Apostila de Mecânica dos Sólidos B (UFSC)

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Análise e Projeto Mecânico
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. José Carlos Pereira 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
9 – REVISÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E CRITÉRIOS DE RUPTURA 4 
9.1 – Equações para transformação de tensão plana.............................................4 
9.2 - Círculo de tensões de Mohr............................................................................6 
9.3 – Construção do círculo de tensões de Mohr....................................................8 
9.4 - Importante transformação de tensão.............................................................13 
9.5 – Tensões principais para o estado geral de tensões.....................................15 
9.6 – Círculo de Mohr para o estado geral de tensões..........................................17 
9.7 - Critérios de escoamento e de fratura............................................................18 
9.7.1 – Observações preliminares............................................................................................18 
9.7.2 – Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) (mat. dúcteis)...............................19 
9.7.3 – Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) (mat. dúcteis)...............................22 
9.7.4 – Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis)............................................................26 
10 – VASOS DE PRESSÃ O.....................................................................................29 
10.1 – Vasos cilíndricos.........................................................................................29 
10.2 – Vasos esféricos..........................................................................................31 
11 – DEFLEXÃO DE VIGAS ....................................................................................39 
11.1 – Introdução..................................................................................................39 
11.2 – Relação entre deformação-curvatura e momento-curvatura......................39 
11.3 – Equação diferencial para deflexão de vigas elásticas................................41 
11.4 – Condições de contorno...............................................................................42 
11.5 – Solução de problemas de deflexão de vigas por meio de integração direta
..............................................................................................................................43 
11.6 – Introdução ao método de área de momento...............................................49 
11.7 – Dedução dos teoremas de área de momento............................................49 
11.8 – Método da superposição............................................................................56 
11.9 – Vigas estaticamente indeterminadas- método de integração.....................60 
11.10 – Vigas estaticamente indeterminadas - método de área de momento.......64 
11.11 – Vigas estaticamente indeterminadas - método da superposição..............69 
12 – MÉTODO DA ENERGIA...................................................................................74 
12.1 – Introdução..................................................................................................74 
12.2 – Energia de deformação elástica.................................................................74 
12.3 – Deslocamentos pelos métodos de energia.................................................78 
 
12.4 – Teorema da energia de deformação e da energia de deformação 
complementar........................................................................................................84 
13.5 – Teorema de Castigliano para deflexão.......................................................88 
12.6 – Teorema de Castigliano para deflexão em vigas........................................91 
12.7 – Teorema de Castigliano para vigas estaticamente indeterminadas...........94 
12.8 – Método do trabalho virtual para deflexões..................................................98 
12.9 – Equações do trabalho virtual para sistemas elásticos..............................100 
13 - MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS..........................................................110 
13.1 – Matriz de rigidez de um elemento de barra..............................................110 
13.2 – Matriz de rigidez de um elemento de barra num sistema arbitrário.........113 
13.3 – Força axial nos elementos........................................................................115 
13.4 – Técnica de montagem da matriz de rigidez global...................................116 
13.6 – Matriz de rigidez de um elemento de viga................................................128 
13.7 – Propriedades da matriz de rigidez de um elemento de viga.....................131 
13.7 – Vigas com carga distribuida.....................................................................136 
14 – FLAMBAGEM DE COLUNAS ........................................................................150 
14.1 – Introdução................................................................................................150 
14.2 - Carga crítica..............................................................................................150 
14.3 – Equações diferenciais para colunas.........................................................152 
14.4 – Carregamento de flambagem de Euler para colunas articuladas.............155 
14.5 – Flambagem elástica de colunas com diferentes vínculos nas extremidades
............................................................................................................................158 
14.5.1 - Coluna engastada-livre.............................................................................................158 
14.5.2 - Coluna engastada-apoiada.......................................................................................161 
14.5.3 - Coluna engastada-engastada....................................................................................161 
14.6 – Limitação das fórmulas de flambagem elástica........................................166 
14.7 – Fórmula generalizada da carga de flambagem de Euler..........................167 
14.8 – Colunas com carregamento excêntrico....................................................169 
14.9 – Fórmulas de colunas para cargas concêntricas.......................................172 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 4
9 – REVISÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E CRITÉRIOS DE RUPTURA 
 
9.1 – Equações para transformação de tensão plana 
 
Uma vez determinado as tensões normais sx e sy, e a tensão de cisalhamento txy 
num ponto de um corpo solicitado no plano x,y, é possível determinar as tensões 
normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado x ’, y ’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 – Elemento infinitesimal sendo solicitado no plano 
 
Impondo o equilíbrio de forças na direção x ’, temos: 
 sx ´ tx´y ´
 txy 
 tyx 
 sy 
 sx 
 x ´
 y ´
q 
 dA 
 sx´ dA tx´y ´dA 
 tyx dA senq 
sx dA cosq 
 x ´
 y ´
q 
sy dA senq 
tyx dA cosq 
 x 
 y 
 sx 
 sy 
 txy 
 tyx 
 txy 
 tyx 
 sx 
 sy 
 x ´
 y ´
+ q 
+ q 
A 
B 
C 
q 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 5
® 0F
'x
=å , 0cossendAsensendA
sencosdAcoscosdAdA
xyy
xyx'x
=qqt-qqs
-qqt-qqs-s
 (9.1) 
 
 Simplificando a eq. (9.1): 
qqt+qs+qs=s sencos2sencos xy
2
y
2x'x (9.2) 
 
Sabendo-se que: 
q+q=
q-q=q
qq=q
22
22
sencos1
sencos2cos
cossen22sen
 (9.3) 
 
Trabalhando com as eqs. (9.3), tem-se: 
2
2cos1
sen
2
2cos1
cos
2
2
q-
=q
q+
=q
 (9.4) 
 
Substituindo a eqs. (9.4) e a expressão de sen 2q da eq. (9.3) na eq. (9.2), 
temos; 
qt+
q-
s+
q+
s=s 2sen
2
2cos1
2
2cos1
xyyx'x (9.5) 
 
 Reagrupando a eq. (9.5): 
qt+q
s-s
+
s+s
=s 2sen2cos
22 xy
yxyx
'x (9.6) 
 
­ 0F
'y
=å , 0sensendAcossendA
coscosdAsencosdAdA
xyy
xyx'y'x
=qqt+qqs
-qqt-qqs+t
 (9.7) 
 
 Simplificando a eq. (9.7): 
 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 6
qt+q÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ s-s
-=t 2cos2sen
2 xy
yx
'y'x (9.8) 
 
As eqs (9.6) e (9.8) são as equações de transformação de tensão de um sistema 
de coordenadas a outro. 
 
9.2 - Círculo de tensões de Mohr 
 
Sejam as equações de transformação de tensão (9.6) e (9.8) onde a eq. (9.6) é 
colocada da seguinte forma: 
qt+q
s-s
=
s+s
-s 2sen2cos
22 xy
yxyx
'x (9.9) 
 
Elevando ao quadrado as eqs. (9.8) e (9.9) e somando-as, tem-se: 
2
xy
2
yx2
'y'x
2
yx
'x 22
t+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ s-s
=t+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ s+s
-s (9.10) 
 
A eq. (10) pode ser colocada de maneira mais compacta: 
( ) 22xy2m'x R=t+s-s (9.11) 
 
A eq. (9.11) é a equação de um círculo de raio: 
2
xy
2
yx
2
R t+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ s-s
= (9.12) 
 
e centro: 
0
2
m
yx
m
=t
s+s
=s
 (9.13) 
 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 7
 O círculo construído desta maneira é chamado círculo de tensões de Mohr, onde 
a ordenada de um ponto sobre o círculo é a tensão de cisalhamento t e a abcissa é a 
tensão normal s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 – Círculo de Tensões de Mohr 
 
Conclusões importantes: 
Ø A maior tensão normal possível é s1 e a menor é s2. Nestes planos não existem 
tensões de cisalhamento. 
Ø A maior tensão de cisalhamento tmax é igual ao raio do círculo e uma tensão normal 
de 
2
yx s+s atua em cada um dos planos de máxima e mínima tensão de 
cisalhamento. 
Ø Se s1 = s2, o círculo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem 
tensões de cisalhamento no plano xy. 
Ø Se sx + sy = 0, o centro do círculo de Mohr coincide com a origem das coordenadas 
s - t, e existe o estado de cisalhamento puro. 
tmax t 
A(sx, txy) 
B(sx, -txy) 
s1 s2 s 
q = 0° 
|tmin|=tmax 
2 q1’ 
2
yx
m
s+s
=s
2
yx s-s
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 8
Ø Se soma das tensões normais em quaisquer dos planos mutuamente 
perpendiculares é constante: sx + sy = s1 + s2 = sx ´+ sy ´= constante. 
Ø Os planos de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45° com os planos das 
tensões principais. 
 
