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ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – E-mail: profviegas@gmail.com ESTATÍSTICA III Curso Técnico em Contabilidade Profº Sandro Giovani P. Viégas ATUALIZADO EM 08/02/12 ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br ÍNDICE 1. REVISÃO 1.1. Arredondamento de Dados 1.2. Variância e Desvio Padrão na Distribuição de Freqüência a) Variância na distribuição de freqüência b) Desvio padrão na distribuição de freqüência 2. PROBABILIDADE 2.1. Divisão da Estatística 2.1.1. Estatística Inferencial 2.2. Experimento Aleatório 2.3. Espaço Amostral 2.4. Eventos a) União de eventos b) Intersecção de eventos c) Eventos mutuamente exclusivos d) Evento Complementar 2.5. Probabilidade de ocorrer um evento qualquer 2.6. Probabilidade de NÃO ocorrer um evento qualquer 2.7. Probabilidade de eventos independentes 2.8. Probabilidade da união de eventos a) Não mutuamente exclusivo b) Mutuamente exclusivo 2.9. Expressões Utilizadas na Probabilidade ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE 4. AMOSTRAGEM 4.1. Conceitos a) População b) Amostra 5. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADE 6. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 1 1. REVISÃO 1.1. Arredondamento de Dados De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira: Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer. Exemplo: 53,224 passa a 53,22 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. Exemplos: 42,878 passa a 42,88 25,008 passa a 25,01 53,999 passa a 54,00 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem os zeros, o último alagrismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Exemplos: 24,775 passa a 24,78 24,565 passa a 24,56 24,46500 passa a 24,46 1.2. Variância e Desvio Padrão a) Variância na Distribuição de Frequência s2 = fixi2 – ̅ݔ2 n s2 = variância na distribuição de frequência ̅ݔ = média aritmética ̅ݔ = ௫ n = número de elementos da amostra fi = frequência da classe xi = ponto médio da classe ESTATÍSTICA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 2 b) Desvio Padrão na Distribuição de Frequência (s) s = √ݏଶ c) Interpretação da variância e do Desvio padrão A Variância baseia-se nos desvios em torno da média, calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação as variáveis, ou seja, as unidades de medida são diferentes dos dados que estão sendo analisados, por isso, se utiliza o desvio padrão, que tem uma unidade de medida mais prática em termos de interpretação, pois é a raiz quadrada da variância. O Desvio Padrão é particularmente útil em conjunto com a chamada distribuição normal de probabilidade que será estudado mais adiante. Além disso, o desvio é utilizado para se calcular o coeficiente de variação dos dados em relação a média, quando esse coeficiente for 30% da média aritmética, não é aconselhável adotar a média como valor aceitável para representar o conjunto de valores da variável.Ex: duração média em horas de lâmpadas incandescentes. C.V. = ௦ ௫̅ x 100 Exemplo: Dada a distribuição de Frequência, calcular a média (̅ݔ), a variância (s2) e o desvio padrão (s). Idade fi xi fixi xi2 fixi2 2 |---- 4 2 3 6 9 18 4 |---- 6 5 5 25 25 125 6 |---- 8 8 7 56 49 392 8 |---- 10 3 9 27 81 243 10|--- 12 2 11 22 121 242 20 136 1020 ̅ݔ = ଵଷ ଶ = 6,8 (Média Aritmética) s2 = ଵଶ ଶ - (6,8)2 = 51 – 46,24 => s2 = 4,76 (Variância) s = √4,76 = 2,18 (Desvio Padrão) C.V. = ଶ,ଵ଼ ,଼ x 100 = 0,3206 x 100 => C.V. = 32,06% (Coeficiente de Variação) EXERCÍCIOS 1 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 3 2. PROBABILIDADE 2.1. Divisão da Estatística a) Estatística Descritiva trata da coleta, organização e descrição dos dados. b) Estatística Inferencial trata da análise e interpretação dos dados. 2.1.1. Estatística Inferencial A maioria dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou probabilística, conseqüentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo da probabilidade é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Inferencial. 