Apostila - Professora Luciana - Unidade2a

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ESTA´TICA DO CORPO RI´GIDO
1. Bina´rios equivalentes
• Se diferentes bina´rios possuem o mesmo momento ~M (igual direc¸a˜o,
sentido e intensidade), podemos esperar que eles tenham o mesmo
efeito sobre um corpo rı´gido - sa˜o ditos equivalentes e representados
por seu momento.
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• Dois sistemas de forc¸as sa˜o equivalentes se pudermos transformar
um deles no outro por meio de uma ou va´rias das seguintes operac¸o˜es:
– substituic¸a˜o de duas forc¸as que atuam sobre a mesma partı´cula
pela resultante;
– decomposic¸a˜o de uma forc¸a em dois componentes;
– cancelamento de duas forc¸as iguais e opostas que atuam sobre a
mesma partı´cula;
– aplicac¸a˜o sobre a mesma partı´cula de duas forc¸as iguais e opostas;
– deslocamento de uma forc¸a ao longo da sua linha de ac¸a˜o.
• Para que dois bina´rios sejam equivalentes, o primeiro bina´rio deve
ser transformado no segundo por meio das operac¸o˜es mencionadas
anteriormente.
• Dois bina´rios que teˆm o mesmo momento ~M sa˜o equivalentes, este-
jam contidos no mesmo plano ou em planos paralelos.
Exemplo 1: Determine os componentes do bina´rio u´nico (momento)
equivalente aos dois bina´rios mostrados.
Uma possibilidade e´ escolhermos um ponto arbitra´rio (D por exemplo)
e calcularmos a soma dos momentos das quatros forc¸as em relac¸a˜o
a este ponto. Escolhendo D, os momentos das duas forc¸as apli-
cadas a este ponto sera˜o nulos. Para as outras duas forc¸as, teremos:
~MD = (0,225+0,225)j×(−135)k+(0,225j−0,3k)×(−90)i =
−(0,45))j × (135)k − (0,225j) × (90)i + (0,3k) × (90)i =
−(60,75 N.m)i + (27N.m)j + (20,25 N.m)k. Outro modo de re-
solver o problema e´ adicionar ao ponto A duas forc¸as de 90 N iguais
e opostas (figura abaixo). Teremos enta˜o dois novos bina´rios com
forc¸as de 90 N, e cada um dos bina´rios envolvido gera uma com-
ponente do momento: ~Mx = −(0,45).(135)i = −60,75i N.m,
~My = (0,3).(90)j = 27i N.m e ~Mz = (0,225).(90)k = 20,25k
N.m.
2. Substituic¸a˜o de uma forc¸a por uma forc¸a em O e um bina´rio
• Qualquer forc¸a ~F que atue sobre um corpo rı´gido pode ser movida
para um ponto arbitra´rio O, desde que se adicione um bina´rio cujo
momento e´ igual ao momento de ~F em relac¸a˜o a O ( ~MO = ~r× ~F ). A
combinac¸a˜o obtida e´ conhecida como sistema forc¸a-bina´rio.
3. Reduc¸a˜o de um sistema de forc¸as a uma forc¸a e um bina´rio
• Qualquer sistema de forc¸as pode ser reduzido a um sistema forc¸a-
bina´rio equivalente atuando em um dado ponto O (a forc¸a resultante
~R e o vetor bina´rio ~MRO na˜o sera˜o, em geral, perpendiculares entre
si).
• O sistema forc¸a-bina´rio equivalente e´ enta˜o definido pelas equac¸o˜es
~R =
∑
i
~Fi, (1)
e
~MRO =
∑
i
~Mi =
∑
i
(
~ri × ~Fi
)
, (2)
onde ~R e´ obtida pela soma de todas as forc¸as do sistema, enquanto
o momento do vetor bina´rio resultante ~MRO , denominado momento
resultante do sistema, e´ obtido pela soma dos momentos de todas as
forc¸as em relac¸a˜o a O.
• O sistema forc¸a-bina´rio equivalente caracteriza completamente o efeito
de um dado sistema de forc¸as sobre o corpo rı´gido. Logo, dois sis-
temas de forc¸as sa˜o equivalentes se puderem ser reduzidos ao mesmo
sistema forc¸a-bina´rio em um dado ponto O.
Exemplo 2: Uma viga de 4,8 m de comprimento esta´ sujeita a treˆs
forc¸as. Reduza o sistema de forc¸as dado a (a) um sistema forc¸a-
bina´rio equivalente em A e (b) a uma forc¸a u´nica ou resultante.
(a) O sistema forc¸a-bina´rio em A equivalente ao sistema de forc¸as
dado consiste na forc¸a ~R = (150)j− (600)j+ (100)j− (250)j =
−(600 N)j e no momento ~MRA = (1,6i) × (−600j) + (2,8i) ×
(100j)+(4,8i)×(−250j) = (−960+280−1200)k = −(1880)k
N.m.
(b) A resultante do sistema de forc¸as e´ igual a ~R e seu ponto de
aplicac¸a˜o deve ser tal que o momento de ~R em relac¸a˜o a A deve
ser igual a ~MRA . Logo: ~r× ~R = ~MRA → xi× (−600j) = −1880k→
600x = 1880 → x = 3,13. Portanto, a forc¸a u´nica equivalente ao
sistema dado sera´ ~R = −(600 N)j aplicada em um ponto que esta´ a
uma distaˆncia de 3,13 m de A.
Exemplo 3: Uma laje de fundac¸a˜o quadrada apo´ia os quatro pilares
mostrados na figura. Determine a intensidade e o ponto de aplicac¸a˜o
da resultante das quatro cargas.
Primeiro, vamos reduzir o sistema de forc¸as dado a um sistema forc¸a-
bina´rio na origem O do sistema de coordenadas, o qual consiste em
uma forc¸a resultante ~R e um bina´rio ~MRO . Para a forc¸a resultante,
teremos: ~R = −180j− 54j− 36j− 90j = −(360 kN)j. Ja´ o vetor
bina´rio ~MRO sera´: ~M
R
O =
∑
(~ri × ~Fi) = (1,2 + 1,8)i × (−54)j +
(3i+1,5k)× (−36)j+(1,2i+3k)× (−90)j = −(3)i× (54)j−
(3)i× (36)j− (1,5)k× (36)j− (1,2)i× (90)j− (3)k× (90)j =
−162k−108k+54i−108k+270i = −(378)k+(324)i = (324
kN.m)i− (378 kN.m)k.
Podemos perceber que ~R e o vetor bina´rio resultante sa˜o perpendicu-
lares entre si. O ponto onde a resultante estaria aplicada pode ser de-
terminado se fizermos ~MRO = ~r× ~R, logo: (xi+yj+zk)×(−360j) =
324i−378k→ −360xk+360zi = −378k+324i→ 360x = 378
e 360z = 324→ x = 1,05 e z = 0,9. Logo, a forc¸a resultante so-
bre o sistema e´ dada por ~R = −(360 kN)j e seu ponto de aplicac¸a˜o
em relac¸a˜o a O e´ ~r = (1,05 m)i+ (0,9 m)j.
Figuras:
• http://pt.slideshare.net/jpsmartinss/seo-4-momento-de-fora
• http://pt.slideshare.net/thiagotoscanoferrari/4-equilibrio-de-corpos-rigidos
Refereˆncias:
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecaˆnica Vetorial para Engenheiros: esta´tica. 5. ed. Sa˜o Paulo:
Pearson Education, 2008.