9.3 – Construção do círculo de tensões de Mohr 
 
Exemplo 9.1: Com o estado de tensão no ponto apresentado abaixo, determine as 
tensões principais e suas orientações e a máxima tensão de cisalhamento e sua 
orientação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões no sistema de coordenadas x,y são: 
sx = - 20 MPa , sy = 90 MPa , txy = 60 MPa 
 
Procedimento de análise: 
a – Determinar o centro do círculo (sm, tm): 
0
MPa35
2
9020
2
m
yx
m
=t
=
+-
=
s+s
=s
 
 
b – Determinar o raio do círculo R: 
 x 
 y 
 60 MPa 
 90 MPa 
 20 MPa 
Ponto A 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 9
MPa4,8160
2
9020
2
R 2
2
2
xy
2
yx =+÷
ø
ö
ç
è
æ --=t+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ s-s
= 
 
c – Localizar o ponto A(-20,60): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d – Calcular as tensões principais: 
s1 = 35 + 81,4 = 116,4 MPa , s2 = 35 - 81,4 = -46,4 MPa 
 
e – Determinar as orientações das tensões principais. 
°=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=q 7,47
3520
60
2tgarc2 ''1 , q1
’’ = 23,85° 
2 q1’’ + 2 q1’ = 180° Þ q1’ = 66,15° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 y 
 s1 = 116,4 MPa 
 2 
 1 
 q1 = 66,15° 
 s2 = 46,4 
A(-20,60) 
B(90, -60) 
tmax = 81,4 
s2 = 35-81,4 = -46,4 s (Mpa) 
 t (Mpa) 
2 q2’ 
s1 = 35+81,4 = 116,4 
 35 20 
 60 
2 q1’ 2 q1’’ 
2 q2’’ 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 10
f – Tensão máxima de cisalhamento: 
tmax = R = 81,4 Mpa 
 
g – Orientação da tensão máxima de cisalhamento: 
2 q1’’ + 2 q2’ = 90° Þ q2’ = 21,15° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9.2: Para o estado de tensão abaixo, achar a) as tensões normais e de 
cisalhamento para q = 22,5°, b) as tensões principais e suas orientações, c) as tensões 
máxima e mínima de cisalhamento com as tensões associadas e suas orientações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões no sistema de coordenadas x,y são: 
 x 
 y 
s´ = 35 MPa 
 x ´
 y ´
 q2 = 21,25° 
tmax = 81,4 
 x 
 y 
 2 kgf/mm2 
 1 kgf/mm2 
 3 
Ponto A 
 x’ 
 22,5° 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 11
sx = 3 kgf/mm2 , sy = 1 kgf/mm2 , txy = 2 kgf/mm2 
 
Procedimento de análise: 
a – Determinar o centro do círculo (sm, tm): 
0
mm/kgf2
2
13
2
m
2yx
m
=t
=
+
=
s+s
=s
 
 
b – Determinar o raio do círculo R: 
22
2
2
xy
2
yx mm/kgf24,22
2
13
2
R =+÷
ø
ö
ç
è
æ -=t+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ s-s
= 
 
c – Localizar o ponto A(3,2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto A’ temos: 
4,63
23
2
tgarc'2 1 =÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=q 
sx’ = 2 + 2,24 cos(63,4 - 45) , sx’ = 4,13 kgf/mm2 
tx´y ´ = 2,24 sen(63,4 - 45) , tx´y ´= 0,71 kgf/mm2 
A(3,2) 
B(1, -2) 
tmax = 2,24 
s2 = 2-2,24 = -0,24 s (kgf/mm
2) 
 t (kgf/mm2) 
2 q2’ 
s1 = 2+2,24 = 4,24 
 2 
 3 
 2 
A’ 
45° 
B’ 
2 q1’ 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 12
No ponto B’ temos: 
sy’ = 2 - 2,24 cos(63,4 - 45) , sy’ = - 0,13 kgf/mm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d – Tensões principais: 
s1 = 4,24 kgf/mm2 (tração) , s2 = -0,24 kgf/mm2 (compressão) 
2
1
2
2tg 1 ==q 
2 q1´ = 63,4° Þ q1´ = 31,7° 
2 q1´´ = 2 q1´ + 180° Þ q1´´ = 121,7° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e - Tensão máxima de cisalhamento: 
tmax = R = 2,24 kgf/mm2 
2 q2´ + 2 q1´ = 90° Þ q2´ = 13,3° 
2 q2´´ = 2 q2´ + 180° Þ q2´´ = 76,7° 
 
 x 
 y 
 4,24 kgf/mm2 
 -0,24 kgf/mm2 
 1 
 2 
 q1’ = 31,7° 
 q1’’ = 121,7° 
 x 
 y 
 x ´
 y ´
 q = 22,5° 
0,71 kgf/mm2 
0,13 kgf/mm2 
4,13 kgf/mm2 
Ponto A’ 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: q1’ - q2’ = 31.7 – (-13.3) = 45° e q1’’ - q2’’ = 121.7 – 76.7 = 45° 
 
9.4 - Importante transformação de tensão 
 
 Seja um elemento sujeito à um estado de tensão de cisalhamento puro (caso de 
um eixo em torção). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.3 – Estado de tensões de um elemento infinitesimal num eixo em torção pura 
 
Para este caso, tem-se que sx = 0 e sy = 0. Logo o centro do círculo de Mohr está 
na origem do sistema de coordenadas s-t, e o raio do círculo é R = txy. 
 x 
 y 
 2,24 kgf/mm2 
 2 kgf/mm2 
 x ´
 y ´
 q2´ = 13,3° 
 q2´´ = 76,7° 
 x 
 y 
 txy 
 txy 
T 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.4 – Círculo de Tensões de Mohr para elemento infinitesimal num eixo em 
torção pura 
 
 As tensões principais são neste caso: 
xy2
xy1
t-=s
t+=s
 (9.14) 
 
 As orientações das tensões principais são: 
¥=q12tg Þ 
î
í
ì
°-=°=q
°=q
)compressão(45135´´
)tração(45´
1
1 (9.15) 
 
 Assim, a representação gráfica das tensões principais e suas orientações é da 
seguinte forma, Fig. 9.5: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tmax = txy 
s 
 t 
s1 = txy 2 q1
’ 2 q1
’’ 
s2 = -txy 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.5 – Representação gráfica das tensões principais para elemento infinitesimal 
num eixo em torção pura 
 
9.5 – Tensões principais para o estado geral de tensões 
 
 Considere um elemento infinitesimal sob um estado de tensão tridimensional e 
um elemento infinitesimal tetraédrico sobre o qual atua uma tensão principal sn no plano 
obliquo ABC, paralela ao vetor normal unitário, Fig. 9.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.6 – Tensão principal sn num plano oblíquo de um elemento infinitesimal 
tetraédrico 
 sx 
 sz 
 sy 
 sxy 
 szx 
 sxy 
 szy 
syz 
 x 
 z 
 y 
 sx 
 sy 
 y 
 x 
 z 
 sx 
 txz 
 txy 
 sn 
 
 sy 
 sz 
 txy 
 tyz 
 txz 
 tyz 
 A 
 B 
 C 
 x 
 y 
 s1=|txy| 
 1 
 2 
 q1’ = 45° 
 q2’ = 135° 
 s2=|txy| 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 16
 O vetor normal unitário é identificado pelos seus cosenos diretores l, m e n, onde 
cos a = l, cos b = m, cos g = n. Da Fig. 9.7, nota-se que: 
 l2 + m2 + n2 = 1 (9.16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.7 – Vetor normal e seus cossenos diretores 
 
 O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são 
dA.l, dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos: 
0mdAldAndAn)dA(F
0ldAndAmdAm)dA(F
0ndAmdAldAl)dA(F
yzxzznz
xyyzyny
xzxyxnx
=t-t-s-s=
=t-t-s-s=
=t-t-s-s=
å
å
å
 (9.17) 
 
 Simplificando e reagrupando a eq. (9.17) em forma matricial, temos: 
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
s-stt
ts-st
tts-s
0
0
0
n
m
l
nzyzxz
yznyxy
xzxynx
 (9.18) 
 
 Como visto anteriormente, l2 + m2 + n2 = 1, os cosenos diretores são diferentes 
de zero. Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz 
de coeficientes de l, m e n for nulo. 
0
nzyzxz
yznyxy
xzxynx
=
s-stt
ts-st
tts-s
 (9.19) 
 y 
 x 
 z 
 Vetor normal 
 m 
 n 
 l 
 A 
 a 
 g 
 b 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 17
 A expansão do determinante fornece um poninômio característico do tipo: 
0IIIIII n
2
n
3
n =-s+s-s sss (9.20) 
 
onde: 
)(2III
)()(II
I
2
xyz
2
xzy
2
yzxxzyzxyzyx
2
xz
2
yz
2
xyxzzyyx
zyx
ts+ts+ts-ttt+sss=
t+t+t-ss+ss+ss=
s+s+s=
s
s
s
 (9.21) 
 
 As eqs (9.20) e (9.21) são invariantes, independentemente do plano oblíquo que 
é tomado no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já são as tensões 
principais. 
 
9.6 – Círculo de Mohr para o estado geral de tensões 
 
 Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três 
tensões principais que atuam em três direções ortogonais, Fig. 9.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.8 – Tensões principais num elemento solicitado triaxialmente 
 
Admitindo que s1 > s2 > s3 > 0, temos: 
 3 
 1 
 2 
 s1 
 s2 
 s3 
 sx 
 sz 
 sy 
 sxy 
 szx 
 sxy 
 szy 
szy 
 x 
 z 
 y 
Þ
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.9 – Círculo de Tensões de Mohr para num elemento solicitado triaxialmente 
 
9.7 - Critérios de escoamento e de fratura 
 
9.7.1 – Observações preliminares 
 
 A resposta de um material à tensão axial ou tensão de cisalhamento puro, pode 
ser convenientemente mostrada em diagramas de tensão-deformação. Tal aproximação 
direta não é possível, entretanto, para um estado complexo de tensões que é 
característico de muitos elementos de máquina e de estruturas. Desta forma, é 
importante estabelecer critérios para o comportamento dos materiais com estados de 
tensão combinados. 
 s3 
 s1 
 s2 
 s3 
 s1 
 s2 
 s3 
 s1 
 s2 
tmax 
s3 s2 s 
 t 
s1 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 19
 Nesta parte do estudo serão discutidos dois critérios para análise do 
comportamento das tensões combinadas em materiais dúcteis, e em seguida será 
apresentado um critério de fratura para materiais frágeis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.10 – Diagramas tensão/deformação para materiais dúcteis e frágeis 
 
9.7.2 – Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) (mat. dúcteis) 
 
