Física Teórica - Aula 02

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02/09/2015
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Física Teórica Experimental I
Aula 02 – Teoria dos Erros
Prof. Otacilio Leandro de Menezes Neto
Objetivos
• Entender a diferença de erro e incerteza
• Definir os tipos de erros
• Definir, através deum exemplo prático, como se deve realizar uma 
medição e expressá-la corretamente
• Definir desvio-padrão.
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Precisão e Exatidão
• Entende-se por exatidão a maior ou menor aproximação 
entre o resultado obtido e o valor verdadeiro (esperado).
• A precisão está associada à dispersão dos valores resultantes 
da repetição das medições.
Conceitos Básicos
Inexato e Impreciso Preciso mas Inexato
Exato mas Impreciso Preciso e Exato
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Tipos de Erros 
• Erro grosseiros: São devido à falta de atenção, pouco treino ou falta 
de perícia do operador. São geralmente fáceis de detectar e eliminar.
• Erros sistemáticos: São aqueles que afetam os resultados sempre no 
mesmo sentido. Podem ser compensados ou corrigidos. Exemplo: 
incorreto posicionamento do zero da escala, afetando todas as 
leituras feitas com esse instrumento.
• Erros aleatórios: Associados à natural variabilidade dos processos 
físicos, levando a flutuações nos valores medidos. São imprevisíveis e 
devem ser abordados com métodos estatísticos.
Exemplos de Erros
Erro Grosseiro Erro Sistemático Erro Aleatório
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Quantificação dos Erros
• “Valor Verdadeiro”: definimos como sendo o valor que obteríamos 
numa medição ideal, feita em condições perfeitas com instrumentos 
perfeitos e operadores perfeitos.
• Erros Absolutos: correspondem à diferença algébrica (pode ser 
positivo ou negativo) entre o valor obtido e o valor verdadeiro.
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜
• Erro Relativo: é a forma mais útil de apresentar os valores relativos.
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜
× 100%
Fontes de Incertezas
Condições Ambientais Características do instrumento de 
medida
Erros do operador 
(intencionais ou não)
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Representação gráfica
Definição de Incerteza
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Desvio Padrão
O desvio-padrão 𝜎 de um número infinito de dados é a raiz quadrada 
da soma dos quadrados de todos os desvios individuais divido pelo 
número total de leituras. Pode também ser chamado de rms, da sigla 
do inglês root mean square.
𝜎 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑2
𝑛
Na prática, não serão feitas infinitas medições, então para um número 
finito, o desvio padrão da amostra (s), é:
𝑠 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑2
𝑛−1
ou 𝑠 =
 𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖− 𝑥)
2
𝑛−1
Experiência
• Fazer um lançamento vertical de uma bolinha de papel e medir o 
tempo de queda:
Número Tempo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Física Teórica Experimental I
Aula 02 – Movimentos 
Unidimensionais
Prof. Otacilio Leandro de Menezes Neto
Objetivos
• Entender o conceito de movimento em uma dimensão.
• Definir as grandezas posição, deslocamento, velocidade e aceleração.
• Reconhecer as unidades de medida do Sistema Internacional 
relacionadas ao movimento.
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Posição e Deslocamento
• Precisamos ter uma referência!
• Posição: onde o objeto está em um determinado instante
• Deslocamento: a distância percorrida entre dois instantes distintos.
• Importante: o deslocamento é uma grandeza vetorial.
Origem
Sentido Positivo
Sentido Negativo
Velocidade Média e Velocidade Escalar Média
Velocidade média é a razão entre o deslocamento e o tempo durante o 
qual esse deslocamento ocorre:
𝑉𝑚é𝑑 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Mesma posição para 
qualquer tempo.
Este é um gráfico 
da posição x em 
função do tempo 
t para um objeto 
estacionário.
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Velocidade Média e Velocidade Escalar Média
Este é um gráfico da 
posição x em função do 
tempo t para um objeto 
se movimentando.
Para determiner a 
velocidade média, trace 
uma linha reta do início 
ao fim e calcule a 
inclinação da reta.
