aula07 - Modelagem de sistemas elétricos

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Modelagem matemática 
de Sistemas Elétricos 
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O B J E T I V O 
 Mostrar os princípios básicos 
para obtenção dos modelos 
matemáticos de sistemas elétricos e 
obtê-los. 
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SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
 Circuito ou circuitos elétricos 
inter-relacionados destinados a atingir 
um determinado objetivo. 
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EXEMPLOS DE 
SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
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SISTEMAS ELÉTRICOS: INTRODUÇÃO 
ELEMENTOS PASSIVOS VERSUS ELEMENTOS ATIVOS 
 
 
 Apesar de poderem armazenar 
ou dissipar energia que já está presente 
no circuito, eles não podem introduzir 
energia adicional para o circuito. 
Capacitores 
Indutores 
Resistores 
 Fontes de tensão e 
corrente elétrica. Podem 
introduzir energia adicional 
para o circuito elétrico. 
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R E S I S T O R 
 
 
 
ELEMENTOS 
PASSIVOS 
IDEAIS 
 É um dispositivo elétrico 
muito utilizado em elétrica, 
ora com a finalidade de 
transformar energia 
elétrica em energia 
térmica por meio do efeito 
Joule, ora com a finalidade 
de limitar a corrente 
elétrica em um circuito. 
 Eles tem por finalidade 
oferecer uma oposição à 
passagem de corrente 
elétrica, através de seu 
material. A essa oposição 
damos o nome de resistência 
elétrica. 
 
 
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RESISTÊNCIA 
(Resistor de Ohm ou linear) 
 Onde eR é a voltagem 
(tensão) que atravessa o 
resistor de resistência R e i é 
corrente elétrica que passa 
pelo resistor. 
 
 
Unidade de 
 resistência 
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C A P A C I T O R 
 
 
 
ELEMENTOS 
PASSIVOS 
IDEAIS 
 Dois condutores 
separados por um meio não 
condutor formam um capacitor, 
ou seja, duas placas metálicas 
separadas por um material 
dielétrico muito fino forma um 
capacitor. Estes dispositivos 
tem a propriedade de 
armazenar energia elétrica sob 
a forma de um campo 
eletrostático. 
 
 
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CAPACITÂNCIA 
 É uma medida da quantidade de carga 
elétrica que pode ser armazenada para uma 
determinada voltagem entre as placas. 
 
 Corrente Elétrica que atravessa 
 um capacitor é dada por: 
 
 
Tensão Elétrica que atravessa 
 um capacitor é dada por: 
 
 
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I N D U T O R 
 
 
 
ELEMENTOS 
PASSIVOS 
IDEAIS 
 É um dispositivo elétrico que armazena energia na 
forma de campo magnético, normalmente 
combinando o efeito de vários loops da corrente 
elétrica. O indutor pode ser utilizado em 
circuitos como um filtro passa baixa, rejeitando as 
altas frequências. Também costuma ser chamado 
de bobina, reator. 
 
 
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INDUTÂNCIA 
 A indutância é dada por: 
 
 
 
 Temos, então, as expressões que quantificam a 
corrente elétrica e a tensão que atravessa o indutor. 
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ASSOCIAÇÃO DE ELEMENTOS 
ELÉTRICOS PASSIVOS 
 
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ELEMENTOS ELÉTRICOS ATIVOS 
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MODELAGEM DE 
SISTEMAS ELÉTRICOS 
 A modelagem matemática 
de um sistema elétrico simples é 
realizada aplicando-se as Leis 
de Kirchhoff. 
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MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
• O primeiro passo na análise de problemas 
relacionados a circuitos elétricos é a obtenção de modelos 
matemáticos. 
 
• Estes modelos serão obtidos através da aplicação de uma ou de 
ambas as leis de Kirchhoff para um determinado circuito. 
 
• As variáveis ​​de interesse na análise de circuitos são tensões e 
correntes em vários pontos ao longo do circuito. 
 
• A quantidade de graus de liberdade é igual a quantidade de 
malhas do circuito elétrico 
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LEIS DE KIRCHHOFF 
1ª Lei de Kirchhoff (Lei das 
Correntes ou Leis dos Nós) 
 
 
2ª Lei de Kirchhoff (Lei das 
Tensões ou Lei das Malhas) 
 
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1ª LEI DE KIRCHHOFF 
(Lei das Correntes ou Leis dos Nós) 
 
 Em um nó, a soma das correntes que 
entram é igual à soma das correntes que 
saem, ou seja, um nó não acumula carga. 
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2ª LEI DE KIRCHHOFF 
(Lei das malhas ou Leis das tensões) 
 
 A soma algébrica das tensões elétricas 
em um percurso fechado é nula 
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2ª LEI DE KIRCHHOFF 
(Lei das malhas ou Leis das tensões) 
 
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SISTEMAS ELÉTRICOS 
COM 1 GRAU DE LIBERDADE 
 Considere o circuito elétrico mostrado abaixo. 
Assuma que o interruptor S está aberto para t < 0 e fechado 
para t = 0. Obtenha o modelo matemático para o circuito 
que permita-me obter a corrente elétrica em função do 
tempo i(t) considerando os parâmetros explicidtados abaixo. 
 
 
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SISTEMAS ELÉTRICOS 
COM 1 GRAU DE LIBERDADE 
 Aplicando a Lei das Malhas e utilizando o sentido da 
corrente no circuito em questão, obtemos 
 
 
 Lei das Malhas 
 
 
 E - eL - eR = 0 
 
 
 
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SIMULANDO NO XCOS 
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SISTEMAS ELÉTRICOS 
COM 1 GRAU DE LIBERDADE 
 
 
 E  Constante 
 
 
 
 
 E  Senoidal 
 
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Qual(is) informação(ões) podemos 
obter a partir deste gráficos? 
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SOLUÇÃO DO MODELO 
 
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EXEMPLO: CIRCUITO RLC 
 Considere o circuito elétrico ideal mostrado 
abaixo. A chave está conectada à bateria por um longo 
tempo. Então, em t = 0, ela é comutada para a terra. 
Determine as equações do movimento que 
possibilitam o cálculo da tensão no capacitor VC(t) 
em função de R, L e C. 
 
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SOLUÇÃO DO EXEMPLO: 
CIRCUITO RLC 
 
 Análise da malha. 
 
 
 
• As tensões nos elementos passivos, são dadas por: 
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SOLUÇÃO DO EXEMPLO: 
CIRCUITO RLC 
• Temos então, 
 
 
 
• Como estamos interessados em VC(t), 
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EXEMPLO COM DUAS MALHAS: 
Sistema Elétrico com 2 G.D.L. 
 No circuito elétrico mostrado abaixo, o 
interruptor S é fechado no instante t = 0. Determine o modelo 
matemático que permita-me o cálculo de eb, sendo E a 
tensão de entrada e ea e eb as tensões de saída. Considere 
ainda os parâmetros abaixo: 
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SOLUÇÃO DO EXEMPLO: 
CIRCUITO COM 2 MALHAS 
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SOLUÇÃO DO EXEMPLO: 
CIRCUITO COM 2 MALHAS 
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D Ú V I D A S ? 
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