Relatório 1 - Corpo Negro

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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
SECRETARIA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
(Real Academia de Artilharia Fortificação e Desenho - 1792)
LABORATÓRIO DE FÍSICA III
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RODRIGO BECKER
FABRICIO COSTA
LUCAS SAURIN
VICTOR VILLAS BÔAS
TURMA C - 2o ANO
PROF. GERSON BAZO COSTAMILAN
RIO DE JANEIRO
10 DE SETEMBRO DE 2013
Lista de ilustrações
Figura 1 – Catástrofe do ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Figura 2 – Corpo negro com ebulidor e termômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 3 – Multímetro, sensor e corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Figura 4 – Gráfico 𝑃 × 𝑇 4 − 𝑇 4𝑎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Lista de tabelas
Tabela 1 – Dados experimentais registrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Sumário
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Catástrofe do Ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Os Ressonadores de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Materiais utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Análise de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
Resumo
A quantização das energias possíveis dos osciladores harmônicos no corpo negro
sugerida por Planck levou à primeira equação que descrevesse a distribuição de energia
por frequência observada e anteriormente analisada sem grande sucesso. Além de resol-
ver o problema conhecido como catástrofe do ultravioleta, também foi demonstrada a
relação de proporcionalidade entre potência da radiação emitida e temperatura do corpo
negro elevada a quarta potência. Esta relação de proporcionalidade é investigada experi-
mentalmente neste trabalho, bem como é discutido o desenvolvimento do modelo clássico
anterior e o próprio modelo de Planck. A relação de proporcionalidade foi confirmada com
boa precisão (coeficiente de determinação 𝑅2 = 0, 9972), sendo esta uma evidência para
confirmar o modelo de Planck.
2
1 Introdução teórica
1.1 Catástrofe do Ultravioleta
Chama-se corpo negro um objeto que absorva toda a radiação que nele incide.
Consequentemente, toda radiação vinda do corpo que é observada é emissão própria,
devido às oscilações atômicas do material. Naturalmente essa radiação é dependente do
grau de atômica do material (temperatura).
Até meados de 1900, um problema sobre a radiação emitia por corpo negro per-
manecia sem solução na física. A hipótese de continuidade entre os valores de energia
possíveis das cargas oscilantes causava uma previsão teórica extremamente diferente dos
resultados experimentais, conforme a figura 1.
Figura 1 – Catástrofe do ultravioleta
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Blackbody-lg.png
Para mostrar este resultado pode ser utilizada a já conhecida distribuição de pro-
babilidades de Boltzmann para as energias dos átomos (osciladores harmônicos):
𝑓(𝐸) = 𝐴𝑒−𝐸/𝑘𝑇 (1.1)
onde 𝐴 é uma constante, 𝑘 é a constante de Boltzmann, 𝐸 é a energia, 𝑇 é a temperatura
do sistema e 𝑓(𝐸) nos dá a probabilidade da energia 𝐸, ou seja, a quantidade de osciladores
com energia no intervalo entre 𝐸 e 𝐸 + 𝑑𝐸.
Capítulo 1. Introdução 3
A constante 𝐴 pode ser determinada conforme:∫︁ ∞
0
𝑓(𝐸)𝑑𝑡 =
∫︁ ∞
0
𝐴𝑒−𝐸/𝑘𝑇𝑑𝐸 = 𝐴𝑘𝑇 (1.2)
como a integral na equação 1.2 representa a probabilidade de um oscilador ter a energia
no intervalo entre 0 e ∞, seu valor deve ser 1 e obtemos:
𝐴 = 1
𝑘𝑇
(1.3)
Agora é possível calcular a energia média �¯�, que pode ser derivada da equação 1.1
e do valor determinado de 𝐴 dado em 1.3
�¯� =
∫︁ ∞
0
𝐸𝑓(𝐸)𝑑𝐸 =
∫︁ ∞
0
𝐸
𝑘𝑇
𝑒−𝐸/𝑘𝑇𝑑𝐸 = 𝑘𝑇 (1.4)
Com argumentos geométricos, é possível mostrar que o número de modos normais
de oscilação das ondas de radiação por unidade de volume, para determinada frequência
de onda 𝜈, é dado por:
𝒩 (𝜈) = 8𝜋𝜈
4
𝑐4
(1.5)
onde 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo.
A equação 1.4 está de acordo com a teoria clássica e foi utilizado por Rayleigh e
Jeans, juntamente do resultado da equação 1.5, para obter a distribuição 𝑔 da energia de
radiação por volume em função da frequência 𝜈 de onda emitida pelo corpo negro:
𝑔(𝜈) = �¯�𝒩 (𝜈) = 8𝑘𝜋𝜈
4𝑇
𝑐4
(1.6)
onde 𝑔 é chamado de distribuição espectral da energia emitida.
