Teoremas_Exercícios_resolvidos

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TEOREMAS DE CIRCUITOS - Exemplos 
III.1 Teorema da Superposição 
Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão de um 
elemento do circuito é igual a soma algébrica das correntes ou tensões dos componentes 
produzidas por cada fonte independente operando isoladamente. 
Este teorema só se aplica no cálculo de correntes ou tensões e não pode ser utilizado no 
cálculo da potência. 
Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O 
procedimento que deve ser adotado nesta eliminação, das fontes de tensão e fontes de corrente, é 
apresentado seguir. 
A
B
B
A
-
+
B
A
E = 0
B
I = 0
A
 
Curto-Circuito 
EAB = 0 
RAB = 0 
Circuito-Aberto 
I = 0 
RAB = ∞ 
Exemplo 1: Determinar para o circuito abaixo os valores E1, I1, P2, E2, I2 e I3. 
1
-
+
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I1 I2 I3
18 A140 V 2E
 
Passo 1: Devido à fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se: 
-
+
´
´
´´
1´
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I1 I2 I3
140 V 2E
 
E1’ = 20 I1’ 
E2’ = 6 I2’= 5 I3’ 
LTK ! 140 = E1’ + E2’ 
LCK ! I1’ = I2’ + I3’ 
Fazendo as substituições tem-se: E
20
E
6
E
5
1
'
2
'
2
'
= + 
Teoremas de Circuitos 
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3E 10E 12E1
'
2
'
2
'
= + 
3E E1
'
2
'
= 22 ! ´2
´
1 .3
22 EE = 
LKT ! ´2.13
22140 E


+= 
Tem-se então: 
E2’ = 16,8V 
E1’ = 123,2V 
I1’ = 6,16A 
I2’ = 2,8A 
I3’ = 3,36A 
Passo 2: Devido à fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tensão tem-se: 
´´
´´
´´
´´ ´´
1
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
E
I1
I2 I3
18 A2E
 
E1”= 20 I1” 
E2”= 6 I2” = 5 I3” 
LTK ! -E1” - E2” = 0 
LCK ! I1” + 18 = I2” + I3” 
Fazendo as substituições tem-se: E
20
18 E
6
E
5
1
"
2
"
2
"
+ = + 
3E1” + 1080 = - 10E1” - 12E1” 
E1” = - 43,2V 
E2” = 43,2V 
I1”= − = −
43,2
20
2,16A 
I2” = 
43,2
6
7,20A= 
I3” = 8,64A5
43,2
= 
Passo 3: Devido à superposição tem-se: 
E1 = E1’ + E1” = 112,2 - 43,2 = 80V 
E2 = E2’ + E2’’ = 60V 
I1 = I1’ + I1” = 4,0A 
I2 = 10A 
I3 = 12A 
P2 = 6 (2,8)2 + 6 (7,2)2 = 358W 
Levando em consideração este valor de P2, pode-se observar que o Teorema da 
Superposição não é válido em relação a potência. Para tanto se deve calcular a potência 
dissipada utilizando as fórmulas usuais. Tem-se então: 
Teoremas de Circuitos 
 3/13 
WPouWP
R
VPouIRP
600
6
6060010.6
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
====
==
 
Pode-se observar que a potência dissipada calculada pela fórmula usual não é igual ao 
valor encontrado aplicando-se o teorema da superposição comprovando a afirmação feita 
anteriormente. 
Exercício: resolver o exemplo utilizando o teorema da superposição e os conceitos de divisor de 
tensão e corrente que foram apresentados no capítulo anterior. 
III.2 Teoremas de Thévenin e Norton 
Para que se aplique estes teoremas a uma rede qualquer esta deve ser dividida em duas 
partes: X e Y. A rede X deve ser linear e bilateral (2 terminais) e a rede Y deve ser composta por 
uma resistência e/ou uma fonte e/ou qualquer ramo. O teorema especifica que a parte X pode ser 
substituída por um circuito equivalente de Thévenin ou de Norton. Após o cálculo deste circuito 
equivalente, a parte Y deve ser novamente agregada a este circuito equivalente para a solução 
final. 
ThR
YX
-
+
VTh
X
A
B
B
A
 
Circuito Equivalente de Thévenin 
Eth : Tensão de Thévenin 
Rth : Resistência de Thévenin 
X
NG
YX
I
A
B
B
A
N
 
