Condutores - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 6
Condutores
6.1 Breve Introduc¸a˜o
Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada ele´tron esta´ preso a um
particular a´tomo. Num condutor meta´lico, de forma diferente, um ou mais
ele´trons por a´tomo na˜o possuem restric¸o˜es quanto a movimentac¸a˜o atrave´s
do material. Eles esta˜o livres para estar na parte do condutor que desejarem.
( Em condutores l´ıquidos, como a a´gua com cloreto de so´dio, a´gua com sal
de cozinha, sa˜o os ı´ons que fazem esse movimento.
Um condutor perfeito poderia ser um material que possu´ısse a proprie-
dade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, na˜o existem
condutores perfeitos, mas muitas substaˆncias esta˜o muito pro´ximas de ser.
A partir dessa pequena definic¸a˜o, pode-se descobrir algumas propriedades
eletrosta´ticas de condutores ideais. Elas sera˜o listadas logo abaixo.
6.2 Propriedades dos Condutores
Essas propriedades esta˜o relacionadas com condutores em equil´ıbrio ele-
trosta´tico, ou seja, quando na˜o ha´ movimento ordenado de cargas ele´tricas
no seu interior e na sua superf´ıcie. Seus ele´trons livres encontram-se em
85
86 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
movimento aleato´rio.
Propriedade 1 (Propriedade Ba´sica). Um condutor e´ um so´lido que possui
muitos ele´trons livres. Os ele´trons podem se deslocar no interior da mate´ria,
mas na˜o deixar a superf´ıcie.
Propriedade 2. O Campo ele´trico dentro do condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico e´ nulo. ( E = 0 dentro do condutor )
Se tivesse campo dentro do condutor os ele´trons iriam se mover e na˜o es-
tariam na situac¸a˜o eletrosta´tica. Quando colocamos um condutor na presenc¸a
de um campo externo as cargas dentro do condutor tendera˜o a se distribuir
de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.
Figura 6.1
Propriedade 3. A densidade volume´trica de carga dentro do con-
dutor e´ zero.( ρ = 0 dentro do condutor )
�∇ · �E = ρ
ε0
, se �E = 0→ ρ = 0, no interior do condutor na˜o ha´ cargas.
Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superf´ıcie do con-
dutor.
Propriedade 5. O condutor e´ uma equipotencial.
Se �E = 0 dentro do condutor, enta˜o �E = −�∇V
Propriedade 6. �E e´ perpendicular a` superf´ıcie.
Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,�
�E · d�l = 0→ Va = Vb.
6.3. CARGA INDUZIDA 87
Figura 6.2
Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como
Edentro = 0, enta˜o o campo imediatamente fora e´ proporcional
a` densidade de carga local.
�E =
σ
ε0
nˆ
Em termos de potencial: σ = ε0
�
−∂V
∂n
�
Observac¸a˜o 6.1. Esta equac¸a˜o permite calcular a densidade de carga super-
ficial de um condutor.
6.3 Carga Induzida
Um condutor e´ um so´lido que possui muitos ele´trons livres. Os ele´trons
podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga ele´trica de
um condutor carregado eletricamente, devido as fenoˆmenos de atrac¸a˜o e re-
pulsa˜o eletrosta´ticas, observa-se uma nova distribuic¸a˜o das cargas ele´tricas
no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor
Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitra´ria.
Consideremos uma superf´ıcie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E
= 0 (campo dentro do condutor = 0). Enta˜o o fluxo atrave´s de S = 0, logo
a carga total dentro de S e´ zero.
88 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
Figura 6.3
Figura 6.4
Mas se a carga total e´ igual a zero, poder´ıamos dizer que ha´ igual quan-
tidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presenc¸a de um
campo ele´trico. Se tive´ssemos esta situac¸a˜o,
�
Γ
�E · d�l �= 0, o que na˜o pode
ser. Portanto, na˜o pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na
superf´ıcie interna.
Nenhuma distribuic¸a˜o esta´tica de cargas externas pode produzir campo
no interior do condutor.
Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.
Teremos cargas induzidas na superf´ıcie interna, afim de cancelar o campo
dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Trac¸ando uma gaussiana S que
conte´m a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana e´ zero, pore´m,
6.3. CARGA INDUZIDA 89
Figura 6.5
Figura 6.6
trac¸ando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo
na cavidade na˜o e´ zero.
Fato Importante:
Campo dentro do condutor e´ zero!
A cavidade e seu conteu´do esta˜o eletricamente isolados do mundo ex-
terno ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele sera´
cancelado pela carga induzida na superf´ıcie externa ( da mesma forma que a
cavidade vazia ). A cavidade esta´ isolada do mundo externo ao condutor.
Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma
cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade ha´ uma carga q. Qual
e´ o campo fora?
Havera´ dependeˆncia com a forma da cavidade?
Resoluc¸a˜o. A carga +q induzida, por sua vez, na superf´ıcie externa ira´ se
90 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
Figura 6.7
distribuir uniformemente na superf´ıcie da esfera. (a influeˆncia assime´trica da
carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superf´ıcie interna).
O campo externo sera´ igual ao produzido pela superf´ıcie esfe´rica carregada
com carga +q.
�E =
q
4πε0r2
rˆ
O condutor, dessa forma, cria uma barreira, na˜o deixando passar ne-
nhuma informac¸a˜o sobre como e´ a cavidade, revelando somente a carga total
que a mesma possui.
6.4 Me´todo das Imagens
Suponha uma carga q a uma distaˆncia d de um plano condutor aterrado.
Pergunta: Qual e´ o potencial na regia˜o acima do plano?
Na˜o e´ so´ q
4πε0r
, pois havera´ carga induzida no plano condutor e na˜o
sabemos quanta carga e´ induzida e como ela esta´ distribu´ıda.
Outra situac¸~ao: : Carga e uma esfera condutora.
6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 91
Figura 6.8
Figura 6.9
Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito
mais simples que ja´ estudamos: duas cargas +q e -q ; e A e B superf´ıcies
equipotenciais.
Figura 6.10
Considere a superf´ıcie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha
fina de metal da forma desta superf´ıcie. Se a colocarmos exatamente no
lugar da superf´ıcie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor
92 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
apropriado de forma que nada mudasse, no´s na˜o dar´ıamos conta de que a
superf´ıcie meta´lica estaria ali.
Ter´ıamos a soluc¸a˜o do novo problema:
Figura 6.11
O campo no exterior ao condutor e´ exatamente o mesmo campo de duas
cargas pontuais!
Dentro �E = 0 e �E e´ perpendicular a` superf´ıcie.
Enta˜o, para calcularmos os campos das situac¸o˜es discutidas, basta calcu-
lar o campo devido a` uma carga q e uma carga -q imagina´ria localizada em
um ponto apropriado.
Caso mais simples:
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado
Figura 6.12
V (x, y, z) =
1
4πεo

