P1 2013.1 - Prof. Sérgio

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Abstract.
PRIMEIRA PROVA DE A´LGEBRA LINEAR III
Data: 05-06-2013
Prof.: Se´rgio Luiz Silva
In´ıcio: 13h20min
Te´rmino: 16h00min
1) Dadas as matrizes
A =

1 −1 0 −1
−1 1 0 3
0 0 2 0
−1 3 0 −2
 , B =

1 −1 2 −1
1 1 −1 3
0 3 −2 0
−1 1 0 2
 ,
calcule, justificando:
1.1) At (valor 0,5 pontos).
1.2) 2A− 3Bt (valor 1,0 ponto).
1.3) A.B (valor 1,0 ponto).
1.4) Determinante de A (valor 1,0 ponto).
1.5) A−1 (valor 1,5 pontos).
2) Encontre, justificando, o conjunto soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares abaixo (valor 2,0 pontos):
x − y + 3z + w = 1
2x + y − z − w = 0
3y − 7z − 3w = −2
3x + 2z = 1
3) Decida, justificando, se a matrix  0
√
2
2
√
2
2−1 0 0
0 −
√
2
2
√
2
2

e´ ortogonal (valor 1,0 ponto).
4) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, demonstre que B = A+A
t
2 e´ sime´trica e C =
A−At
2 e´ antissime´trica.
Observando que A = B + C, escreva a matriz
A =
 1 2 −1−1 1 3
0 −2 −3

como a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz antissime´trica (valor 2,0 pontos).