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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 
PROFº: Maj BEN-HUR 
Resistência dos Materiais 
• 1 VE + 1 lista Exercício => MVE 
• 1 VC 
• 1 VF 
Avaliações 
Resistência dos Materiais 
(OBJETIVOS DA MATÉRIA) 
• Estudo das ações e reações de corpos não rígidos 
submetidos à esforços exteriores => projeto de máquinas e 
estruturas de apoio de carga; 
 
• Verificar estabilidade e dimensionamento de estruturas 
(análise de TENSÕES e DEFORMAÇÕES); 
• tensões normais; 
• tensões de cisalhamento; 
• tensões de esmagamento (parafusos, pinos e 
rebites); 
• tensões de torção. 
• Uso de modelos matemáticos simplificados para 
descrever a complexa realidade física, sendo corrigidos 
posteriormente por coeficientes que levam em conta as 
simplificações feitas: “coeficientes de segurança”; 
• A solução de problemas mais complexos é feita pela 
Teoria da Elasticidade (métodos matemáticos mais 
complexos). 
• Dadas as forças exteriores (cargas), que atuam 
sobre uma peça e suas dimensões, calcular os 
esforços internos (tensões) que estas forças 
desenvolvem e as deformações que produzem; 
• Conhecidas as forças exteriores (cargas) e as 
tensões admissíveis do material, calcular as 
dimensões da peça; 
• Determinar as formas mais convenientes a dar às 
peças, tanto em suas seções transversais como 
longitudinais, para que possam suportar com 
segurança os esforços que devam transmitir ou 
receber, sem no entanto apresentarem uma 
deformação excessiva; 
• Escolher os materiais convenientes para 
suportarem as tensões e deformações 
previamente estabelecidas. 
 
Resistência dos Materiais 
(OBJETIVOS DA MATÉRIA) 
HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS 
• Quanto aos materiais: 
• Contínuos (ausência de imperfeições); 
• Homogêneos (iguais propriedades em todos os seus 
pontos); 
• Isótropos (iguais propriedades em todas as direções); 
• Elásticos (deformações proporcionais aos esforços). 
• Quanto à geometria dos elementos estruturais: 
• Blocos (a~b~c), folhas (e<<a~b) e barras (c>>a~b). 
• Quanto ao carregamento: 
• Forças distribuídas; 
• Forças concentradas. 
• Quanto aos vínculos: 
• Apoio móvel; 
• Apoio fixo; 
• Engastamento. 
• Inexistência de esforços iniciais (residuais). 
Quanto à geometria 
6 
Quanto ao carregamento 
dAdFP /=
dxdFq /=
Em linha 
Em superfície 
Em volume 
Concentrada 
7 
Quanto ao vínculo 
8 
Revisões da Estática 
9 




 0M 0M 0M 
 0F 0F 0F 
zyx
zyx
  0M 0F 0F zyx
 Condições de Equilíbrio 
 
Decompondo cada força e cada momento em suas 
componentes cartesianas no espaço tri-dimensional, 
encontramos as condições necessárias para o equilíbrio de um 
corpo: 
 
Equilíbrio no Plano (xy) 
 
Esforços Externos 
10 
Esforços Internos 
11 
CARGAS E FORÇAS 
12 
• A especificação CARGA, não representa nenhuma 
diferença fundamental com a de FORÇA em relação a 
seus efeitos. 
• Carga é uma FORÇA externa aplicada numa peça ou 
estrutura. 
• As cargas ou forças externas aplicadas a um corpo 
elástico tendem a deformá-lo. É, então, uma 
característica das cargas aplicadas, deformar o corpo 
ou peça sobre a qual estão aplicadas. 
• Os dados a respeito das cargas não serão completos 
se não definirem: 
• As formas de solicitações produzidas pelas cargas 
(forças). 
• A classificação das cargas (tipos de cargas). 
• A unidade de medida das cargas. 
CARGAS E FORÇAS 
13 
Formas de solicitações 
 Os corpos em geral e as peças de máquinas em 
especial são solicitados pelas forças externas (cargas) 
que agem sobre eles, reagindo de maneira distinta, 
segundo o número e a forma de atuar de tais forças. 
 Definimos como SOLICITAÇÕES, a forma como 
reagem peças sob a ação das forças. 
 Isto significa que as solicitações podem ser produzidas 
de diferentes modos, em qualquer corpo ou peça, ou seja, 
a presença das forças não tem sempre as mesmas 
características, dando lugar a diversas formas 
de solicitações. 
 
CARGAS E FORÇAS 
14 
Formas de solicitações (Cont.) 
 Esta diferenciação tem origem nas particularidades 
que caracterizam as peças e as forças. 
 Dependem da natureza dos materiais, da posição e 
colocação dos corpos ou peças resistentes. Em relação 
às forças, dependem da sua intensidade, direção, sentido, 
ponto de aplicação e número. 
 