 q�
x2 + (y − d)2 + z2
� 1
2
−
q�
x2 + (y + d)2 + z2
� 1
2


6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 93
Figura 6.13
, para y ≥ 0.
Condic¸a˜o de contorno
V (x, 0, z) = 0
V → 0parar˜→∞
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do
Plano
σ = −εo
∂V
∂n
= −εo
∂V
∂y
����
y=0
σ (x, y, z) = −
εoq
4πεo
∂
∂y

 1�
x2 + (y − d)2 + z2
� 1
2
−
1�
x2 + (y + d)2 + z2
� 1
2


������
y=0
σ (x, y, z) = −
q
4π

 2 (y − d)
�
−1
2
�
�
x2 + (y − d)2 + z2
� 3
2
−
2 (y + d)
�
−1
2
�
�
x2 + (y + d)2 + z2
� 3
2


������
y=0
σ (x, y, z) = −
q
2π
d
(x2 + d2 + z2)
3
2
94 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
⇒ σ e´ negativa como esperado.
A carga total induzida
Qinduzida =
�
σds = −ε0k2qd
�
ds
(x2 + y2 + z2)
3
2
x2 + z2 = d2
ds = rdθdr
Qinduzida = −ε0k2qd
∞�0
2π�
0
rdθdr
(r2 + d2)
3
2
Qinduzida = −ε0kqd2π
∞�
d2
du
(u)
3
2
=
−ε0kqd
4πε0
2π
�
2
d
�
= −q
r2 + d2 = u
du = 2rdr
A carga q e´ atra´ıda pelo plano, pois ha´ carga negativa induzida.
Forc¸a de atrac¸a˜o �F = − q
2
4πεo(2d)
2 jˆ
No´s assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem
tudo e´ igual.
A energia:
U =
1
2
�
E2dv
Uduascargas = −
1
4πεo
q2
2d
6.5. PODER DAS PONTAS 95
Ucargaeplanocondutor = −
1
8πεo
q2
2d
que e´ a metade. Por que?
Somente a regia˜o de y¿0 possui E �= 0
A integral U = 1
2
∞�
0
E2dv = 1
2
1
2
∞�
−∞
E2dv
Tudo isso foi poss´ıvel, pois:
Dado uma configurac¸a˜o de condic¸o˜es de contorno, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de
Laplace e´ u´nica, de modo que, se algue´m obtiver uma soluc¸a˜o V (x, y, z) por
qualquer meio e se este V satisfizer todas as condic¸o˜es de contorno, ter-se-a´
encontrado enta˜o uma soluc¸a˜o completa do problema.
6.5 Poder das Pontas
Figura 6.14
Figura 6.15
VAα
Q�A
RA
VBα
Q�B
RB
96 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
VA = VB ⇒
Q�A
RA
=
Q�B
RB
Q�A
RA
=
4πR2Aσ
�
A
RA
=
4πR2Bσ
�
B
RB
⇒
RAσ
�
A = RBσ
�
B
⇒
σ�A
σ�B
=
RB
RA
⇒
σ�A =
RB
RA
σ�B
6.6 Carga Na Superf´ıcie e Forc¸a Em UmCon-
dutor
Ja´ vimos que �E = σ
εo
nˆ (Campo externo ) e vimos que σ = −εo
∂V
∂n
.
Na presenc¸a de um campo ele´trico, uma superf´ıcie carregada ira´ sentir
uma forc¸a.
⇒ Forc¸a por unidade de a´rea �f = σ �E.
Mas temos um problema: o campo e´ descont´ınuo na superf´ıcie. Qual devo
usar: �Eacima, �Eabaixo
Resposta: Voceˆ deve usar a me´dia dos dois:
�f = σ �Emedia =
1
2
σ
�
�Eacima + �Eabaixo
