Somatórios: Propriedades e Exercícios

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Somato´rios: propriedades e exerc´ıcios
Consideremos a seguinte soma:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102.
Existe uma forma abreviada de representar esta soma, recorrendo a um s´ımbolo, que desi-
gnamos por s´ımbolo de somato´rio
∑
. Assim a soma anterior, passa a poder representar–se
por
10∑
k=1
k2,
que se leˆ: somato´rio desde k = 1 ate´ 10, de k2. A letra k diz–se o ı´ndice da soma (ou do
somato´rio) e pode ser substitu´ıda por qualquer outra (que na˜o intervenha na soma), como
por exemplo: i, j, l, m, n, p, etc. Diz–se assim que k e´ um ı´ndice mudo. O simbolo
∑
e´ a
letra grega sigma maiu´sculo do alfabeto grego.
Mais geralmente, a soma
ap + ap+1 + · · ·+ an,
pode ser representar–se abreviadamente por
∑n
i=p ai. Diz–se que p e´ o limite inferior e n o
limite superior, do somato´rio.
Exemplos. 1) 22 + 23 + 24 + 25 =
5∑
i=2
2i.
2)
4∑
k=−1
k = −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9.
Propriedades dos Somato´rios
Sejam m, n ∈ N, tais que m < n e ai, bi ∈ R, para i = m, m + 1, · · · , n e c uma constante
real.
1) Propriedade Aditiva
n∑
i=m
(ai + bi) =
n∑
i=m
ai +
n∑
i=m
bi.
2) Propriedade Homoge´nea
n∑
i=m
(cai) = c
n∑
i=m
ai.
3) Propriedade Telesco´pica
n∑
k=m
(ak − ak+1) = am − an+1.
Demonstrac¸a˜o de 1). A demonstrac¸a˜o da propriedade anterior baseia–se nas propriedades
1
comutativa e associativa da adic¸a˜o. Assim:
n∑
i=m
(ai + bi) = (am + bm) + (am+1 + bm+1) + · · ·+ (an + bn)
= am + bm + am+1 + bm+1 + · · ·+ an + bn
= am + am+1 + · · ·+ an + bm + bm+1 + · · ·+ bn
=
n∑
i=m
ai +
n∑
i=m
bi.�
Demonstrac¸a˜o de 2).
n∑
i=m
(cai) = cam + cam+1 + · · ·+ can
= c(am + am+1 + · · ·+ an)
= c
n∑
i=m
ai.�
Demonstrac¸a˜o de 3). Desenvolvendo o somato´rio
n∑
k=m
(ak − ak+1), obtemos a soma
(am − am+1) + (am+1 − am+2) + (am+2 − am+3) + · · ·+ (an−2 − an−1) + (an−1 − an),
associando os termos de uma forma diferente, obtemos,
am + (−am+1 + am+1) + (−am+2 + am+2) + · · ·+ (−an−1 + an−1)− an,
donde conclu´ımos a fo´rmula.�
Exemplos. 4) Seja c uma constante real, enta˜o
n∑
i=m
c = c(n−m+ 1).
5) Tem–se
n∑
k=0
k =
n(n+ 1)
2
.
Demonstrac¸a˜o. Da propriedade telesco´pica, temos que
n∑
k=0
[(k + 1)2 − k2] = (n+ 1)2.
Por outro lado,
n∑
k=0
[(k + 1)2 − k2] =
n∑
k=0
(2k + 1).
Usando as propriedades aditiva e homoge´nea, no u´ltimo somato´rio, vem:
n∑
k=0
[(k + 1)2 − k2] = 2
n∑
k=0
k +
n∑
k=0
1.
Do Exemplo 4), vem enta˜o:
(n+ 1)2 = 2
n∑
k=0
k + (n+ 1),
2
donde
n∑
k=0
k =
(n+ 1)2 − (n+ 1)
2
=
n(n+ 1)
2
.�
Exerc´ıcio. Prove que
n∑
k=0
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
Sugesta˜o: Tenha em conta que (k+1)3 − k3 = 3k2 +3k+1, a propriedade telesco´pica e
o resultado do Exemplo 5).
