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Resoluções de Exercícios - Teoria Elementar dos Números - Edgard Alencar - Capítulo 1

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ac | bc (c  0). 
Solução:- 
a | b  b = aq  bc = aqc (a implicação nos dois sentidos só é válida para c  0) 
 bc = (ac) q  
 ac | bc. Cqd. 
 
03 – Verdadeiro ou falso: se a | (b + c), então a | b ou a | c. 
Solução: a afirmativa é falsa pois 3 | 9  3 | (4 + 5), mas 3 4 e 3 5. ( - 
não divide). 
 
04 – Mostrar que, se a é um número inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 
2, a + 4 é divisível por 3. 
Solução:- De acordo com o algoritmo da divisão, a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 
3q + 2. Isto é, os restos da divisão por 3 somente podem ser 0, 1 ou 2. 
Se a = 3q, está comprovada a hipótese. 
Se a = 3q + 1, então a + 2 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)  a + 2 é divisível 
por 3. 
Se a = 3q + 2, então a + 1 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)  a + 1 é divisível 
por 3. 
Portanto, uma das três formas será divisível por 3. 
 
05 – Sendo a um inteiro qualquer, mostrar: 
(a) 2 | a(a + 1). 
Solução:- pelo algoritmo da divisão, a = 2n ou a = 2n + 1. 
Se a = 2n, então a (a + 1) = 2n(2n + 1) = 2[n(2n+1)] = 2q  2 |a(a + 1). 
Se a = 2n + 1, então a(a + 1) = (2n + 1)(2n + 1 + 1) = (2n + 1)(2n + 2) = 2(n + 
1)(2n + 1) = 2q  2 | a(a + 1). 
Portanto, qualquer que seja a, 2 | a(a + 1). Cqd. 
(b) 3 | a(a + 1)(a + 2) . 
Solução:- Pelo algoritmo da divisão, a = 3n ou a = 3n + 1 ou a = 3n + 2. 
Se a = 3n, a(a + 1)(a + 2) = 3n(3n + 1)(3n + 2) = 3[n(n + 1)(n + 2)] = 3q  3 
| a(a + 1)(a + 2) 
Se a = 3n + 1, a(a + 1)(a + 2) = (3n + 1)(3n + 1 + 1)(3n + 1 + 2) = (3n + 
1)(3n + 2)(3n + 3) = 
= (3n + 1)(3n + 2)3(n + 1) = 3[(3n + 1)(3n + 2)(n + 1)]  3 | a(a + 1)(a + 2) 
Se a = 3n + 2, a(a + 1)(a + 2) = (3n + 2)(3n + 2 + 1)(3n + 2 + 2) = (3n + 
2)((3n + 3)(3n + 4) = 
= (3n + 2)3(n + 1)(3n + 4) = 3[(3n +2)(n + 1)(3n + 4)] = 3q  3 | a(a + 1)(a + 
2). 
Portanto, qualquer que seja a, 3 | a(a + 1)(a + 2). Cqd. 
 
06 – Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 5 também é da forma 3k + 2. 
Solução:- Se n = 6k + 5 = 6k + 3 + 2 = 3 (k + 3) + 2 = 3k’ + 2  n é da forma 
3k + 2. Cqd. 
 
07 – Mostrar que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. 
Solução:- Seja n um número inteiro. Pelo algoritmo da divisão n = 4k ou n = 4k + 
1 ou n = 4k + 2 ou n = 4k + 3. 
Se n = 4k, então n = 2(2k)  n é par. 
Se n = 4k + 1, então n = 2(2k) + 1  n = 2k’ + 1 2 | n  n é ímpar. 
Se n = 4k + 2, então n = 2(2k + 1)  n = 2k’  n é par. 
Se n = 4k + 3, então n = 4k + 2 + 1 = 2(2k + 1) + 1  n = 2k’ + 1  n é impar. 
Portanto, n é ímpar se apresentar uma das formas 4k + 1 ou 4k + 3. Cqd. 
 
