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CAPÍTULO I PRINCÍPIOS E DEFINIÇÕES “Há duas formas para viver sua vida: uma é acreditar que não existe milagre; a outra é acreditar que todas as coisas são um milagre” Albert Einstein (1879 – 1955). Página 3 O QUE SÃO OS FENÔMENOS DE TRANSPORTE? Os Fenômenos de Transporte constituem um ramo bem desenvolvido e eminentemente útil da física que permeia muitas áreas das ciências aplicadas. Os Fenômenos de Transporte fornecem os princípios teóricos e empíricos, juntamente com a Termodinâmica, a Cinética Química, etc., das operações unitárias1 industriais. Sendo assim, fundamentais para o projeto, a operação e o aprimoramento dos processos industriais. O escopo dos Fenômenos de Transporte inclui três tópicos intimamente relacionados: a Mecânica dos Fluidos, a Transferência de Calor e a Transferência de Massa. A Mecânica dos Fluidos lida principalmente com o transporte de quantidade de movimento, a transferência de calor envolve o transporte de energia e a transferência de massa diz respeito ao transporte de espécies químicas num dado meio material. Este capítulo introdutório procura descrever o escopo e os objetivos dos Fenômenos de Transporte, além de conceitos e definições importantes. Tais informações são indispensáveis para o estudo do assunto e das inter-relações dos vários tópicos individuais que a ele dizem respeito. Ressalte-se que os fenômenos de transporte devem, no nível introdutório aqui proposto, ser estudados juntos pelas razões a seguir mencionadas: os mecanismos moleculares subjacentes a estes fenômenos de transporte estão intimamente relacionados, e consequentemente, as equações básicas que descrevem tais fenômenos também estão intimamente relacionados; as ferramentas matemáticas necessárias para descrever tais fenômenos são muito similares; e eles ocorrem muito freqüentemente de forma simultânea em processos químicos industriais, biológicos, meteorológicos, ambientais, etc.; Assim, pelos motivos já mencionados, alguns tópicos selecionados da Mecânica dos Fluidos, do Transporte de Calor e do Transporte de Massa serão abordados nas próximas seções deste livro. Outrossim, subjacentes aos Fenômenos de Transporte estão alguns conceitos básicos. Haja vista que tais conceitos são tratados mais extensivamente em outras disciplinas das engenharias ou de cursos tecnológicos, eles serão brevemente discutidos aqui. Complementarmente, problemas ilustrativos são incluídos no fim deste capítulo para quem desejar praticar a aplicação de tais conceitos. 1 operação unitária é uma etapa básica de um processo industrial regida pelas mesmas leis da física e da química. Cada operação unitária é sempre a mesma, independente da natureza química dos componentes envolvidos, e desta forma, os processos podem ser estudados de forma simples e unificados. 4 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos GRANDEZAS FÍSICAS. Uma quantidade ou grandeza física pode ser definida como o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo de um fenômeno. A descrição é qualitativa porque pode diferenciar conceitos distintos como grandezas distintas, e é quantitativa porque pode exprimir o conceito matematicamente, a partir da medição1 desta grandeza, através de valores numéricos e de uma unidade de medida. As grandezas físicas podem ser classificadas em escalares, vetoriais ou tensoriais. Uma grandeza escalar precisa somente de um valor numérico (intensidade) e uma unidade para ser definida; a massa, a temperatura e a energia são exemplos de grandezas escalares. Uma grandeza vetorial necessita, para ser completamente definida, além de uma unidade e de um valor numérico que quantifique sua intensidade, de uma representação espacial que determine a orientação (direção e sentido) da grandeza. São exemplos típicos de grandezas vetoriais: a velocidade, a aceleração e a força. As grandezas tensoriais ou tensores, numa abordagem mais restrita2, são grandezas que têm uma magnitude e duas direções associadas a ela, além da respectiva unidade de medida. O momento de inércia, o estado de tensão e de deformação em torno de um ponto são exemplos de tensores. As grandezas físicas também podem ser classificadas em primitivas, aquelas que não dependem de outras para serem definidas, e em derivadas, as quais são definidas através de uma relação entre as grandezas fundamentais. São exemplos de grandezas primitivas: a massa, o comprimento e o tempo; enquanto que a velocidade, a potência e o fluxo magnético são exemplos de grandezas derivadas. SISTEMAS DE UNIDADES. A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. Para efetuar medidas é necessário fazer uma padronização, escolhendo unidades para cada grandeza. Por longo tempo cada país ou região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas. Até o final do século XVIII, todos os sistemas de medidas existentes eram consuetudinários, ou seja, baseados nos costumes e nas tradições. Os primeiros padrões utilizados para medir eram partes do corpo humano – palma da mão (palmo), polegada, pé, braço (côvado3) – e utensílios de uso cotidiano, como cuias e vasilhas. Com o tempo, cada civilização havia definido padrões e fixado suas próprias unidades de medidas. Daí a multiplicidade de sistemas de medição existente desde a Antiguidade. Em 1795, a França institui o Sistema Métrico Decimal, inicialmente com três unidades-base de medidas: o metro (comprimento), o litro (volume) e o quilograma (massa), todas baseadas em constantes naturais. Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo em 1921 à Convenção do Metro4. Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais precisas e diversificadas. Assim, após algumas revisões, o Sistema Métrico Decimal deu origem, em 1960, ao Sistema Internacional de Unidades (SI), constituído por sete unidades básicas. No Brasil, o SI foi adotado em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 12 de outubro de 1988 do CONMETRO5, tornando desde então seu uso obrigatório no país. 1A medição de uma grandeza física é a comparação desta grandeza com outra da mesma espécie, definida como padrão e denominada unidade de medida. Assim, medir uma grandeza consiste em verificar quantas vezes a unidade de medida está contida na grandeza sob medição, segundo uma escala pré-definida. 2 Tensores de ordem igual a dois. 3 Um côvado era definido na antiguidade como a distância do cotovelo até a ponta do dedo médio, com o antebraço em ângulo reto com o braço e com a mão aberta. 4 A Convenção do Metro é uma convenção internacional, inicialmente assinada por 17 nações, em 1875 na cidade de Paris, com o propósito de estabelecer internacionalmente uma autoridade e um sistema de unidades. 5 CONMETRO é a sigla do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, que é um colegiado interministerial que exerce a função de órgão normativo do Sistema Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial brasileiro. Capítulo I: Definições e Princípios 5 BUARQUE, H.L.B. Apesar da obrigatoriedade do Sistema Internacional de Unidades no Brasil, e do fato de que muitos livros, manuais e periódicos relacionados às ciências naturais e tecnológicas utilizam atualmente somente o SI, outros sistemas ainda são comumente utilizados, tais como o sistema CGS e o sistema FPS, nas relações internacionais, no ensino e no trabalho científico e industrial. Por este motivo, tais sistemas também serão aqui sucintamente discutidos, bem como serãoapresentados os fatores de conversão entre as unidades destes sistemas e aquelas do Sistema Internacional de Unidades. Sistema Internacional de Unidades. O Sistema Internacional de Unidades, instituído oficialmente na 11ª CGPM1, em 1960, e posteriormente aperfeiçoado, adota sete unidades-base independentes entre si, além de definir as regras para os prefixos e para as unidades derivadas, estabelecendo assim uma especificação internacional coerente de unidades de medida. As sete grandezas e respectivas unidades-base do SI, bem como o símbolo associado a tais unidades são apresentados na Tabela I.1. Os nomes e símbolos dos prefixos estabelecidos pelo sistema para representar os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades são mostrados na Tabela I.2, enquanto que algumas das principais unidades derivadas utilizadas no âmbito dos Fenômenos de Transporte estão relacionadas, juntamente com seus símbolos, na Tabela I.3. Tabela I.1 – Unidades-base do SI. Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampère A Temperatura termodinâmica2 kelvin K Quantidade de matéria mol3 mol Intensidade luminosa candela cd Tabela I.2 – Prefixos SI. Submúltiplos Múltiplos Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 10–1 deci d 101 deca da 10–2 centi c 102 hecto h 10–3 mili m 103 kilo k 10–6 micro µ 106 mega M 10–9 nano n 109 giga G 10–12 pico p 1012 tera T 10–15 femto f 1015 peta P 10–18 atto a 1018 exa E 10–21 zepto z 1021 zetta Z 10–24 yocto y 1024 yotta Y 1 CGPM é a sigla da Conferência Geral sobre Pesos e Medidas que, instituída pela Convenção do Metro, é constituída por delegados dos estados membros e observadores dos países associados. Uma de suas principais atribuições é discutir e analisar os mecanismos necessários para assegurar a propagação e o aperfeiçoamento do SI. 2 A temperatura termodinâmica é tomada numa escala absoluta. Por este motivo, suas unidades não devem receber o anteposto grau, como nas temperaturas de escala relativa (grau Celsius e grau Fahrenheit). 3 No Brasil, o plural da unidade "mol" é dicionarizado (Aurélio, Houaiss, Michaelis) como "mols" (grafia também adotada pelo INMETRO), embora o Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa da ABL registre as grafias "móis" ou "moles". 