 A teoria da máxima tensão de cisalhamento, resulta da observação de que, num 
material dúctil, ocorre deslizamento durante o escoamento ao longo dos planos 
criticamente orientados. Isso sugere que a tensão de cisalhamento máxima executa o 
papel principal no escoamento do material. 
 Para um teste simples de tração onde s1 = sesc, s2 = s3 = 0, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.11 – Círculos Tensões de Mohr para um ensaio de tração simples 
s 
e 
material frágil 
srup 
s 
e 
material dúctil 
sesc 
tmax = (s1)/2 
s2 = s3 s 
 t 
s1 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 20
 Observa-se que dois círculos são concentricos, (s1, s2) e (s1, s3) e o terceiro 
resulta num ponto (s2, s3). 
 Do Círculo de Tensões de Mohr neste caso, a tensão de cisalhamento máxima é: 
2
esc
críticomax
s
=tºt (9.22) 
 
 Para aplicar o critério da máxima tensão de cisalhamento para um estado de 
tensão biaxial devem ser consideradosdois casos: 
 
Caso 1: Os sinais de s1 e s2 são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.12 – Círculos Tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - s1 e s2 têm 
iguais 
 
onde, para: 
esc212
esc121
s£sÞs>s
s£sÞs>s
 (9.23) 
 
Caso 2: Os sinais de s1 e s2 são diferentes. 
 
 
 s1 
 s2 
tmax = (s1)/2 
s3 s2 
s 
 t 
s1 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.13 – Círculos Tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - s1 e s2 têm 
diferentes 
 
 Para este caso, a tensão de cisalhamento máxima no ponto analisado não deve 
exceder a máxima tensão de cisalhamento do material (ver Fig. 9.11). 
22
esc21 s£
s-s
± (9.24) 
 
Na iminência de ocorrer o escoamento, tem-se: 
1
esc
2
esc
1 ±=
s
s
-
s
s
 (9.25) 
 
 A eq. (9.25) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Fig. 9.14: 
 
 
 
 
 
 
 
 s1 
 s2 
tmax = (s1- s2)/2 
ss2 
s 
 t 
s1 
tmax = -(s1- s2)/2 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.14 – Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar - Tresca 
 
9.7.3 – Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) (mat. dúcteis) 
 
A expressão de energia de deformação elástica total por unidade de volume 
(densidade de energia de deformação elástica) em um material isotrópico para um 
estado triaxial de tensões considerada num sistema de coordenadas arbitrário x, y e z é 
da seguinte forma: 
( ) ( )
( )xz2yz2xz2
xzzyyx
2
z
2
y
2
xtotal
G2
1
EE2
1
U
t+t+t+
ss+ss+ss
n
-s+s+s=
L
L
 (9.26) 
 
 Esta energia de deformação elástica total, considerada nos eixos principais é da 
forma: 
( ) ( )133221232221total EE2
1
U ss+ss+ss
n
-s+s+s= (9.27) 
 
A energia de deformação elástica total acima, é dividida em duas partes: uma 
causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando distorsões 
de cisalhamento. É interessante lembrar que em um material dúctil, admite-se que o 
escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento. 
s1/sesc 
1.0 
1.0 
 -1.0
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
s2/sesc 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.15 – Energias de dilatação e de distorção num elemento 
 
A fim de facilitar a compreensão, somente oestado de tensão uniaxial será 
considerado. A passagem para um estado de tensão triaxial é automática. Desta forma, 
para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção são 
representada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.16 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente 
 
 Os Círculos de Tensão de Mohr para os estados de tensão com somente energia 
de distorção são, Fig. 9.17. 
 
 
 
 s1 
Energia de deformação 
elástica total 
 = 
 Energia de 
 distorção 
 s1 
 Energia de 
 dilatação 
 s1/3 
 s1/3 
 s1/3 
 + 
 s1/3 
s1/3 
 + 
s1/3 
s1/3 
 s1 
 s3 
 s2 
Energia de deformação 
elástica total 
 = 
 Energia de 
 dilatação 
 + 
 Energia de 
 distorção 
s-s2
s-s1
s-s3s
s
s
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.17 – Círculos de Tensão de Mohr para 
 
No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são definidos 
como sendo a tensão “hidrostática” média: 
3
321 s+s+s=s (9.28) 
 
onde: 
s1 = s2 = s3 = p = s (9.29) 
 
 A energia de dilatação é obtida substituindo a eq.(9.29) na eq. (9.27), e em 
seguida substituindo a eq. (9.28) na equação resultante. Assim: 
( )2321dilatação E6
21
U s+s+s
n-
= (9.30) 
 
A energia de distorção é obtida sustraindo da energia de deformação elástica 
total, eq. (9.27) a energia de dilatação, eq.(9.30): 
( ) ( ) ( )[ ]213232221distorção G12
1
U s-s+s-s+s-s= (9.31) 
tmax = s1/3 
s 
 t 
s1/3 s1/3 
0 
tmax = s1/3 
s 
 t 
s1/3 s1/3 
0 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 25
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso s1 = 
sesc e s2 = s3 = 0 é da forma: 
G12
2
U
2
esc
distorção
s
= (9.32) 
 
Igualando a energia de distorção do ponto em análise, eq. (9.31), com a energia 
de distorção num ensaio à tração simples, (9.32), estabelece-se o critério de 
escoamento para tensão combinada, eq. (9.33). 
( ) ( ) ( ) 2esc213232221 2 s=s-s+s-s+s-s (9.33) 
 
A eq. (9.33) pode também ser apresentada da forma: 
1
esc
1
esc
3
esc
3
esc
2
esc
2
esc
1
2
esc
3
2
esc
2
2
esc
1
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
s
s
-
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
s
s
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
s
s
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
L
L
 (9.34) 
 
A eq. (9.35) é conhecida como sendo o critério de Von Mises para um estado 
triaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de tensão, s3 = 0, 
tem-se: 
1
2
esc
2
esc
2
esc
1
2
esc
1 =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
s
s
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
s
s
 (9.35) 
 
 A eq. (9.35) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Fig. 9.18: 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 26
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.18 – Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar – von Mises 
 
9.7.4 – Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis) 
 
 A teoria da máxima tensão normal estabelece que a falha ou fratura de um 
material ocorre quando a máxima tensão normal em um ponto atinge um valor crítico, 
independentemente das outras tensões. Dessa forma, apenas a maior tensão principal 
deve ser considerada para aplicar esse critério. 
rup321 ouou s£sss (9.36) 
 
 A eq. (9.36) também pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Fig. 9.19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.19 – Representação gráfica de um ponto na iminência de romper 
s1/sesc 
1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0)
A( 1.0, 1.0) 
s2/sesc 
s1/srup 
1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
s2/srup 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 27
Exemplo 9.5: As tensões calculadassobre o ski são como mostrada na figura abaixo. 
Utilizando critérios de ruptura adequados, verifique se os pontos mostrados sobre a 
seção transversal do ski suportam o carregamento abaixo. Tome sesc aço = 250 Mpa, srup 
mad = 26 MPa e trup mad = 6,2 Mpa com um fator de segurança de 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estado de tensão nos pontos da seção transversal: 
Ponto A (aço): 
sA = 24,05 Mpa , tA = 0 
Ponto B (aço): 
sB = 18,99 Mpa , tB = 0,11 MPa 
Ponto C (madeira): 
sC = 1,14 Mpa , tC = 0,11 Mpa 
Ponto D (madeira): 
sD = 0 , tD = 0,12 MPa 
 
Ponto A (aço – material dútil): 
sx = sA = 24,05 Mpa , sy = 0 , txy = 0 
s1 = sx = 24,05 Mpa 
Pelo critério de máxima tensão de cisalhamento: 
 P 
1 m 0,5 m 0,5 m 
1 m 
w w
A B D 
E C 
 madeira 
 aço 
 aço 
A B 
C D 
y 
z 
Revisão de Transformação de Tensão e Critérios de Ruptura 28
s1 = 24,05 Mpa < sesc = 250/2 Mpa (ok) 
 
Ponto B (aço – material dútil): 
sx = sB = 18,99 Mpa , sy = 0 , txy = tB = 0,11 MPa 
s1 = 18,99 Mpa 
Pelo critério de máxima tensão de cisalhamento: 
s1 = 18,99 Mpa < sesc = 250/2 Mpa (ok) 
 
Ponto C (madeira – material frágil): 
sx = sC = 1,14 Mpa , sy = 0 , txy = tC = 0,11 MPa 
Pelo critério de máxima tensão normal: 
s1 = 1,15 Mpa < srup = 26/2 Mpa (ok) 
tmax = 0,11 Mpa < trup = 6,2/2 Mpa (ok) 
 
Ponto D (madeira – material frágil): 
sx = sD = 0 , sy = 0 , txy = tD = 0,12 MPa 
Pelo critério de máxima tensão normal: 
tmax = 0,12 Mpa < trup = 6,2/2 Mpa (ok) 
 
 
 
Vasos de pressão 
 
29
10 – VASOS DE PRESSÃ O 
 
 Vasos cilíndricos e esféricos são comumente utilizados na indústria para 
servir como caldeiras, tanques, etc. Quando os vasos são submetidos à uma 
pressão interna, o material com o qual são feitos estes vasos, é submetido à 
esforços em todas as direções. Normalmente a relação raio/espessura do vaso é r/t 
³ 10, podendo assim ser considerado de parede fina. Neste caso a distribuição de 
tensão normal à parede do vaso pode ser desprezível. 
 
