calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para 
o tubo aletado é por convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente 
dissipado no ambiente por convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que 
combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático. 
 Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será 
feita no Capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns 
problemas simples de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional 
exposta a um fluido cuja temperatura é T∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da 
base da aleta é To. Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de 
energia sobre o elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim 
 
 
Fig. 2-9 Aleta retangular 
 
 
 Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita 
 + energia perdida por convecção 
 A equação que define o coeficiente de calor por convecção é 
 
q = hA(Tp - T∞,) 2-29 
 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
29
onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja 
A a área transversal da aleta e P o seu perímetro. 
Portanto, as quantidades de energia são 
 Energia entrando pela face esquerda: 
dx
dTkAqx −=
 
 
 Energia saindo pela face direita ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=⎥⎦
⎤−=
+
+ dxdx
Td
dx
dTkA
dx
dTkAq
dxx
dxx 2
2
 
 
 Energia perdida por convecção ( )∞−= TThPdxq 
 
 A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo 
comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de 
energia fica 
( ) 02
2
=−− ∞TTkA
hP
dx
Td 
 
Este resultado é escrito mais compactamente na forma 
 
0)()( 22
2
=− xm
dx
xd θθ 2.30 
onde 
 m2 = hP/(Ak) θ(x) = T(x) - T∞ 
 
 
A Eq. 2.30 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção 
transversal uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições 
de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na 
aleta. Uma vez conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da 
aleta é facilmente determinado. 
 A Eq. 2.30 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda 
ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma 
 
θ(x) = C1e-mx + C2emx 2.31 
 
onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno 
especificadas no problema da aleta. A solução da Eq. 2.31 é a mais conveniente para 
utilizar na resolução da equação da aleta 2.30, no caso de uma aleta longa. 
 Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser 
construídos pela combinação de e-mx e emx , é possível exprimir a solução 2.31 nas 
seguintes formas alternativas 
 
θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx 2.32a 
θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x) 2.32b 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
30
A solução dada pelas Eq. 2.32 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento 
finito. 
 A distribuição de temperatura θ(x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser 
determinada a partir da Eq. 2.31 ou da Eq. 2.32, se as constantes de integração C1 e C2 
forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da 
aleta e a outra no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é 
conhecida, isto é 
 
θ(0) = To - T∞ = θ o 2.33 
 
onde To é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são 
possíveis no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes 
condições: 
Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é 
essencialmente a mesma do fluido ambiente. 
 
Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na 
ponta, e, assim dT/dx = 0 
 
Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua 
extremidade. 
 
 
2.8.1) Aletas Longas 
 
Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta 
da aleta se aproxima da temperatura T∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a 
formulação matemática do problema das aletas é 
 
0)()( 22
2
=− xm
dx
xd θθ em x > 0 2.34a 
 
θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.34b 
 
θ(x) → 0 em x → ∞ 2.34c 
 
onde m2 = Ph/Ak. A solução é obtida na forma da Eq. 2.31 
 
θ(x) = C1e-mx + C2emx 2.35 
 
A condição de contorno 2.34c exige que C2 = 0, e a aplicação da condição de contorno 
2.34b dá C1 = θo. Então, a resolução se torna 
 ( ) ( ) mx
oo
e
TT
TxTx −
∞
∞ =−
−=θ
θ 2.36 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
31
 
que é a solução mais simples do problema da aleta. 
 Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor 
através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da 
aleta de acordo com a equação 
 ( )
0=
⎥⎦
⎤−=
xdx
xdAkQ θ 2.37 
 
Derivando-se a Eq. 2.36 em função de θ(x) e substituindo o resultado na Eq.2.37, 
obtém-se 
 
PhkAmAkQ oo θθ == 2.38 
uma vez que )/(kAPhm = 
 
 
2.8.2) Aletas com Perda de Calor Desprezível na Ponta 
 
 A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena 
diante da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de 
calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies 
laterais, e a condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é 
dθ/dx = 0 em x = L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se 
torna 
0)()( 22
2
=− xm
dx
xd θθ em Lx ≤≤0 2.39a 
 
θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.39b 
 ( ) 0=
dx
xdθ em x = L 2.39c 
 