Para frequências muito baixas (ou comprimentos de onda muito altos) a equação
concordou com os dados experimentais, mas quando 𝜆→ 0 temos 𝜈 →∞ e a distribuição
espectral tende a infinito, se distanciando catastróficamente das observações feitas em
experimentos.
Esta previsão incorreta baseada em resultados clássicos da física ficou conhecida
como a catástrofe do ultravioleta. Não somente a previsão discordava dos resultados, mas
também levava a uma conclusão ainda mais dramática e absurda: a energia por volume
pelo corpo negro deveria ser infinita, conforme a equação:∫︁ ∞
0
𝑔(𝜈)𝑑𝜈 →∞ (1.7)
1.2 Os Ressonadores de Planck
Em meados de 1900, Max Planck estudava a catástrofe do ultravioleta causada
pela distribuição espectral de Rayleigh-Jeans. Ele formulou a hipótese de que a radiação
Capítulo 1. Introdução 4
interagia com os osciladores harmônicos dos corpos de maneira diferente. Esses osciladores,
chamados por ele de ressonadores, deveriam admitir energias de vibração conforme uma
variável discreta (não contínua).
Quando Max Planck sugeriu que as energias possíveis das cargas oscilantes fos-
sem quantizadas (múltiplas de uma quantidade fundamental), sua conclusão foi de que a
energia média dos osciladores não era mais uma constante, e sim uma função discreta da
frequência ou do comprimento de onda. A partir desta nova distribuição de energia, Planck
obteve uma função que previa corretamente os resultados experimentais de intensidade
da radiação emitida por corpos negros.
Na hipótese de Planck, as energias dos ressonadores (e consequentemente a da
radiação) deveria ser da forma:
𝐸𝑛 = 𝑛ℎ𝜈 (1.8)
onde 𝑛 é um número natural, ℎ é uma constante e 𝜈 é a frequência do ressonador.
Assim, utilizando a relação 𝑐 = 𝜆𝜈 a distribuição de Boltzmann se torna:
𝑓(𝐸𝑛) = 𝐴𝑒−𝑛ℎ𝜈/𝑘𝑇 (1.9)
Novamente determinamos a constante 𝐴 pela distribuição total:
∞∑︁
𝑘=0
𝑓(𝐸𝑘) = 𝐴
∞∑︁
𝑘=0
𝑒−𝑘ℎ𝜈/𝑘𝑇 = 𝐴1− 𝑒−ℎ𝜈/𝑘𝑇 (1.10)
Como o somatório acima deve valer 1, obtemos:
𝐴 = 1− 𝑒−ℎ𝜈/𝑘𝑇 (1.11)
De forma semelhante à equação 1.4, calculamos a energia média dos osciladores
com frequência 𝜈:
�¯� =
∞∑︁
𝑘=0
𝐸𝑘𝑓(𝐸𝑘) = 𝐴
∞∑︁
𝑘=0
𝑘ℎ𝜈𝑒−𝑘ℎ𝜈/𝑘𝑇 (1.12)
Substituindo o resultado da equação 1.11 e resolvendo o somatório, encontramos:
�¯� = ℎ𝜈
𝑒ℎ𝜈/𝑘𝑇 − 1 (1.13)
Utilizando o mesmo 𝒩 sugerido no trabalho de Rayleigh e Jeans (equação 1.5),
Planck chegou a uma distribuição espectral dada por:
𝑔(𝜈) = �¯�𝒩 (𝜈) = 8𝜋𝜈
5
𝑐4(𝑒ℎ𝜈/𝑘𝑇 − 1) (1.14)
A princípio a constante ℎ poderia também ser uma função da frequência 𝜈, mas
verificou-se com os dados experimentais que ela era a mesma constante em todas as
Capítulo 1. Introdução 5
frequências analisadas e a distribuição espectral de Planck eliminava a catástrofe do ul-
travioleta, encaixando-se nos gráficos empíricos da figura 1. Basta fazer 𝜈 →∞ e observar
que 𝑔(𝜈)→ 0.
Um dos resultados esperados da distribuição espectral de Planck é que ela pudesse
de alguma forma generalizar a distribuição de Rayleigh-Jeans, pois esta realmente funci-
onava bem para frequênciasbaixas. De fato, fazendo 𝜈 → 0 na equaç ao 1.14 obtemos a
equação de Rayleigh-Jeans.