10.1 – Vasos cilíndricos 
 
 Considere um vaso de pressão cilíndrico de espessura t e raio interno r 
submetido à uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido considerado de 
peso desprezível, Fig. 10.1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.1 – Vaso de pressão cilíndrico 
 
Onde: 
s1 = tensão circunferencial (hoop) 
s2 = tensão longitudinal (axial) 
 
 A magnitude da tensão circunferencial s1, é determinada a partir de um 
elemento infinitesimal de comprimento dy, longe o suficiente das extremidades do 
vaso, Fig.10.2. 
 
 
s1 
s2 
t 
x 
y 
z 
Vasos de pressão 
 
30
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.2 – Elemento infinitesimal de vaso cilíndrico 
 
 Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção x, temos: 
0F
x
=å , 2[s1(t dy)] – p (2r dy) = 0 (10.1) 
 
 Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso cilíndrico é 
da forma: 
 
t
rp
1 =s (10.2) 
 
 A magnitude da tensão longitudinal s2, é determinada a partir de um corte do 
vaso cilíndrico na direção circunferencial, Fig. 10.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.3 – Corte circunferencial de um vaso cilíndrico 
 
 Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção y, temos: 
s1 
s1 
dy 
2r 
p 
t 
t 
s2 
p 
t 
r 
Vasos de pressão 
 
31
0F
y
=å , s2 (2p r t) – p (pr2 ) = 0 (10.3) 
 
 Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso cilíndrico é 
da forma: 
t2
rp
2 =s (10.4) 
 
 Observe que se a tensão normal à parede do vaso no seu lado interno é s3 = 
-p e a tensão normal à parede do vaso no seu lado externo é s3 = 0. Logo, se a 
relação raio/espessura do vaso é r/t ³ 10, a tensão circunferencial é s1 ³ 10.s3 e s2 
³ 5.s3. Assim, o Círculo de Tensões de Mohr para um vaso de pressão cilíndrico em 
um ponto situado no lado externo da parede é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Círculo de Tensões de Mohr em um vaso cilíndrico 
 
10.2 – Vasos esféricos 
 
 Considere um vaso de pressão esférico de espessura t e raio interno r 
submetido à uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido considerado de 
peso desprezível, Fig. 10.5. 
 
 
 
tmax = s1/2 
s 
 t 
s1 s3 
s2 
Vasos de pressão 
 
32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.5 – Vaso de pressão esférico 
 
Devido a simetria s1 = s2. A magnitude da tensão circunferencial s2 é 
determinada a partir de um corte do vaso na direção circunferencial, Fig. 10.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.6 – Corte circunferencial de um vaso esférico 
 
 Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção y, temos: 
0F
y
=å , s2 (2p r t) – p (pr2 ) = 0 (10.5) 
 
 Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso esférico é 
da forma: 
t2
rp
2 =s (10.6) 
s1 
s2 
t x 
y 
z
r 
p 
t r 
s2 
Vasos de pressão 
 
33
 Com estas considerações, a tensão radial s3 é considerada desprezível em 
relação a s1 e s2, pois s3 = -p no lado interno da parede do vaso, e s3 = 0 no lado 
externo da parede do vaso. Assim, o Círculo de Tensões de Mohr para um vaso de 
pressão esférico em um ponto situado no lado externo da parede é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Círculo de Tensões de Mohr em um vaso cilíndrico 
 
Exemplo 10.1: Um vaso de pressão cilíndrico tem raio r = 1000 mm e espessura t = 
10 mm. Calcule as tensões circunferencial e longitudinal e a variação de diâmetro do 
cilindro causados por uma pressão interna de 0,80 MPa. Tome E = 200 Gpa e n = 
0,25. 
a – Cálculo das tensões 
MPa80
10
100080,0
t
rp
1 ===s 
MPa40
10.2
1000.80,0
t2
rp
2 ===s 
b – Cálculo da deformação circunferencial 
( )[ ]3211 E
1
s+sn-s=e 
Considerando a tensão radial s3 = 0. 
[ ] mm/mm .10 0,35 40.25,080
10.200
1 3-
31
=-=e 
r
r
r2
r2)rr(2
L
L
o
1
D
=
p
p-D+p
=
D
=e Þ 
1000
r
10.35,0 3
D
=- 
Dr = 0,35 mm 
tmax = s1/2 
s 
 t 
s1=s2 s3 
Vasos de pressão 
 
34
Exemplo 10.2: Um vaso de pressão cilíndrico de 3 m de diâmetro externo, usado no 
processamento de borracha, tem 10 m de comprimento. Se a parte cilíndrica do 
vaso é feita de chapa de aço de 25 mm de espessura e o vaso opera a pressão 
interna é de 0,1 kgf/mm2, determinar o alongamento total da circunferência e o 
aumento de diâmetro provocados pela pressão de operação. E = 20 000 kgf/mm2 e n 
= 0,3. 
a – Cálculo das tensões 
2
3
1 kgf/mm 6 25
10.5,1.1,0
t
rp
===s 
21
2 kgf/mm 3 2
=
s
=s 
b – Cálculo da deformação circunferencial 
( )
1
1
211 L
L
E
1 D
=ns-s=e Þ ( )
3
1
10.3
L
3.3,06
00020
1
p
D
=- 
DL1 = 2,4 mm 
( )
d
d
d
ddd
L
L
1
1
1
D
=
p
p-D+p
=
D
=e Þ ( )
310.3
d
3.3,06
00020
1 D
=- 
Dd = 0,765 mm 
 
Exemplo 10.3: Um vaso de pressão de aço, cilíndrico fechado, de 2,5 m de diâmetro 
médio, com espessura de parede de 12,5 mm, tem costura soldada topo a topo ao 
longo de um ângulo de hélice a = 30°. Durante a pressurização, a medida de 
deformação através da solda,isto é, em uma linha medida de a + 90°, é de 430x10-6 
mm/mm. (a) Qual a pressão no vaso? (b) Qual era a tensão de cisalhamento ao 
longo da costura? Considerar E = 20 000 kgf/mm2, G = 8 000 kgf/mm2. 
 
 
 
 
 
 
 
a – Cálculo do coeficiente de poisson 
s1 
s2 
30° 30° 
s2 
s1 
longitudinal 
transversal 
Vasos de pressão 
 
35
( )n+= 12
E
G Þ n = 0,25 
b – Cálculo da deformação transversal 
( )LTT E
1
ns-s=e Þ ( )LT6 25,000020
1
10.430 s-s=- 
LT 25,06,8 s-s= (10.7) 
c – Cálculo das tensões 
p100
5,12
10.25,1p
t
rp 3
1 ===s 
p50
t2
rp
2 ==s 
d – Círculo de Tensões de Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e – Tensão de cisalhamento máxima 
( )
p25
2
p50p100
2
21
max =
-
=
s-s
=t 
f – Tensão normal média 
( )
p75
2
p50p100
2
21
m =
+
=
s+s
=s 
g – Tensões transversal e longitudinal 
p5,8760cos.p25p75T =+=s
o (10.8) 
p5,6260cos.p25p75L =-=s
o (10.9) 
 
tmax = (s1-s2)/2 
s 
 t 
s1 s2 sL 
60° 
sT 
sm 
Vasos de pressão 
 
36
Substituindo as eqs. (10.8) e (10.9) na eq. (10.7), determina-se a pressão 
interna p: 
8,6 = 87,5 p – 0,25.62,6 p Þ p = 0,12 kgf/mm2 
e consequentemente a tensão de cisalhamento atuante na solda: 
t = tmax sen 60° = 25 . 0,12 . sen 60° Þ t = 2,59 kgf/mm2 
 
Exemplo 10.4: Uma caldeira é construída com placas de aço de 8 mm de espessura 
que são rebitadas nas extremidades juntamente com duas contra-placas de 8 mm 
de espessura. Os rebites tem diâmetro de 10 mm e são espaçados de 50 mm. Se a 
caldeira tem diâmetro interno de 0,75 m e a pressão é de 1,35 MPa, determine (a) a 
tensão circunferencial na parede da caldeira numa posição distante da união entre 
elas, (b) a tensão circunferencial na contra-placas e (c) a tensão de cisalhamento em 
cada rebite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a – Cálculo da tensão circunferencial na parede da caldeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MPa6,126
8
10.75,0.35,1
t
rp 3
1 ===s 
50 mm 
8 mm 
750 mm 
s1 
s1 
dy 
2r 
p 
t 
t 
Vasos de pressão 
 
37
b – Cálculo da tensão circunferencial das contra placas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do equilíbrio estático: 
0F
x
=å , 2[(s1)cp (tcp dy)] +s1 (t dy) – p (2r dy) = 0 
MPa 63,3 
8.2
10.75,0.35,1
t2
rp
)(
3
cp
cp1 ===s 
 
c – Cálculo da tensão de cisalhamento em cada rebite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 å = 0Fcircunf , (s1)cp.tcp.dy - t b dy = 0 Þ (s1)cp.tcp.dy = t.b.dy = dF 
(s1)cp 
t 
dy b 
tcp 
s1 
(s1)cp 
dy 
2r 
p 
t 
t 
tcp 
s1 
(s1)cp 
dy 
2r 
p 
t 
t 
tcp 
Vasos de pressão 
 
38
)tocisalhamendefluxo(q
dy
dF
t)( cpcp1 ==s 
q
dy
dF
mm8
mm
N
3,63
2
== 
q = 506,4 N/mm 
 
força cortante que deve resistir cada rebite= fluxo de cisalhamento x espaçamento 
entre os rebites 
V = q.e = V = q.e = 506,4 . 50 = 25320 N 
 
Tensão de cisalhamento em cada rebite 
4
10
25320
4
d
V
22 p
=
p
=t Þ t = 322,4 MPa 
 
Deflexão de Vigas 
 
39
11 – DEFLEXÃO DE VIGAS 
 
11.1 – Introdução 
 
 A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga em relação 
a sua posição inicial. Devido a isto, deve-se frequentemente limitar os valores de 
deflexão de maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas, e 
deflexões excessivas de vigas em prédios na construção civil. Neste contexto, serão 
discutidos métodos de determinação de deflexão e inclinações em pontos 
específicos da viga. 
 