2.2. Experimento Aleatório São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplos de experimentos aleatórios: - Lançar um dado e observar o número voltado para cima; - Retirar (sem olhar) uma das 52 cartas de um baralho e observar a carta retirada; - Retirar (sem olhar) uma bola de uma urna que contenha bolas de várias cores diferentes e observar a cor da bola retirada; - O sorteio de uma das 60 dezenas da mega-sena. 2.3. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: - Lançar uma moeda dois resultados possíveis (cara ou coroa); - Lançar um dado seis resultados possíveis (1,2,3,4,5 ou 6). * O Espaço amostral é representado por S. Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais: - Lançamento de uma moeda: S={C,K} Sendo C=cara e K=coroa - Lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5,6} * O número de elementos de um espaço amostral (S) é representado por n(S). ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 4 Exemplos de Espaço Amostral (S) de alguns experimentos: a) Lançar sucessivamente (uma após a outra) duas moedas e observar a face voltada para cima em cada uma delas. Assim, S={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} e n(S)=4 b) Lançar um dado e uma moeda e observar a face voltada para cima em cada um deles. Assim, S={(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,k),(2,k),(3,k),(4,k),(5,k),(6,k)} e n(S)=12 c) Retirar uma bola de uma urna que contém três bolas vermelhas (V1, V2, e V3) e duas bolas amarelas (A1 e A2). Assim, S={V1, V2, V3, A1, A2} e n(S)=5 d) Nascimento de uma criança Assim, S={menino,menina} e n(S)=2 e) Lançar simultaneamente um dado azul e um amarelo, observando a face voltada para cima em cada um deles. Assim, S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3, 6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6 )} e n(S)=36, em que o primeiro número de cada par acima indica o resultado no dado azul, e o segundo número indica o resultado do dado amarelo. EXERCÍCIOS 2 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 5 2.4. Eventos É qualquer subconjunto de um espaço amostral (S). Notação: Cada evento de um espaço amostral é representado pelas letras A ou B ou C ou D ou .... e o número de seus elementos são representados, respectivamente, por n(A) ou n(B) ou n(C) ou n(D) ou.... . Exemplos relacionados a lançar um dado e verificar a face voltada para cima: a) Seja A o evento em que a face voltada para cima apresentanúmero ímpar. A={1,3,5} e n(A)=3 b) Seja B o evento em que a face voltada para cima apresenta número divisor de 6. B={1,2,3,6} e n(B)=4 c) Seja C o evento em que a face voltada para cima apresenta um número menor do que 7. C={1,2,3,4,5,6} e n(C)=6 d) Seja D o evento em que a face voltada para cima apresenta um número maior do que 6. D=0 e n(D)=0 2.4.1. Operações com eventos a) União de Eventos Representação Genérica A B = {x S / x A ou x B} Ex: Seja o experimento retirada aleatória de uma das oito papeletas, numeradas de 1 a 8, existentes numa caixa, cujo espaço amostral é S={1,2,3,4,5,6,7,8}, e os eventos A={papeleta com número par} é A={2,4,6,8} e B={papeleta com número menor que quatro} é B={1,2,3}. Representação no Diagrama de VENN 7 4 6 8 2 1 3 5 S EVENTO A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} A B ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 6 b) Intersecção de Eventos Representação Genérica A B = { x S / x A e x B} Usando o mesmo exemplo do item A, temos: EVENTO A B = {2} c) Eventos Mutuamente Exclusivos São aqueles que não ocorrem simultaneamente. Ex: S={1,2,3,4,5,6} (espaço amostral) C={ocorrência de número par} D={ocorrência de número ímpar} Obs: A ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro. Representação no Diagrama VENN Evento A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C D = 0 d) Evento Complementar Representação Genérica ̅ = { x S / x A } A=evento A ̅=evento não A 4 6 8 BB AA SS 1 3 2 5 7 2 4 6 1 3 5 S C D ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 7 Representação no Diagrama de VENN ̅ܣ= = S – A OBS: o evento A ocorre quando o evento A não ocorre. E: Dado S={1,3,4,8,9} e o evento A={1,9}, determine ̅ܣ. ̅ܣ = {1,3,4,8,9} – {1,9} = {3,4,8} EXERCÍCIOS 3 