08 – Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1. 
Solução:- De acordo com o algoritmo da divisão n = 3k’ ou n = 3k’ + 1 ou n = 
3k’ + 2. 
Assim, 
Se n = 3k’, então : n2 = 9k’ = 3(3k’) = 3k 
Se n = 3k’ + 1, então: n2 = (3k’ + 1)2 = 9k’2 + 6k’ + 1 = 3(3k’2 + 2k’) + 1 = 3k + 
1. 
Se n = 3k’ + 2, então, n2 = (3k’ + 2)2 = 9k’2 + 12k’ + 4 = 9k’2 + 12k’ + 3 + 1 = 
3(3k’2 + 4k’ + 1) + 1 = 3k + 1. 
Portanto, n2 terá uma das formas, 3k ou 3k + 1. 
 
09 – Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer é de uma das formas 9k, 9k + 1 ou 
9k + 8. 
Solução:- Temos n = 3k’ ou n = 3k’ + 1 ou n = 3k’ + 2. 
Se n = 3k’, então n3 = (3k’)3 = 27k’3 = 9(3k’3) = 9k. 
Se n = 3k’ + 1, então n3 = (3k’ + 1)3 = (3k’)3 + 3.(3k’)2.1 + 3(3k’)12 + 13 = 27k’3 
+ 27k’2 + 9k’ + 1 = 
= 9(3k’3 + 3k’2 + k’) + 1 = 9k + 1. 
Se n = 3k’ + 2, então n3 = (3k’)3 + 3.(3k’)2.2 + 3(3k’)22 + 23 = 
= 27k’3 + 54k’2 + 36k’ + 8 = 9(3k’3 + 6k’2 + 4k’) + 8 = 9k + 8. 
Portanto, o cubo de um inteiro tem uma das formas: 9k, 9k + 1 ou 9k + 8. 
 
10 – Mostrar que n(n + 1)(2n + 1)/6 é um inteiro, qualquer que seja o inteiro 
positivo n. 
Solução: Devemos provar que 6 | n(n + 1)(2n + 1). 
(1º) Qualquer que seja n (n + 1) é múltiplo de 2, ou seja 2 |n(n + 1) pois, 
pelo algoritmo da divisão, n = 2k ou n = 2k + 1. 
Se n = 2k, 2 | n  2 | (n)(n + 1) 
Se n = 2k + 1, temos que n + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)  
 2 | (n + 1)  2 | n(n + 1). 
Portanto, qualquer que seja na 2 | n (n + 1)  2 | n(n + 1)(2n + 1). 
(2º) Qualquer se seja n, n = 3k ou n = 3k + 1 ou n = 3k + 2. 
Se n = 3k, 3 | n  3 | n(n + 1)(2n + 1. 
Se n = 3k + 1, 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)  
 3 | (2n + 1)  3 ! n (n + 1)(2n + 1) 
Se 3 = 3k + 2, n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)  3 | (n + 1)  3 | n(n 
+ 1)(2n + 1). 
Portanto, qualquer que seja n, 3 | n (n + 1)(2n + 1). 
Se 2 | n (n + 1)(2n + 1) e 3 | n (n + 1)(2n + 1), 6 | n(n + 1)(2n + 1) pois 2 e 3 
são primos entre si. 
Assim,  q, inteiro tal que n(n + 1)(2n + 1) = 6q  ao dividir n (n + 1)(2n + 1) 
por 6 , o resultado é o inteiro q. Cqd. 
 