11.2 – Relação entre deformação-curvatura e momento-curvatura 
 
 No desenvolvimento da teoria de deflexão de vigas, deve-se considerar a 
hipótese fundamental da teoria da flexão na qual as seções planas de uma viga, 
tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à 
flexão, Figs. 11.1 e 11.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.1 – Viga em flexão pura 
 
 
 
 
centróide 
A D 
B C 
x Dx 
M M 
A D’ 
B C’ 
r 
O
y 
z 
r = raio de curvatura 
Dq 
Ds 
Deflexão de Vigas 
 
40
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.2 – Rotação da seção 
 
A variação de comprimento Du das fibras pode ser expressa por: 
qD-=D yu (11.1) 
 
 Dividindo a eq. (11.1) por Ds, comprimento das fibras sobre a superfície 
neutra, e levando ao limite, tem-se: 
Äs 0 Äs 0
Äu Ä
lim y lim
Äs Äs
ou
du d
y
ds ds
® ®
q
= -
q
= -
 (11.2) 
 
onde du/ds é a deformação linear de uma fibra da viga a uma distância y do eixo 
neutro. Assim: 
ds
du
=e (11.3) 
 
Da Fig. 11.2, tem-se a relação: 
Äs Ä
ou
Ä 1
Äs
= r q
q
=
r
 (11.4) 
 
 Analisando a eq. (11.4) no limite quando Ds®0: 
A D’ D 
a 
b 
Du 
superfície 
neutra 
r 
B C C’ 
c 
f 
Dx 
-y 
Dq 
Ds 
Deflexão de Vigas 
 
41
Äs 0
Ä d 1
lim
Äs ds®
q q
= =
r
 (11.5) 
 
 Substituindo as eqs. (11.3) e (11.5) na eq. (11.2), tem-se: 
y
1 e
-=k=
r
 (11.6) 
onde k é definido como sendo a curvatura. 
 A eq. (11.6) pode ser usada tanto em problemas elásticos como em 
problemas inelásticos, já que na sua dedução não foram utilizadas as propriedades 
do material. Para o caso elástico, sabe-se que: 
x
x E
s
e = (11.7) 
 x
M y
I
s = - (11.8) 
 
Substituindo as eqs. (11.7) e (11.8) na eq. (11.6), temos: 
IE
M1
=
r
 (11.9) 
 
11.3 – Equação diferencial para deflexão de vigas elásticas 
 
 A curva elástica da viga pode ser expressa matemáticamente por v = f(x). 
Para obter esta equação, é preciso representar a curvatura (1/r) em termos da 
deflexão v e x que é da forma: 
( ) 2/32
2
2
dx
dv1
dx
vd
1
úû
ù
êë
é +
=
r
 Þ 
( ) IE
M
dx
dv1
dx
vd
1
2/32
2
2
=
úû
ù
êë
é +
=
r
 (11.10) 
 
 A eq. (11.10) é chamada de elástica, cuja solução dá a solução exata da 
curva elástica. Como para a maioria das vigas usadas em engenharia a curva 
elástica a deflexão é pequena, a inclinação dv/dx também é pequena, podendo ser 
considerada desprezível comparada com a unidade. Com esta simplificação, a 
equação da curva elástica pode ser expressa por: 
Deflexão de Vigas 
 
42
2
2
2
2
d v M
E Idx
ou
d v
E I M
dx
=
=
 (11.11) 
 
 Substituindo a eq. (11.11) na eq. (11.8), uma nova expressão para se 
determinar a tensão pode ser determinada: 
2
x 2
d v
E y
dx
s = - (11.12) 
Considerando que )x(V
dx
dM
-= e )x(w
dx
dV
-= , temos: 
)x(w
dx
vd
IE
dx
d
)x(V
dx
vd
IE
dx
d
2
2
2
2
2
2
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ-=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
 (11.13) 
 
Para o caso da rigidez em flexão EI ser constante: 
)x(w
dx
vd
IE
)x(V
dx
vd
IE
4
4
3
3
=
-=
 (11.14) 
 
11.4 – Condições de contorno 
 
 Para a solução dos problemas de deflexão de vigas, além das equações 
diferenciais, devem ser prescritas as condições de contorno. Alguns tipos de 
condições de contorno são as seguintes: 
 
 
 
 
 
Deflexão de Vigas 
 
43
 
 v = 0 
 M = 0 
 
Rolete (extremidade da viga) 
 
 v = 0 
 M = 0 
 
Pino (extremidade da viga) 
 
 v = 0 
 
 
Rolete (posição qualquer ao longo da viga) 
 
 v = 0 
 
 
Pino (posição qualquer ao longo da viga) 
 
 v = 0 
 dv/dx=0 
 
Suporte fixo ou engastado 
 
 V = 0 
 M = 0 
 
Extremidade livre 
 
 M = 0 
 
 
Articulação 
onde v = deflexão, M = momento fletor e V = cortante. 
 
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA 
 
11.5 – Solução de problemas de deflexão de vigas por meio de integração direta 
 
 Como um exemplo geral de cálculo de deflexão de vigas, pode-se considerar 
uma viga com carga distribuida. A deflexão neste caso é obtida após quatro 
integrações sucessivas. 
 
Deflexão de Vigas 
 
44
4
4
x3
13
0
x x2
1 22
0 0
x x x 2
1 2 3
0 0 0
x x x x 3 2
1 2 3 4
o 0 0 0
d v
E I w(x)
dx
d v
E I w(x) dx C
dx
d v
E I dx w(x) dx C x C
dx
dv x
E I dx dx w(x) dx C C x C
dx 2
x x
E I v dx dx dx w(x) dx C C C x C
6 2
=
= +
= + +
= + + +
= + + + +
ò
ò ò
ò ò ò
ò ò ò ò
 (11.15) 
 
As constantes C1, C2, C3 e C4 são determinadas impondo as condições de 
contorno. Para o caso de w(x), V(x) e M(x) discontínuos, a solução pode ser achada 
para cada segmento da viga onde as funções são contínuas, impondo a 
continuidade de deflexão nos contornos comuns de cada segmento da viga. 
 
Exemplo 11.1: Achar a equação da curva elástica para uma viga simplesmente 
apoiada de comprimento L e de constante EI, com um carregamento uniforme wo. (a) 
determinar a deflexão a partir da equação de segunda ordem. (b) determinar a 
deflexão a partir da equação de quarta ordem. 
 
 
 
 
 
 
Caso (a): 
1 – Determinar as reações de apoio e a função de momento M(x). 
 
 
 
 
 
w = - wo 
 L 
v(L)=0 
M(L)=0 
v(0)=0 
M(0)=0 
 x 
 y,v 
wo L 
 L RA RB 
Deflexão de Vigas 
 
45
 
A
M 0=å , ( )B o LR L w L 02- = , 
o
B
w L
R
2
= 
­ 
y
F 0=å , ( ) oA o w LR w L 02- + = , 
o
A
w L
R
2
= 
 
 
 
 
 
 
 M 0=å , ( )A o xR x w x M 02- + + = , 
2
o ow L x w xM
2 2
= - 
 
2 – Partindo da equação da curva elástica, e integrando duas vezes e aplicando as 
condições de contorno: 
22
o o
2
2 3
o o
3
3 4
o o
3 4
w L x w xd v
E I M
2 2dx
w L x w xdv
E I C
dx 4 6
w L x w x
E I v(x) C x C
12 24
= = -
= - +
= - + +
 
 
Para x = 0, v(0) = 0 , C4 = 0 
Para x = L, v(L) = 0, 
3 4
o o
3
w L L w L
E I v(L) C L 0
12 24
= - + = , 
3
o
3
w L
C
24
= - 
( )3 3 4owv(x) L x 2Lx x
24 E I
= - - + 
 
 
 
 
 
wo x 
 x RA 
V 
M 
vmax 0 x 
 v 
 L/2 
Deflexão de Vigas 
 
46
 Devido a simetria, a maior deflexão ocorre em x = L/2. Para casos mais 
gerais, 
dv
0
dx
= . Assim, vmax é: 
4
o
max
5 w L
v
384 E I
= - 
A inclinação da curva elástica, 
dv
dx
q = , é da forma: 
2 3 3
o o ow L x w x w Ldv 1(x)
dx E I 4 6 24
æ ö
q = = - -ç ÷
è ø
 
Para x = 0, 
3
ow L(0)
24E I
q = - 
Para x = L, 
3
ow L(L)
24E I
q = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso (b): 
4
o4
d v
E I w(x) w
dx
= = - 
3
o 13
d v
E I w x C
dx
= - + 
2 2
o 1 22
d v x
E I w C x C M
2dx
= - + + = 
 
Para x = 0, M(0) = 0, C2 = 0 
Para x = L, M(L) = 0, 
2
o 1
L
M(L) w C L 0
2
= - + = , 1 o
L
C w
2
= 
-woL3/24EI 
 0 x 
 q 
 
woL
3/24EI 
Deflexão de Vigas 
 
47
22
o o
2
w L x w xd v
E I M
2 2dx
= = - 
 
O restante do problema é o mesmo que no caso (a). Neste caso nenhum 
cálculo preliminar das reações e da equação de momento é necessário. Este 
método pode ser vantajoso para alguns problemas estaticamente indeterminados. 
 