Escolhemos a solução na forma da Eq. 2.32b 
 
θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 2.40 
 
A razão desta escolha está em que a solução 2.40 tem uma forma na qual uma 
das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das 
condições de contorno. De fato, a condição de contorno (2.39c) exige que C2 = 0; 
então, a aplicação da condição de contorno (2.39b) dá C1 = θo/cosh mL, e a solução se 
torna 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
32
( ) ( )
ml
xLm
TT
TxTx
oo cosh
)(cosh −=−
−=
∞
∞
θ
θ 2.41 
 
 A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a 
solução Eq 2.41 na Eq 2.37. Assim, obtemos 
 
Q = Akθom tg mL = mL tgPhkAoθ2.42 
 
 
2.8.3) Aletas com Convecção na Ponta 
 
 Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que 
inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a 
formulação matemática do problema da condução de calor se torna 
 
0)()( 22
2
=− xm
dx
xd θθ em Lx ≤≤0 2.43ª 
 
θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 2.43b 
 
0)()( =+ xh
dx
xdk eθθ em x = L 2.43c 
 
 
onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor 
entre a ponta da aleta e o fluido ambiente. 
 A solução é escolhida na forma da Eq. 2.32b 
 
θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 2.44 
 
A aplicação das condições de contorno 2.43b e 2.43c, respectivamente, nos dá 
 
θo = C1 cosh mL + C2 senh mL 2.45ª 
 
e -k C2m + he C1 = 0 2.45b 
 
uma vez que 
 
( )
senhmLmkhmL
xLsenhmmkhxLm
TT
TxTx
e
e
oLxo )/(cosh
)()/()(cosh)(
+
−+−=−
−= 
∞
∞
=θ
θ 2.46 
 
A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado 
na Eq. 2.37. Então, vem 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
33
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=
senhmLmkhmL
mLmkhsenhmL
PhkAq
e
e
o )/(cosh
cosh)/(θ 2.47 
 
 
2.9) EFICIÊNCIA DA ALETA 
 
 Na análise precedente, consideramos somente aletas de seção reta uniforme. 
Em numerosas aplicações, são utilizadas aletas de seção reta variável. A determinação 
da distribuição de temperatura, e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante 
complicada, e fica além do objetivo desse curso. Entretanto, a análise de transferência 
de calor foi realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas, e os 
resultados foram apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da 
aleta η definido pela relação entre a transferência real de calor através da aleta e 
transferência ideal de calor através de uma aleta, se toda a superfície da aleta 
estivesse à temperatura To da base da aleta 
 
ideal
aleta
Q
Q=η 2.48 
 
Aqui, Qideal é dado por 
ofideal haQ θ= 2.49a 
 
onde, af = área de superfície da aleta 
 h = coeficiente de transferência de calor 
 θo = To - T∞ 
 
Portanto, se a eficiência da aleta η for conhecida, a transferência de calor Q através da 
aleta é denominada pela relação 
 
ofidealaleta haQQ θηη == 2.49b 
 
As gráficos 2.1 e 2.2 mostram a efeciência da aleta num gráfico em função do 
parâmetro )/(2 kthL com geometrias típicas de aletas. O gráfico 2.1 mostra a 
eficiência de aletas axiais em que a espessura da aleta varia com a distância x em 
relação à base da aleta, onde a espessura é t. O gráfico 2.2 é a eficiência de aletas em 
forma de disco circular de espessura constante. 
 Nas aplicações práticas, uma superfície aletada, no que se refere à trasferência 
de calor, é composta pelas superfícies das aletas e pela fração lisa. A transferência de 
calor, Qtotal, desta superfície é obtida somando-se a transferência de calor através das 
aletas com a da fração lisa 
 
Qtotal = Qaleta + Qfração lisa = ηafhθo + (a – af)hθo 2.50 
 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
34
Onde a = área total de transferência de calor (isto é, superfícies das aletas + superfície 
lisa) 
 af = área de transferência de calor das aletas. 
 A equação pode ser escrita mais compactamente como 
 ( )[ ] oototal ahahQ θηθβηβ ′≡−+= 1 2.51 
onde 
=−+≡′ ββηη 1 rendimento da aleta ponderada pela área 
a
a f=β 
 