6 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos Tabela I.3 – Algumas unidades derivadas do SI. Grandeza Unidade Derivada Coerente com o SI Nome especial Símbolo especial Em termos das unidades-base SI Em termos de outras unidades SI Ângulo plano radiano1 rad m/m 1 Área - - m2 - Atividade catalítica katal kat mol/s - Calor específico - - m² s-² K-1 J kg-1 K-1 Calor molar de vaporização - - kg m2 s-2 mol-1 J/mol Coeficiente de compressibilidade - - m s² kg-1 m2/N Concentração - - mol/m3 - Condutividade térmica - - kg m s-³ K-1 W K-1 m-1 Difusividade mássica - - m2/s - Difusividade térmica - - m2/s - Energia, trabalho, calor joule J kg m² s-² N m Força newton N kg m s-² - Força eletromotriz volt V kg m2 s–3 A–1 W/A Frequência hertz Hz s-1 - Massa específica - - kg/m3 - Massa molar - - kg/mol - Peso específico - - kg m-2 s-2 N/m3 Potência, fluxo de calor watt W kg·m² s-³ J/s Pressão, tensão pascal Pa kg m-1 s-² N/m² Resistência elétrica ohm Ω kg·m² s-³ A-² V/A Temperatura relativa grau Celsius2 ºC K - Tensão superficial - - kg s-² N/m Velocidade - - m/s - Velocidade de deformação - - s-1 rad/s Viscosidade cinemática - - m2/s - Viscosidade dinâmica - - kg m-1 s-1 - Volume - - m3 - Volume específico - - m3/kg - 1 O radiano é um nome especial para o número um e que pode ser usado para fornecer informações sobre a unidade considerada. Na prática, o símbolo rad é usado quando apropriado, mas símbolos para a unidade derivada “um” é geralmente omitido ao se especificar os valores de grandezas adimensionais. 2 O grau Celsius é o nome especial de kelvin utilizado para expressar temperaturas relativas. O grau Celsius e o kelvin são iguais em tamanho, de modo que o valor numérico de uma diferença de temperatura ou intervalo de temperatura é a mesma quando expresso em graus Celsius ou em kelvin. Capítulo I: Definições e Princípios 7 BUARQUE, H.L.B. O símbolo da unidade sempre seguirá o valor numérico da medida, com um espaçamento de até um caractere, na representação do resultado da medida. Os símbolos dos prefixos são impressos em caracteres romanos (verticais), sem espaçamento entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade. Todos os nomes dos prefixos são impressos em letras minúsculas, exceto no início da frase. O conjunto formado pelo símbolo do prefixo ligado ao símbolo da unidade constitui um novo símbolo inseparável, que pode ser elevado a uma potência positiva ou negativa e que pode ser combinado a outros símbolos de unidades para formar os símbolos de unidades derivadas. Similarmente, o nome deste agrupamento também é indissociável. Assim, o milímetro (mm), o micropascal (µPa) e o meganewton (MN) são palavras únicas e compostas por derivação prefixal. Os prefixos formados pela justaposição de vários prefixos SI não são admitidos. Um prefixo não deve ser empregado sozinho. Exercício Resolvido I.1 – Converta de “centímetro” para “metro” nas unidades as seguir: a) 1 cm3 b) 1 cm-1 c) 1 W/cm Resolução: a) 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 b) 10 cm-1 = 10·(10-2 m)-1 = 103 m-1 c) 1 W/cm = (1 W)/(10-2 m) = 102 W/m Destaque-se, ainda, que todas as unidades existentes podem ser expressas em função das unidades-base do SI. Contudo, consideram-se como unidades derivadas do SI aquelas que são produtos de potências das unidades básicas e que não incluem fatores numéricos diferentes de um. Também, os nomes e símbolos de algumas das unidades assim obtidas podem ser substituídos por nomes e símbolos especiais que podem ser usados para se formar expressões e símbolos de outras unidades derivadas, como já exemplificado na Tabela I.3. Sistema CGS. O Sistema CGS é um sistema de unidades, cujas unidades-base são o centímetro para o comprimento, o grama para a massa e o segundo para o tempo. Foi introduzido em 1874 pela British Association for the Advancement of Science usando prefixos variando de “micro” a “mega” para expressar múltiplos e submúltiplos decimais. As unidades-base e algumas unidades derivadas do sistema CGS são apresentadas na Tabela I.4. Conquanto haja tendência de unificação internacional por meio do SI, o Sistema CGS ainda é bastante utilizado em várias áreas por diversas razões: elas parecem ser mais convenientes em alguns contextos; muito da antiga literatura de física ainda usa tais unidades; elas ainda são largamente empregadas em astronomia. 8 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos Tabela I.4 – Algumas unidades CGS. Grandeza Unidade Símbolo Equivalência com as unidades-base CGS Comprimento centímetro m - Massa grama g - Tempo segundo s - Força dina dyn g cm s-2 Energia, trabalho, calor erg erg g cm2 s-2 Potência, fluxo de calor erg por segundo erg/s g cm2 s-3 Pressão bar bar 106 g cm-1 s-2 Viscosidade dinâmica poise P g cm-1 s-1 Viscosidade cinemática stokes St cm2/s Sistema FPS (Sistema Inglês de Engenharia). Em alguns países, um sistema de unidades não-decimal tem sido usado desde longa data no comércio e na indústria. Este sistema é conhecido como Sistema Inglês (English System), particularmente nos Estados Unidos, ou, em muitos outros países, como Sistema Imperial (Imperial System). Mais recentemente,tem recebido a denominação de Sistema FPS, por se basear nas unidades inglesas pé (foot), libra (pound) e segundo (second). As principais unidades do Sistema FPS são apresentadas na Tabela I.5. O uso desse sistema disseminou-se através da Grã-Bretanha e das colônias britânicas. Atualmente, ainda é adotado como sistema de unidades oficial somente nos Estados Unidos, na Libéria e na União de Mianmar. Igualmente, embora o Parlamento britânico tenha decidido pela adesão do país ao Sistema Internacional de Unidades há décadas, a população inglesa continua utilizando o antigo sistema no seu cotidiano. Tabela I.5 – Algumas unidades FPS. Grandeza Unidade Símbolo Equivalência com outras unidades FPS Comprimento polegada in. - pé ft 12 in. Massa libra ou libra-massa lb - Tempo segundo s - Força libra-força lbf 32,174 lb ft s-2 Temperatura termodinâmica grau Rankine ºR - Temperatura relativa grau Fahrenheit ºF ºR Energia, trabalho pé libra-força ft lbf 32,174 lb s-2 Calor unidade térmica britânica1 Btu 778,1693413128 ft lbf Potência, fluxo de calor horsepower HP 550 ft lbf s-1 Pressão libra-força por polegada quadrada psi lbf/in.2 1 International Steam Table. Capítulo I: Definições e Princípios 9 BUARQUE, H.L.B. Conversão de Unidades. A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as quantidades são expressas como uma função das unidades-base. Fatores de conversão são usados para converter diferentes unidades. O fator de conversão é o número de unidades de um dado sistema contido em uma unidade correspondente em outro sistema. Os fatores mais comuns para as diferentes grandezas são apresentados na Tabela I.6. Tabela I.6 – Alguns típicos fatores de conversão de unidades. Grandeza Sistema de Unidades SI CGS FPS Outra unidade Área 1 m2 = 104 cm2 = 10,7639 ft2 = 1550 in2 Calor 1 J = 107 erg = 9,478x10-4 Btu = 0,239 cal Comprimento 1 m = 100 cm = 39,3701 in. = 3,28084 ft Energia, trabalho 1 J = 107 erg = 0,73756 ft lbf = 3,725x10-7 HP h Força 1 N = 105 dyn = 0,22481 lbf = 0,10197162 kgf Massa 1 kg = 1000 g = 2,20462 lb = 0,0685218 slug Massa específica 1 kg/m3 = 10-3 g/cm3 = 0,062428 lb/ft3 = 10-3 g/cm3 Potência, fluxo de calor 1 W = 107 erg/s = 1,341x10-3 HP = 3,4121 BTU/h Pressão 1 Pa = 10-5 bar = 1,4503x10-4 psi = 9,8692x10-6 atm Quantidade de matéria 1 mol = 1 g-mol = 0,0022 lb-mol = 10-3 kg-mol Temperatura 1 K = 1 K = 1,8 ºR = - Tempo 1 s = 1 s = 1 s = 2,7778x10-4 h Viscosidade cinemática 1 m2/s = 104 St = 10,7639104 ft2/s = 1550,0031 in.2/s Viscosidade dinâmica 1 kg m-1 s-1 = 10 P = 0,672 lb ft-1 s-1 = 0,102 kgf s m-2 Volume 1 m3 = 106 cm3 = 35,3147 ft3 = 1000 ℓ Equações Dimensionalmente Homogêneas e Unidades Consistentes. Uma equação dimensionalmente homogênea é aquela na qual todos os termos têm as mesmas unidades. Tais unidades podem ser as unidades-base ou as derivadas. Fatores de conversão não são necessárias quando unidades consistentes são utilizadas. Equações derivadas diretamente a partir de leis físicas e químicas são dimensionalmente homogêneas. Conquanto que equações obtidas por métodos empíricos, normalmente não são dimensionalmente homogêneas e contêm termos em várias diferentes unidades. O leitor deve estar atento para homogeneidade dimensional das equações. Para tanto, um sistema de unidades (e.g., SI, CGS, FPS) pode ser selecionado. Então, quando necessário, unidades devem ser substituídas para cada termo na equação e aquelas iguais canceladas. Neste livro, todas as equações são dimensionalmente homogêneas, exceto quando contrariamente explicitado. 10 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos Exercício Resolvido I.2 – Avalie se a equação para determinação da distância vertical percorrida por um corpo em queda livre, s, com velocidade inicial vo durante o tempo t, dada a seguir, é dimensionalmente homogênea, 2 o tg2 1 tvs += , em que g é a aceleração da gravidade no local. Resolução: Adotando o SI e analisando dimensionalmente a equação, ⇒+=⇒/⋅ / +/⋅ / =⇒⋅+⋅= ]m[]m[]m[]s[] s m[]s[] s m[]m[]s[] s m[]s[] s m[]m[ 22 2 2 ]m[]m[ = Assim, pode-se verificar que as unidades em cada termo da equação reduzem-se àquela de comprimento, indicando a homogeneidade dimensional da equação. Exercício Resolvido I.3 – Avalie se a equação para determinação da energia consumida para moer uma unidade de massa de sólido, expressando a Lei de Bond e dada a seguir, é dimensionalmente homogênea, −⋅⋅⋅=− 12 i D 1 D 1CW wk , em que – W é a energia consumida em HPh; C é a capacidade do moinho, em toneladas por hora; wi é conhecido como índice de trabalho, em kWh/t; D1 e D2 os diâmetros médios do sólido, em cm, antes e depois da moagem, respectivamente; e k é uma constante empírica. Resolução: Adotando o SI, convertendo adequadamente as unidades das grandezas apresentadas, e analisando dimensionalmente a equação, ⇒⋅⋅=⇒ −⋅⋅= − ]cm[] s J[] s kg[]J[ ]cm[ 1 ]cm[ 1] s J[] s kg[]J[ 5,0 ]J[] cms kg[]J[ 5,02 ⋅= Pode-se verificar que as unidades não são consistentes na equação, indicando a não homogeneidade dimensional da mesma. Capítulo I: Definições e Princípios 11 BUARQUE, H.L.B. OS FLUIDOS E O CONTINUUM. Fluido é uma espécie que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. Uma força de cisalhamento é a componente tangencial da força que age sobre a superfície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de cisalhamento média sobre a área. Diferentemente, um sólido não se deforma continuamente quando é submetido a uma mínima tensão de cisalhamento. Sendo mais pragmático, por fluidos entendem-se os líquidos e os gases (ou vapores), principalmente, e os plasmas1. Em nossa definição de fluido não se fez nenhuma referência à sua estrutura molecular. Todos os fluidos compõem-se de moléculas em constante movimento. Entretanto, na maioria das aplicações industriais, interessa-nos a média ou os efeitos macroscópicos do conjunto de numerosas moléculas. São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Assim sendo, trataremos qualquer fluido como uma substância ou