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M O T I V A Ç Ã O A tendência moderna em sistemas dinâmicos é no sentido de uma maior complexidade, devido principalmente ao requisitos individuais de tarefas complexas e de alta precisão. Os sistemas complexos podem ter várias entradas e várias saídas. Tais sistemas podem ser lineares ou não lineares e podem ser invariantes no tempo ou intervalo de tempo compreendido. 2 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada O B J E T I V O S Apresentar uma abordagem muito poderosa para o tratamento de sistemas complexos, com base no conceito de estado. 3 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS • É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Variáveis de Estado. • Nesta representação, um modelo matemático descrito por uma equação diferencial de ordem n é substituído por um sistema de n equações diferenciais, todas de 1ª ordem. • Se o modelo matemático for descrito por m equações diferenciais de ordem n, então ele será substituído por um sistema de m x n equações diferenciais de 1a ordem. • A representação no espaço de estados é particularmente útil na análise e no projeto de sistemas de controle. 4 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Principais Características • Domínio do tempo; • Quaisquer condições iniciais; • Aplicabilidade mais ampla; Sistemas lineares e não-lineares, invariantes e variantes no tempo, sistemas SISO (Single Input, Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) 5 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Principais Vantagens • Equações mais adaptadas à solução computacional, por ser matricial; • Equações de primeira ordem, onde a solução é conceitualmente simples e conhecida; 6 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada DEFINIÇÕES IMPORTANTES • ESTADO: Menor conjunto de variáveis (denominadas variáveis de estado) independentes tal que o conhecimento dessas variáveis no instante t = t0, juntamente com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para t ≥ t0. • VARIÁVEIS DE ESTADO: São as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema. Não precisam ser grandezas fisicamente mensuráveis ou observáveis. A quantidade de variáveis de estado é igual à quantidade de condições iniciais 7 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada DEFINIÇÕES IMPORTANTES • VETOR DE ESTADO: Vetor cujas componentes são as n variáveis de estado. Determina univocamente o estado do sistema para qualquer instante t ≥ t0, uma vez que o estado em t = t0 seja dado e a entrada u(t) para qualquer instante t ≥ t0 seja especificada. • ESPAÇO DE ESTADOS: Espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são as variáveis de estado. Portanto, qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estado. 8 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADOS PARA SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO Equação de estado Equação de saída 10 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada EXEMPLO 01: Sistema massa-mola-amortecedor Considere o sistema mecânico ao lado. Admita que o sistema seja linear. A força externo u(t) é a entrada do sistema e o deslocamento y(t) é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da força externa. Representar este sistema no espaço de estados. 11 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 1º PASSO: Determinar a equações diferencial para o sistema. 12 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 2º PASSO: Quantas variáveis de estado são necessárias? 13 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Como o sistema é de 2ª ordem, ele possui duas condições iniciais, logo necessita de DUAS VARIÁVEIS DE ESTADO para descrever completamente a dinâmica do sistema. SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 3º PASSO: Quais são as variáveis de estado? 14 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada São as correspondentes às condições iniciais do problema. Não confundir variável de estado (ente matemático) com variável física. SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 4º PASSO: Reescrever a ED. 15 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Variáveis de estado Modelo matemático Equação de saída SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 5º PASSO: Escrever as equações de estado e de saída. 16 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Equação de estado Equação de saída SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 Que estão na forma padronizada 17 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Onde 18 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada VETOR DE ESTADO 19 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada A ED da n-ésima variável é: Definimos então: SISTEMAS COM DERIVADAS NA EXCITAÇÃO 20 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada O conjunto de n variáveis não se qualifica como um conjunto de variáveis de estado, e o método direto empregado anteriormente não pode ser usado, porque as n equações diferenciais de primeira ordem podem não conduzir a uma solução única. Então, mudamos a “definição” das variáveis de estado. onde EXEMPLO 02 Considere o sistema abaixo. Representá-lo no Espaço de Estados. 21 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 A equação do movimento é dada por Reescrevendo Com a forma padronizada ficamos com Os coeficientes, então, são: 22 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Obtemos então Logo, as variáveis de estados são SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 23 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Obtemos então Logo, as variáveis de estados são SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 24 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Finalmente SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 25 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada EXEMPLO 03 26 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada Considere o sistema de suspensão dianteira de uma motocicleta. Uma versão simplificada é mostrado na figura abaixo. O ponto P é o ponto de contato com o solo. O deslocamento vertical u do ponto P é a entrada para o sistema. Os deslocamentos X e Y são medidos a partir das respectivas posições de equilíbrio antes da entrada u ser dada ao sistema. Suponha que m1, b1 e k1 representa o pneu e amortecedor de choque da frente e m2, b2, e k2 representam a metade do corpo do veículo. Considere-se também que o sistema está em repouso para t <0. Em t = 0, P é dado por uma entrada de colisão triangular como mostrado na (b). O ponto P só movimenta-se na direção vertical. Assume-se que m1 = 10 kg, m2 = 100 kg, b1= 50 Ns/m, b2= 100 Ns/m, k1 = 50 N/m e k2 = 200 N/m. Obtenha uma representação de espaço de estado deste sistema. DÚVIDAS ? 28 Modelagem no Espaço de Estados Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada
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