 Embora a colocação de aletas numa superfície aumente a área da superfície de 
transferência de calor, aumenta também a resistência térmica sobre a fração da 
superfície onde as aletas foram fixadas. Por isso, podem haver situações em que a 
colocação de aletas não aumenta a transferência de calor. Como guia prático a razão 
Pk/(Ah) deve ser muito maior que a unidade, para justificar o emprego de aletas. No 
caso de aletas em forma de placas, por exemplo, P/A ≅ 2/t; então Pk/(Ah) se torna 
[2(k/t]h, implicando que a condutância interna da aleta deve ser muito maior que o 
coeficiente de transferência de calor para que as aletas aumentem a taxa de 
transferência de calor 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
35
 
Apos
 
 
 
3 
TEM
 
 
temp
ante
distr
posiç
com
temp
hipó
temp
glob
 
calo
temp
 
 
3.1) 
 
 
cond
To, q
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conv
distr
unifo
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sólid
stila de Tra
CONDU
MPERA
Se a te
peratura no
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peratura fu
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po, a análi
al de cond
O empr
r transient
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ANÁLISE
Conside
dutividade 
que é repe
a temperat
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vecção, co
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orme, de 
usiva do t
do pode se
Fig.3.1 No
ansmissão
UÇÃO 
ATURA 
emperatura
o interior d
a atingida 
e temperatu
com o tem
o é despre
unção excl
análise gl
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dução trans
rego de ca
te, simple
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 GLOBAL
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térmica k,
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tura unifor
A transfe
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e temperatu
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o de Calor
TRANS
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do sólido p
a distribui
ura é assu
mpo. Em m
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lusiva do t
lobal do s
o simples. 
siente de c
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 tempo e c
L DO SISTE
ólido de fo
, densidad
te imerso, 
me T∞. A 
rência de
coeficiente
ura dentro
que a te
o é, T(t). A
omo 
a da análise
SIENTE 
de um co
principia a v
ção de tem
unto compl
muitas aplic
ante o est
tempo. A a
sistema; po
Por isso, 
calor. 
emperatura
placa, nu
com a posi
EMA 
orma arbit
e ρ, calor 
no instant
fig. 3-1 il
 calor en
e de trans
o do sólido,
emperatura
A equação
e global do s
E US
orpo sólido
variar com
mperatura 
icado, pois
cações prá
tado trans
análise da
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neste cap
a é ilustra
m cilindro
ção. 
trária, volu
específico
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lustra o si
ntre o sól
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a de sólid
o de ener
sistema dura
SO DE
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m o tempo. 
estacioná
s a temper
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a transferê
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E CAR
rada repen
Passa-se 
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RTAS D
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ncia de ca
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de calor 
36
DE 
e, a 
mpo 
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tura 
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esta 
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de 
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A, 
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por 
e a 
ente 
ção 
no 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
37
 Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da 
energia interna do sólido de volume V. 
Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes 
termos, obtém-se: 
[ ]
dt
tdTVctTTAh p
)()( ρ=−∞ 3.1 
ou 
0])([)( =−+ ∞TtTVc
Ah
dT
tdT
pρ em t > 0 3.2 
 
sujeito à condição inicial 
T(t) = To em t = 0 
 
Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t) 
 
θ(t)≡ T(t) - T∞ 
 
Então a equação 3-2 torna-se 
0)()( =+ tm
dt
td θθ em t > 0 3-3 
 
e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 
 
onde definimos 
Vc
Ahm
pρ≡ 3.4 
 
A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é 
dada por 
θ(t) = C e-mt 3.5 
 
A aplicaçãoda condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a 
temperatura do sólido em função do tempo é 
 
mt
oo
e
TT
TtTt −
∞
∞ =−
−= )()(θ
θ 3.6 
 
 A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função 
do tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é 
determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1. É claro 
que as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m 
cresce. Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais 
rapidamente a uma variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na 
definição de m revela que o aumento da área superficial, para um dado volume, e o 
Apos
 
 
 
coef
dens
 
ser c
seja 
 
e o n
onde
ou c
trans
se 
 
Disc
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que 
sólid
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stila de Tra
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Para es
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e k é a co
cilindro lon
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mitiremos qu
O signif
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do e a co
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ansmissão
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calor espec
Fig. 3.2 A t
stabelecer 
da uniform
vamos de
e Biot, Bi, c
ndutividad
go ou esfe
 qualquer 
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em função d
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Fig. 3.3 N
Vamos 
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 3-1
 3-1
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um 
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10a 
10b 
 