 CAPÍTULO 4 - Questões 11 a 20 
11 – Mostrar que se a | (2x – 3y) e se a | (4x – 5y), então a | y. 
Solução: 
Se a | (2x – 3y) então, existe o inteiro q, tal que (2x – 3y) = aq  
 2(2x – 3y) = 2aq  4x – 6y = 2aq. (I) 
Da mesma forma, se a | (4x – 5y), existe o inteiro q’, tal que (4x – 5y) = aq’. (II) 
Fazendo (II) – (I), resulta (4x – 5y) – (4x – 6y) = aq’ – 2aq  
4x – 5y – 4y + 6y = a(q’ – 2q)  y = a(q’ – 2q). 
Como q’ e 2q são inteiros, (q’ – 2q) é inteiro. Portanto existe um inteiro, tal que y 
= ak  a | y. 
 
12 – Sendo a e b dois inteiros quaisquer, mostrar que os inteiros a e a + 2b têm 
sempre a mesma paridade. 
Solução: Se a é par, então a = 2q, q inteiro e a + 2b = 2q + 2b = 2(q + b) = 2k, k 
inteiro (soma de dois inteiros). Portanto: a + 2b é par pois 2 | (a + 2b). Assim, a e 
a + 2b são ambos pares, isto é têm a mesma paridade. 
Se a é impar, então a = 2q + 1, q inteiro e a + 2b = 2q + 1 + 2b = 2(q + b) + 1 = 
2k + 1  a + 2b é ímpar. Portanto, a e a + 2b são ambos ímpares. Têm a mesma 
paridade. 
De acordo com as duas únicas situações possíveis para “a”, a e a + 2b sempre 
terão a mesma paridade. Cqd. 
 
13 – Sendo m e n dois inteiros quaisquer, mostrar que os inteiros m + n e m – n 
têm sempre a mesma paridade. 
Solução:- Três são as possíveis situações para m e n: (1) ambos pares; (b) ambos 
ímpares e (3) um par e um ímpar. 
(1) Ambos pares m = 2k e n = 2k’. 
Temos então: 
 m + n = 2k + 2k’ = 2(k + k’)  m + n é par 
 m – n = 2k – 2k’ = 2(k – k’)  m – n é par 
(2) Ambos ímpares m = 2k + 1 e n = 2k’ + 1 
Temos: 
 m + n = 2k + 1 + 2k’ + 1 = 2(k + k’ + 1)  m + n é par 
 m – n = 2k – 1 + 2k’ – 1 = 2 ( k + k’ – 2)  m – n é par 
(3) Um ímpar e outro par; m = 2k + 1 e n = 2k’ 
Temos: 
 m + n = 2k + 1 + 2k’ = 2(k + k’) + 1  m + n é ímpar. 
 m – n = 2k + 1 – 2k’ = 2(k – k’) + 1  m – n é ímpar. 
Assim, nas três únicas situações possíveis, m + n e m – n têm a mesma 
paridade.Cqd. 
 
14 – Determinar os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao 
quadrado do quociente. 
Solução:- Seja N o inteiro positivo. Pelo algoritmo da divisão e pelas condições 
dadas, temos: 
N = 17q + q2. Como o resto é um quadrado perfeito e deve ser menor que 17, “q” 
só pode assumir um dos valores: 1, 2, 3 ou 4 pois seus quadrados são 1, 4, 9 e 16. 
Portanto, N = 17.1 + 1 = 18, ou N = 17.2 + 4 = 38, ou N = 17.3 + 9 = 60, ou N 
= 17.4 + 16 = 84. 
Resposta:- Os inteiros positivos são: 18, 38, 60 e 84. 
 
15 – Achar inteiros “a”, “b” e “c” tais que a | bc mas a b e a c. 
Solução:- Basta escolher números b e c que não sejam múltiplos de a, mas que na 
decomposição dos apareçam fatores que multiplicados resultam no valor de a. 
Eis alguns: 
6 = 2.3 . Como 6 8 e 6 15 , mas em 8 aparece o fator 2 (8 = 23) e em 15 
aparece o fator 3 (15 = 3.5) , 
6 | 8.15. Portando: a = 6, b = 8 e c = 15 satisfaz as condições. Resposta: (6, 8, 
15) 
10 = 2.5. Como