Circuito Equivalente de Norton 
IN : corrente de Norton 
GN: condutância de Norton 
A seguir apresenta-se como calcular os valores dos circuitos equivalentes de Thévenin e 
Norton. 
• Eth é a tensão em circuito aberto, medida nos terminais AB. É calculada resolvendo-se 
o circuito correspondente considerando as fontes ativas e as resistências do circuito 
em relação a estes terminais; 
• RTh é a resistência vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas são 
anuladas (fonte de tensão = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto); 
• IN é a corrente através do curto-circuito aplicado aos terminais AB no sentido A!B; 
• GN é a condutância vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas são 
anuladas (fonte de tensão = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto). 
Teoremas de Circuitos 
 4/13 
O conceito de Equivalência de Fontes, apresentado abaixo pode ser utilizado na 
resolução de circuitos utilizando-se os teoremas de Thévenin e Norton. 
AR
-
+
E
B
A
GI 00 E E≡≡≡≡
I
circuito a circuito b
I
B
 
A seguir se apresenta os cálculos que revelam as relações que devem existir para que as 
fontes acima sejam equivalentes. 
Se EAB = 0 (curto-circuito) 
Circuito a: 
I E
R
0
= 
Circuito b: 
I = I0 ⇒ E0 = R . I0 
Se I = 0 (circuito aberto) 
Circuito a: 
E = E0 
Circuito b: 
E I
G
0
= ⇒E I
G0
0
=
 
Então: R 1
G
= e I E
R
0
= 
Exemplo 2: Calcular a fonte equivalente à fonte de tensão apresentada. 
A10 ΩΩΩΩ
-
+
B B
≡≡≡≡30 V 3 A 0,1 S
A
 
Como o circuito de Norton e o de Thévenin são representações para a mesma fonte física, 
para que suas características terminais sejam as mesmas, deve-se ter: 
E R . ITh Th N= R
1
GTh N
= 
Exemplo 3: Determinar a corrente I no circuito abaixo usando o Teorema de Thévenin. 
Teoremas de Circuitos 
 5/13 
-
+
6 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
18 A140 V I
 
Para este exemplo considera-se a resistência de 6 Ω como sendo o circuito Y. Para 
calcular o circuito equivalente de Thévenin segundo a metodologia apresentada deve-se 
retirar o circuito Y (a resistência de 6Ω). 
140 V
X
-
+
5 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
18 A 6 ΩΩΩΩ
A
B
B
A
Y
 
Cálculo do Equivalente de Thévenin: 
ThR
-
+
Th
B
A
E
 
Por superposição calcula-se ETh: 
ETh = E’ + E” 
E 5
25
.140 28V' = = 
I1” = 
5 18
25
18
5
.
= A 
E” = 18
5
.20 72V= 
ETh = 100 V 
Solução alternativa por Kirchoff: 
LTK ! 140 - 20I1 - 5I2 = 0 
LCK ! I1 - I2 + 18 = 0 
ETh = 140 - 20I1 
140 - 20 I1 - 5 (I1 + 18) = 0 
140 - 25 I1 - 90 = 0 
I1 = 2A 
ETh = 140 - 40 = 100 V 
Calculando agora RTh: 
RTh = 20//5 ! Ω= 425
20x5 
Após ter-se calculado VTh e RTh pode-se 
finalmente calcular a corrente no resistor de 
6 Ω: 
-
+
B
A
6 ΩΩΩΩE = 100VTh
R = 4 ΩΩΩΩ
Th
 
I 100
10
= − ! I 10A= − 
III.3 Análise por Correntes de Malha 
Este tipo de análise resulta da aplicação das leis de Kirchhoff a circuitos com várias 
malhas. As leis de Kirchhoff são aplicadas às correntes das diversas malhas respeitando sentidos 
arbitrados (preferencialmente o sentido horário). 
Teoremas de Circuitos 
 6/13 
Para exemplificar este procedimento será utilizado o circuito apresentado na figura 
abaixo. 
-2R1 +
-
+
-+
Ea
b
EcR4
R R3
R5
I1 I2 I3
E
 
