SERVOMEC - aula 02 - analise de erro em regime estacionario

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CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO
Erro em regime estacionário é a diferença entre a entrada e a saída de um sistema para uma entrada de
teste a ele aplicada quando t tende a infinito.
A análise de erros de estado estacionário só tem sentido para sistemas estáveis.
ERRO EM REGIME PERMANENTE EM SISTEMAS DE RETROAÇÃO UNITÁRIA
Os erros em regime permanente podem ocorrer devido a diversos fatores: imperfeições nos elementos
físicos, folgas mecânicas, atrito, envelhecimento e deterioração em um ou mais componentes. Além disso,
muitos sistemas não apresentam a capacidade de seguir um determinado sinal de entrada, acarretando um
erro em regime permanente constante ou mesmo crescente (tendendo ao infinito). Demonstra-se que isto se
deve ao número de integradores (termos 1/s) presentes na malha de controle. Define-se então:
 
 
Considerando-se o sistema com realimentação unitária da figura 1, pode-se definir a função de transferência
entre o erro atuante e(t) e o sinal de entrada r(t) como:
 
Considerando que o sistema é estável, pode-se aplicar o teorema do valor final na equação 1, obtendo-se o
erro em regime permanente:
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Em função da definição de erro em regime permanente podem ser definidos os coeficientes de erro estático.
Estes coeficientes de erro podem ser usados para especificar o desempenho do sistema de controle, ou
seja, podem ser usados como especificação de desempenho em projetos de sistemas de controle. Estes
coeficientes medem a capacidade de um sistema em reduzir ou eliminar erros em regime permanente.
Ganho DC de uma função de transferência estável, sem pólos na origem, é definido por
 
COEFICIENTE DE ERRO ESTÁTICO DE POSIÇÃO K P
Este coeficiente é definido quando a excitação do sistema é um degrau unitário. Assim:
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COEFICIENTE DE ERRO ESTÁTICO DE VELOCIDADE K V
Este coeficiente é definido quando a excitação do sistema é uma rampa. Assim:
COEFICIENTE DE ERRO ESTÁTICO DE ACELERAÇÃO K a
Este coeficiente é definido quando a excitação do sistema é uma parábola. Assim:
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A tabela 1 apresenta um resumo dos coeficientes k p , k v e k a em função de diferentes sinais de entrada.
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Exemplo: Considere o sistema G (s)=
K
Ts+1 descrito em duas topologias diferentes na figura 2. No primeiro caso, 
em malha aberta, é introduzido um ganho para tornar o sistema com ganho unitário. No segundo caso, em malha 
fechada é introduzido um ganho para garantir que o ganho de malha seja muito maior que 1.
a) Qual a relação entre os erros em regime permanente nestas duas topologias, supondo a entrada um degrau 
unitário?
 
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ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS COM RETROAÇÃO NÃO-
UNITÁRIA
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Um sistema com retroação genérico está mostrado na figura 1 com H(s) não igual à unidade. Para um
sistema no qual a retroação seja não-unitária, as unidades da saída, Y(s), são usualmente diferentes da
saída do sensor. Por exemplo, um sistema de controle de velocidade está mostrado na figura 2, onde H(s)=
K 2 . As constantes K 1 e K 2 levam em conta a conversão de um conjunto de unidades para outro
conjunto de unidades (aqui se convertem radianos/segundo em volts). Pode-se selecionar K 1 e assim se
definir K 1 = K 2 e deslocar os blocos K 1e K 2 para depois do ponto de soma. Obtém-se o diagrama
de blocos equivalente mostrado na figura 3. Obtém-se, assim, um sistema com retroação unitária, como
desejado.
Seja retornar ao sistema da figura1 com H(s). O caso em que H(s)= 
k 2
τs+1 possui um ganho estático para
H(s) de 
lim ¿s→0H (s)=k 2
¿ .
O fator k 2 é um fator de conversão de unidades. Se for definido k1=k 2 , então o regime é
transformado no da figura 3 (para o cálculo do ganho estático ou de regime permanente). Então o erro do
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sistema mostrado na figura 3 é E(s), onde E(s) = R(s) – Y(s) = [1- T(s)]R(s), uma vez que Y(s) = T(s)R(s).
Observe que
T (s)=
k1G (s)
1+k1G (s)
E, portanto,
E (s)= 1
1+k1G (s)
R(s)
Então o erro de regime estacionário para uma excitação em degrau unitário é 
lim ¿s→0 sE (s)=
1
1+k1G (0)
ess=¿
.
Em geral, sempre se pode determinar o erro real do sistema usando a equação 
lim ¿s→0
sR(s)
1+G ( s)
lim ¿t→∞e (t )=ess=¿
¿
,
quando H(s) = 1.
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ÍNDICES DE DESEMPENHO
Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de
modo que a ênfase seja dada às especificações de sistemas importantes.
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Um sistema é considerado um sistema de controle ótimo quando os parâmetros do sistema são ajustados
de modo que o índice alcance um valor extremo, comumente um valor mínimo. Um índice de desempenho,
para ser útil, deve ser um número sempre positivo ou nulo. Então, o melhor sistema é definido como o
sistema que minimiza este índice.
Um índice de desempenho adequado é a integral do quadrado do erro, ISE (Integral of the Square of the
Error), que é definido como 
 ISE = ∫
0
T
e2 (t )dt
O limite superior T é um tempo finito escolhido um tanto arbitrariamente, de modo que a integral tenda a um
valor estacionário. É usualmente conveniente escolher T como o tempo de assentamento, T s . Este
critério irá discriminar sistemas excessivamente superamortecidos de sistemas excessivamente
subamortecidos. O valor mínimo da integral ocorrerá para um valor de compromisso de amortecimento.
Um outro critério de desempenho rapidamente instrumentado é o da integral do valor absoluto do erro, IAE
(Integral of the Absolute magnitude of the Error), que pode ser escrito como:
 IAE=∫
0
T
∣e (t )∣dt
Este índice é particularmente útil para estudos de simulação em computador.
Para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral de desempenho, bem como
enfatizar erros que acontecem mais tarde na resposta, tem sido proposto o seguinte índice:
 ITAE = ∫
0
T
t ⌈ e (t )⌉ dt
Este índice de desempenho é designado como a integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro,
ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute Error). Um outro índice semelhante é o da integral do tempo
multiplicado pelo quadrado do erro, ITSE (Integral of Time multiplied by the Square Error):
ITSE=∫
0
T
t e2 (t )dt
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CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIOO índice de desempenho ITAE fornece a melhor seletividade dentre os índices de desempenho, isto é, o
valor mínimo da integral é prontamente discernível ao serem variados os parâmetros do sistema. A forma
geral da integral de desempenho é:
I=∫
0
T
f (e (t ) , r (t ) , y (t ) , t )dt
Onde f é uma função do erro, do sinal de entrada, do sinal de saída e do tempo.
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
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