P1 Leonardo Guidi 2015/2 Nota 9 - Cálculo Numérico UFRGS

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UFRGS – Instituto de Matemática
Depto. de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169 – Cálculo Numérico – turma B1
Prova 1-E – 11 de setembro de 2015
Nome completo: Cartão:
Questão 1 (1 ponto): O resultado da sequência de operações x − √x2 − 1 no sistema de ponto flutuante
F (10, 5,−90, 90) com x = 10pi é igual a:
a) 0,15919× 10−1
b) 0,16000× 10−1
c) 0,15920× 10−1
d) 0,16340× 10−1
e) 0,16341× 10−1
Questão 2 (1 ponto): A expressão xsen(x) +
(
exp
(−x2)− 1) apresenta cancelamento catastrófico quando
calculada para valores pequenos de x via aritmética de ponto flutuante. A partir das aproximações sen(x) ≈
x≪1
x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . . e ex ≈
x≪1
1+x+
x2
2
+
x3
3!
+ . . ., quais dos valores abaixo corresponde ao arredondamento
(par) correto quando x = 1,298663× 10−8:
a) 1,621962× 10−25
b) 5,913628× 10−18
c) 5,913628× 10−25
d) 4,865886× 10−25
e) 3,487795× 10−13
◆�✁✂✄ ✾
Pedro Ziebell Ramos 244002
Questão 3 (1 ponto): A velocidade v de um foguete Saturn V em voo vertical próximo à superfície terrestre
pode ser aproximada pela expressão
v = −ve ln
(
1− t
M
dm
dt
)
− g t,
onde ve é a velocidade de escape dos gases do motor, M é a massa inicial do foguete,
dm
dt
é a taxa de
consumo de combustível, g é a aceleração gravitacional e t é tempo medido desde a partida. Assumindo que
os valores M = 2,5 × 106Kg, g = 9,78m/s² e t = 55s são exatos e os demais são conhecidos com incerteza
(erro absoluto) dados por ve = (2,51± 0,05)×103m/s e dm
dt
= (13,3± 0,6)×103Kg/s, a incerteza no cálculo
de v ≈ 331m/s estimada a partir da propagação de erros é:
a) 128m/s
b) 60m/s
c) 64m/s
d) 66m/s
e) 120m/s
Questão 4 (1 ponto): A sequência de aproximações {xn}∞n=0 que aproximam o valor do logaritmo natural
de y ∈ (−1, 1) via método Newton-Raphson é dada por : (sugestão: lembre-se de que ln é a inversa da função
exp)
a) xn+1 = xn + 1− y exp (xn) , n = 0, 1, . . .
b) xn+1 = xn − 1 + y exp (−xn−1) , n = 1, 2, . . .
c) xn+1 = xn − 1− y exp (−xn) , n = 0, 1, . . .
d) xn+1 = xn−1 − 1 + y exp (xn) , n = 1, 2, . . .
e) xn+1 = xn − 1 + y exp (−xn) , n = 0, 1, . . .
Questão 5 (1 ponto): Seja uma função contínua f : R → R que possui um único zero x∗ no intervalo com
extremidades x0 = 12,88 e x1 = 16,33 com a propriedade f (x0) f (x1) < 0. Se utilizarmos o método da
bissecção, após 41 iteradas o erro absoluto na estimativa de x∗será menor do que :
a) 0,8× 10−41
b) 3,4× 10−12
c) 3,4× 10−41
d) 0,8× 10−12
e) 1,6× 10−12
Questão 6 (1 ponto): Quantas iteradas do método da secante são necessárias para que a estimativa de erro
relativo (tolerância) seja menor do que 10−7 na aproximação do zero x∗ = pi/2 da função f : R → R, x 7→
x ln (2− sen(x)) a partir das aproximações iniciais x0 = 0,9 e x1 = 1 ?
a) 15
b) 7
c) 33
d) 28
e) 20
Questão 7 (1 ponto): A função f : [0,+∞) → R, x 7→ x2 ln(1 + x) − x possui um único zero não nulo,
x∗ = 1,23... O nono e o décimo dígitos de x∗ são iguais a:
a) 8 e 7.
b) 8 e 8.
c) 7 e 6.
d) 7 e 8.
e) 7 e 7.
Questão 8 (1 ponto): A função f : R → R, x 7→ sen(x) e a função g : R → R, x 7→
(
x− 3pi
2
)4
+ c são
tangentes nos ponto x∗1 e x
∗
2 para um dado valor "c". O valor de c que garante essa propriedade é :
a) −0,939980868...
b) −0,939980346...
c) −0,939980125...
d) −0,939980724...
e) −0,939980336...
Questão 9 (1 ponto): A partir das aproximações iniciais x0 = 0,8 e x1 = 0,9 para um dos zeros da função
f : R→ R, sen(x)− 2x cos(x), teremos como valor aproximado após três iteradas do método da secante:
a) 1,165354...
b) 1,147539...
c) 1,167152...
d) 1,165561...
e) 1,089893...
Questão 10 (1 ponto): A partir da aproximação inicial x0 = 0,8 para um dos zeros da função f : R →
R, x 7→ sen(x)− 2x cos(x), teremos como valor aproximado após três iteradas do método Newton-Raphson:
a) 1,165561...
b) 1,165709...
c) 1,177597...
d) 1,285901...
e) 1,165354...