Aplicando-se as leis de Kirchhoff tem-se: 
Ea - R1I1 - R4 (I1 - I2) = 0 
-R2I2 + Eb - R5 (I2 - I3) - R4 (I2 - I1) = 0 
-R3I3 - EC - R5 (I3 - I2) = 0 
Reescrevendo a primeira equação tem-se: 
Ea = (R1 + R4) I1- R4I2 
Pode-se observar que R1 e R4 são as resistências que pertencem a malha 1 (resistência 
própria) e que -R4 (o coeficiente de I2) é o negativo da resistência existente entre a malha 1 e a 
malha 2 (resistência mútua). 
Estendendo o mesmo raciocínio para as outras malhas tem-se: 
Eb = (R2 + R4 + R5) I2 - R4I1 - R5I3 
-Ec = (R3 + R5) I3 - R5I2 
Escrevendo os resultados na forma matricial tem-se: 
















+−
−++−
−+
=








3
2
1
535
55424
441
c
b
a
I
I
I
RRR0
RRRRR
0RRR
E-
E
E
 ou seja: IRE .= 
A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-
se na teoria matemática, pode-se montar diretamente as matrizes E , R e I : 
♦ Montagem direta de E : 
Ei : é dada pela soma algébrica das fontes de tensão ao se percorrer a malha no 
sentido arbitrado para a corrente. A tensão será positiva se a corrente sair pelo 
terminal positivo da fonte. 
♦ Montagem direta de R : 
• Os elementos da diagonal principal – Rii – são obtidos pela soma das resistências 
dos ramos da malha i; 
• Os elementos fora da diagonal principal – Rij – tem o valor da resistência 
equivalente do ramo comum à malha i e j com sinal (-). 
♦ Montagem direta de I : 
A matriz I é o Vetor de corrente de malhas a serem determinadas, arbitradas num 
mesmo sentido. 
Teoremas de Circuitos 
 7/13 
Exemplo 4: Determinar as correntes de malha para o circuito abaixo: 
+-
+
1 Ω
I1 2I
56 V 8 V
10 Ω
2 Ω
-
I 3
2 Ω 4 Ω
5 Ω
 
Utilizando-se as regras 
apresentadas acima, se obtém a 
seguinte equação matricial: 
56
8
0
9 5 2
5 10 1
2 1 13






=
− −
− −
− −












I
I
I
1
2
3
 
Calculando o determinante tem-se: ∆ = det 
9 5 2
5 10 1
2 1 13
775
− −
− −
− −






= 
Para o cálculo de I1, deve-se substituir a primeira coluna da matriz ∆ pelo vetor das 
tensões (analogamente para o cálculo de I2 e I3). Desta maneira tem-se: 
∆1= det 7760
1310
1108
2556
=








−
−
−−
 
Considerando calculadas ∆1 e ∆2, pode-se calcular as correntes utilizando a Regra de 
Cramer: 
I1 1=
∆
∆
 I2 2=
∆
∆
 I3 3=
∆
∆
 
I1 = 10A I2 = 6A I3 = 2A 
Casos Particulares: 
• Existência de fontes de corrente em paralelo com uma condutância (resistência) ! 
efetuar a conversão de fontes 
-
+
1 Ω
5 Ω 4 Ω 2 A 
1 Ω
5 Ω
4 Ω
8 V ≡≡≡≡
 
• Corrente arbitradas em qualquer sentido ! aplica-se as mesmas regras só que na 
montagem de R , os elementos fora da diagonal principal terão sinais positivos se as 
correntes nestes elementos estiverem no mesmo sentido. 
 
Teoremas de Circuitos 
 8/13 
+ -
-
+
-
3 Ω
I1 2I
4 Ω
2 Ω
2 Ω+
1 Ω 2 Ω
+-
I 3
 








−
−
=
934
372
427
R 
• Fontes de corrente sem possibilidade de conversão: considera-se que existe uma tensão a 
ser determinada nas extremidades das fontes. 
I3
I2
I1
- +
- +
4 Ω 10 V
3 Ω2 Ω
2 Ω4 Ω
3 Ω20 V
E 2 A
 
















−−
−−
−−
=








− 3
2
I
I
2
994
972
4210
20
10
E
 
• Fontes controladas ! monta-se as equações diretamente: 
2
+
1I
E
-
3 Ω
4 Ω 10 ΩI
2.I1
30 V
 
30
E
I
-2I
1
1−



 =
−
−








7 4
4 14
 
30 = 7I1 + 8I1 ! I1 = 2A 
logo ! I2 = -4A 
-E = -4I1 - 28I1 ! E = 64V 
III.4 Análise pelas Tensões nos Nós (Nodal) 
Este método permite que se determine a tensão em 2 ou mais nós, em relação a um nó de 
referência. Para tanto, as equações decorrentes da LCK são escritas implicitamente, de tal modo 
que somente as equações LTK precisem ser resolvidas. 
O circuito da figura abaixo é utilizado para demonstrar a análise de um circuito 
utilizando-se o método das tensões nos nós. 
Teoremas de Circuitos 
 9/13 
BI
ABI
I A
E
BEA
G 3
G 2
G 1
Nó de referência
BA
I 1 I 2
AB
E
 
LTK ! EAB - EA + EB = 0 ⇒ EAB = EA - EB 
LCK Nós A e B ! 