mistura que pode ser dividida ao infinito, um contínuo (continuum), sem nos preocuparmos com o comportamento individual de suas moléculas. Tal assunção é importante no tratamento matemático das leis que regem as propriedades e o comportamento dos fluidos. Ressalte-se, ainda, que operações envolvendo sistemas fluidos integram o cotidiano da indústria. A maioria das unidades industriais utiliza água, vapor, ar comprimido, combustíveis líquidos e gasosos no processamento industrial, bem como originam produtos e subprodutos fluidos, além de efluentes residuais líquidos e gasosos. PRESSÃO, QUANTIDADE DE MATÉRIA, TEMPERATURA E VOLUME. Muitas propriedades, necessárias no projeto e operação de processos industriais, não são diretamente mensuráveis, podendo, entretanto, serem indiretamente determinadas a partir de propriedades volumétricas (pressão, volume e temperatura), as quais podem ser medidas diretamente. Pressão (P). A razão entre a força normal resultante ( NF r ) agindo sobre a superfície de um corpo e a área (δA) desta superfície é definida como a pressão agindo sobre esta superfície. A pressão num ponto é a relação entre a força normal e a área quando esta tende a um valor limite infinitesimal semprecontendo o ponto. A Equação (I.1) expressa esta última definição. A FlimP N 0A δ = →δ r . (I.1) Ressalte-se que a pressão não é uma força, mas uma grandeza escalar que produz uma força resultante, em direção à superfície (força compressiva), por sua ação sobre a área superficial de um corpo. 1 Plasma é um gás parcialmente ionizado, constituído por íons, átomos neutros e elétrons livres em proporções variadas, e que apresenta um comportamento coletivo diferente dos sólidos, líquidos e gases, sendo por este motivo considerando um estado físico da matéria. 12 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos Exercício Resolvido I.4 – Um aluno aperta um prego entre os dedos, com uma força de 6 N, como mostrado na figura ao lado. A cabeça do prego, com área de 0,15 cm2, está apoiada no polegar, e a ponta, com área 10-6 cm2, apoiada no dedo indicador. Determine as pressões exercidas pela tachinha sobre ambos os dedos. O aluno perfurará o dedo? Considere que a pressão necessária para perfurar a pele humana seja, aproximadamente, igual a 3,0 x 106 Pa. Resolução: Considerando que a força que a tachinha exerce sobre os dedos é igual a 6 N, as pressões que a mesma imprime sobre os dedos serão de: dedo polegar: ⇒ × = − 25 m105,1 N6P Pa100,4P 5×= . dedo indicador: ⇒= − 210 m10 N6P Pa100,6P 10×= . Assim, o aluno perfurará somente o dedo indicador. Quantidade de Matéria ou Número de Mols (n). Como átomos, moléculas e outras entidades elementares possuem dimensões muito reduzidas, e uma pequena quantidade de matéria assume números extremamente grandes de entidades, torna-se conveniente mensurar a quantidade de matéria (n) em unidades de mol. Muitas leis e princípios físicos e químicos consideram a quantidade de matéria na sua formulação e aplicação. Deste modo, é muitas vezes necessário se determinar o número de mols envolvidos nos fenômenos estudados. Mol é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quanto são os átomos contidos em 0,012 kg de carbono-12 em seu estado fundamental. Deste modo, o número de entidades elementares contido em um mol corresponde à Constante de Avogadro1, cujo valor aproximado é igual a 6,02 x 1023 mol-1. Assim, por exemplo, dois mols de moléculas de água correspondem a aproximadamente 12,04 x 1023 moléculas desta substância. A definição de mol também pode ser utilizada na determinação da massa de uma espécie ou conjunto de espécies químicas, haja vista que a massa de átomos2, de moléculas e de outras partículas subatômicas, também é definida em relação ao isótopo do carbono-12. A propriedade que relaciona a massa e o número de mols de uma dada substância ou mistura é a massa molar, a qual expressa a massa de um mol de espécies ou entidades elementares, em gramas por mol. A massa molar de um elemento químico ou de uma substância é numericamente igual à massa atômica desse elemento ou do total das massas atômicas dos átomos constituintes da substância dada, em unidades de massa atômica (u). Como exemplo, considere-se a água (H2O), cuja massa atômica dos seus elementos constituintes, hidrogênio e oxigênio, são 1 u e 16 u, respectivamente; a massa da molécula da água é igual a 18 u e, por conseguinte, sua massa molar é igual a 18 g/mol. Deste modo, o número de mols de uma massa de 9 g de água é igual a 0,5 mol. 1Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 – 1856), advogado e físico italiano, foi um dos primeiros cientistas a distinguir átomos de moléculas. Elaborou a hipótese que enunciava que "volumes iguais de gases diferentes, à mesma temperatura e pressão, contêm o mesmo número de moléculas". 