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APOSTILA DE ESTATÍSTICA 2

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ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas 
BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – E-mail: profviegas@gmail.com 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA III 
 Curso Técnico em Contabilidade 
 Profº Sandro Giovani P. Viégas 
 
 
 
ATUALIZADO EM 08/02/12 
 
 ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas 
BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 
 
ÍNDICE 
1. REVISÃO 
 
1.1. Arredondamento de Dados 
 
1.2. Variância e Desvio Padrão na Distribuição de Freqüência 
a) Variância na distribuição de freqüência 
b) Desvio padrão na distribuição de freqüência 
 
 
2. PROBABILIDADE 
 
2.1. Divisão da Estatística 
2.1.1. Estatística Inferencial 
 
2.2. Experimento Aleatório 
 
2.3. Espaço Amostral 
 
2.4. Eventos 
a) União de eventos 
b) Intersecção de eventos 
c) Eventos mutuamente exclusivos 
d) Evento Complementar 
 
2.5. Probabilidade de ocorrer um evento qualquer 
 
2.6. Probabilidade de NÃO ocorrer um evento qualquer 
 
2.7. Probabilidade de eventos independentes 
 
2.8. Probabilidade da união de eventos 
a) Não mutuamente exclusivo 
b) Mutuamente exclusivo 
 
 
2.9. Expressões Utilizadas na Probabilidade 
 
 ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas 
BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 
 
 
3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE 
 
4. AMOSTRAGEM 
 
4.1. Conceitos 
a) População 
b) Amostra 
 
 
5. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADE 
 
6. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE 
 
ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas 
BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 1 
 
1. REVISÃO 
 
1.1. Arredondamento de Dados 
 
De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da 
seguinte maneira: 
 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado 
o último algarismo a permanecer. 
 
Exemplo: 53,224 passa a 53,22 
 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de 
uma unidade o algarismo a permanecer. 
 
Exemplos: 
42,878 passa a 42,88 
25,008 passa a 25,01 
53,999 passa a 54,00 
 
 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem os zeros, o último 
alagrismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
 
Exemplos: 
24,775 passa a 24,78 
24,565 passa a 24,56 
24,46500 passa a 24,46 
 
1.2. Variância e Desvio Padrão 
 
a) Variância na Distribuição de Frequência 
 
s2 = fixi2 – ̅ݔ2 
n 
s2 = variância na distribuição de frequência 
̅ݔ = média aritmética 
 ̅ݔ = ௙௜௫௜
௡
 
n = número de elementos da amostra 
fi = frequência da classe 
xi = ponto médio da classe 
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b) Desvio Padrão na Distribuição de Frequência (s) 
 
s = √ݏଶ 
 
c) Interpretação da variância e do Desvio padrão 
 
A Variância baseia-se nos desvios em torno da média, calculada a partir dos quadrados 
dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação as variáveis, ou seja, 
as unidades de medida são diferentes dos dados que estão sendo analisados, por isso, 
se utiliza o desvio padrão, que tem uma unidade de medida mais prática em termos de 
interpretação, pois é a raiz quadrada da variância. 
 
O Desvio Padrão é particularmente útil em conjunto com a chamada distribuição 
normal de probabilidade que será estudado mais adiante. Além disso, o desvio é 
utilizado para se calcular o coeficiente de variação dos dados em relação a média, 
quando esse coeficiente for  30% da média aritmética, não é aconselhável adotar a 
média como valor aceitável para representar o conjunto de valores da variável.Ex: 
duração média em horas de lâmpadas incandescentes. 
 
C.V. = ௦
௫̅
 x 100 
 
Exemplo: Dada a distribuição de Frequência, calcular a média (̅ݔ), a variância (s2) e o 
desvio padrão (s). 
Idade fi xi fixi xi2 fixi2 
2 |---- 4 2 3 6 9 18 
4 |---- 6 5 5 25 25 125 
6 |---- 8 8 7 56 49 392 
8 |---- 10 3 9 27 81 243 
10|--- 12 2 11 22 121 242 
 20 136 1020 
̅ݔ = ଵଷ଺
ଶ଴
 = 6,8 (Média Aritmética) 
 
s2 = ଵ଴ଶ଴
ଶ଴
 - (6,8)2 = 51 – 46,24 => s2 = 4,76 (Variância) 
 
s = √4,76 = 2,18 (Desvio Padrão) 
 