−−=⇒−=⇒=+−
−+=⇒+=⇒=−−
)E(EGEGIIII0III
)E(EGEGIIII0III
BA2B32ABB2ABB2
BA2A11ABA1ABA1 
Reescrevendo convenientemente tem-se: 


++−=
−+=
B32A22
B2A211
)EG(GEGI
EG)EG(GI
 
Escrevendo na forma matricial: I G.E= ! 




−
−+
=


B
A
322
221
2
1
E
E
G+GG
GGG
I
I
 
A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-
se na teoria matemática, pode-se montar diretamente as matrizes I , E e G : 
♦ Montagem direta de I : 
Ii: soma algébrica das fontes de corrente ligadas ao nó i, sendo positivas as que 
entram no nó em questão. 
♦ Montagem direta de G : 
• Elementos da diagonal principal – Gii – soma de todas as condutâncias ligadas 
ao nó i; 
• Elementos fora da diagonal principal – Gij – condutância equivalente conectada 
entre os nós i e j, com sinal negativo. 
♦ Montagem direta de E : 
Ei :faz referência a tensão do nó i em relação ao nó de referência. 
Exemplo 5: Determinar para o circuito abaixo as tensões EA e EB utilizando-se o método da 
tensão nos nós. 
10 V
20 V
+ -
-
+
Ref.A
B
3 Ω
2 Ω
5 Ω
4 Ω 2 Ω
 
O circuito equivalente, transformando as 
fontes é dado por: 
B
0,25 S 0,5 S0,5 S0,2 S2 A
0,33 S
A Ref.
20/3 A
 
Teoremas de Circuitos 
 10/13 
Tem-se que: I G.E= , e desta maneira: 





+++−−
−−++
=


−
+
B
A
E
E
.
214121512131
2151312151
2
3202
 
Resolvendo a equação matricial tem-se: EA = 11,2 V e EB = 4V. 
Casos Particulares: 
• Existência de fontes de tensão em série com uma resistência: efetuar a conversão de 
fontes. Exemplo: calcular as correntes IA e IB da figura a seguir. 
1/2 S
AE
0
4 ΩΩΩΩ
I A
BA
I B
2 A
-
+
8 V 4 ΩΩΩΩ4 ΩΩΩΩ
2 ΩΩΩΩ
BA
2 A2 A 4 ΩΩΩΩ4 ΩΩΩΩ
Nó de referência
Nó de referência
I A
1/4 S
I B
4 ΩΩΩΩ
1/2 S2 A 2 A
E
EB
2 ΩΩΩΩ
 
Matrizes I G.E= : 
2
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 4 1 2−



 =
+ −
− +








/ / /
/ / /
E
E
A
B
 
Resolvendo para as tensões tem-se: 
2 = EA – 1/2 EB 
-2 = -1/2 EA +0,75 EB 
EA = 1V EB = -2V 
Calculando agora as correntes tem-se: 
IA = 
1
4
x 1 = 1
4
A 
IB = −2
1
4
x = - 1
2
A 
• Fontes de tensão sem possibilidade de conversão: considera-se que existe uma corrente a 
ser determinada para cada fonte. 
-
+
2 A
I
BEAE
4 Ω
E 0
10 V 4 A2 Ω5 Ω
A BMatrizes I G.E= : 





+−
−+
=


−
+
BE
10
4/12/14/1
4/14/15/1
24
2I
 
Resolvendo para o segundo elemento 
da matriz I tem-se: 
2 = -0,25 . 10 + 0,75 EB 
0,75 EB = 2 + 2,5 
E VB = =
4 5
0 75
6,
,
 
