SISTEMAS-LINEARES

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Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática –––– Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião 
 
Equações linearesEquações linearesEquações linearesEquações lineares 
 Chama-se equação linear toda sentença aberta que seja do primeiro grau em todas as variáveis, e que 
não apresente produto entre duas ou mais variáveis. Eis alguns exemplos: 
 
 SÃO EQUAÇÕES LINEARES: SÃO EQUAÇÕES LINEARES: SÃO EQUAÇÕES LINEARES: SÃO EQUAÇÕES LINEARES: NÃO SÃO EQUAÇÕES LINEARES: NÃO SÃO EQUAÇÕES LINEARES: NÃO SÃO EQUAÇÕES LINEARES: NÃO SÃO EQUAÇÕES LINEARES: 
2x+3y +4z =5 22x +3y +4z =5 
 
 2x+3y +4z+5w = 0 2x+3yz+ w = 4 
 x+4y +7 =3-2x 
4
2x+3y+ =5
z
 
 
 Cada solução de uma equação linear é apresentada por uma sequência numérica cujo número de 
termos coincide com o número de variáveis da equação. 
 Assim, a terna ordenada (1, 1, 0) é uma solução da equação 2x+3y+4z = 5. 
 A quadra ordenada (0, 0, 0, 0) é a solução trivialtrivialtrivialtrivial da equação 2x+3y+4z+5w = 0. 
 E o par ordenado (−2,−2) é uma solução da equação x+4y+17 = 3−2x. 
Sistemas linearesSistemas linearesSistemas linearesSistemas lineares 
 Um sistema de equações é linear quando é formado apenas por equações lineares. 
 Uma sequência numérica é solução de um sistema se, e somente se, for solução comum a todas as 
equações do sistema. 
 Recomenda-se que as equações lineares de um sistema sejam escritas de modo que o primeiro 
membro de cada equação apresente todas as variáveis na mesma ordem, deixando os termo 
independentes isolados no segundo membro. 
 Assim, a equação x+4y +7 = 3-2xx+4y +7 = 3-2xx+4y +7 = 3-2xx+4y +7 = 3-2x , por exemplo, deve ser reescrita na forma 3x+4y = -43x+4y = -43x+4y = -43x+4y = -4 . 
Classificação de sistemas linearesClassificação de sistemas linearesClassificação de sistemas linearesClassificação de sistemas lineares 
 
• POSSÍVEL DETERMINADO − SPDSPDSPDSPD, quando possui solução única. 
• POSSÍVEL INDETERMINADO − SPISPISPISPI, quando possui infinitas soluções. 
• IMPOSSÍVEL OU INCOMPATÍVEL − SISISISI, quando não possui solução. 
 
 Equivalentes são os sistemas que possuem o mesmo conjunto solução. 
 Homogêneos são os sistemas formados apenas por equações homogêneas. Não existe sistema 
homogêneo impossível, pois toda equação homogênea admite a solução nulanulanulanula, que também é chamada 
de solução trivialtrivialtrivialtrivial. 
 
CramerCramerCramerCramer 
 A regra de Cramer para a resolução de um sistema linear só pode ser aplicada aos sistemas em cujo 
número de equações seja igual ao número de variáveis. Observar a notação matricial MMMM⋅⋅⋅⋅XXXX = RRRR de um 
sistema linear facilita a compreensão dessa regra. 
 Nessa notação, MMMM é a matriz principal do sistema e deve apresentar os coeficientes das variáveis de 
cada equação do sistema. A matriz XXXX é o vetor das incógnitas e a matriz RRRR o vetor dos termos 
independentes. 
 