As solicitações (estáticas) podem ser classificadas em: 
 
SIMPLES: TRAÇÃO; COMPRESSÃO; CISALHAMENTO 
(CORTE); FLEXÃO; TORÇÃO. 
 
COMPOSTAS: Combinação de duas ou mais solicitações 
SIMPLES 
 
CONCEITO DE TENSÃO 
• Os esforços locais, em pontos de uma dada seção, serão 
analisados através de seus valores específicos (por unidade 
de área) por meio do conceito de tensão. 
 
• É uma grandeza que tem a mesma dimensão de pressão 
(como veremos, o estado de tensão denominado “pressão” é 
uma situação particular do caso geral da tensão). Suas 
unidades são N/m2 (Pascal – Pa), em kgf/cm2, lbf/in2 (psi), 
dyn/cm2 (bar), etc. 
15 
CONCEITO DE TENSÃO 
• Ao decompormos o vetor força elementar dF na direção normal 
(perpendicular ao plano da seção – dFn) e na direção do plano da seção 
(dFt), obtemos as duas componentes da tensão: 
 tensão normal ........  = dFn / dA ..... que pode ser de tração ou 
compressão (esmagamento), e 
 tensão tangencial....  = dFt / dA ..... também chamada de 
tensão de cisalhamento ou cisalhante. 
16 
FORÇAS E TENSÕES 
(exemplo numérico) 
17 
Seja a união de chapas mostrada na Figura abaixo, transmitindo uma força de tração 
de 72 kN. Calcule as tensões de tração e cisalhamento nas chapas, corte no pino e 
compressão (esmagamento) no corpo do pino e nos furos das chapas. 
1 MPa = 10 kgf/cm2 
1Pa = 1 N/m2 
FORÇAS E TENSÕES 
(exemplo numérico) 
18 
http://www.mdsolids.com/ 
FORÇAS E TENSÕES 
(exemplo numérico) 
19 
Seja a união de chapas mostrada na Figura abaixo, transmitindo uma força de tração 
de 72 kN. Calcule as tensões de tração e cisalhamento nas chapas, corte no pino e 
compressão (esmagamento) no corpo do pino e nos furos das chapas. 
1 MPa = 10 kgf/cm2 
1Pa = 1 N/m2 
FORÇAS E TENSÕES 
Duas perguntas: 
 
- A estrutura pode suportar o peso de 30 kN? 
- O que é “suportar” o peso de 30 kN? 
22 
FORÇAS E TENSÕES 
(exemplo numérico) 
FBC 
30 = 
FAB 4 
5 
FAC 
3 
FAB/4 = FBC/5 = 30/3 
FAB = 40 kN (compressão) 
FBC = 50 kN (tração) 
OBS: No SI força é expressa em N, 
área em m2 =>  será em N/m2 (Pa). 
Ainda: 1 MPa = 10 kgf/cm2 
1 MPa = 10Bar = 145 psi 23 
Dados: 
• pinos com diâmetro de 
25mm em A, B e C 
• barra BC 
 diâmetro de 20mm 
 extremidades 
achatadas (20 x 40 mm). 
 
FBC = 50kN (tração); A = 
314 x 10-6m2; 
 BC = 159MPa 
 
 
 
TENSÕES NORMAIS 
24 
= N/A 
 
 
 
nas ligações em B e C: 
 A = 20 x (40-25) = 300 x 
10-6m2 => σC = 167MPa 
 
 
 
 
 
 
f pino 
=> local da ruptura: próximo 
a um dos furos 
TENSÕES NORMAIS 
 
 
• barra AB: 
 seção retangular de 
30mm x 50mm 
 na extremidade B 
divide-se em duas 
partes (encaixe da 
barra BC) 
FAB = - 40kN 
(compressão); A = 1500 x 
10-6m2; 
AB = - 26,7MPa 
 Há ruptura na seção 
dos pinos? 
25 
TENSÕES CISALHANTES 
A
P
méd 
m10x491
2
25
rA
26
2
2 





 
MPa102
10x491
10x50
6
3
méd  
b) Determinação das tensões de cisalhamento nas ligações 
- pino C – cisalhamento simples 
 
 
 
26 
 = Q/A 
TENSÕES CISALHANTES 
 
 
MPa7,40
10x491
10x20
6
3
méd  
- pino A – cisalhamento duplo 
 
27 
TENSÕES CISALHANTES 
 
 
pino B – cisalhamento duplo 
 
PE = 15kN 
PG cos36,87º = 20kN  PG = 25kN 
 
MPa9,50
10x491
10x25
A
P
6
3
G
méd  
28 
TENSÕES DE ESMAGAMENTO 
 
 
MPa3,53
25x30
40
td
P
e 
MPa0,32
25x25x2
40
td
P
e 
MPa
xxtd
P
e
0,40
25202
40

c) Determinação das tensões de esmagamento 
•ponto A da barra AB 
 
•nas chapas de ligação em A 
 
•nas chapas de ligação em B 
 
 
 
29 
AA