EA = 10V (dado) 
Para o primeiro elemento tem-se: 
I + 2 = 0,45 . 10 - 0,25 EB 
I = 4,5 - 1,5 - 2 ! I = 1A 
III.5 Teorema de Millman 
O Teorema de Millman apresenta um método usado para reduzir um número qualquer de 
fontes de tensão em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicação 
do teorema de Thévenin. A seguir, a partir de um exemplo este método é apresentado. 
Teoremas de Circuitos 
 11/13 
B
A
B
A
E 1
+
-
-
+
-
+
E 2 E 3
R1 R2 R3
E M
-
+
RM
 
O primeiro passo é transformar os ramos “fonte de tensão/resistência em série” em 
“fontes de corrente/condutâncias em paralelo”. Estes cálculos são feitos da seguinte maneira: 
iii
i
i
GEI
R
G
=
=
1
 
A
B
G11
I
2
2
3
3G GII
 
A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma única fonte de corrente e uma 
única condutância. Para tanto os seguintes cálculos devem ser realizados: 
I = I1 + I2 - I3 
G = G1 + G2 + G3 
A seguir apresenta-se este circuito assim como o equivalente de Millman. 
A
B
A
E M
-
+
RM
I G
B 
A transformação do circuito fonte de 
corrente/condutância em fonte de tensão/resistência 
deve ser realizada da seguinte maneira: 
E E I
G
I I I
G G GM AB
1 2 3
1 2 3
= = =
+ −
+ +
 
321
M GGG
1
G
1
++
==R 
A tensão entre os pontos AB pode também 
ser dada da seguinte maneira: 
E E G E G E G
G G GAB
1 1 2 2 3 3
1 2 3
=
+ −
+ +
 
 
Teoremas de Circuitos 
 12/13 
Exemplo 6: Determinar a corrente na resistência de 5Ω utilizando o Teorema de Millmam. 
Resolver também utilizando o teorema de Thévenin para efetuar uma comparação. 
A
10 Ω
ABE
-
+
-
+
8 V
4 V
B
I
5 Ω
2 Ω
4 Ω
 
Usando Millman: 
E VAB =
+
+ + +
=
8 1 10 4 1 2
1
10
1
2
1
4
1
5
2 667( / ) ( / ) , 
I 2,667
5
0,533A= − = − 
Usando Thévenin: 
-
+
A
10 Ω10 Ω
-
+
8 V
B
A
B
2 Ω
4 V
2 Ω
4 Ω4 Ω
 
Eth será calculada utilizando-se o 
teorema da superposição. 
V29,3
86,4
43,11
33,11
67,10
27
20
47
20
3
410
83
4
=+=
+
×
+
+
×
==
Th
ABTh
E
EE
 
10 Ω 2 Ω 4 Ω
B
A
 
Rth será calculada utilizando-se o procedimento padrão 
descrito. 
1 1
10
1
2
1
4R Th
= + + 
1
R Th
= 0 85, R Th = 11765, Ω 
Tendo calculado ETh e RTh pode-se finalmente calcular a corrente I. 
-
+
B
A
5 Ω
R = 1,1765 Ω
E = 3,29 V
Th
Th
I
 
CTh
Th
RR
EI
+
= 
I 3,293
1.1765 5
0,533A= −
+
= − 
III.6 Teorema da Máxima Transferência de Potência 
Este teorema é utilizado quando em uma rede elétrica deseja-se obter a máxima 
transferência de potência da rede para uma carga resistiva RL. 
Para se calcular esta máxima transferência de potência utiliza-se o equivalente de 
Thévenin da rede para determinar a corrente I que passa pela carga RL. O circuito apresentado a 
seguir mostra um exemplo. 
Teoremas de Circuitos 
 13/13 
R
Th
E
Th
B
A
-
+
R
L
I
 
I E
R R
Th
Th L
=
+
 
A potência absorvida pela carga será: 
( )P R I
R E
R R
E
4R
1
R R
R RL L
2 L Th
2
Th L
2
Th
2
Th
Th L
Th L
= =
+
= −
−
+








 
A potência transferida PL será máxima quando RL = RTh, ou seja, quando a carga for igual ao 
valor da resistência equivalente de Thévenin do circuito. Neste caso a potência em RTh será 
Th
2
Th
R4
E e assim pode-se afirmar que quando a potência transferida é a máxima, a eficiência do 
circuito é de 50%. 
COTUCA - www.corradi.junior.nom.br ELETRICIDADE BÀSICA 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 1 
 ELETRICIDADE BÁSICA 
 
TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
INTRODUÇÃO 
Serão apresentados os teoremas fundamentais da análise de circuitos. Isto inclui 
os teoremas da superposição, de Thévenin e de Norton. 
 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
O teorema da superposição, bem como os métodos vistos anteriormente, pode ser 
usado para encontrar a solução para circuitos contendo uma ou mais fontes que não 
estejam em série nem em paralelo. A vantagem mais evidente deste método é dispensar 
o uso de ferramentas matemáticas, como os determinantes, para calcular as tensões e 
correntes solicitadas. Em vez disso, o efeito de cada fonte é levado em conta 
separadamente e o valor da incógnita é obtido efetuando a soma algébrica desses 
efeitos individuais. 
O enunciado do teorema da superposição é o seguinte: 
A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um 
circuito linear bilateral é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões 
produzidas independentemente por cada uma das fontes. 
Ao se aplicar o teorema, é possível considerar os efeitos de duas fontes ao 
mesmo tempo e reduzir o número de circuitos a serem analisados. Mas, em geral: 
Números de circuitos 
a serem analisados = 
Números de fontes 
independentes 
Para considerar os efeitos de cada fonte independentemente, é necessário que 
estas sejam removidas e substituídas sem afetar o resultado final. Uma fonte de tensão, 
na aplicação do teorema, deve ser substituída por um curto-circuito e uma fonte de 
corrente deve ser substituída por um circuito aberto. 
A corrente total em qualquer parte do circuito é a igual à soma algébrica das 
correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes 
O princípio da superposição não pode ser usado para calcular a potência 
dissipada em um circuito, já que a dissipação de potência em um resistor varia com o 
quadrado da corrente ou da tensão, sendo, portanto um efeito não-linear. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
1. Determinar a corrente I1 para o circuito da Figura 1. 
 
Figura 1 – Circuito do exemplo 1. 
Solução: 
 
Fazendo E = 0 V no circuito visto na 
Figura 1, obtém-se o circuito mostrado 
na Figura 2. Notar que toda a corrente 
fornecida pela fonte de 3 A irá passar 
pelo ramo onde está o curto-circuito e 
assim I’1 = 0. 
 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 2 
 
Figura 2 – Contribuição de I para I1. 
Substituindo-se a fonte de corrente por 
um circuito aberto, obtém-se o circuito 
mostrado na Figura 3. Aplicando a lei 
de Ohm: 
A5I
4
12
6
30
R
EI ''1
1
''
1  
Como I’1 e I”1 têm o mesmo sentido, a 
corrente I1 é dada pela soma dessas duas 
correntes: 
 
Figura 3 – Contribuição de E para I1. 
A5I50III 1
''
1
'
11  
 
Note que neste caso a fonte de corrente 
não afeta a corrente no resistor. A 
tensão entre os terminais do resistor é 
30 V, pois ele está em paralelo com a 
fonte de tensão. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
2. Usando o teorema da superposi-
ção, determinar a corrente no re-
sistor de 4 Ω na Figura 4. 
 
Solução: 
Considerando os efeitos da fonte 
de 54 V (ver Figura 5): 


27R324
4||1224R||RRR
T
321T 
Figura 4 – Circuito do exemplo 2. 
 
Figura5 – Efeito de E1 sobre a corrente I3. 
A2I
27
54
R
EI
T
1  
Usando a regra dos divisores de corrente: 
' '2
3 3
2 3
R I 12 2 24I I 1,5A
R R 12 4 16
 
    
 
 
Considerando agora os efeitos da fonte de 48 V (ver Figura 6): 
 
NOTAS DE AULA - TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 3 
 12R8412||244R||RRR T213T 
 
Figura 6 – Efeito de E2 sobre a corrente I3. 
A4I
12
48
R
EI
T
2''
3  
A corrente resultante no resistor de 4 Ω é: 
A5,2I5,14III 3
'
3
''
33  no sentido de I”3. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
3. Usando o teorema da superposição, 
determinar a corrente I2 no resistor de 
12 kΩ na Figura 7. 
 