Início do intervalo
𝑉𝑚𝑒𝑑
= 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎
=
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎çã𝑜
𝑒𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜
=
Δ𝑥
Δ𝑡
Fim do intervalo
Esta distância vertical é a 
distância percorrida, do início ao 
fim: Δ𝑥 = 2 − −4 = 6𝑚
Esta distância horizontal é tempo do 
percurso, do início ao fim: Δ𝑡 = 4 − 1 = 3𝑠
Velocidade Média e Velocidade Escalar Média
Enquanto a velocidade média envolve o deslocamento da partícula, Δ𝑥, 
a velocidade escalar média é definida em termos da distância total 
percorrida, independente da direção.
𝑆𝑚é𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜
É chamada de escalar pois não possui informações de direção e 
sentido.
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Exemplo
Depois de dirigir um carro em uma estrada retilínea por 8,4 𝑘𝑚 a 70 𝑘𝑚/ℎ
você para por falta de gasolina. Nos 30 𝑚𝑖𝑛 seguintes, você caminha mais 
2 𝑘𝑚 ao longo de uma estrada até chegar num posto de gasolina.
a) Qual foi o deslocamento total, do início da viagem até chegar ao posto 
de gasolina?
b) Qual o intervalo de tempo Δ𝑡 entre o início da viagem e o instante em 
que você chega ao posto?
c) Qual é a velocidade média do início da viagem até a chegada ao posto de 
gasolina? Determine a solução numericamente e graficamente.
d) Suponha que para encher o bujão de gasolina, pagar e caminhar de volta 
para o carro você leva 45 𝑚𝑖𝑛. Qual é a velocidade escalar média do 
início da viagem até o momento que você chega ao lugar onde deixou o 
carro?
Gráfico 
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Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar 
Instantânea
A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade 
média reduzindo o intervalo de tempo Δ𝑡 até torna-lo próximo a zero, 
ou seja, a velocidade média se aproxima de um valor limite que é a 
velocidade instantânea:
𝑣 = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Aceleração
É a variação da velocidade 𝑣 em um intervalo de tempo Δ𝑡 :
𝑎𝑚é𝑑 =
𝑣2 − 𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
=
Δ𝑣
Δ𝑡
Do mesmo modo a aceleração instantânea é:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Podemos ainda escrever a aceleração em relação à posição:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
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Aceleração Constante
Considere o instante inicial 𝑡0 = 0.
𝑎𝑚é𝑑 =
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 0
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Da mesma forma, para a posição.
𝑣𝑚é𝑑 =
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 0
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑚é𝑑𝑡
Aceleração Constante
Para a função da velocidade linear (𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡), a velocidade média em qualquer 
instante é a média aritmética da velocidade no início (𝑣0) e no final do intervalo (𝑣).
𝑣𝑚é𝑑 =
1
2
(𝑣0 + 𝑣)
Substituindo 𝑣 na equação da 𝑣𝑚é𝑑
𝑣𝑚é𝑑 = 𝑣0 +
1
2
𝑎𝑡
Substituindo 𝑣𝑚é𝑑 em 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑚é𝑑𝑡
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
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Gráficos
A inclinação varia
Inclinação = 𝑎
Inclinação = 0
As inclinações da 
curva de posição são 
plotadas na curva de 
velocidade.
A inclinação do 
gráfico da velocidade 
é plotada no gráfico 
da aceleração.
P
o
si
çã
o
V
el
o
ci
d
ad
e
A
ce
le
ra
çã
o
Algumas equações que estão faltando...
Substituindo t de 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 em 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 resulta em 
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0)
Podemos eliminar 𝑎 das equações acima e resulta em 
𝑥 − 𝑥0 =
1
2
𝑣0 + 𝑣 𝑡
Por ultimo, podemos eliminar 𝑣0, que resulta
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑡 −
1
2
𝑎𝑡2
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Exemplo
Um lançador arremessa uma bola para cima ao longo do eixo y, com 
velocidade inicial de 12 𝑚/𝑠.
a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?
b) Qual é a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de 
lançamento?
c) Quanto tempo a bola leva para atingirum ponto 5,0 𝑚 acima do 
ponto inicial?