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CINEMA´TICA E DINAˆMICA DE CORPO RI´GIDO 1. Dinaˆmica da partı´cula • Vetor posic¸a˜o (em relac¸a˜o a O): ~r = xi + yj. 1 • Velocidade instantaˆnea: ~v = d~rdt , ~v = d~r dt = dx dt i + dy dt j = vxi + vyj, (1) i.e. vx = dx dt , vy = dy dt . (2) • Acelerac¸a˜o instantaˆnea: ~a = d~vdt = d 2~r dt2 , ~a = d~v dt = dvx dt i + dvy dt j = d2x dt2 i + d2y dt2 j = axi + ayj, (3) i.e. ax = dvx dt = d2x dt2 , ay = dvy dt = d2y dt2 . (4) • Se N forc¸as atuam sobre a partı´cula, ~FR sera´ a forc¸a resultante, ~FR = ~F1 + ~F2 + ~F3 + . . . = N∑ 1 ~Fi, (5) com ~FR = m~a = m d~v dt = d~p dt , (2a Lei de Newton) (6) onde ~p = m~v e´ o momento linear ou quantidade de movimento da partı´cula. Se a partı´cula esta´ em equilı´brio (repouso ou velocidade contante), ~FR = m~a = m d~v dt = d~p dt = 0, (7) i.e., ~p e´ constante. 2. Sistema de partı´culas • Um corpo extenso pode ser considerado como uma distribuic¸a˜o de pequenos elementos de massa ∆mi. • Massa total do corpo: m = ∆m1 + ∆m2 + ∆m3 + . . . ... =∑J 1 ∆mi. • O movimento de um corpo extenso pode ser descrito em termos do seu centro de massa - ponto do sistema que se movimenta como se toda a massa do sistema estivesse nele concentrada. • Posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o do CM devem ser determinadas. • Posic¸a˜o do CM: m~rCM = ∆m1~r1 + ∆m2~r2 + ∆m3~r3 + . . . = J∑ 1 ∆mi~ri, (8) i.e. ~rCM = ∑J 1 ∆mi~ri m . (9) • Velocidade do CM: m~vCM = ∆m1~v1 + ∆m2~v2 + . . . = J∑ 1 ∆mi~vi = J∑ 1 ∆mi d~ri dt , (10) i.e. ~vCM = ∑J 1 ∆mi~vi m , ~vi = d~ri dt . (11) • Acelerac¸a˜o do CM: m~aCM = ∆m1~a1+. . . = J∑ 1 ∆mi~ai = J∑ 1 ∆mi d~vi dt = J∑ 1 ∆mi d2~ri dt2 , (12) i.e. ~aCM = ∑J 1 ∆mi~ai m , ~ai = d~vi dt = d2~ri dt2 . (13) • Movimento do CM: https://www.youtube.com/watch?v=DY3LYQv22qY . • Se um corpo esta´ sujeito a va´rias forc¸as, teremos, para cada elemento do corpo: ~Fi = ∆mi~ai (~Fi pode ser dividida em forc¸as externas e internas). • Forc¸a resultante sobre um corpo rı´gido: ~FR = ∑J 1 ~Fi = ∑J 1 ~F exti (em um corpo rı´gido as forc¸as internas se anulam). Logo: ~F extR = J∑ 1 ~Fi = J∑ 1 ∆mi~ai → ~F extR = m~aCM . (14) A equac¸a˜o acima e´ a equac¸a˜o fundamental da dinaˆmica das translac¸o˜es (2a Lei de Newton). Na auseˆncia de forc¸as externas, ~F extR = m~aCM = 0→ ~vCM = cte, (15) o que significa que o corpo rı´gido esta´ em equilı´brio (translac¸a˜o). 3. Rotac¸a˜o de um corpo rı´gido ao redor de um eixo fixo • Vamos analisar a rotac¸a˜o de um objeto rı´gido plano ao redor de um eixo fixo que passa por O (objeto confinado no plano xy). • Comprimento do arco s: s = rθ (θ em radianos). • Utilizamos a coordenada θ para identificar a posic¸a˜o do ponto P . • Velocidade angular instantaˆnea: ω = dθdt • Relac¸a˜o entre velocidade escalar e angular: v = dsdt = rdθdt = rω. • Acelerac¸a˜o angular instantaˆnea: α = dωdt = d 2θ dt2 . • Relac¸a˜o entre acelerac¸a˜o escalar (tangencial) e angular: at = dvdt = rdωdt = rα (at na˜o e´ a acelerac¸a˜o centrı´peta!) • Acelerac¸a˜o centrı´peta (~acp): responsa´vel pela mudanc¸a na direc¸a˜o do vetor velocidade. • Acelerac¸a˜o escalar (tangencial - ~at): responsa´vel pela variac¸a˜o do mo´dulo do vetor velocidade. • Acelerac¸a˜o total: ~a = ~at + ~acp; ~a = d~vdt . • Suponha que a partı´cula localizada em P , com massa dm, esteja sujeita a uma forc¸a tangencial d~Ft. Logo: dFt = (dm)at. • O torque ou momento d ~M associado com a forc¸a d~Ft atua em relac¸a˜o a O e seu mo´dulo e´ dado por dM = rdFt = (rdm)at = (r2dm)α. • Todos os elementos do corpo rı´gido possuem a mesma acelerac¸a˜o angular α, logo o momento resultante sobre o corpo em relac¸a˜o a origem O sera´ MO = ∫ dM = ∫ [( r2dm ) α ] = α ∫ r2dm. (16) • A quantidade I = ∫ r2dm e´ o momento de ine´rcia do objeto em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o que passa por O, logo MO = Iα. (17) A equac¸a˜o acima e´ a equac¸a˜o fundamental da dinaˆmica das rotac¸o˜es e e´ ana´loga a segunda Lei de Newton. • Se na˜o ha´ rotac¸a˜o: ~MO = 0. 4. Forc¸as sobre uma partı´cula • Uma forc¸a representa a ac¸a˜o de um corpo sobre outro e e´ geral- mente caracterizada por seu ponto de aplicac¸a˜o, sua intensidade, sua direc¸a˜o e seu sentido. Forc¸as que atuam sobre uma dada partı´cula, entretanto, teˆm o mesmo ponto de aplicac¸a˜o. • A direc¸a˜o de uma forc¸a e´ definida pela linha de ac¸a˜o e o sentido da forc¸a; a linha de ac¸a˜o e´ a linha reta infinita ao longo da qual a forc¸a atua. • Constata-se experimentalmente que duas forc¸as que atuem sobre uma mesma partı´cula podem ser substituı´das por uma u´nica forc¸a, a resultante, que tem o mesmo efeito sobre essa partı´cula. • Um vetor usado para representar uma forc¸a que atua sobre uma dada partı´cula tem um ponto de aplicac¸a˜o bem definido, a saber, a partı´cula propriamente dita. Diz-se que tal vetor e´ fixo. No caso dos corpos rı´gidos, veremos que os vetores que representam as forc¸as que atuam sobre o corpo podem ser deslocados ao longo das suas linhas de ac¸a˜o (sa˜o vetores deslizantes). • Vimos que duas ou mais forc¸as que atuam sobre uma partı´cula po- dem ser substituı´das por uma u´nica forc¸a. Reciprocamente, uma forc¸a u´nica ~F que atua sobre uma partı´cula pode ser substituı´da por duas ou mais forc¸as que, juntas, teˆm o mesmo efeito sobre a partı´cula. Es- sas forc¸as sa˜o chamadas de componentes da forc¸a original ~F . • Em muitos problemas e´ deseja´vel decompor uma forc¸a em dois com- ponentes que sa˜o perpendiculares entre si, isto e´, componentes re- tangulares. Na figura abaixo, Fx = F cos θ e Fy = F sin θ e a re- sultante pode ser escrita em termos das componentes utilizando os vetores unita´rios: ~F = Fxi + Fyj. Exemplo 1: As forc¸as ~P (40 N) e ~Q (60 N) atuam sobre um corpo A. Os aˆngulos α e β sa˜o iguais a 25◦ e 20◦ respectivamente. Determine a resultante que atua sobre o corpo. A resultante ~R dos dois vetores e´ desenhada em vermelho na figura acima. Para determinar o seu mo´dulo podemos utilizar as lei dos co- senos: R2 = P2 +Q2 − 2PQ cos θ, (18) onde θ e´ o aˆngulo oposto ao vetor resultante. Percebemos pela figura que θ = 180◦ − α = 180◦ − 25◦ = 155◦. Logo: R2 = (40)2 + (60)2 − 2.(40).(60) cos(155◦)→ R = 97,73N. (19) Para determinar o aˆngulo formado entre o vetor resultante e o vetor ~P podemos utilizar a lei dos senos: sinφ Q = sin θ R → sinφ = sin(155 ◦).