Outra consequência da distribuição de Planck é que ao integrarmos 𝑔(𝜈) para todas
as frequências possíveis, chega-se a uma proporcionalidade entre a potência emitida 𝑃 e
a temperatura 𝑇 . A relação
𝑃 = 𝜎𝑇 4 (1.15)
já havia sido documentada por Josef Stefan em 1879 experimentalmente e pode ser agora
demonstrada.
Neste sentido, a observação desta proporcionalidade feita por Josef Stefan repre-
senta uma evidência da hipótese de Planck estar correta, visto que nenhuma outra dis-
tribuição espectral havia feito esta previsão corretamente. A proporcionalidade descrita
pela equação 1.15 é uma confirmação da quantização da energia dos osciladores.
6
2 Materiais e Métodos
2.1 Materiais utilizados
Para a montagem dos experimentos, foram utilizados:
∙ termômetro INCOTERM L-047/09 (até 112oC);
∙ sensor de radiação térmica Pasco Scientifc TD-8553 (Thermopile). Resposta espec-
tral: 0, 5𝜇𝑚 a 40𝜇𝑚. Sensibilidade: aproximadamente 22mV/mW;
∙ ebulidor Mergulhão – 1000W/127V;
∙ multímetro iCEL Manaus MD-6110;
∙ panela/leiteira de cor preta.
2.2 Procedimento experimental
Foi colocado água até cerca de 3cm abaixo da borda de uma panela negra (figura 2).
Colocou-se o termômetro e o ebulidor dentro da água para aquecê-la até uma temperatura
próxima do ponto de ebulição, chegando a 96𝑜𝐶.
Figura 2 – Corpo negro com ebulidor e termômetro
O ebulidor foi retirado da água, permitindo que esta se resfriasse junto com a
panela. A variação de temperatura foi monitorada e a cada 2𝑜𝐶 de variação foi feito uma
Capítulo 2. Materiais e Métodos 7
medida da radiação térmica emitida, aproximando o sensor da parede externa da panela.
Os dados foram armazenados na tabela 1 e a partir deles foi construído o gráfico 4.
Por fim, foi medida a temperatura ambiente e assumida constante durante todo o
experimento.
Figura 3 – Multímetro, sensor e corpo negro
2.3 Resultados
A temperatura ambiente 𝑇𝑎 encontrada foi de 298K. Os valores 𝐼 retornados pelo
sensor em cada leitura são porporcionais à potência emitida pelo corpo negro e como
a distância foi mantida constante, é proporcional à energia emitida. Estes valores estão
inseridos na tabela 1.
2.4 Análise de dados
Com os dados da tabela 1, foi construído o gráfico de intensidade por diferença
entre as quartas potências das temperaturas da água e ambiente (𝑇 4 − 𝑇 4𝑎 ) exibido a
seguir.
Através do software Excel 2010, a reta que melhor aproxima os trinta pontos
determinados foi traçada. Os dados obtidos através do experimento são bem pela reta
de tendência inserida, condizendo com a equação 1.15. O coeficiente de determinação 𝑅2
determinado pela reta e os dados foi de 0, 9972 e por estar muito próximo de 1, confirma
uma boa aproximação estatística.
Prováveis causas de menor precisão na relação de proporcionalidade podem ser a
flutuação da temperatura do sensor, precisão do multímetro para as voltagens emitidas
pelo sensor e influência da radiação externa e desvio do comportamento de corpo negro
do objeto utilizado.
Capítulo 2. Materiais e Métodos 8
Tabela 1 – Dados experimentais registrados
Figura 4 – Gráfico 𝑃 × 𝑇 4 − 𝑇 4𝑎
9
3 Conclusão
A relação entre potência emitida por um corpo negro e a quarta potência de sua
temperatura aproximou-se de uma reta com coeficiente de determinação 𝑅2 = 0, 9972,
confirmando a proporcionalidade entre as duas grandezas.
Este resultado é uma evidência do modelo de Planck da energia quantizada dos
ressonadores, visto que este modelo previu corretamente proporcionalidade descrita no
experimento.
10
REFERÊNCIAS
FELDENS, B.; DIAS, P.; SANTOS, W. E assim se fez o quantum... Rev. Bras. Ensino
Fís., São Paulo, v.32, n.2, Junho 2010. Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?
script=sci_arttext&pid=S1806-11172010000200015&lng=en&nrm=iso>. Acessado em 8
Set. 2013.
TIPLER, Paul; LLEWELLYN, Ralph. Física Moderna. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
ZEN, César. Lei de Planck. UFRGS, Instituto de Física. Disponível em
<http://www.cesarzen.com/FIS1056Lista3.pdf>. Acessado em 9 Set. 2013.
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	Introdução
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	Os Ressonadores de Planck
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