Solução: 
Considerando o efeito da fonte de 
corrente de 6 mA (ver Figura 8) e 
aplicando a regra dos divisores de 
corrente: Figura 7 – Exemplo 3. 
mA2I
120006000
1066000
RR
IRI '2
3
21
1'
2 






 Considerando o efeito da fonte de 9 V 
(ver Figura 9): 
 
Figura 8 – Efeito da fonte de tensão sobre a 
corrente I2. 
mA5,0I
120006000
9
RR
EI ''2
21
''
2 


 
 
Figura 9 – Efeito da fonte de corrente sobre a corrente I2. 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 4 
Como I’2 e I”2 têm o mesmo sentido em R2, a corrente desejada é dada pela soma 
dessas duas correntes: 
mA5,2ImA5,0mA2III 2
''
2
'
22  
 
TEOREMA DE THÉVENIN 
O teorema de Thévenin afirma que: 
Qualquer circuito de corrente contínua bilateral de dois terminais 
pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por 
uma fonte de tensão e um resistor em série. 
Na Figura 10(a) o circuito no interior da caixa só está ligado o exterior por dois 
terminais, que denominamos a e b. Usando o teorema de Thévenin, é possível substituir 
tudo o que existe no interior da caixa por uma fonte e um resistor, como mostrado na 
Figura 10(b), sem mudar as características do circuito entre os terminais a e b. Ou seja, 
qualquer carga conectada aos terminais a e b se comportará da mesma maneira se 
estiver conectada ao circuito da Figura 10(a). Nos dois casos a carga receberá a mesma 
corrente, tensão e potência. 
 
Figura 10 – Efeito da aplicação do teorema de Thévenin. 
Para o circuito mostrado na Figura 10(a), o circuito equivalente de Thévenin 
pode ser determinado diretamente combinando as baterias e resistores em série. Mas, na 
maioria dos casos, existem outros elementos conectados à direita ou à esquerda dos 
terminais a e b. Entretanto, para aplicar o teorema, o circuito a ser reduzido à sua forma 
equivalente de Thévenin tem de ser isolado como mostra a Figura 10, e os terminais ‘de 
conexão’ identificados. 
A aplicação desse teorema permite determinar qualquer valor particular de tensão 
ou corrente num circuito linear com uma, duas ou qualquer outro número de fontes. É 
possível também separar uma parte de um circuito, substituindo-o pelo equivalente de 
Thévenin. Por exemplo, na Figura 11, após se obter o circuito equivalente de Thévenin 
para a parte sombreada, pode-se calcular facilmente a corrente no resistor variável RL e 
a tensão entre seus terminais para qualquer valor que RL possa assumir. 
Na Figura 11, todo o circuito, com exceção de RL, deve ser substituído por uma 
bateria e um resistor em série. Os valores desses dois componentes do circuito 
equivalente têm de ser escolhidos de modos a garantir que o resistor RL se comporte, no 
circuito visto na Figura 11(a), da mesma forma que no circuito mostrado na Figura 
11(b). Em outras palavras, a corrente e tensão no resistor RL devem ser as mesmas para 
os dois circuitos para qualquer valor de RL. 
 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 5 
 
Figura 11 – Substituição de um circuito complexo pelo circuito equivalente de Thévenin. 
Os passos do método são os seguintes: 
1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente Thévenin. 
No caso da Figura 11(a), é necessário remover temporariamente o resistor RL. 
2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 
3. Calcula-se RTh, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as 
fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos 
abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois 
terminais escolhidos. 
4. Calcula-se ETh retornando primeiro todas as fontes às suas posições originais 
no circuito e em seguida determinando a tensão entre os dois terminais 
escolhidos, mantendo o circuito aberto entre os terminais a e b. 
5. Desenha-se o circuito equivalente de Thévenin e recoloca-se entre os terminais 
do circuito equivalente a parte que foi previamente removida. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
4. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da 
Figura 12. Em seguida, determinar a corrente em RL considerando que essa 
resistência tenha valores de 2 Ω, 10 Ω e 100 Ω. 
 
 
Figura 12 – Circuito do exemplo 4. 
Solução: 
Os passos 1 e 2 levam ao circuito 
da Figura 13. 
 