2 A massa atômica indica quantas vezes a massa de um átomo ou de outra entidade é maior que 1/12 da massa do isótopo do carbono-12, quantidade definida como uma unidade de massa atômica (u). Capítulo I: Definições e Princípios 13 BUARQUE, H.L.B. Exercício Resolvido I.5 – Um recipiente contém 920 g de etanol (C2H6O). Sabendo que a massa molar do álcool etílico é 46 g/mol, determine o número mols, o número de moléculas e o número de átomos do álcool no recipiente. Resolução: Da massa molar, ⇒ → → ng920 mol1g46 mols.20n = Também, da Constante de Avogadro, ⇒ → ×→ xmols20 moléculas106,02mol1 23 .moléculas101,204x 25×= E finalmente, ⇒ →× → y moléculas101,204 átomosOHC de molécula1 25 62 9 átomos.101,0836y 26×= Assim,920 g do álcool tem 20 mols ou 1,204x1025 moléculas e 1,0836x1026 átomos. Temperatura (T). A conceituação da temperatura é muito mais abstrata que a da pressão. A temperatura de um sistema tem sua definição formal fundamentada no conceito de equilíbrio térmico e está relacionada ao conteúdo energético deste sistema. Deste modo, embora a temperatura possa ser definida como a grandeza escalar que indica que dois ou mais sistemas estão ou estarão em equilíbrio térmico, quando seu valor for o mesmo para tais sistemas, ela também dá um indicativo do grau de agitação ou da energia cinética das espécies constituintes do sistema. Assim, apesar da definição dada fornecer uma relação entre a temperatura e o equilíbrio térmico, a mesma não fundamenta o desenvolvimento de uma escala de medição de temperatura. Escalas de temperatura nos permitem usar uma base comum para medidas de temperatura, devendo ser gerais, reprodutíveis e independentes das propriedades do sistema a ser mensurado. Várias escalas térmicas têm sido introduzidas ao longo do tempo, mas o Sistema Internacional de Unidades utiliza como unidade de temperatura termodinâmica (absoluta) o kelvin (K), definida como a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água, e grau Celsius (ºC), definido atualmente como de igual magnitude que a unidade kelvin, como unidade de temperatura relativa. Deste modo, uma diferença de temperatura pode ser expressa tanto em kelvin como em graus Celsius, ºC. Outras duas unidades muitos utilizadas em países de língua inglesa são: o grau Fahrenheit (escala relativa) e o Rankine (escala absoluta). As fórmulas apresentadas nas equações (I.2) a (I.4) podem ser usadas na conversão do valor da temperatura entre as escalas. Nas equações, os símbolos entre colchetes [K], [ºC], [ºF] e [ºR] representam os valores das temperaturas nas escalas kelvin, grau Celsius, grau Fahrenheit e grau Rankine, respectivamente. Uma comparação dos valores de temperatura para os pontos de ebulição, de fusão e do zero absoluto são apresentados na figura a seguir. 14 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos 15,273][][º −= KC . (I.2) 67,459][8,1][º −×= KF . (I.3) ]K[8,1]R[º ×= . (I.4) COMPARAÇÃO ENTRE AS ESCALAS DE TEMPERATURE Volume (V). O volume de um corpo é uma grandeza que mensura o espaço ocupado por esse corpo. Assim, depende da quantidade de matéria do corpo considerado. As medidas de volume possuem grande importância nas situações envolvendo sistemas fluidos e sólidos. EQUAÇÕES DE ESTADO. O estado físico de uma substância se define por suas propriedades físicas. O estado de um fluido puro fica determinado pelos valores do volume V, ocupado por uma quantidade de n moles deste fluido, mantido a uma dada temperatura, T, e pressão, P. A experiência evidenciou que estas grandezas podem ser relacionadas para um gás puro através da equação funcional mostrada na Equação (I.2): ( ) 0V,T,P, =nf . (I.2) Formas específicas da Equação I.1 são conhecidas como equações de estado. Assim, cada substânciase descreve por sua própria equação de estado. Desta forma, equações de estado podem ser usadas para estimar propriedades e descrever o equilíbrio de fases de substâncias, além de se constituir uma ferramenta poderosa na predição do comportamento complexo de misturas multicomponentes. Muitas equações de estado têm sido propostas, e várias são de uso comum e com diferentes aplicações. Conquanto, é consenso que as equações de estado mais precisas para gases a baixas e moderadas pressões podem ser escritas através da expressão dada na Equação (I.3): ( ) ,nV B 1 nRT PV 1 ∑ ∞ = += i i i (I.3) em que os coeficientes Bi são denominados coeficientes virial, sendo dependentes da temperatura e independentes da pressão para gases puros; e R é a constante universal dos gases. Valores da constante universal dos gases em diferentes unidades e do segundo coeficiente virial (B1) para alguns gases estão dispostos, respectivamente, na Tabela I.7 e na Tabela I.8. Capítulo I: Definições e Princípios 15 BUARQUE, H.L.B. Tabela I.7 – Valores da Constante Universal dos Gases. Valor de R Unidade Valor de R Unidade 8,31447 J mol-1 K-1 0,082056 atm ℓ mol-1 K-1 8,31447 Pa m3 mol-1 K-1 1,9858 Btu lb-mol-1 ºR-1 1,9859 cal mol-1 K-1 10,7316 psi ft3 lb-mol ºR-1 Tabela I.8 – Coeficiente virial B1 para alguns gases puros. Gás puro B1 [10-3 L mol-1] Gás puro B1 [10-3 L mol-1] T = 273 K T = 373 K T = 273 K T = 373 K Argônio, Ar -21,7 -4,2 Kriptônio, Kr -62,9 -28,7 Metano, CH4 -53,6 -21,2 Nitrogênio, N2 -10,5 6,2 Gás carbônico, CO2 -142 -72,2 Neônio, Ne 10,4 12,3 Hidrogênio, H2 13,7 15,6 Oxigênio, O2 -22,0 -3,7 Hélio, He 12,0 11,3 Xenônio, Xe -153,7 -81,7 Fonte: Gray (1972); James e Lord (1992). A Equação (I.2) é conhecida como Equação Virial e está bem fundamentada na Teoria Cinética dos Gases.1. Ressalte-se também que o termo no primeiro membro desta equação é conhecido como