C.V. = ଶ,ଵ଼
଺,଼ x 100 = 0,3206 x 100 => C.V. = 32,06% (Coeficiente de Variação) 
 
EXERCÍCIOS 1 
ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas 
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2. PROBABILIDADE 
2.1. Divisão da Estatística 
a) Estatística Descritiva  trata da coleta, organização e descrição dos dados. 
b) Estatística Inferencial  trata da análise e interpretação dos dados. 
2.1.1. Estatística Inferencial 
A maioria dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou probabilística, 
conseqüentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo da probabilidade é 
uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Inferencial. 
2.2. Experimento Aleatório 
São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam 
resultados imprevisíveis. 
Exemplos de experimentos aleatórios: 
- Lançar um dado e observar o número voltado para cima; 
- Retirar (sem olhar) uma das 52 cartas de um baralho e observar a carta retirada; 
- Retirar (sem olhar) uma bola de uma urna que contenha bolas de várias cores diferentes e 
observar a cor da bola retirada; 
- O sorteio de uma das 60 dezenas da mega-sena. 
2.3. Espaço Amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Exemplos: 
- Lançar uma moeda  dois resultados possíveis (cara ou coroa); 
- Lançar um dado  seis resultados possíveis (1,2,3,4,5 ou 6). 
* O Espaço amostral é representado por S. 
Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais: 
- Lançamento de uma moeda: S={C,K} 
Sendo C=cara e K=coroa 
- Lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6} 
* O número de elementos de um espaço amostral (S) é representado por n(S). 
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Exemplos de Espaço Amostral (S) de alguns experimentos: 
a) Lançar sucessivamente (uma após a outra) duas moedas e observar a face voltada para 
cima em cada uma delas. 
Assim, S={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} e n(S)=4 
b) Lançar um dado e uma moeda e observar a face voltada para cima em cada um deles. 
Assim, S={(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,k),(2,k),(3,k),(4,k),(5,k),(6,k)} e n(S)=12 
c) Retirar uma bola de uma urna que contém três bolas vermelhas (V1, V2, e V3) e duas 
bolas amarelas (A1 e A2). 
Assim, S={V1, V2, V3, A1, A2} e n(S)=5 
d) Nascimento de uma criança 
Assim, S={menino,menina} e n(S)=2 
e) Lançar simultaneamente um dado azul e um amarelo, observando a face voltada para 
cima em cada um deles. 
Assim, 
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,
6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6
)} e n(S)=36, em que o primeiro número de cada par acima indica o resultado no dado azul, e o 
segundo número indica o resultado do dado amarelo. 
EXERCÍCIOS 2 
 
 
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2.4. Eventos 
É qualquer subconjunto de um espaço amostral (S). 
Notação: Cada evento de um espaço amostral é representado pelas letras A ou B ou C ou D ou 
.... e o número de seus elementos são representados, respectivamente, por n(A) ou n(B) ou 
n(C) ou n(D) ou.... . 
Exemplos relacionados a lançar um dado e verificar a face voltada para cima: 
a) Seja A o evento em que a face voltada para cima apresentanúmero ímpar. 
A={1,3,5} e n(A)=3 
b) Seja B o evento em que a face voltada para cima apresenta número divisor de 6. 
B={1,2,3,6} e n(B)=4 
c) Seja C o evento em que a face voltada para cima apresenta um número menor do que 
7. 
C={1,2,3,4,5,6} e n(C)=6 
d) Seja D o evento em que a face voltada para cima apresenta um número maior do que 
6. 
D=0 e n(D)=0 
2.4.1. Operações com eventos 
a) União de Eventos 
Representação Genérica 
A  B = {x  S / x  A ou x  B} 
Ex: Seja o experimento retirada aleatória de uma das oito papeletas, numeradas de 1 a 8, 
existentes numa caixa, cujo espaço amostral é S={1,2,3,4,5,6,7,8}, e os eventos A={papeleta 
com número par} é A={2,4,6,8} e B={papeleta com número menor que quatro} é B={1,2,3}. 
Representação no Diagrama de VENN 
 7 
 4 6 8 2 1 3 
 5 S EVENTO A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} 
 
