Buscar

aula04 - Modelagem no Espaço de Estados

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 26 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 26 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 26 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

M O T I V A Ç Ã O 
 A tendência moderna em sistemas dinâmicos é no 
sentido de uma maior complexidade, devido principalmente 
ao requisitos individuais de tarefas complexas e de alta 
precisão. Os sistemas complexos podem ter várias entradas e 
várias saídas. Tais sistemas podem ser lineares ou não 
lineares e podem ser invariantes no tempo ou intervalo de 
tempo compreendido. 
2 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
O B J E T I V O S 
 Apresentar uma abordagem 
muito poderosa para o tratamento 
de sistemas complexos, 
com base no conceito 
de estado. 
3 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS 
• É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o 
conceito de Variáveis de Estado. 
• Nesta representação, um modelo matemático descrito 
por uma equação diferencial de ordem n é substituído 
por um sistema de n equações diferenciais, todas de 1ª 
ordem. 
• Se o modelo matemático for descrito por m equações 
diferenciais de ordem n, então ele será substituído por 
um sistema de m x n equações diferenciais de 1a 
ordem. 
• A representação no espaço de estados é 
particularmente útil na análise e no projeto de 
sistemas de controle. 
4 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Principais Características 
• Domínio do tempo; 
 
• Quaisquer condições iniciais; 
 
• Aplicabilidade mais ampla; 
Sistemas lineares e não-lineares, invariantes e 
variantes no tempo, sistemas SISO (Single Input, 
Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, Multiple 
Outputs) 
5 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Principais Vantagens 
• Equações mais adaptadas à solução 
computacional, por ser matricial; 
 
 
• Equações de primeira 
ordem, onde a solução é 
conceitualmente simples 
e conhecida; 
6 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
DEFINIÇÕES IMPORTANTES 
• ESTADO: Menor conjunto de variáveis (denominadas 
variáveis de estado) independentes tal que o 
conhecimento dessas variáveis no instante t = t0, 
juntamente com o conhecimento da entrada para t ≥ 
t0, determina completamente o comportamento do 
sistema para t ≥ t0. 
 
• VARIÁVEIS DE ESTADO: São as grandezas cujo 
conjunto de valores determina o estado do sistema. 
Não precisam ser grandezas fisicamente mensuráveis 
ou observáveis. A quantidade de variáveis de estado 
é igual à quantidade de condições iniciais 
7 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
DEFINIÇÕES IMPORTANTES 
• VETOR DE ESTADO: Vetor cujas componentes são as 
n variáveis de estado. Determina univocamente o 
estado do sistema para qualquer instante t ≥ t0, uma 
vez que o estado em t = t0 seja dado e a entrada u(t) 
para qualquer instante t ≥ t0 seja especificada. 
 
• ESPAÇO DE ESTADOS: Espaço n-dimensional cujos 
eixos coordenados são as variáveis de estado. 
Portanto, qualquer estado pode ser representado 
por um ponto no espaço de estado. 
8 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADOS 
PARA SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO 
 
 Equação de estado 
 
 Equação de saída 
 
 
10 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
EXEMPLO 01: Sistema massa-mola-amortecedor 
 Considere o sistema mecânico ao 
lado. Admita que o sistema seja 
linear. A força externo u(t) é a 
entrada do sistema e o 
deslocamento y(t) é medido a partir 
da posição de equilíbrio na ausência 
da força externa. 
 Representar este sistema no 
espaço de estados. 
11 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 
1º PASSO: Determinar a equações 
diferencial para o sistema. 
12 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 
2º PASSO: Quantas variáveis de 
estado são necessárias? 
13 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
 Como o sistema é de 2ª ordem, 
ele possui duas condições iniciais, 
logo necessita de DUAS VARIÁVEIS 
DE ESTADO para descrever 
completamente a dinâmica do 
sistema. 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 
3º PASSO: Quais são as variáveis de 
estado? 
 
14 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
 
 São as correspondentes às condições iniciais do 
problema. 
 
Não confundir variável de estado (ente matemático) com variável física. 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 
4º PASSO: Reescrever a ED. 
 
 
 
 
15 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Variáveis de estado 
Modelo matemático 
Equação de saída 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 
 
 
5º PASSO: Escrever as equações de estado e de saída. 
 
 
 
 
 
16 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Equação de 
estado 
Equação de 
saída 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 01 
Que estão na forma padronizada  
 
 
 
 
 
17 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Onde 
 
 
 
 
 
18 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
VETOR DE 
ESTADO 
 
 
 
 
 
19 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
A ED da n-ésima variável é: 
 
 
 
 
Definimos então: 
SISTEMAS COM DERIVADAS NA EXCITAÇÃO 
20 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
 O conjunto de n variáveis não se qualifica como um conjunto de 
variáveis de estado, e o método direto empregado anteriormente não pode ser usado, 
porque as n equações diferenciais de primeira ordem podem não conduzir a uma solução 
única. Então, mudamos a “definição” das variáveis de estado. 
onde 
EXEMPLO 02 
Considere o sistema abaixo. Representá-lo no 
Espaço de Estados. 
 
 
 
 
 
21 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 
A equação do movimento é dada por 
 
Reescrevendo 
 
Com a forma padronizada ficamos com 
 
Os coeficientes, então, são: 
 
 
 
22 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Obtemos então 
 
 
 
Logo, as variáveis de estados são 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 
23 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Obtemos então 
 
 
 
Logo, as variáveis de estados são 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 
24 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
Finalmente 
SOLUÇÃO - EXEMPLO 02 
25 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
EXEMPLO 03 
26 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada 
 Considere o sistema de suspensão dianteira de uma 
motocicleta. Uma versão simplificada é mostrado na figura 
abaixo. O ponto P é o ponto de contato com o solo. O 
deslocamento vertical u do ponto P é a entrada para o sistema. 
Os deslocamentos X e Y são medidos a partir das respectivas 
posições de equilíbrio antes da entrada u ser dada ao sistema. 
Suponha que m1, b1 e k1 representa o pneu e amortecedor de 
choque da frente e m2, b2, e k2 representam a metade do corpo 
do veículo. Considere-se também que o sistema está em 
repouso para t <0. Em t = 0, P é dado por uma entrada de 
colisão triangular como mostrado na (b). O ponto P só 
movimenta-se na direção vertical. Assume-se que m1 = 10 kg, 
m2 = 100 kg, b1= 50 Ns/m, b2= 100 Ns/m, k1 = 50 N/m e k2 = 
200 N/m. Obtenha uma representação de espaço de estado 
deste sistema. 
DÚVIDAS ? 
 
28 Modelagem no Espaço de Estados 
Profº Sérgio Luiz – Modelagem Integrada

Outros materiais