Cap 4 - Condução Bidimensinoal em Regime Permanente (1)

Prévia do material em texto

Condução bidimensional
- A distribuição da temperatura é caracterizado por 2 coordenadas espaciais. T(x,y)
- O vetor do fluxo de calor é caracterizado por 2 componentes direcionais. q”x e q”y
O calor é transferido por um longo prima sólido com 2 superfícies isoladas e as outras 
mantidas a diferentes temperaturas, T1>T2.
Os métodos para a solução da equação acima incluem o uso de abordagem:
-Analítica: Esse método envolve a elaboração de uma solução matemática exata.
A equação diferencial parcial, ao invés de uma equação diferencial ordinária. Embora
várias técnicas estejam disponíveis para a solução que envolvem séries e funções
matemáticas complicadas e podem ser obtidas para somente para um conjunto restrito
de geometrias e condições de contorno simples. Para a solução analítica usando o
método da “separação de variáveis”.
Os métodos para a solução da equação acima incluem o uso de abordagem:
-Gráfico: Em contraste com os métodos analíticos, que fornecem resultados exatos
para qualquer ponto, os métodos gráficos e numéricos podem fornecer somente
resultados aproximados para pontos discretos. Embora substituídos por soluções
computacionais baseadas em procedimentos numéricos, o método gráfico, ou de
plotagem do fluxo, pode ser usado para obter uma rápida estimativa da distribuição de
temperatura. O seu uso está restrito a problemas bidimensionais envolvendo contornos
adiabáticos e isotérmicos.
Os métodos para a solução da equação acima incluem o uso de abordagem:
-Numéricos: Diferentemente das abordagens analíticas ou gráficas, os métodos
numéricos podem ser usados para obter resultados precisos em geometrias bi ou
tridimensionais complexas envolvendo uma ampla variedade de condições de contorno.
Em muitos casos, problemas de condução de calor bidimensional e tridimensional
podem ser resolvidos rapidamente usando-se soluções existentes da equação de
difusão de calor. Estas soluções são apresentadas em termos de um Fator de Forma,
(S), ou de uma taxa de condução calor adimensional q*re em regime estacionário.
Resistência condutiva bidimensional.
Os casos 12 a 15 da Tabela 4.1 estão associados à condução de a partir de objetos
mantidos a uma temperatura isotérmica (T1) que estão inseridos em um meio
infinito de temperatura uniforme (T2) em locais bem afastados do objeto. Para os
casos que envolvam meio infinito, resultados úteis podem ser obtidos com a
definição de um comprimento característico.
As é a área superficial do objeto. Taxas de transferência de calor por condução do
objeto para o meio infinito podem ser representadas em termos de uma taxa de
condução de calor adimensional.
Exercício
- Ao contrario de uma solução analítica, que permite a determinação da
temperatura em qualquer ponto de interesse em um meio, uma solução
numérica permite a determinação da temperatura em somente pontos discretos.
- A determinação numérica da distribuição de temperaturas exige que cada uma
equação de conservação apropriada seja escrita para cada um dos pontos nodais
de temperatura desconhecida. O conjunto resultante de equações deve, então,
ser resolvido simultaneamente para as temperaturas em cada nó.
Condução bidimensional
(a) Rede nodal
(b) Aproximação por diferenças finitas
O valor da derivada no ponto m,n
(1)
Gradientes de Temperaturas
(2)
(3)
Substituindo 2,3 em 1
(4)
De forma análoga para Y
Usando uma rede nodal Δx = Δy e 
substituindo as Equações 4 e 5 em:
(5)
Têm-se
Em muitos casos, é desejável desenvolver as equações de diferenças finitas através
de um método alternativo chamado de método do balanço de energia. Essa
abordagem permite a análise de muitos diferentes fenômenos tais como
problemas envolvendo múltiplos materiais, presença de um eixo do sistema de
coordenado.
Uma vez que a direção real do fluxo térmico (entrando ou saindo do nó) é
frequentemente desconhecida, é conveniente formular o balanço de energia
supondo que todos os fluxos térmicos estão dirigindo para dentro do ponto nodal
Taxa na qual energia é transferida por condução do
nó m-1,n para m,n pode ser expressa como:
Taxa na qual energia é transferida por condução do nó m-1,n para m,n pode ser
expressa como:
Demais taxas podem ser escritas nas formas:
(1)
(2)
(3)
(4)
Substituindo as equações de 1 à 4 no balanço de energia tem-se:
Superfície exposta a condições de convecção.
Balanço de Energia
Condução
Convecção
Continuação