A ̅ܣ ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas http://professorviegas.blogspot.com/ - profviegas@gmail.com 8 2.5. Probabilidade de ocorrer um evento qualquer P(A) = n(A)=número de elementos de A. n(S)=número de elementos de S. Exemplo 1: Lançando-se um dado e anotando-se o número constante na face voltada para cima, calcule a probabilidade de ocorrer. a) O número 5 b) O número 9 c) Um número menor que 12. Obs: é comum representar as probabilidades na forma de percentagem. Exemplo 2: Um baralho de 52 cartas é formado por quatro naipes de treze cartas cada um e os mesmos (os naipes) estão identificados, conforme mostram as figuras abaixo: (PAUS) (COPAS) (ESPADAS) (OUROS) Em cada naipe, temos: Um ás: A Três figuras: J(Valete), Q(Dama) e K(Rei) Nove cartas numeradas: 2,3,4,5,6,7,8,9 e 10. Calcule a probabilidade de ao ser retirada, de forma aleatória, uma das 52 cartas, de ela ser: ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas http://professorviegas.blogspot.com/ - profviegas@gmail.com 9 a) De copas b) Um valete EXERCÍCIOS 4 2.6. Probabilidade de NÃO ocorrer um evento qualquer A soma das probabilidades de ocorrência de todos os elementos de um espaço amostral é igual a 1. P(A)+P( ̅)=1 P(A)=probabilidade de ocorrer o evento A P(A)=probabilidade de NÃO ocorrer o evento A. Genericamente, escreve-se: P( ̅)=1 – P(A) Exemplo 1: Numa gaveta há quatro cartões numerados de 1 a 4. Extraindo-se um deles ao acaso, a probabilidade de sair o cartão com o número dois é . Logo, a probabilidade de não ocorrer o cartão com o número dois é: Exemplo 2: Se a probabilidade de um atirador acertar um alvo é 0,64, então a probabilidade de ele não acertar é: ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas http://professorviegas.blogspot.com/ - profviegas@gmail.com 10 EXERCÍCIOS 5 2.7. Probabilidade de EVENTOS INDEPENDENTES P(A B) OU P(A e B) Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice versa. P(A B) = P(A).P(B) Exemplo: Lançando dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro da dado é: A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: EXERCÍCIOS 6 e 7 2.8. Probabilidade da UNIÃO DE EVENTOS P(A B) ou P(A ou B) a) Não mutuamente exclusivo P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Exemplo: S={1,2,3,4,5,6,8} A={1,2,8} B={3,4,8} Representação no Diagrama de VENN S A B 1 2 3 4 8 5 6 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas http://professorviegas.blogspot.com/ - profviegas@gmail.com 11 P(A)= = =0,4286 P(B)= = =0,4286 P(A B) =P(A).P(B) = 0,4286.0,4286=0,1837 Logo: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0,4286 + 0,4286 – 0,1837 = 0,6737.100 P(A B) = 67,37% EXERCÍCIOS 8 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas http://professorviegas.blogspot.com/ - profviegas@gmail.com 12 b) Mutuamente Exclusivo A realização de um exclui a realização do outro, ou seja, P(A B)=0 Sendo assim: P(A B) = P(A) + P(B) Exemplo: S = {1,2,3,4,5,6,8} A={1,2,3} B={4,5,6} Representação no Diagrama de VENN S P(A)= =0,4286 e P(B)= =0,4286 P(A B) = P(A) + P(B) = 0,4286 + 0,4286 = 0,8572.100 = 85,72% EXERCÍCIOS 9 1 2 3 4 5 6 A B 8 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas http://professorviegas.blogspot.com/ - profviegas@gmail.com 13 2.9. Expressões utilizadas na Probabilidade As expressões OU, PELO MENOS UM, AO MENOS UM, indicam união, P(A B). As expressões SIMULTANEAMENTE, AO MESMO TEMPO E AMBOS, indicam intersecção, P(A B). A expressão SOMENTE, indica a intersecção da ocorrência de um com a NÃO ocorrência do outro, P(A ̅). A expressão NENHUM, indica a intersecção da NÃO ocorrência de ambos, P( ̅ ̅). Exemplo 1: Num período de 24 horas a probabilidade de ocorrer chuva na cidade “A” vale 0,4 e a de ocorrer chuva na cidade “B” também vale 0,4. Num mesmo período de 24 horas a probabilidade de ocorrer chuva em ambas as cidades vale 0,28. Considerando um período de 24 horas, determinar a probabilidade de ocorrer chuva em ao menos umas das referidas cidades. P(A B) = P(A) +P(B) – P(A B) = 0,4 + 0,4 - 0,28 = 0,52 ou 52% Exemplo 2: Uma Cia de seguros faz uma apólice para um casal. Os dados