Estatística e Probabilidades

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para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
A Tabela V do apêndice mostra pontos percentuais da
distribuição t .
O valor t\u3b1;k é o ponto da distribuição t com k graus de
liberdade que deixa uma área \u3b1 acima dele.
Exemplo:
P(T10 > t0,05;10) = P(T10 > 1,812) = 0,05 .
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
A distribuição t é simétrica em torno do zero.
Portanto
t1\u2212\u3b1,n = \u2212t\u3b1,n .
Exemplo:
t0,95;10 = \u2212t0,05;10 = \u22121,812 .
Observação:
quando os graus de liberdade crescem a distribuição t se
aproxima da Normal.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Para encontrarmos o IC com 100(1\u2212 \u3b1)% vamos proceder
como antes.
Sabemos que
T = X¯ \u2212 µS/\u221an
tem uma distribuição t com n \u2212 1 graus de liberdade.
Encontramos t\u3b1/2;n\u22121 tal que
P(\u2212t\u3b1/2;n\u22121 \u2264 T \u2264 t\u3b1/2;n\u22121) = 1\u2212 \u3b1
ou seja
P
(
\u2212t\u3b1/2;n\u22121 \u2264
X¯ \u2212 µ
S/
\u221a
n
\u2264 t\u3b1/2;n\u22121
)
= 1\u2212 \u3b1
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Isolando o µ temos que
P
(
X¯ \u2212 t\u3b1/2;n\u22121S/
\u221a
n \u2264 µ \u2264 X¯ + t\u3b1/2;n\u22121S/
\u221a
n
)
= 1\u2212 \u3b1 .
O intervalo de confiança para µ fica
x¯ \u2212 t\u3b1/2;n\u22121s/
\u221a
n \u2264 µ \u2264 x¯ + t\u3b1/2;n\u22121s/
\u221a
n .
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo para média com variância desconhecida
Considere uma amostra
X1, . . . ,Xn
vinda de uma população normal com média µ e variância \u3c32.
Os valores µ e \u3c32 são desconhecidos.
Sejam x¯ e s a média e desvio padrão observados para essa
amostra.
Um intervalo com 100(1 \u2212 \u3b1)% de confiança para µ é
x¯ \u2212 t\u3b1/2;n\u22121s/
\u221a
n \u2264 µ \u2264 x¯ + t\u3b1/2;n\u22121s/
\u221a
n
onde t\u3b1/2;n\u22121 é o ponto da distribuição t com n \u2212 1 graus de
liberdade tal que
P(Tn\u22121 \u2264 t\u3b1/2) = 1\u2212 \u3b1/2 .
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo:
22 corpos de prova são analisados.
São registradas as cargas no ponto de falha.
O gráfico de probabilidade abaixo mostra que a
distribuição é próxima da normal.
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo: (continuação)
Os dados são
x¯ = 13,71 s = 3,55 n = 22 .
Queremos um intervalo com 95% de confiança.
Os graus de liberdade são n \u2212 1 = 21.
Pela tabela
t0,025;21 = 2,080 .
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo: (continuação)
O intervalo resultante é
x¯ \u2212 t\u3b1/2;n\u22121s/
\u221a
n \u2264 µ \u2264 x¯ + t\u3b1/2;n\u22121s/
\u221a
n
13,71\u22122,080(3,55)/
\u221a
22 \u2264 µ \u2264 13,71+2,080(3,55)/
\u221a
22
12,14 \u2264 µ \u2264 15,28 .
O intervalo é razoavelmente amplo por causa da
variabilidade dos dados.
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
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		Introdução
		Intervalo para média com variância conhecida
		Intervalo de confiança para com amostra grande
		Intervalo para média com variância desconhecida
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/AULAS/Capitulo_8_2.pdf
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Intervalos Estatísticos para uma única
Amostra - parte II
Intervalo de confiança para proporção
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
1 Introdução
2 Construção do Intervalo
3 Determinação do Tamanho de Amostra
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Construir intervalos de confiança para proporção de uma
população.
Esses intervalos serão construídos usando a distribuição
normal e o Teorema Central do Limite.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Muitas vezes queremos estimar a proporção de uma
determinada população.
Exemplo: proporção de consumidores que preferem
determinada marca de refrigerante.
Uma amostra de tamanho n é retirada de uma população
grande.
X (X \u2264 n) dessas observações pertencem a uma
determinada classe.
Então
P\u2c6 = X
n
é um estimador da proporção p que pertence a essa
classe.
Observe que X \u223c Bin(n,p) e queremos estimar p.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Seja Xi uma variável binária
Xi =
{
1 se a i-ésima observação pertence à classe de interesse
0 caso contrário.
Temos que
X =
n\u2211
i=1
Xi .
Então X é uma média de variáveis i.i.d. com distribuição
Bernoulli(p).
Pelo Teorema Central do Limite
Z =
\u2211
i Xi \u2212 E(
\u2211
i Xi)\u221a
Var(
\u2211
i Xi)
=
\u2211
i Xi \u2212 nE(X )\u221a
nVar(Xi)
\u223c N(0,1)
ou seja
Z = X \u2212 np\u221a
np(1\u2212 p)
\u223c N(0,1) .
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Aproximação Normal para uma Proporção Binomial
Se n for grande, a distribuição de
Z = X \u2212 np\u221a
np(1\u2212 p)
=
P\u2c6 \u2212 p\u221a
p(1\u2212p)
n
será aproximadamente uma normal padrão.
Observação: Essa aproximação é boa desde que np > 5 e
n(1\u2212 p) > 5.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Para construírmos um intervalo para p com 100(1\u2212 \u3b1)%
de confiança precisamos que
P(\u2212z1\u2212\u3b12 \u2264 Z \u2264 z1\u2212\u3b12 ) = 1\u2212 \u3b1
ou seja
P
\uf8eb
\uf8ed\u2212z1\u2212\u3b12 \u2264 P\u2c6 \u2212 p\u221ap(1\u2212p)
n
\u2264 z1\u2212\u3b12
\uf8f6
\uf8f8 = 1\u2212 \u3b1 .
Isolando p ficamos com
P
(
P\u2c6 \u2212 z1\u2212\u3b12
\u221a
p(1\u2212 p)
n
\u2264 p \u2264 P\u2c6 + z1\u2212\u3b12
\u221a
p(1\u2212 p)
n
)
= 1\u2212\u3b1.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Porém não sabemos o valor de p para construir o
intervalo.
Então precisamos estimar esse valor por P\u2c6.
O intervalo fica
P
\uf8eb
\uf8edP\u2c6 \u2212 z1\u2212\u3b12
\u221a
P\u2c6(1\u2212 P\u2c6)
n
\u2264 p \u2264 P\u2c6 + z1\u2212\u3b12
\u221a
P\u2c6(1\u2212 P\u2c6)
n
\uf8f6
\uf8f8 = 1\u2212\u3b1.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Intervalo de Confiança para uma Proporção Binomial
Considere uma amostra aleatória de tamanho n.
Uma proporção p\u2c6 dessa amostra pertence a uma classe
de interesse.
Queremos construir um intervalo aproximado para a
proporção p da população que pertence à classe.
O intervalo com 100(1\u2212 \u3b1)% de confiança é dado por
P\u2c6 \u2212 z1\u2212\u3b12
\u221a
P\u2c6(1\u2212 P\u2c6)
n
\u2264 p \u2264 P\u2c6 + z1\u2212\u3b12
\u221a
P\u2c6(1\u2212 P\u2c6)