Exemplo 11.2: Achar a equação da curva elástica para uma viga simplesmente 
apoiada suporta uma força concentrada P, a uma distância a da extremidade A 
como mostra a figura abaixo. A rigidez em flexão E I é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o segmento AD (0 < x < a): 
 
 
 
 
2
2
d v P b
E I M x
Ldx
= = 
2
2
2
1
3
1 2
d v P b
x
E I Ldx
dv P b x
A
dx E I L 2
P b x
v A x A
E I L 6
=
= +
= + +
 
 
Condições de contorno: 
P 
 L 
v(L)=0 
M(L)=0 
v(0)=0 
M(0)=0 
 x 
 y,v 
B 
A 
 b a 
RB = Pa/L 
RA = Pb/L 
D 
 x Pb/L 
V 
M 
Deflexão de Vigas 
 
48
Para x = 0, v(0) = 0, A2 = 0, 
3
1
P b x
v A x
E I L 6
= + 
Para o segmento DB (a < x < L): 
 
 
 
 
2
2
d v P a
E I M (L x)
Ldx
= = - 
2
2
2
1
2 3
1 2
d v P a P a
x
E I E I Ldx
dv P a P a x
x B
dx E I E I L 2
P a x P a x
v B x B
E I 2 E I L 6
= -
= - +
= - + +
 
 
Condições de contorno: 
Para x = L, v(L) = 0, 0BLB
3
L
IE
aP
)L(v 21
2
=++= 
Para x = a, v(segmento AD) = v(segmento DB) 
3 2 3
1 1 2
P b a P a a P a a
A a B a B
E I L 6 E I 2 E I L 6
+ = - + + 
 
Para x = a, (
dv
dx
q = (segmento AD)) = (
dv
dx
q = (segmento DB)) 
2 2
1 1
P b a P a P a a
A a B
E I L 2 E I E I L 2
+ = - + 
 
Solução: 
( )2 21 P bA L b6 E I L= - - , ( )
2 2
1
P b
B 2L a
6 E I L
= - + , 
3
2
P a
B
6 E I
= 
 
Equação da curva elástica para o segmento AD: 
 x Pa/L 
M 
Deflexão de Vigas 
 
49
( )3 2 2P bv x L b x
6 E I L
é ù= - -ë û 
Equação da curva elástica para o segmento DB: 
( )
2 3 3
2 2P a x P a x P b P av 2L a x
E I 2 E I L 6 6 E I L 6 E I
= - - + + 
 
Se a > b, a maior deflexão se dará no segmento AD, logo: 
dv
0
dx
= (segmento AD) Þ 
( )2 2L b
x
3
-
= 
 
A maior deflexão será então: 
( )
( )
3 / 22 2
max
P b L b
v
9 3 E I L
-
= 
 
Se a força P fosse aplicada no centro do vão onde a = b = L/2, a maior 
deflexão seria: 
3
max
P L
v
48 E I
= 
 
MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO 
 
11.6 – Introdução ao método de área de momento 
 
 O método de área de momento é um método alternativo para a solução do 
problema da deflexão, onde o carregamento é complexo e as áreas das seções 
transversais da viga variam. O método é usualmente empregado para obter apenas 
o deslocamento e a rotação num único ponto da viga. Ele possui as mesmas 
aproximações e limitações discutidas anteriormente, com a determinação da 
deflexão apenas devido à flexão, a deflexão devido ao cortanteé desprezada. 
 
11.7 – Dedução dos teoremas de área de momento 
 
Deflexão de Vigas 
 
50
Os teoremas necessários se baseiam na geometria da curva elástica e no 
diagrama associado (M/EI). Para a dedução dos teoremas, a equação diferencial da 
curva elástica deve ser reescrita como: 
2
2
d v d dv d M
dx dx dx E Idx
ou
M
d dx
E I
qæ ö= = =ç ÷
è ø
q =
 (11.16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura. 11.3 – Representação gráfica do Teorema de área de momento 
w 
A B dx 
qB/A 
 A 
Tan 
 B 
Tan A 
curva elástica 
dq 
M M 
dx 
 x 
M/EI 
B A dx 
M/EI 
Deflexão de Vigas 
 
51
 Se o diagrama de momento fletor da viga é dividido pelo momento de inércia I 
e pelo módulo de elasticidade E, então dq é igual a área sob a curva M/EI para o 
segmento dx. Integrando do ponto A até o ponto B tem-se: 
B
B / A
A
M
dx
E I
q = ò (11.17) 
 
A eq. (11.17) representa o primeiro teorema de área de momento, que diz: o 
ângulo entre as tangentes em dois pontos sobre a curva elástica é igual a área sob a 
curva M/EI entre estes dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura. 11.4 – Tangentes em pontos da viga 
 
 Se o desvio vertical da tangente de um elemento dx medido a partir de uma 
linha vertical passando por A é dt, então, como é assumido que as deflexões são 
pequenas, tem-se que ds’ = dt, logo: 
dt x d= q (11.18) 
 
Integrando esta expressão de A até B, o desvio vertical da tangente de A com 
relação a tangente B é determinada por: 
w 
A B dx 
dq 
 A 
Tan B 
 B 
Tan A 
tA/B 
x dx 
dsdt 
Deflexão de Vigas 
 
52
B
A /B
A
M
t x dx
E I
= ò (11.19) 
 
Da equação que fornece o centróide de uma área temos: 
x dA x dA=ò ò (11.20) 
 
Como aintegral, 
M
dx
E Iò , representa a área sob a curva M/EI, pode-se 
escrever: 
B
A /B
A
M
t x dx
E I
= ò (11.21) 
 
A distância x é a distância do ponto A até o centróide da área sob a curva 
M/EI de A até B. A equação acima representa o segundo teorema de área de 
momento. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.5 – Centróide de uma área de momento 
 
O desvio vertical da tangente de B com relação a tangente A pode ser 
determinada de maneira análoga e é dada por: 
B
'
B / A
A
M
t x dx
E I
= ò (11.22) 
 
A distância x ' é a distância do ponto B até o centróide da área sob a curva 
M/EI de A até B. 
 
 x 
M/EI 
B A x 
Deflexão de Vigas 
 
53
Exemplo 11.3: Determine a inclinação no ponto C da viga abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 2
C C/D
D
áreaR áreaT
M PL L 1 PL PL L 3 PL
dx
EI 8EI 4 2 4EI 8EI 4 64 EI
æ öæ ö æ öæ öq = q = = + - =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷
è øè ø è øè øò 14243 144424443
 
 
Exemplo 11.4: Determine a inclinação no ponto C da viga abaixo. Tome Eaço = 200 
Gpa, I = 17.10 6 mm4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
 L/2 
B A C D 
 L/4 L/4 
qC/D 
 D 
Tan C 
 C 
Tan D 
qC 
16 
A 
 2 m 
B C 
 4 m 2 
 x 
M/EI 
C D 
PL/4EI 
PL/8EI 
L/4 
Deflexão de Vigas 
 
54
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para pequenas deflexões, podemos considerar: 
B / A
C A C / A C / A
t
| | | | | | | |
8
q = q - q = - q 
 
Pelo primeiro teorema de área de momento: 
2
C / A
áreadoT
1 8 kNm 8 kNm
(2m)
2 E I E I
æ ö
q = =ç ÷
è ø144424443
 
 
Pelo segundo teorema de área de momento: 
B / A
cent.T cent.TáreaT áreaT
1 1 24kNm 2 1 24kNm
t 2m 6m 6m 2m 2m
3 2 EI 3 2 EI
é ù é ùæ ö æ ö æ ö æ ö= + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è ø è ø è øë û ë û1442443 14243144424443 144424443
 
2
B / A
320 kN m
t
E I
= 
2 2 2
B / A
C C / A
t 320 kN m 8 kN m 32 kN m
| | | |
8 8 E I E I E I
q = - q = - = 
2
C 6 2 6 4
32 kN m
| | 0,00941 rad
200.10 kN/m 17.10 m-
q = = 
 x 
M/EI 
8/EI 
24/EI 
 2 m 
 C 
 4 m 2 m 
qC/A 
Tan 
 C 
Tan A 
qA 
Tan B 
tB/A 
Deflexão de Vigas 
 
55
Exemplo 11.5: Determine o deslocamento do ponto C da viga abaixo se EI é 
constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
M 0=å , B oR L M 0- = , oB MR L= 
­ yF 0=å , oA MR L= - 
 
 
 
 
 
 M 0=å , o oM x M M 0L - + = , 
o
o
M
M M x
L
= - 
 
 
 
 
 
 
 
A /B
c C/B
t
v t
2
= - 
Mo A 
 L/2 
B 
 L/2 
C 
tC/B 
Tan C 
 C Tan A 
vC 
Tan B 
tA/B 
RB RA 
x 
Mo 
Mo/L 
V 
M 
2L L 
 x Mo/2EI 
M/EI 
Mo/EI 
Deflexão de Vigas 
 
56
2
o o
A /B
M M L1 1
t L L
3 2 EI 6EI
é ùæ ö= =ç ÷ê úè ø ë û
 
2
o o
C/B
M M L1 L 1 L
t
3 2 2 2EI 2 48EI
é ùæ ö= =ç ÷ ê úè ø ë û
 
2 2
o o
c
M L M L
v
12EI 48EI
= - 
2
o
c
M L
v
16EI
= 
 
O mesmo resultado pode ser obtido a partir de B / Ac C / A
t
v t
2
= - 
 
11.8 – Método da superposição 
 
 A equação diferencial 
4
4
d v
E I w(x)
dx
= satisfaz duas condições necessárias 
para aplicar o princípio da superposição, isto é, w(x) é linear com relação a v(x) e o 
carregamento é assumido não mudar a geometria original da viga. Logo, as 
deflexões devido a uma série de carregamento atuando na viga, podem ser 
superpostas. 
 