 
A B 
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b) Intersecção de Eventos 
Representação Genérica 
A  B = { x  S / x  A e x  B} 
Usando o mesmo exemplo do item A, temos: 
 
 
 
 
 
EVENTO A  B = {2} 
c) Eventos Mutuamente Exclusivos 
São aqueles que não ocorrem simultaneamente. 
Ex: S={1,2,3,4,5,6} (espaço amostral) 
C={ocorrência de número par} 
D={ocorrência de número ímpar} 
Obs: A ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro. 
Representação no Diagrama VENN 
 
 
 
 
Evento A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C  D = 0 
d) Evento Complementar 
Representação Genérica 
 ̅ = { x  S / x  A } 
A=evento A ̅=evento não A 
4 
6 
8 
BB AA 
SS 
1 
3 
2 
5 7 
2 
4 
6 
 
1 
3 
5 
S 
C D 
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Representação no Diagrama de VENN 
 
 
 
 
 
̅ܣ= = S – A 
OBS: o evento A ocorre quando o evento A não ocorre. 
E: Dado S={1,3,4,8,9} e o evento A={1,9}, determine ̅ܣ. 
̅ܣ = {1,3,4,8,9} – {1,9} = {3,4,8} 
EXERCÍCIOS 3 
A 
̅ܣ 
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2.5. Probabilidade de ocorrer um evento qualquer 
 P(A) = 
 
 
 
n(A)=número de elementos de A. 
n(S)=número de elementos de S. 
Exemplo 1: Lançando-se um dado e anotando-se o número constante na face voltada 
para cima, calcule a probabilidade de ocorrer. 
a) O número 5 
b) O número 9 
c) Um número menor que 12. 
 
 
 
 
 
Obs: é comum representar as probabilidades na forma de percentagem. 
Exemplo 2: Um baralho de 52 cartas é formado por quatro naipes de treze cartas cada 
um e os mesmos (os naipes) estão identificados, conforme mostram as figuras abaixo: 
(PAUS) (COPAS) (ESPADAS) (OUROS) 
Em cada naipe, temos: 
  Um ás: A 
  Três figuras: J(Valete), Q(Dama) e K(Rei) 
  Nove cartas numeradas: 2,3,4,5,6,7,8,9 e 10. 
Calcule a probabilidade de ao ser retirada, de forma aleatória, uma das 52 cartas, de 
ela ser: 
 
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a) De copas 
 
 
b) Um valete 
 
 
 
EXERCÍCIOS 4 
 
2.6. Probabilidade de NÃO ocorrer um evento qualquer 
A soma das probabilidades de ocorrência de todos os elementos de um espaço 
amostral é igual a 1. 
P(A)+P( ̅)=1 
 
P(A)=probabilidade de ocorrer o evento A 
P(A)=probabilidade de NÃO ocorrer o evento A. 
Genericamente, escreve-se: 
 
P( ̅)=1 – P(A) 
 
Exemplo 1: Numa gaveta há quatro cartões numerados de 1 a 4. Extraindo-se um deles 
ao acaso, a probabilidade de sair o cartão com o número dois é 
 
 
. Logo, a 
probabilidade de não ocorrer o cartão com o número dois é: 
 
Exemplo 2: Se a probabilidade de um atirador acertar um alvo é 0,64, então a 
probabilidade de ele não acertar é: 
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EXERCÍCIOS 5 
2.7. Probabilidade de EVENTOS INDEPENDENTES P(A  B) OU P(A e B) 
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização 
de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice versa. 
P(A  B) = P(A).P(B) 
Exemplo: 
Lançando dois dados. 
A probabilidade de obtermos 1 no primeiro da dado é: 
 
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: 
 
Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: 
 
EXERCÍCIOS 6 e 7 
 
2.8. Probabilidade da UNIÃO DE EVENTOS P(A  B) ou P(A ou B) 
a) Não mutuamente exclusivo 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
Exemplo: 
S={1,2,3,4,5,6,8} A={1,2,8} B={3,4,8} 
Representação no Diagrama de VENN 
 
 
 