(60) 97,73 = 0,26. (20) Logo, φ = 15,04◦ e o aˆngulo que ~R faz com a horizontal e´ 35,04◦. Exemplo 2: Um corpo A (visto de cima) desliza sobre um plano ao ser puxado em duas direc¸o˜es com forc¸as de trac¸a˜o ~T1 e ~T2, cuja resultante esta´ ao longo do eixo do corpo e tem mo´dulo 22,25 N. Determine as forc¸as de trac¸a˜o sabendo que α = 45◦. Pela lei dos senos, temos: T1 sinα = T2 sinβ = R sinφ → T1 sin(45◦) = T2 sin(30◦) = 22,25 sin(105◦) . (21) Logo: T1 = 16,29N e T2 = 11,52N . Exemplo 3: Um homem puxa com a forc¸a de 300 N uma corda amar- rada a um edifı´cio, como mostra a figura abaixo. Quais sa˜o os com- ponentes horizontal e vertical da forc¸a exercida pela corda no ponto A? Atrave´s da figura verificamos que: cosα = Fx/F = 8/AB e sinα = Fy/F = 6/AB, onde AB pode ser determinado atrave´s do Teorema de Pita´goras: (AB)2 = (6)2 + (8)2 = 100 → AB = 10 m. Logo: Fx = 300.(4/5) = 240N e Fy = 300.(3/5) = 180N e podemos escrever ~F como ~F = (240N)i − (180N)j. Tambe´m podemos determinar o mo´dulo de ~F usando o Teorema de Pita´goras: F = √ F2x + F 2 y . 5. Equilı´brio da partı´cula • Ja´ discutimosalguns me´todos para se determinar a resultante de va´rias forc¸as que atuam sobre uma partı´cula. Quando a resultante de todas as forc¸as que atuam sobre uma partı´cula e´ igual a zero, a partı´cula esta´ em equilı´brio. • Para expressar algebricamente as condic¸o˜es de equilı´brio de uma partı´cula, escrevemos: ~FR = ∑ ~F = 0, (22) ou FRx = ∑ Fx = 0, FRy = ∑ Fy = 0. (23) • De acordo com a primeira lei de Newton, se a forc¸a resultante que atua sobre uma partı´cula e´ nula, a partı´cula permanecera´ em repouso (se originalmente em repouso) ou se movera´ com velocidade constante em linha reta (se originalmente em movimento). • Um esboc¸o mostrando as condic¸o˜es fı´sicas do problema e´ conhecido como diagrama espacial ; um diagrama mostrando a partı´cula em es- tudo e todas as forc¸as que atuam sobre ela e´ denominado diagrama de corpo livre. Exemplo 4: Considere o caixote de 75 kg da figura abaixo. Esse caixote se encontrava entre dois edifı´cios e agora esta´ sendo car- regado em um caminha˜o que ira´ removeˆ-lo. O caixote e´ sustentado por um cabo vertical, que esta´ fixado em A a duas cordas que passam por roldanas presas aos edifı´cios em B e C. Queremos determinar a trac¸a˜o em cada uma das cordas AB e AC. O caixote esta´ em equilı´brio sob a ac¸a˜o das treˆs forc¸as: seu peso (m.g = (75).(9,81) = 736 N) e as trac¸o˜es TAB e TAC . Para faci- litar, podemos considerar as forc¸as atuando no ponto A. Utilizando o diagrama de corpo livre e o triaˆngulo de forc¸as equivalente, podemos escrever: TABsin(60◦) = TAC sin(40◦) = (736) sin(80◦). Logo TAB = 647 N e TAC = 480 N. Figuras: • http://plutaoplanetaplutao.blogspot.com.br/ Refereˆncias: • Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. I, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. • Beer, F. P. e Johnston, E. R. Mecaˆnica Vetorial para Engenheiros: esta´tica. 5. ed. Sa˜o Paulo: Pearson Education, 2008.
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