Exemplo 11.6: Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no suporte A da 
viga apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 kN 
4 m 
A B 
4 m 
2 kN/m 
vC qA 
= 
Deflexão de Vigas 
 
57
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de tabelas (ver Hibbeler), o deslocamento no ponto C e a inclinação 
no ponto A são: 
 
Para a carga distribuida: 
( )
3 3 2
A 1
3 w L 3 (2 kN/m) (8 m) 24 kNm
128 E I 128 E I E I
q = = = 
( )
4 4 3
C 1
5 w L 5 (2 kN/m) (8 m) 53,33 kNm
v
768 E I 768 E I E I
= = = 
Para a carga concentrada: 
( )
2 2 2
A 2
P L (8 kN) (8 m) 32 kNm
16 E I 16 E I E I
q = = = 
( )
3 3 3
C 1
P L (8 kN) (8 m) 85,33 kNm
v
48 E I 48 E I E I
= = = 
 
O deslocamento total no ponto C e a inclinação no pontoA é a soma algébrica 
de cada carregamento calculado separadamente: 
( ) ( )
2
A A A1 2
56 kNm
E I
q = q + q = 
( ) ( )
3
C C C1 2
139 kNm
v v v
E I
= + = 
 
(qA)1 
4 m 
A B 
4 m 
2 kN/m 
(vC)1 
+ 
(qA)2 
4 m 
A B 
4 m 
8 kN 
(vC)2 
Deflexão de Vigas 
 
58
Exemplo 11.7: Determine o deslocamento na extremidade C da viga apresentada 
abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Como tabelas não incluem vigas com extremidades em balanço, a viga pode 
ser separada numa viga simplesmente apoiada e em outra engastada-livre. 
Viga simplesmente apoiada com carga distribuida:( )
3 3 2
B 1
w L (5 kN/m) (4 m) 13,33 kNm
24 E I 24 E I E I
q = = = 
 
Como o ângulo é pequeno, (qB)1 » tan (qB)1, o deslocamento no ponto C é: 
( )
2 3
C 1
13,33 kNm 26,67 kNm
v (2m)
E I E I
æ ö
= =ç ÷
è ø
 
 
A força concentrada aplicada no ponto C pode ser aplicada no ponto B além de um 
binário: 
 
 
 
 
 
10 kN 
4 m 
A C 
2 m 
5 kN/m 
= 
B 
(qB)2 
4 m 
A 
10 kN
2 m 
+ 
B (vC)2 
(qB)2 20 kN/m 
(qB)1 
4 m 
A 
C 
2 m 
5 kN/m 
+ 
B 
(vC)1 
(qB)1 
Deflexão de Vigas 
 
59
( )
2
o
B 2
M L (20 kN.m) (4 m) 26,67 kN.m
3 E I 3 E I E I
q = = = 
 
Considerando o ângulo pequeno, (qB)2 » tan (qB)2, o deslocamento no ponto C é: 
( )
2 3
C 2
26,67 kN.m 53,33 kNm
v (2m)
E I E I
æ ö
= =ç ÷
è ø
 
 
A força concentrada aplicada no ponto C para uma viga engastada-livre: 
 
 
 
 
 
 
 
( )
3 3 3
C 3
P L (10 kN.m) (2 m) 26,67 kN.m
v
3 E I 3 E I E I
= = = 
 
O deslocamento total no ponto C é a soma algébrica de cada carregamento 
calculado separadamente: 
( ) ( ) ( )
3
C C C C1 2 3
26,7 53,3 26,7 53,3 kN.m
v v v v
E I E I E I E I
= + + = - + + = 
 
Exemplo 11.8: Determine a rigidez K da mola de maneira que não haja deflexão no 
Ponto C. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
10 
(vC)
C 
2 m 
B 
w 
 b L 
A 
B 
C 
RB 
K 
Deflexão de Vigas 
 
60
deflexão do Ponto C considerando a viga rígida: 
 
 
 
 
 
 
 
 AM 0=å , B w LR 2= 
RB = K . vB , B
w L
v
2 K
= 
Por semelhança de triangulos: C1 B
(L b)
v v
L
+
= , C1
w
v (L b)
2 K
= + 
Deflexão do Ponto C considerando a viga deformável: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela: 
3
B
w L
24 EI
q = , 
3
C2 B
w L b
v b
24 EI
= q = 
Vc1 – Vc2 = 0 , 
3w w L b
(L b) 0
2 K 24 EI
+ - = , 
3
12 EI
K (L b)
L b
= + 
 
11.9 – Vigas estaticamente indeterminadas- método de integração 
 
 Vigas estaticamente indeterminadas são aquelas que apresentam um número 
de reações incógnitas maior doque o número de equações de equilíbrio. As reações 
excedentes são chamadas de redundantes e não são necessárias para manter o 
w 
 b L 
A 
B C 
RB 
K vC1 
w 
 b L 
A 
B 
C 
RB 
K 
vC2 
Deflexão de Vigas 
 
61
equilíbrio estático. O número de reações redundantes classifica o grau de 
redundância da viga. 
 Para determinar as reações nas vigas estaticamente indeterminadas, é 
preciso especificar as reações redundantes e determina-las a partir das condições 
de compatibilidade da viga. Feito isto, as reações restantes são determinadas pelo 
equilíbrio estático. 
 O método da integração parte da equação diferencial: 
2
2
d v M
E Idx
= , onde M 
pode ser expresso em termos das redundantes. Após a integração, as constantes de 
integração e as redundantes podem ser determinadas pelas condições de contorno 
e continuidade do problema. 
 
Exemplo 11.9: Determine a reação em A para a viga estaticamente indeterminada 
como apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
 
A reação no ponto A pode ser considerada redundante e o momento interno 
pode ser expresso em função desta reação: 
 
 
L 
A B 
wo 
2L/3 
A 
B 
woL/2 
L/3 RAy RBy 
RBx 
MB 
Deflexão de Vigas 
 
62
 
 
 
 
 
 
 
 M 0=å , 
2
o
Ay
w x x
M . R .x 0
2L 3
+ - = , 
3
o
Ay
w x
M R .x
6L
= - 
 
Aplicando a equação do momento interno na equação diferencial da curva 
elástica: 
32
o
Ay2
w xd v
E I R .x
6Ldx
= - 
2 4
o
Ay 1
wdv x x
E I R . C
dx 2 6L 4
= - + 
3 5
o
Ay 1 2
wx x
E I v R . C x C
6 24L 5
= - + + 
 
As incógnitas RAy, C1 e C2 são determinadas a partir das condições de 
contorno: 
Para x = 0, v = 0; C2 = 0 
Para x = L, 
dv
0
dx
= ; 
2 4
o
Ay 1
wdv L L
E I (x L) R . C 0
dx 2 6L 4
= = - + = 
Para x = L, v = 0; 
3 5
o
Ay 1
wL L
E I v R . C L 0
6 24L 5
= - + = 
 
A solução é: 
o
Ay
w L
R
10
= , 
3
o
1
w L
C
120
= - 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático, as reações restantes são: 
x 
A 
wox2/2L 
RAy 
V 
M 
Deflexão de Vigas 
 
63
BxR 0= , 
o
By
4 w L
R
10
= , 
2
o
B
w L
M
15
= 
 
Exemplo 11.10: Determine as reações nos suportes para a viga estaticamente 
indeterminada como apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
Devido a simetria, da equação de equilíbrioyF 0=å tem-se que: 
A B
w L
R R
2
= = 
 
A única redundante é M’, a qual pode ser expressa em função do momento 
interno M: 
 
 
 
 
 
 
 
 M 0=å , x w LM w x x M' 02 2+ - + = , 
2w L w x
M x M'
2 2
= - - 
w 
 L 
A B 
wL 
MB=M’ RB RA 
MA=M’ 
x 
A 
wx 
RAy=wL/2 
V 
M 
MA=M’ 
Deflexão de Vigas 
 
64
Substituindo na equação diferencial da curva elástica: 
2 2
2
d v w L w x
E I x M'
2 2dx
= - - 
2 3
1
dv w L x w x
E I M'x C
dx 2 2 2 3
= - - + 
3 4 2
1 2
w L x w x x
E I v M' C x C
4 3 6 4 2
= - - + + 
 
As incógnitas M’, C1 e C2 são determinadas a partir das condições de 
contorno: 
Para x = 0, v = 0; C2 = 0 
Para x = 0, 
dv
0
dx
= ; C1 = 0 
Para x = L, v = 0; 
3 4 2w L L w L L
E I v M' 0
4 3 6 4 2
= - - = , 
2w L
M'
12
= 
 
A condição 
dv
0
dx
= para x = L pode ser verificada substituindo o valor de M’ 
na curva de inclinação da viga. 
 
11.10 – Vigas estaticamente indeterminadas - método de área de momento 
 
 Se o método de área de momento é usado para determinar as redundantes 
em uma viga estaticamente indeterminada, o diagrama M/EI deve ser representado 
pelas redundantes que são incógnitas do problema. Como no método de área de 
momento é necessário calcular a área sob a curva M/EI e o centróide da área, o 
método é mais convenientemente utilizado quando aplicado juntamente com o 
método da superposição, onde as áreas e os centróides das áreas são facilmente 
determinados. 
 
Exemplo 11.11: Determine as reações de apoio para a viga apresentada abaixo. EI é 
constante. 
 