 
S 
A 
B 
1 
2 
3 
4 
8 
5 6 
ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas 
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P(A)=
 
 
=
 
 
=0,4286 
P(B)=
 
 
=
 
 
=0,4286 
P(A  B) =P(A).P(B) = 0,4286.0,4286=0,1837 
Logo: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 0,4286 + 0,4286 – 0,1837 = 0,6737.100 
P(A  B) = 67,37% 
 
EXERCÍCIOS 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Mutuamente Exclusivo 
A realização de um exclui a realização do outro, ou seja, P(A  B)=0 
Sendo assim: 
P(A  B) = P(A) + P(B) 
Exemplo: 
S = {1,2,3,4,5,6,8} A={1,2,3} B={4,5,6} 
Representação no Diagrama de VENN 
S 
 
 
 
P(A)=
 
 
=0,4286 e P(B)=
 
 
=0,4286 
P(A  B) = P(A) + P(B) = 0,4286 + 0,4286 = 0,8572.100 = 85,72% 
EXERCÍCIOS 9 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
A B 
8 
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2.9. Expressões utilizadas na Probabilidade 
 
As expressões OU, PELO MENOS UM, AO MENOS UM, indicam união, P(A  B). 
 
As expressões SIMULTANEAMENTE, AO MESMO TEMPO E AMBOS, indicam 
intersecção, P(A  B). 
 
A expressão SOMENTE, indica a intersecção da ocorrência de um com a NÃO 
ocorrência do outro, P(A  ̅). 
 
A expressão NENHUM, indica a intersecção da NÃO ocorrência de ambos, P( ̅  ̅). 
 
Exemplo 1: Num período de 24 horas a probabilidade de ocorrer chuva na cidade “A” 
vale 0,4 e a de ocorrer chuva na cidade “B” também vale 0,4. Num mesmo período de 
24 horas a probabilidade de ocorrer chuva em ambas as cidades vale 0,28. 
Considerando um período de 24 horas, determinar a probabilidade de ocorrer chuva 
em ao menos umas das referidas cidades. 
P(A  B) = P(A) +P(B) – P(A  B) = 0,4 + 0,4 - 0,28 = 0,52 ou 52% 
Exemplo 2: Uma Cia de seguros faz uma apólice para um casal. Os dados informam 
que a probabilidade de que um homem desta cidade esteja vivo daqui a 25 anos é de 
30% e a de sua mulher é de 40%. Determinar: 
a) Qual a probabilidade de que somente o homem esteja vivo daqui a 25 anos? 
b) Qual a probabilidade de que somente a mulher esteja viva daqui a 25 anos? 
c) Qual a probabilidade de que ambos estejam vivos daqui a 25 anos? 
d) Qual a probabilidade de que ao menos um esteja vivo daqui a 25 anos? 
e) Qual a probabilidade de que nenhum esteja vivo daqui a 25 anos? 
a) P(H  ̅) = P(H).P( ̅), sendo H=homem e M=mulher 
P(H) = 0,3 e P( ̅) = 1 – P(M) = 1 – 0,4 = 0,6 
P(H  M) = 0,3.0,6 = 0,18 ou 18% 
 
b) P(M  ̅) = P(M).P( ̅) P(M) = 0,4 e P( ̅) = 1 – P(H) = 1 – 0,3 = 0,7 
P(M  ̅) = 0,4.0,7 = 0,28 ou 28% 
 
c) P(H  M) = P(H).P(M) = 0,30.0,40= 0,12 ou 12% 
 
d) P(H  M) = P(H) + P(M) – P(A  B) = 0,30 + 0,40 – 0,12 = 0,58 ou 58% 
 
e) P( ̅  ̅) P( ̅).P( ̅) = 0,70.0,60 = 0,42 ou 42% 
EXERCÍCIOS 10 
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3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE 
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem á 
distribuição normal ou dela se aproximam. 
Exemplo: 
Considere a Distribuição de Freqüência abaixo: 
CLASSE xi fi fr fr (%) 
0 |---- 2 1 1 1/16 6,25 
2 |---- 4 3 2 2/16 12,50 
4|---- 6 5 3 3/16 18,75 
6 |---- 8 7 4 4/16 25,00 
8 |---- 10 9 3 3/16 18,75 
10 |---- 12 11 2 2/16 12,50 
12 |---- 14 13 1 1/16 6,25 
 16 100 
 
Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aspecto gráfico de uma distribuição normal 
 
 
 -  +  
 ̅ݔ x 
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Para uma perfeita compreensão da distribuição normal devemos considerar as 
seguintes propriedades da curva: 
1º A variável aleatória x pode assumir qualquer valor real; 
2º A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, 
simétrica em torno da média (̅ݔ), que recebe o nome de curva normal; 
3º A área total sob a curva normal é considerada como 100%; 
4º Prolonga-se de +  a - ; 
5º A área sob a curva entre dois pontos (ex: a e b) é a probabilidade de uma variável 
tomar um valor entre esses pontos; 
 
6º Como a curva é simétrica em torno de ̅ݔ, a probabilidade de ocorrer valor maior do 
que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, 
ambas as probabilidades são iguais a 50% (0,5). Escreve-se; P(x>̅ݔ) = P(x<̅ݔ); 
3.1. Escore Reduzido (z) 
Para se calcular a probabilidade da variável aleatória (x) assumir um valor entre 
determinado limite, temos que compará-lo com uma distribuição normal reduzida. 
 
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z = ௫ି௫̅
௦
 
x = variável aleatória com distribuição normal; 
̅ݔ = média; 
s = desvio padrão. 
P(̅ݔ ≤ X ≤ x) = P(0 ≤ Z ≤ z) 
Como encontrar a probabilidade na distribuição normal reduzida (ex: 1,25). 
Na primeira coluna encontramos o valor 1,2. Em seguida, encontramos na primeira 
linha o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção 
da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite 
escrever: P(0 ≤ Z ≤ 1,25) = 0,3944 ou 39,44% 
Exemplo 1: Determine as probabilidades em porcentagem: 
Obs: verifique as situações possíveis nas páginas 19 e 20. 
a) P(-1,25 ≤ Z ≤ 0) = 
b) P(-0,5 ≤ Z ≤ 1,48) = 
c) P(0,8 ≤ Z ≤ 1,23) = 
d) P(Z ≥ 0,6) = 
e) P(Z ≤ 0,92) = 
 
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Exemplo 2: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos 
produzidos por certa máquina. Vamos supor que esta variável tenha distribuição 
normal com média 2 cm e desvio padrão 0,04 cm. Determine o valor do escore 
reduzido (z), sendo x = 2,06 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos 
normalmente, em torno da média de R$ 500,00, com desvio padrão de R$ 40,00. 
Calcule a probabilidade em porcentagem de um operário ter um salário semanal 
situado entre R$ 490,00 e R$ 520,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 11 
 
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ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL 
REDUZIDA DE 0 A Z 
Ex: z = 0,85, probabilidade é igual a 0,3023 ou 30,23% 
 
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3. Curva Normal – Modelos para cálculo das probabilidades 
 
 
 
 
 
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4. AMOSTRAGEM 
4.1. Conceitos 
a) População => é todo e qualquer conjunto a ser submetido a tratamento estatístico 
que possui uma característica comum. 
b) Amostra => é uma parte da população (subconjunto) convenientemente 
selecionado de acordo com uma regra ou plano. 
População População 
 Amostra 
 + + + + 
 + + + + + + 
 + + + + + Amostra 
 + + + + + 
 
 O número de elementos da amostra vai determinar o esquema que vamos 
montar, isto é com reposição e sem reposição; 
 O número das possíveis amostras são representadas por: Kn 
4.2. Cálculo do número de amostras 
a) COM REPOSIÇÃO 
Kn=Nn 
n=tamanho da amostra (número de elementos da amostra); 
N=tamanho da população (número de elementos da população). 
 