 
11a 
 
11b 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
40
A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a 
solução particular na forma 
 
θ(t) = Ce-mt + θp 3-12 
 
onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por 
 
m
Q
p =θ 3-13 
 
Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos 
 
m
QCet mt += −)(θ 3-14 
 
A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b 
como 
m
QCo +=θ 3-15 
Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de 
calor: 
 ( )
m
Qeet mtmto
−− −+= 1)( θθ ou 
( )
h
qeet mtmto
−− −+= 1)( θθ 3-16 
Para t → ∞, esta solução simplifica-se em 
 ( )
h
q
m
Q ==∞θ 3-17 
que é a temperatura estacionária da placa. 
 
 
3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE 
 
 Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não 
são desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise 
dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de 
temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema 
bastante complicado. Vários métodos de análise para resolver estes problemas são 
discutidos em diversos textos, com tratamento avançado da condução de calor. 
Problemas simples, como a condução de calor, unidimensional, dependente do tempo, 
em uma placa sem geração interna de energia, podem ser resolvidos facilmente pelo 
método da separação de variáveis, como será descrito mais adiante neste capítulo. 
Além disso, a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada, e os 
resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
41
obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e 
discutiremos seu significado físico e seu emprego. 
 Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L 
confinada na região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme 
Ti. De repente, a t = 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a 
convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à 
temperatura T∞ e assim mantida nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, 
coordenadas e condições de contorno deste problema particular. Porém, neste 
problema, há simetria geométrica e térmica em torno do plano x = 0, de forma que 
podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região, 
digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da condução do calor numa 
placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está ilustrado na fig 3.4a, é 
equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 ≤ x ≤ L, 
como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da condução 
do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contornode fig. 
3.4b, é dada por 
 
 (a) (b) 
Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em 
uma placa. 
 
 
t
T
x
T
∂
∂=∂
∂
α
1
2
2
 em 0 < x < L, e t > 0 3.18a 
0=∂
∂
x
T em x = 0, e t > 0 3.18b 
 
∞=+∂
∂ hThT
x
Tk em x = L, e t > 0 3.18c 
 
T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d 
 
 
3.3.1) Equações Adimensionais 
 
 O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser 
expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais: 
aladimensiona temperatur),( =−
−=
∞
∞
TT
TtxT
i
θ 3.19a 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
42
aladimension coordenada==
L
xX 3.19b 
 Biotde número==
k
hLBi 3.19c 
 Fourierde número ou al,adimension tempo2 == L
tατ 3.19d 
 
Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em 
τ
θθ
∂
∂=∂
∂
2
2
X
 em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a 
0=∂
∂
X
θ em X = 0, e τ > 0 3.20b 
 
0=+∂
∂ θθ Bi
X
 em X = 1, e τ > 0 3.20c 
 
θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d 
 
O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor 
se a equação 3.19d for reordenada na forma 
 
C W/,L
 volumeno L de longo ao
calor de retenção de taxa
C W/,L
 volumeno L de longo ao
calor de condução de taxa
/
)/1(
o3
o3
3
2
2 === tLc
LLk
L
t
pρ
ατ 3.21a 
 
Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a 
taxa de retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número 
de Fourier, mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo 
intervalo de tempo. 
 O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for 
escrita na forma 
L ocompriment
no sólido do acondutânci
sólido
do superfície nacalor de
ncia transferêde ecoeficient
/
===
Lk
h
k
hLBi 3.21b 
 
Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a 
condutância do sólido sobre o comprimento característico. 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
43
 Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 
3.20, concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição 
de temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na 
sua forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende 
dos oito seguintes parâmetros físicos: 
 
x, t, L, k, α, h, Ti, T∞ 
 
Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende 
dos três seguintes parâmetros adimensionais: 
 
X, Bi, e τ 
 
Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de 
parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por 
isso, é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na 
forma de cartas para referência rápida. 
 
