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1a Questão (Ref.: 201201621933) 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Utilizando a Regra do Trapézio Repetido para 
realizar o primeiro passo do esquema da integração de Romberg para obter uma aproximação da integral 
definida de senx com limites ZERO e PI radianos para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 6, encontramos o valor de 1,99839336. 
Se o valor exato desta integral é 2,000000, encontre o erro percentual. 
 
 
 
Sua Resposta: 2 ¿ 1,99839336)/2 = 0,0008 = 0,08% 
 
 
Compare com a sua resposta: (2 ¿ 1,99839336)/2 = 0,0008 = 0,08% 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201201621850) 
Dada a equação diferencial y" + 4y = 0, cuja solução geral é dada por y = C1.cos2x + C2.sen2x. Resolva o 
problema de valor inicial (determine c1 e c2) com as seguintes condições y(0) = 1 e y´(0) =0 
 
 
 
Sua Resposta: : y = C1.cos2x + C2.sen2x. Logo, y(0) = C1.cos0 + C2.sen0 o que implica que C1 = 1 / Y´= -
2.C1.sen2x + 2.C2.cos2x. Logo, Y´(0) = -2.C1.sen0 + 2.C2.cos0 o que implica 0 = 0 + 2.C2..1 e C2 = 0 
 
 
Compare com a sua resposta: y = C1.cos2x + C2.sen2x. Logo, y(0) = C1.cos0 + C2.sen0 o que implica que C1 
= 1 / Y´= -2.C1.sen2x + 2.C2.cos2x. Logo, Y´(0) = -2.C1.sen0 + 2.C2.cos0 o que implica 0 = 0 + 2.C2..1 e C2 
= 0 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201201156510) Pontos: 1,0 / 1,0 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
 Ponto fixo 
 Newton Raphson 
 Bisseção 
 Gauss Jordan 
 Gauss Jacobi 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201201156291) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo 
[a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral 
definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 
 
 
 
 1 
 0,1 
 2 
 0,2 
 indefinido 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201201156438) Pontos: 1,0 / 1,0 
Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
 
 
 n + 1 
 n 
 menor ou igual a n 
 menor ou igual a n - 1 
 menor ou igual a n + 1 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201201631008) Pontos: 1,0 / 1,0 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais 
que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que 
representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" 
representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para 
k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
-2 
 
0 
 2 
 
-1 
 
1 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201201631011) Pontos: 1,0 / 1,0 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como 
solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), 
onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da 
curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
-3 
 
0 
 3 
 
1 
 
-2 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201201631015) Pontos: 1,0 / 1,0 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. 
Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é 
dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
3,00 
 
1,00 
 
2,54 
 1,34 
 
2,50 
 Gabarito Comentado. 
 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201201621052) Pontos: 1,0 / 1,0 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e 
b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine 
o valor de h. 
 
 
 
1/3 
 
1/5 
 1/2 
 
1/4 
 
0 
 
 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201201156437) Pontos: 1,0 / 1,0 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que 
grau? 
 
 
 quarto 
 primeiro 
 segundo 
 terceiro 
 nunca é exata

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