fator de compressibilidade e, muitas vezes, é representado pela letra Z. De maneira geral, gases sob pressões moderadas requerem o uso da Equação (I.2) com dois ou mais coeficientes virial não-nulos. Contudo, à medida que a pressão do gás é reduzida, os demais termos do segundo membro da equação vão se tornando desprezíveis em relação ao termo unitário e, dessa forma, em pressões baixas (até 200 kPa para a maioria dos gases), aqueles termos tendem a zero e a equação de estado pode ser expressa através da Equação (I.4): 1 RT PV = n (I.4) A Equação (I.4) é amplamente conhecida como Equação de Clapeyron2 e expressa a Lei dos Gases Ideais3. Contudo, quando o comportamento de um gás se afasta da idealidade, equações de estado mais satisfatórias são obviamente requeridas. Também, é válido mencionar neste momento um grupo de equações de estado semi-empíricas, conhecidas como equações de estado cúbicas4. Tais equações, embora tenham pouca fundamentação teórica, são largamente empregadas em cálculos de processos industriais pela sua simplicidade, haja vista que apresentam, na grande maioria delas, apenas dois parâmetros ajustáveis, os quais procuram contabilizar os desvios do comportamento ideal da substância. 1 A Teoria Cinética dos Gases, cujos preceitos foram inicialmente propostos por Daniel Bernoulli (1700-1782), no início do século XVIII, estabelece a conexão entre as descrições microscópicas e macroscópicas dos gases, incorporando conceitos estatísticos à abordagem dada pela Mecânica Newtoniana. 2 Benoît Paul Émile Clapeyron (1799-1864) foi um engenheiro e físico francês que, dentre outras contribuições, combinou, em 1834, as leis empíricas de R. Boyle (1627-1691) e E. Mariotte (1620-1684), e de J. A. C. Charles (1746-1823), e J. L. Gay-Lussac (1746-1823), enunciando a lei dos gases ideais, e determinando também a Constante Universal dos Gases. 3 A Lei dos Gases Ideais ou Perfeitos, proposta por Clapeyron em 1834, assume que um dado gás hipotético é formado por partículas pontuais (volume desprezível), sem interações entre si e cujos choques são perfeitamente elásticos. 4 O termo “equações de estado cúbicas” aplica-se a equações empíricas ou semi-empíricas que, quando expandidas, contêm termos (e.g., volume molar) elevados à terceira potência. 16 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos A mais antiga equação de estado cúbica, ainda muito utilizada em aplicações mais simples ou de cunho acadêmico, foi proposta por Johannes Diderik van der Waals (1837-1923), em 1873, e considera dois efeitos negligenciados na Lei dos Gases Ideais: as forças intermoleculares de atração e repulsão e o volume ocupado pelas moléculas. A equação de van der Waals é expressa na Equação (I.5): ( ) ( ) RTV~V~P 2 =−⋅+ ba (I.5) em que V~ é o volume molar, V/n, do fluido; e a e b são coeficientes empíricos denominados coeficientes de van der Waals, os quais dependem da substância considerada. A Tabela I.9 apresenta os valores dos coeficientes de van der Waals para alguns gases. Ressalte-se que os termos a/ ²V~ e b na equação contabilizam as interações intermoleculares e o volume das moléculas, respectivamente. Tabela I.9 – Coeficientes de van der Waals, a e b, para alguns gases puros. Gás puro a [atm L2 mol-2] b [10-2 L/mol] Gás puro a [atm L2 mol-2] b [10-2 L/mol] Argônio, Ar 1,363 3,219 Kriptônio, Kr 2,349 3,978 Metano, CH4 2,283 4,278 Nitrogênio, N2 1,408 3,913 Gás carbônico, CO2 3,640 4,267 Neônio, Ne 0,2135 1,709 Hidrogênio, H2 0,2476 2,661 Oxigênio, O2 1,378 3,183 Hélio, He 0,03457 2,370 Xenônio, Xe 4,250 5,105 Fonte: James e Lord (1992); Weast (1993). Adicionalmente, outras equações de estado cúbicas podem ser encontradas em Poling et al. (2001) e na literatura especializada. Outrossim, equações de estado totalmente empíricas ou essencialmente teóricas também são muito empregadas no estudo do comportamento de fluidos. As equações de estado empíricas são úteis na representação do comportamento de fluidos e, por possuírem geralmente mais que cinco parâmetros ajustáveis, elas são muito precisas na estimativa de propriedades termodinâmicas, tanto quanto aumenta a complexidade matemática do seu emprego. Duas equações de estado empíricas bastante populares e precisas são: a Equação de Beattie-Bridgman (BEATTIE, BRIDGEMAN, 1927), expressa na Equação (I.6), e a Equação de Benedict-Webb-Rubin (BENEDICT et al., 1940), expressa na Equação (I.7). −− −+ −= V~ A 1 V~ A V~ A 1AV~ V~ TA 1 V~ RTP 5 2 43 2 3 1 2 (I.6) −⋅ +⋅+⋅+ − + −− += 2 8 2 8 3 2 7 6 65 3 54 2 2 321 V~ A exp V~ A 1 V~ TA V~ AA V~ ARTA V~ TAARTA V~ RTP (I.7) em que A1 a A5 na Equação (I.6) e A1 a A8 na Equação (I.7) são coeficientes empíricos determinados a partir de um adequado conjunto de dados experimentais. Equações de estado teóricas também podem ser eficientemente utilizadas nas situações para as quais foram desenvolvidas com a vantagem de não necessitarem de muitos dados experimentais para seu desenvolvimento. Em geral, estas equações baseiam-se em teorias de base molecular, tais como a teoria da expansão virial ou da função distribuição. A obtenção de equações de estado para líquidos é pouco incentivada, haja vista a maior complexidade do estado líquido e o fato de ser