Exemplos: 
1) Lançar uma moeda três vezes - duas possibilidades (cara ou coroa) em três 
lançamentos, ou seja: n=3 e N=2 
k3 = 23 = 8 amostras de tamanho 3 
Relembrando o espaço amostral (S) dessa situação, sendo a população P={cara, coroa}, 
c=cara e k=coroa: 
S = {(c,c,c);(c,c,k);(c,k,c);(k,c,c);(k,k,c);(k,c,k);(c,k,k),(k,k,k)} 
Note, portanto, que são oito combinações diferentes. 
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2) Lançar um dado duas vezes ( 6 possibilidades em 2 lançamentos ) – as 6 
possibilidades são as faces do dado, ou seja, n=2 e N=6 
k2 = 62 = 36 amostras de tamanho 2 
Relembrando o espaço amostral (S) dessa situação, sendo a população P={1, 2, 3, 4, 5, 
6}: 
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,
6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6
)} 
Note, portanto, que são 36 combinações diferentes. 
3) Determine o número de amostras de tamanho 2 em uma população N de 10 
elementos com reposição. 
K2=102=100 amostras de tamanho 2. 
O espaço amostral (S) seria: S = {(1,1); (1,2);.....; (10,9);(10,10)} 
b) SEM REPOSIÇÃO 
kn= ே!
௡!(ேି௡)! 
Exemplos: 
1) Lançar um dado duas vezes consecutivamente. Obs: Para a amostragem 
considere somente uma combinação para cada par de números. 
n = 2 e N = 6 
k2 = 
଺!
ଶ!(଺ିଶ)! = ଺௫ହ௫ସ!ଶ௫ଵ௫ସ! = ଷ଴ଶ = 15 amostras de tamanho 2 
S = {(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (4,5); (4,6); 
(5,6)} 
 
2) Determine o número de amostras de tamanho 2 em uma população de 10 
elementos sem reposição. 
K2=
ଵ଴!
ଶ!(ଵ଴ିଶ)!=ଵ଴!ଶ!଼!=ଵ଴௫ଽ௫଼!ଶ!଼! =ଵ଴௫ଽଶ௫ଵ =ଽ଴ଶ =45 
45 amostras de tamanho 2 
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5. Distribuição Binomial de Probabilidade 
P(X=n) = Kn.pn.qN-n 
Kn → sem reposição, N = tamanho da amostra e n = tamanho da população. 
P(X=n) → é a probabilidade que o evento se realize n vezes em N provas. 
p = probabilidade de sucesso e q = probabilidade de insucesso 
q = 1 – p 
O cálculo da DistribuiçãoBinomial pode ser utilizado para qualquer situação em que temos duas 
alternativas, mas para facilitar o aprendizado, estudaremos apenas a situação de arremesso de uma 
moeda, nesse caso, a probabilidade de ocorrer cara é de 50%, assim como a de ocorrer coroa, ou 
seja, p = 0,5 e q = 0,5. 
Comparação entre o método dos Eventos e da Distribuição Binomial. 
ex1: Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de se obter uma cara em dois 
lançamentos. 
Solução: 1º Método dos Eventos 
S = {(c,c); (c,k); (k,c); (k,k)} e n(S) = 4 
A = {(c,k); (k,c)} e n(A) = 2 
logo: P(A) = ௡(஺)
௡(ௌ) = ଶସ = 0,5 ou 50% 
2º Método pela Distribuição Binomial 
P(x=3) = k1.p1.q2-1 = 2.0,5.(0,5)1 = 2.0,25 = 0,5 ou 50% 
Obs: O resultado deve ser o mesmo nos dois métodos, o uso do método da Distribuição é 
aconselhável em casos em que o número de arremessos é maior que 3, onde montar os eventos se 
torna mais trabalhoso e propenso a erros. 
 Você ainda pode fazer a comparação dos dois métodos com três lançamentos. 
ex2: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem 
obtidas 3 caras nessas 5 provas. 
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6. Distribuição Geométrica de Probabilidade 
P(X=n) = qn-1.p 
p = probabilidade de sucesso 
q = probabilidade de insucesso 
n = número de elementos da amostra 
ex1: A probabilidade de chover em uma semana é de 40%. Determine: 
a) A probabilidade de chover no segundo dia da semana; 
b) A probabilidade de chover no terceiro dia da semana; 
c) A probabilidade de chover no segundo ou no terceiro dia da semana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ex2: Uma empresa teve duas grandes quedas nos lucros em 12 anos. Determine a 
probabilidade de nos próximos cinco anos ocorrer uma grande queda de lucro no 
segundo ano.

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