Proposic¸a˜o. Sejam m, n, ∈ N, ai ∈ R, para i= m, · · · , n. Tem–se
a)
n∑
k=m
ak =
n+p∑
k=m+p
ak−p, p ∈ Z.
b)
n∑
k=m
ak =
−m∑
k=−n
a−k.
Demonstrac¸a˜o. Vejamos a prova de a).
n∑
k=m
ak = am + am+1 + am+2 + · · ·+ an
= am+p−p + am+p+1−p + am+p+2−p + · · ·+ an+p−p
=
n+p∑
k=m+p
ak−p.�
3
Exerc´ıcios
1. Utilizando o simbolo de somato´rio, represente as seguintes somas
(a) z1 + z2 + · · ·+ z27
(b) x1y1 + x2y2 + · · ·+ x10y10
(c) (a2 − b2) + (a3 − b3) + · · ·+ (a15 − b15)
(d) 33 + 43 + · · ·+ 103
(e) b0 + b1x+ b2x2 + b3x3 + b4x4
(f) 1 + 22 + 33 + 44 + · · ·+ 2525
2. Calcule o valor de
a)
5∑
j=1
(−1)j+1
j
b)
n∑
k=2
(2k − 2k−1)
3. Calcular, aplicando a propriedade telesco´pica,
(a)
n∑
k=1
((k + 1)3 − k3)
(b)
n∑
i=2
1
i(i− 1)
(c)
500∑
j=10
1
j(j + 1)(j + 2)
atendendo a que 1j(j+1)(j+2) =
1
2
(
1
j(j+1) − 1(j+1)(j+2)
)
4. Averigue o valor lo´gico de cada uma das proposic¸o˜es seguintes
(a)
200∑
k=0
k3 =
200∑
k=1
k3
(b)
100∑
i=0
(3 + i) = 3 +
100∑
i=0
i
(c)
200∑
k=1
(3k) = 3
200∑
k=1
k
(d)
12∑
k=0
k3 =
(
12∑
k=0
k
)3
(e)
100∑
j=1
(3 + j) = 300 +
100∑
j=1
j
5. Determine k de modo que seja
(a)
50∑
i=1
(5 + i) = 10k +
50∑
i=5
i
(b)
10∑
i=1
(1 + i)2 = k +
10∑
i=1
i2
4
(c)
20∑
i=10
i2 =
18∑
i=10
i2 + k
(d)
600∑
i=1
5i3 = 10k
600∑
i=1
i3
(e)
51∑
i=0
(i+ k) = (
51∑
i=1
i) + 104.
6. Recorrendo a propriedades de somato´rios calcule:
(a)
50∑
i=0
(3 + i)
(b)
10∑
k=0
(5 + 4k)
(c)
n∑
k=1
[(2k + 1)2 − (2k)2]
(d)
n∑
k=1
((5k + 1)2 − (5k − 1)2)
(e)
n∑
k=1
(
1
5k
− 1
5k+1
)
(f)
n∑
i=1
(
i+ 1
2i− 1 −
i+ 2
2i+ 1
)
.
5
Soluc¸o˜es
1. (a)
27∑
i=1
zi
(b)
10∑
i=1
xiyi
(c)
15∑
i=2
(ai − bi)
(d)
10∑
i=3
i3
(e)
4∑
i=0
bix
i
(f)
25∑
i=1
ii
2. (a) 47/60
(b) 2n − 2
3. (a) n3 + 3n2 + 3n
(b) 1− 1/n
(c) 1/2(1/(10 · 11)− 1/(501 · 502))
4. (a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Verdadeira
5. (a) k = 26
(b) k = 120
(c) 192 + 202
(d) k = 1/2
(e) k = 2
6. (a) 1428
(b) 275
(c) 2n2 + 3n
(d) 10(n2 + n)
(e) (5n − 1)/5n+1
(f) 3n/(2n+ 1)
6