relativamente mais fácil medir o volume de líquidos, nas mais diversas condições de temperatura e pressão. Além disso, é pequena a influência destas grandezas no volume de líquidos. Mencione-se que aEquação BWR pode ser adequadamente aplicada ao estado líquido desde que o volume molar não seja muito inferior a dois terços do volume molar crítico da substância considerada. Capítulo I: Definições e Princípios 17 BUARQUE, H.L.B. Exercício Resolvido I.4 – Estime o valor do volume molar do oxigênio a 273 K e a 0,75 atm utilizando as seguintes equações de estado: a) lei dos gases ideais b) equação virial c) equação de van der Waals Compare também as estimativas obtidas com o valor experimental de 29,865 L/mol. Resolução: a) Lei dos Gases Ideais: ∴⋅== 75,0 273082056,0 P RTV~ L/mol868,29V~gi = . b) Equação virial truncada no segundo coeficiente virial: V~ B 1 RT V~P 1+= ∴=+−⇒=−− 00,657096V~868,29V~0 P RTBV~ P RTV~ 21 2 L/mol890,29V~ virial = . c) Equação de van der Waals: ( ) RTV~ V~ P 2 =− + ba ∴=−+−⇒=−+ +− 005848,0V~837,1V~900,29V~0 P V~ P V~ P RTV~ 2323 baab L/mol839,29V~ vdW = Os desvios observados para as estimativas variaram de 0,010% a 0,087%. Tais resultados ainda mostram que para gases elementares, sob baixas pressões, a Lei dos Gases Ideais pode ser a mais adequada, haja vista que os coeficientes da Equação Virial e de van der Waals são normalmente determinados numa ampla faixa de pressões, inclusive com dados obtidos sob pressões mais elevadas. Exercício Resolvido I.5 – Mostre que a Equação de van der Waals não pode ser expressa na forma da Equação (I.3). Resolução: Tomando a Equação (I.5) e fazendo as devidas manipulações matemáticas, pode-se obter que: ( ) ( ) ∴++=⋅−⇒=−−+ 22 V RT V RT1 V 1 RT VP RT VP1 V RT RT P V RT RT VP n ba n a- nn b nn bab n a n ++⋅−= − 2 1 V~ RT V~ RT1)V~1(Z baa-b Pode-se verificar que a Equação de van der Waals difere da Equação (I.3) pelo fator ( )b−V~V~ . 18 Parte Um: Introdução Fenômenos de Transporte para Cursos Técnicos e Tecnológicos PROBLEMAS. 1. Determine fatores para converter: (a) ft-lbf para kWh (b) cm3 para gal (1 gal = 231 in.3) (c) Btu/lb-mol para J/mol 2. Muitas vezes, no bombeamento de água para os reservatórios de residências ou edifícios, o funcionamento do conjunto motor-bomba não é contínuo. Nestes casos, a ABNT recomenda a expressão a seguir: Vt586,0D 25,0r &⋅⋅= em que Dr é o diâmetro da tubulação de recalque, em metros; t é tempo de funcionamento diário, em horas; e V& é a vazão, em m3/s. Verifique a consistência dimensional desta relação empírica. Resposta: a equação não é dimensionalmente consistente. 3. Estime a pressão a qual está submetido 0,61 m3/kmol de argônio a 300 K, utilizando as seguintes equações de estado, e discuta os resultados obtidos sabendo que o valor experimental da pressão é igual a 4000 kPa: a) Lei do Gás Ideal; b) Equação de van der Waals; c) Equação de Beattie-Bridgeman Os coeficientes da Equação de Beattie-Bridgeman para o argônio são: A1 = 59900 m3 K3 kmol-1; A2 = 0,03931 m3/kmol; A3 = 0; A4 = 30,7802 kPa m3 kmol-2; A5 = 0,02328 m3/kmol. 4. A Equação de Benedict-Webb-Rubin (BWR) é uma conhecida equação de estado com oito parâmetros ajustáveis e, por isso, muito precisa na predição de propriedades termodinâmicas de fluidos. (a) Mostre que esta equação pode ser escrita na forma da Equação (I.3), e derive equações para os coeficientes virial B1 a B8 em termos das dos coeficientes empíricos da Equação (I.7). (b) As constantes BWR para o isobutano são: A1 = 1,3754x10-1 L/mol; A2 = 10,2326 atm L2 mol-2; A3 = 8,499x10-1 atm L2 K2 mol-2; A4 = 4,2435x10-2 L2/mol2; A5 = 1,9376 atm L3 mol-3; A6 = 1,074x10-3 L3/mol3; A7 = 2,86x105 atm L3 K2 mol-3; A8 = 3,4x10-2 L2/mol2. Determine os coeficientes virial B1 a B8 e estime o fator de compressibilidade para o isobutano numa temperatura de 300 K e um volume molar de 5,0 L mol-1. Resposta: (a) K+++++++++= 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 21 V~ B V~ B V~ B V~ B V~ B V~ B V~ B V~ B 1Z , em que 3 32 11 RT A RT AAB −−= ; 3 75 42 RT A RT A AB +−= ; 0B3 = ; 0B4 = ; RT AA B 655 = ; 3 2 87 6 RT2 AA B −= ; 0B7 = ; 3 3 87 8 RT3 AA B = . (b) molL27814,0B1 −= ; 222 molL0,09281B = ; 0B3 = ; 0B4 = ; 55-55 molL108,4535B ×= ; 66-5 6 molL107,4614B ×−= ; 0B7 = ; 88-6 8 molL101,6912B ×= ; Z = 0,9480. Capítulo I: Definições e Princípios 19 BUARQUE, H.L.B. REFERÊNCIAS DO CAPÍTULO I. BEATTIE, J.A.; BRIDGEMAN, O.C. A new equation of state for fluids. I. Application to gaseous ethyl ether and carbon dioxide. Journal of the American Chemical Society, v. 49, p. 1665-1667, 1927. BENEDICT, M.; WEBB, G.B.; RUBIN, L.C. An empirical equation for thermodynamic properties of light hydrocarbons and their mixtures: i. methane, ethane, propane, and n-butane. J. Chem. Phys., v. 8, p. 334–345, 1940. GRAY, D.E. (ed.) American Institute of Physics Handbook. New York: McGraw-Hill, 1972. JAMES, A.M., LORD, M.P. Macmillian’s Chemical and Physical Data. London: Macmillian, 1992. POLING, B.E.; PRAUSNITZ, J.M.; O’CONNELL, J.P. The properties of gases and liquids. 5th ed. New York: McGraw-Hill, 2001. WEAST, R.C. (ed.) Handbook of Chemistry and Physics. Boca Raton: CRC Press, 1993.
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