Deflexão de Vigas 
 
65
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre devido a força P: 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama M/EI devido a força P é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre devido a redundante RBy: 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama M/EI devido a redundante RBy: 
P 
A 
 L 
B 
 L 
P 
RAy L 
B 
 L 
RAx 
MA 
2L L x 
-2PL/EI 
-PL/EI 
M/EI 
RBy 
RAy L 
B 
 L 
RAx 
MA 
Deflexão de Vigas 
 
66
 
 
 
 
 
 
A curva elástica da viga é da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como DB = 0 ; tB/A = 0: 
{ { {
By
B / A
cent.T cent.R cent.TáreaR áreaTáreaT
R2 1 L PL 2 1 PL
t L L (L) L (L) 0
3 2 EI 2 EI 3 2 EI
é ùæ ö é ù- -æ ö æ ö é ù æ ö æ ö= + + =ê úç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úê úè ø è ø ë û è ø è øë ûè øë û 14243 14424431442443
 
 RBy = 2,5 P 
 
Das equações de equilíbrio, temos: 
RAx = 0 , RAy = 1,5 P , MA = 0,5 P L 
 
Exemplo 11.12: Determine as reações de apoio para a viga apresentada abaixo.EI é 
constante. 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
Tan A A 
B 
tB/A = 0 
Tan B 
Mo 
A 
 L 
B 
 L 
C 
2L L x 
RByL/EI 
M/EI 
Deflexão de Vigas 
 
67
 
 
 
 
 
O diagrama M/EI devido a redundante RBy e o momento Mo é construido da 
seguinte maneira. 
Devido a redundante RBy: 
 
B
M 0=å , RCy L – RAy L = 0 , RCy = RAy 
­ 
y
F 0=å , RAy – RBy + RCy = 0 , RAy = RBy /2 
 
 
 
 
 
 M 0=å , By
R
M x 0
2
- = , By
R
M x
2
= 
 
 
 
 
 
Devido ao momento Mo: 
 
 ­ 
y
F 0=å , RAy + RCy = 0 , RAy = - RCy 
 
A
M 0=å , - Mo + RCy 2L = 0 , RCy = Mo/2L , RAy = - Mo/2L 
 
 
 
 
 
Mo 
RAy L L 
RAx 
RBy RCy 
A 
RBy/2 
M 
 x 
A 
-Mo/2L 
M 
 x 
2L L 
 x 
RByL/2EI 
M/EI 
Deflexão de Vigas 
 
68
 M 0=å , oMM x 02L+ = , 
oMM x
2L
= - 
 
 
 
 
 
 
A curva elástica da viga é da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Da figura acima, temos: 
DA = DB = DC = 0 e B /C A / C
1
t t
2
= 
{ { {
By o o
B /C
cent.T cent.T cent.QáreaT áreaQáreaT
R L M M1 1 2 1 1 1
t L (L) L (L) L (L)
3 2 2EI 3 2 2EI 2 2 2EI
é ùæ ö é ù é ù- -æ ö æ öæ ö æ ö æ ö= + +ê úç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ê ú ê ú
è ø è ø è øè ø è øë û ë ûè øë û 1442443 14424431442443
 
{
By By o
A / C
cent.T cent.T cent.T áreaTáreaT áreaT
R L R M2 1 1 1 2 1
t L (L) L L (L) 2L (2L)
3 2 2EI 3 2 2EI 3 2 EI
é ù é ùæ ö æ ö é ù-æ öæ ö æ ö æ ö= + + +ê ú ê úç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è ø è øë ûè ø è øë û ë û14243 123 14424431442443 1442443
 
 
A solução é: 
o
By
3M
R
2L
= 
 
Aplicando as equações de equilíbrio, determina-se as reações restantes: 
RAx = 0 , oAy
M
R
4L
= , oCy
5M
R
4L
= 
 
2L L x 
-Mo/2EI 
M/EI 
-Mo/EI 
Tan C 
A 
 L B 
 L 
C 
tB/C 
tA/C Tan B 
Tan A 
Deflexão de Vigas 
 
69
O problema pode também ser resolvido da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De onde, tem-se: 
B / A C / A
1
t t
2
= 
 
11.11 – Vigas estaticamente indeterminadas - método da superposição 
 
 Para a aplicação do método da superposição é necessário identificar as 
redundantes e aplicar as forças externas separadamente. As redundantes são 
determinadas impondo as condições de compatibilidade nos apoios. 
 
Exemplo 11.13: Determine as reações para a viga abaixo escolhendo RBy como 
sendo redundante. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Removendo a RBy: 
 
 
 
 
Tan C 
A 
 L B 
 L 
C 
tB/A 
tC/A 
Tan B 
Tan A 
P 
A 
 L/2 
B 
 L/2 
= 
Deflexão de Vigas 
 
70
 
 
 
 
 
B
5 P L
v
48 E I
= 
 
Removendo a força P: 
 
 
 
 
 
3
By
B
R L
v '
3 E I
= 
 
Condições de compatibilidade 
0 = - vB + vB’ , 
3
ByR L5 P L0
48 E I 3 E I
= - + , By
5
R P
16
= 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático, determina-se as reações 
restantes: 
AxR 0= , Ay
11
R P
16
= , A
3
M P L
16
= 
 
Exemplo 11.14: Determine as reações para a viga abaixo escolhendo MA como 
sendo redundante. EI é constante. 
 
 
 
 
 
P 
A 
 L/2 B L/2 
+ 
vB 
A 
 L/2 
B 
 L/2 
vB’ 
RBy 
P 
A 
 L/2 
B 
 L/2 
= 
Deflexão de Vigas 
 
71
Removendo a MA: 
 
 
 
 
 
2
A
P L
16 E I
q = 
 
Removendo a força P: 
 
 
 
 
 
A
A
M L
'
3 E I
q = 
 
Condições de compatibilidade 
0 = - qA + qA’ , 
2
AP L M L0
16 E I 3 E I
= - + , A
3
M P L
16
= 
 
Exemplo 11.15: Determine para a viga abaixo as reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
Devido a simetria: RA = RB = 5400 kgf e MA = MB. 
 
 
A 
 L/2 
P 
 L/2 
B 
qA 
A 
 L/2 
MA 
 L/2 
B 
qA’ 
6 000 kgf/m 
 RA 
1,8 m 
 A 
 RB 
 MA MB 1,8 m 1,8 m 
 B C D 
Deflexão de Vigas 
 
72
 
a) 
 
 
 
 
3 3
D
w L 6000 .3,6
6 EI 6 EI
q = = , 
4 4
D
w L 6000 .3,6
v
8 EI 8 EI
= = 
vB = vD + qD. 1,8 , 
4 3
B
6000 .3,6 6000 .3,6
v .1,8
8 EI 6 EI
= + 
 
b) 
 
 
 
 
3 3
C
w L 6000 .1,8
6 EI 6 EI
q = = , 
4 4
C
w L 6000 .1,8
v
8 EI 8 EI
= = 
vB = vC + qC. 3,6 , 
4 3
B
6000 .1,8 6000 .1,8
v .3,6
8 EI 6 EI
= + 
 
c) 
 
 
 
 
3 3
B
B
R L 5400 .5,4
v
3 EI 3 EI
= = 
d) 
 
 
 
 
6 000 kgf/m 
1,8 m 
 A 
1,8 m 1,8 m 
 B D 
 vB1 
6 000 kgf/m 
1,8 m 
 A 
1,8 m 1,8 m 
 B C vB2 
RB 
1,8 m 
 A 
1,8 m 1,8 m 
 B vb3 
1,8 m 
 A 
1,8 m 1,8 m 
 B MB 
 vB4 
Deflexão de Vigas 
 
73
2 2
B B
B
M L M 5,4
v
2 EI 2 EI
= = 
vB1 – vB3 – vB3 + vB4 = 0 
 
MA = MB = 7020 kgf m 
Método de Energia 
 
74
12 – MÉTODO DA ENERGIA 
 
12.1 – Introdução 
 
 Nos capítulos anteriores, as formulações se apoiam no método newtoniano da 
mecânica dentro do qual o equilíbrio estático é representado de maneira vetorial. 
Uma outra alternativa, é utilizar o método lagrangeano que usa funções escalares, 
baseados em conceitos de trabalho e energia. 
 
12.2 – Energia de deformação elástica 
 
O trabalho interno armazenado em um corpo deformável como energia 
elástica de deformação ou energia de deformação elástica é o produto da força 
média que atua sobre o corpo enquanto ocorre a deformação, multiplicada pela 
distância na qual ela age. Seja então o elemento de volume dx, dy, dz solicitado 
axialmente na direção x, Fig, 12.1: 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.1 – Elemento solicitado axialmente na direção x 
 
 A energia de deformação elástica para esta solicitação é da forma: 
( )x x x x
1 1
dU dy. dz . .dx dV
2 2
æ ö
= s e = s eç ÷
è ø
 (12.1) 
 
A densidade de energia de deformação Uo é interpretada graficamente como 
sendo a área sob linha inclinada do diagrama tensão deformação, Fig. 12.2. 
 
 
dy 
dx 
dz 
sx sx x 
 y 
 z 
Método de Energia 
 
75
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.2 – Densidade de energia de deformação elástica 
 
x x
o
dU
U
dV 2
s e
= = (12.2) 
 
No caso de um elemento de volume dx, dy, e dz submetido a um 
cisalhamento no plano xy, a energia de deformação é do tipo: 
( )xy xy xy xy
xy xy
ocis
cis
1 1
dU dx. dz . .dy dV
2 2
ou
dU
U
dV 2
æ ö
= t g = t gç ÷
è ø
t gæ ö = =ç ÷
è ø
 (12.3) 
 
 Para o caso de um corpo submetido à tensões normais sx, sy e sz e à tensões 
de cisalhamento txy, txz e tyz, a energia de deformação total é da forma: 
o x x y y z z xy xy yz yz xz xz
dU 1 1 1 1 1 1
dU
dV 2 2 2 2 2 2
= = s e + s e + s e + t g + t g + t g (12.4) 
 
Substituindo a lei de Hooke que relaciona deformação com tensão na eq. 
(12.4), temos: 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2xz yz xzo x y z x y y z z x1 1U 2E E 2G
u
= s + s + s - s s + s s + s s + t + t + t (12.5) 
 
De uma forma mais ampla, para um corpo elástico sob tensão, a energia de 
deformação total é obtida pela integração volumétrica: 
ex 
sx 
E
Método de Energia 
 
76
( )
o x y zV
x x y