 
3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa 
 
 O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a 
temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no 
plano central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes 
valores do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as 
faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 
1/Bi, o número de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em 
relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica 
que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, 
portanto, pode-se adotar a análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as 
temperaturas em diferentes posições dentro da placa com a temperatura do plano 
central, To. Se soubermos a temperatura To, saberemos as temperaturas nas diferentes 
posições dentro da placa. 
 Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi 
< 0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um 
erro menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado 
Apos
 
 
 
para
Fig
am
 
 
A F
adim
Q re
dura
 
stila de Tra
a que a aná
g. 3.5 Carta d
mbas as face
Fig.3.6 Mo
mensional, 
epresenta 
ante a trans
ansmissão
álise globa
de temperat
es. (a) Temp
ostra o c
em vários 
a quantid
sferência d
o de Calor
al do sistem
turas transie
peratura To 
calor adim
valores do
dade total 
de calor. A
Qo = ρcp
ma fosse a
entes numa
no plano ce
com a pa
mensional 
o número d
de energ
A quantidad
pV(Ti - T∞)
plicável. 
 placa de es
entral x=0; (b
arte (a). 
transferid
de Biot, nu
gia perdida
de Qo, defin
 
spessura 2L
b) correção
o Q/Qo e
uma placa 
a pela pla
nida como
 
L sujeita a co
 de posição
em função
de espess
aca até ce
 
 3.
 
onvecção e
o para utiliza
o do tem
sura 2L. Aq
erto tempo
22 
44
m 
ar 
mpo 
qui, 
o t, 
Apos
 
 
 
repre
 
 
3.4) 
TEM
 
 
trans
ser c
 
 
3.4.1
 
 
raio 
supe
h pa
mate
 
 
stila de Tra
esenta a e
Fig. 
CILINDRO
MPERATUR
A distrib
sferência d
calculados
1) Carta de
Conside
b, inicialm
erfície em 
ara um am
emática de
ansmissão
energia inte
 3.6 Calor a
O LONGO 
RAS TRAN
buição das
de calor, s
 nos casos
e Tempera
ere a cond
mente a um
r = b é suj
mbiente à
este proble
R
1
∂
∂
∂
∂
θ = 1 
o de Calor
 
erna inicial
dimensiona
E ESFER
NSIENTES
s tempera
semelhante
s de um cil
aturas Tra
ução de ca
ma tempera
jeita a con
à temperat
ema de con
θ⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
R
R
RR
0=
R
θ 
0=+∂
∂ θθ Bi
R
 
 da placa n
al transferido
RA – EMPR
S 
aturas adim
es aos que
lindro long
ansientes 
alor, unidim
atura unifo
vecção, co
tura T∞ e 
ndução de 
τ
θ
∂
∂=⎠
⎞ 
 
0 
 em
na tempera
o Q/Qo num
REGO DAS
mensionais
e estão na
o e no de 
num Cilin
mensional,
orme Ti. Re
om um coe
mantida 
calor é da
em 0 
em R
em R
m 0 ≤ R ≤ 1
atura amb
ma placa de 
S CARTAS
s transient
as Figs 3.5
uma esfer
ndro Long
, transiente
epentinam
eficiente de
assim em
ada em form
< R < 1, e
R = 0, e τ >
R = 1, e τ >
1, e τ = 0
iente. 
espessura 2
S DE 
tes e os r
5 e 3.6, tam
ra. 
o 
e, num cilin
ente, no te
e transferê
m t > 0. A
ma adimen
e τ > 0 
> 1 
0 
 
 
2L. 
resultados 
mbém pod
ndro longo
empo t = 0
ência de ca
A formulaç
nsional com
 3.2
 3.2
 3.2
 3.2
45
da 
dem 
o de 
0, a 
alor 
ção 
mo 
23a 
 
23b 
 
23c 
 
23d 
Apostila de Transmissão de Calor 
 
 
 
46
onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte 
 
==
k
hbBi número de Biot 3.24a 
== 2b
tατ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b 
 ( ) =−
−=
∞
∞
TT
TtrT
i
,θ temperatura adimensional 3.24c 
 
==
b
rR coordenada radial adimensional 3.24d 
 
 O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no 
centro To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários 
valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições 
dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as 
temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a 
partir da Fig. 3.7b. 
 
Apostila de Transmissão

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