=
= ⇔ ⋅ = ⇒ =
=
     
     
         
    
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3
1 1 1
2 2 2
3 3 3 3 3 3 33 3 3
a x + b y + c z r a b c x r a b c
a x + b y + c z r a b c y r D a b c 
a b c z r a b ca x + b y + c z r
 
 
 O determinante da matriz principal D = det(M)D = det(M)D = det(M)D = det(M) é o determinante do sistema, e seu valor numérico 
pode ser usado para classificar o sistema de acordo com as equivalências lógicas a seguir: 
D ≠ 0 ⇔ SPD D = 0 ⇔ SPI ou SI 
 
 E, se o sistema linear for homogêneo: 
D ≠ 0 ⇔ SPD D = 0 ⇔ SPI 
 
 
 Equação linear 
HomogêneaHomogêneaHomogêneaHomogênea 
 
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 Além disso, para cada variável do sistema é definida uma nova matriz obtida por meio da 
substituição da coluna dos coeficientes de uma mesma variável pelo vetor RRRR, e se o determinante do 
sistema for diferente de zero, então os determinantes dessas novas matrizes indicados por Dx, Dy e Dz 
satisfazem as relações a seguir: 
yx z
DD D
x = y = z=
D D D 
 
 Veja como calcular os determinantes das variáveis do exemplo (3×3): 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
b c a c a b
b c a c a b
b c a c a b
r r r
D = r D = r D = r x y z
r r r
 
 
 Infelizmente, quando D = 0, não se pode concluir se o sistema é impossível o indeterminado. Mas no 
caso de haver um parâmetro desconhecido nas equações do sistema, a relação D = 0 permite que sejam 
encontrados os valores desse parâmetro para cada caso. 
 Uma vez encontrados, cada um destes valores deve ser substituídos no sistema original a fim de 
verificar o sistema é impossível ou indeterminado. 
 Podem-se usar a regra de Cramer para classificar os sistemas lineares de acordo com as 
equivalências lógicas a seguir: 
 
EscalonamentoEscalonamentoEscalonamentoEscalonamento 
 Como no teorema de Jacobi para os determinantes, pode-se substituir qualquer equação de um 
sistema linear por uma combinação linearcombinação linearcombinação linearcombinação linear dela com as outras equações do sistema, que isso não alterar o 
conjunto das soluções do sistema. 
 
  
  
  
    
I I I
II IV IV
III V VI
× (-1) × (-2 )
× ( 3 )
 x+y +z =9 x+y +z =9 x+y +z =9
x+2y -z = 4 y -2z =-5 y -2z =-5
2x - y +z =5 -3y -z =-13 -7z =-28
~ ~ 
 
 A equação IV é o resultado da diferença entre as equações II e I. 
 A equação V foi obtida multiplicando-se a equação I por –2 e somando este resultado à equação III. 
 A equação VI é somando-se a equação V ao triplo da equação IV. 
 As combinações lineares (IV ==== II –––– I), (V ==== III –––– 2222⋅I) e (VI ==== V ++++ 3333⋅IV) não devem ser escolhidas ao 
acaso, as novas equações devem apresentar menos variáveis que as anteriores. 
 Este processo gera sistemas equivalentes mais simples que o original, e deve ser feito até se obter 
uma equação com uma única, como a equação –7z = –28 que implica z = 4. 
 Depois, substituindo-se o valor encontrado para essa variável, nas outras equações do sistema, 
encontram-se os valores das outras variáveis: y = 3 e x = 2. 
 Sendo assim, este sistema é possível e determinado e seu conjunto solução é S = {(2, 3, 4)}. 
 
 
 Todo sistema linear pode ser escalonado, não importa quantas equações e variáveis ele apresente. O 
processo pode ser longo, mas quando se obtém uma equação do tipo aaaa⋅vvvv ==== bbbb, em que v v v v é uma das 
variáveis (x, y ou z) e os parâmetros aaaa e b b b b são conhecidos, pode-se classificar os sistema de acordo com 
o seguinte esquema. 
 
 
≠ ⇔

⋅ ⇒ ≠ ⇔
 ⇔
a 0 SPD
a v =b a=0 e b 0 SI
a=0 e b=0 SPI