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Exercicios_Primos-1

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Fundamentos de A´lgebra - Exerc´ıcios - Primos
(1) Use o crivo de Erato´stenes para achar todo nu´mero primo menor que 120. Quais dos
seguintes nu´meros sa˜o primos?
7097
7127
7137
(2) Mostre que se o triplo de um nu´mero primo 푝 e´ igual ao quadrado de um nu´mero
natural 푛 menos 4 enta˜o 푝 so´ pode ser o primo 7.
(3) Suponha que 푝 e 푞 sejam dois nu´meros primos tais que 푝 < 푞 e 푞∣(푝2 − 1). Mostre
que 푝 = 2 e 푞 = 3.
(4) Ordenando o conjunto dos nu´meros primos, 푝푛 denota o 푛-e´simo primo. Prove que
na˜o existe 푎 ∈ ℕ tal que 푝1푝2 ⋅ ⋅ ⋅ 푝푛 + 1 = 푎2.
(5) Considere 푛 ≥ 2 um natural. Mostre que na˜o existe um nu´mero natural 푎 tal que
2푛 + 1 = 푎3.
(6) Mostre que 푛4 + 4 e´ sempre um nu´mero composto quando 푛 ∈ ℤ e ∣푛∣ ∕= 1.
(7) Dois nu´meros primos dizem-se geˆmeos se a diferenc¸a entre eles for 2.
(a) Mostre que se a soma de dois primos geˆmeos for igual a 24 enta˜o um dos primos e´ 13.
(b) Determine todos os primos geˆmeos 푝 e 푞 tais que 푝2 + 푞2 = 34.
(c) Mostre que a soma de dois primos geˆmeos 푝 e 푝+ 2, com 푝 > 3, e´ um mu´ltiplo de 12.
(8) Suponha que 푝 seja o menor fator primo de um inteiro 푛 e que 푝 >
√
푛
푝
. Prove que
푛
푝
e´ primo.
(9) Determine se e´ verdadeiro ou falso, onde 푝 e´ um primo. Justifique:
(a) Se 푝3 ∣ 푎푏 e 푝2 ∣ 푎 enta˜o 푝 ∣ 푏.
(b) Se 푝 divide 푎2 + 푏2 e 푝 divide 푎 enta˜o 푝 divide 푏.
(c) Se 푝 divide 푎2푏(푎+ 푏) enta˜o 푝 divide 푎 ou 푝 divide 푏.

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