informam que a probabilidade de que um homem desta cidade esteja vivo daqui a 25 anos é de 30% e a de sua mulher é de 40%. Determinar: a) Qual a probabilidade de que somente o homem esteja vivo daqui a 25 anos? b) Qual a probabilidade de que somente a mulher esteja viva daqui a 25 anos? c) Qual a probabilidade de que ambos estejam vivos daqui a 25 anos? d) Qual a probabilidade de que ao menos um esteja vivo daqui a 25 anos? e) Qual a probabilidade de que nenhum esteja vivo daqui a 25 anos? a) P(H ̅) = P(H).P( ̅), sendo H=homem e M=mulher P(H) = 0,3 e P( ̅) = 1 – P(M) = 1 – 0,4 = 0,6 P(H M) = 0,3.0,6 = 0,18 ou 18% b) P(M ̅) = P(M).P( ̅) P(M) = 0,4 e P( ̅) = 1 – P(H) = 1 – 0,3 = 0,7 P(M ̅) = 0,4.0,7 = 0,28 ou 28% c) P(H M) = P(H).P(M) = 0,30.0,40= 0,12 ou 12% d) P(H M) = P(H) + P(M) – P(A B) = 0,30 + 0,40 – 0,12 = 0,58 ou 58% e) P( ̅ ̅) P( ̅).P( ̅) = 0,70.0,60 = 0,42 ou 42% EXERCÍCIOS 10 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 14 3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem á distribuição normal ou dela se aproximam. Exemplo: Considere a Distribuição de Freqüência abaixo: CLASSE xi fi fr fr (%) 0 |---- 2 1 1 1/16 6,25 2 |---- 4 3 2 2/16 12,50 4|---- 6 5 3 3/16 18,75 6 |---- 8 7 4 4/16 25,00 8 |---- 10 9 3 3/16 18,75 10 |---- 12 11 2 2/16 12,50 12 |---- 14 13 1 1/16 6,25 16 100 Gráfico Aspecto gráfico de uma distribuição normal - + ̅ݔ x ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 15 Para uma perfeita compreensão da distribuição normal devemos considerar as seguintes propriedades da curva: 1º A variável aleatória x pode assumir qualquer valor real; 2º A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média (̅ݔ), que recebe o nome de curva normal; 3º A área total sob a curva normal é considerada como 100%; 4º Prolonga-se de + a - ; 5º A área sob a curva entre dois pontos (ex: a e b) é a probabilidade de uma variável tomar um valor entre esses pontos; 6º Como a curva é simétrica em torno de ̅ݔ, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 50% (0,5). Escreve-se; P(x>̅ݔ) = P(x<̅ݔ); 3.1. Escore Reduzido (z) Para se calcular a probabilidade da variável aleatória (x) assumir um valor entre determinado limite, temos que compará-lo com uma distribuição normal reduzida. ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 16 z = ௫ି௫̅ ௦ x = variável aleatória com distribuição normal; ̅ݔ = média; s = desvio padrão. P(̅ݔ ≤ X ≤ x) = P(0 ≤ Z ≤ z) Como encontrar a probabilidade na distribuição normal reduzida (ex: 1,25). Na primeira coluna encontramos o valor 1,2. Em seguida, encontramos na primeira linha o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever: P(0 ≤ Z ≤ 1,25) = 0,3944 ou 39,44% Exemplo 1: Determine as probabilidades em porcentagem: Obs: verifique as situações possíveis nas páginas 19 e 20. a) P(-1,25 ≤ Z ≤ 0) = b) P(-0,5 ≤ Z ≤ 1,48) = c) P(0,8 ≤ Z ≤ 1,23) = d) P(Z ≥ 0,6) = e) P(Z ≤ 0,92) = ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 17 Exemplo 2: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que esta variável tenha distribuição normal com média 2 cm e desvio padrão 0,04 cm. Determine o valor do escore reduzido (z), sendo x = 2,06 cm. Exemplo 3: Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 500,00, com desvio padrão de R$ 40,00. Calcule a probabilidade em porcentagem de um operário ter um salário semanal situado entre R$ 490,00 e R$ 520,00. EXERCÍCIOS 11 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 18 ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA DE 0 A Z Ex: z = 0,85, probabilidade é igual a 0,3023 ou 30,23% ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 19 3. Curva Normal – Modelos para cálculo das probabilidades ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 20 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 21 4. AMOSTRAGEM 4.1. Conceitos a) População => é todo e qualquer conjunto a ser submetido a tratamento estatístico que possui uma característica comum. b) Amostra => é uma parte da população (subconjunto) convenientemente selecionado de acordo com uma regra ou plano. População População Amostra + + + + + + + + + + + + + + + Amostra + + + + + O número de elementos da amostra vai determinar o esquema que vamos montar, isto é com reposição e sem reposição; O número das possíveis amostras são representadas por: Kn 4.2. Cálculo do número de amostras a) COM REPOSIÇÃO Kn=Nn n=tamanho da amostra (número de elementos da amostra); N=tamanho da população (número de elementos da população). Exemplos: 1) Lançar uma moeda três vezes - duas possibilidades (cara ou coroa) em três lançamentos, ou seja: n=3 e N=2 k3 = 23 = 8 amostras de tamanho 3 Relembrando o espaço amostral (S) dessa situação, sendo a população P={cara, coroa}, c=cara e k=coroa: S = {(c,c,c);(c,c,k);(c,k,c);(k,c,c);(k,k,c);(k,c,k);(c,k,k),(k,k,k)} Note, portanto, que são oito combinações diferentes. ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 22 2) Lançar um dado duas vezes ( 6 possibilidades em 2 lançamentos ) – as 6 possibilidades são as faces do dado, ou seja, n=2 e N=6 k2 = 62 = 36 amostras de tamanho 2 Relembrando o espaço amostral (S) dessa situação, sendo a população P={1, 2, 3, 4, 5, 6}: S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3, 6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6 )} Note, portanto, que são 36 combinações diferentes. 3) Determine o número de amostras de tamanho 2 em uma população N de 10 elementos com reposição. K2=102=100 amostras de tamanho 2. O espaço amostral (S) seria: S = {(1,1); (1,2);.....; (10,9);(10,10)} b) SEM REPOSIÇÃO kn= ே! !(ேି)! Exemplos: 1) Lançar um dado duas vezes consecutivamente. Obs: Para a amostragem considere somente uma combinação para cada par de números. n = 2 e N = 6 k2 = ! ଶ!(ିଶ)! = ௫ହ௫ସ!ଶ௫ଵ௫ସ! = ଷଶ = 15 amostras de tamanho 2 S = {(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (4,5); (4,6); (5,6)} 2) Determine o número de amostras de tamanho 2 em uma população de 10 elementos sem reposição. K2= ଵ! ଶ!(ଵିଶ)!=ଵ!ଶ!଼!=ଵ௫ଽ௫଼!ଶ!଼! =ଵ௫ଽଶ௫ଵ =ଽଶ =45 45 amostras de tamanho 2 EXERCÍCIOS 12 ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 23 5. Distribuição Binomial de Probabilidade P(X=n) = Kn.pn.qN-n Kn → sem reposição, N = tamanho da amostra e n = tamanho da população. P(X=n) → é a probabilidade que o evento se realize n vezes em N provas. p = probabilidade de sucesso e q = probabilidade de insucesso q = 1 – p O cálculo da DistribuiçãoBinomial pode ser utilizado para qualquer situação em que temos duas alternativas, mas para facilitar o aprendizado, estudaremos apenas a situação de arremesso de uma moeda, nesse caso, a probabilidade de ocorrer cara é de 50%, assim como a de ocorrer coroa, ou seja, p = 0,5 e q = 0,5. Comparação entre o método dos Eventos e da Distribuição Binomial. ex1: Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de se obter uma cara em dois lançamentos. Solução: 1º Método dos Eventos S = {(c,c); (c,k); (k,c); (k,k)} e n(S) = 4 A = {(c,k); (k,c)} e n(A) = 2 logo: P(A) = () (ௌ) = ଶସ = 0,5 ou 50% 2º Método pela Distribuição Binomial P(x=3) = k1.p1.q2-1 = 2.0,5.(0,5)1 = 2.0,25 = 0,5 ou 50% Obs: O resultado deve ser o mesmo nos dois métodos, o uso do método da Distribuição é aconselhável em casos em que o número de arremessos é maior que 3, onde montar os eventos se torna mais trabalhoso e propenso a erros. Você ainda pode fazer a comparação dos dois métodos com três lançamentos. ex2: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. ESTATÍSITCA – 3º SEMESTRE – Profº Sandro Viégas BLOG: http://professorviegas.blogspot.com – SITE: http://www.professor-viegas.siteonline.com.br 24 6. Distribuição Geométrica de Probabilidade P(X=n) = qn-1.p p = probabilidade de sucesso q = probabilidade de insucesso n = número de elementos da amostra ex1: A probabilidade de chover em uma semana é de 40%. Determine: a) A probabilidade de chover no segundo dia da semana; b) A probabilidade de chover no terceiro dia da semana; c) A probabilidade de chover no segundo ou no terceiro dia da semana. ex2: Uma empresa teve duas grandes quedas nos lucros em 12 anos. Determine a probabilidade de nos próximos cinco anos ocorrer uma grande queda de lucro no segundo ano.
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