Figura 13 – Circuito após a aplicação dos 
passos 1 e 2. 
Passo 3: Substituindo-se a fonte de tensão E1 por um curto-circuito, obtém-se o 
circuito da Figura 14(a), onde: 
 



 2R
63
63R||RR Th21Th 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 6 
Passo 4: Introduz-se novamente a fonte de 
tensão (ver Figura 15). Neste exemplo, a 
tensão de circuito aberto ETh é a mesma que 
a queda de tensão entre os terminais da 
resistência de 6 Ω. 
Aplicando a regra dos divisores de tensão: 
V6
9
54
36
96
RR
ERE
12
2
Th 




 
Figura 14 – Determinação de RTh. 
Passo 5, ver Figura 16: 
LTh
Th
L RR
EI

 
A5,1
22
6I2R LL 
 
L L
6R 10 I 0,5A
2 10
   

 
Figura 15 – Determinação de ETh. 
L L
6R 100 I 0,059A
2 100
   

 
 
Se não fosse possível a aplicação do 
teorema de Thévenin, cada mudança no 
valor de RL necessitaria de que todo o 
circuito mostrado na Figura 12 fosse anali- 
sado para se determinar os valores de 
tensão e corrente em RL. 
 
Figura 16 – Substituição do circuito externo a RL 
pelo circuito equivalente de Thévenin. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
5. Determinar o circuito equivalente de 
Thévenin para a parte sombreada do 
circuito da Figura 17. 
 
 
Figura 17 – Circuito do exemplo 5. 
Solução: 
Os passos 1 e 2 levam ao circuito da 
Figura 18. 
 
 
Figura 18 – Circuitos após os passos 01 e 02.. 
Passo 3 (ver Figura 19): Neste caso, a substituição da fonte de tensão E por um 
curto-circuito estabelece uma conexão direta entre os pontos c e c’ na Figura 19(a), 
o que permite ‘dobrar’ o circuito, tendo como eixo a reta horizontal que liga a e b, 
resultando no circuito mostrado na Figura 19(b). 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 7 
 
Figura 19 – Determinação de RTh. 
Então: 
 



 
5R
3212||43||6
R||RR||R
RR
Th
4231
baTh
 
Passo 4: O circuito redese-
nhado é mostrado na Figura 
20. A ausência de uma cone-
xão direta entre a e b resulta 
em um circuito com três ra-
mos em paralelo. Portanto as 
tensões V1 e V2 podem ser 
determinadas usando a regra 
dos divisores de tensão: 
 
Figura 20 – Determinação de ETh. 
1
1 1
1 3
2
2 2
2 4
R E 6 72 432V V 48 V
R R 6 3 9
R E 12 72 864V V 54 V
R R 12 4 16
 
    
 
 
    
 
 
Considerando a polaridade indicada na Figura 20 para ETh e aplicando a LKT à 
malha superior no sentido horário, obtém-se: 
V6E4854VVE0VVEV Th12Th21Th  
 
Passo 5: Ver Figura 21 
 
Figura 21 – Circuito equivalente de Thévenin. 
 
A aplicação do teorema de Thévenin não 
se restringe aapenas um elemento passivo, 
como mostrado nos exemplos anteriores, pois 
ele pode ser aplicado em fontes, ramos inteiros, 
partes dos circuitos ou qualquer configuração 
de circuito. Pode acontecer também que seja 
necessário utilizar um dos métodos anteriores, 
como o das malhas ou da superposição para 
determinar o circuito equivalente de Thévenin. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
6. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da 
Figura 22. 
Solução: 
 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 8 
O circuito é redesenhado e os 
passos 1 e 2 são aplicados como 
mostra a Figura 23. 
 
Passo 3: Ver Figura 24. 





2000R
6001400R
2400||8001400R
6000||4000||8001400R
R||R||RRR
Th
Th
Th
Th
3214Th
 
Passo 4: Aplicando o teorema 
da superposição, serão conside-
rados primeiro os efeitos da 
fonte de tensão E1 (ver Figura 
25). 
O circuito aberto faz com que 
V4 = I4∙R4 = 0∙R4 = 0 V e: 
3
'
Th VE  e 
6000||4000R||RR 32
'
T  
 
Figura 22 – Circuito do exemplo 6. 
 
Figura 23 – Circuito da Figura 22 redesenhado. 
 2400R 'T 
 
Aplicando a regra dos divisores 
de tensão: 







8002400
62400
RR
ER
V
1
'
T
1
'
T
3 
'
Th33 EV5,4V3200
14400V  Figura 24 – Determinação de RTh. 
 
A aplicação do método da 
superposição para a fonte E2 
resulta no circuito mostrado na 
Figura 26. Novamente tem-se 
V4 = I4∙R4 = 0∙R4 = 0 V e: 
 
3
''
Th VE  


706R
6000||800R||RR
''
T
31
''
T
 Figura 25 – Contribuição da tensão E1 para ETh. 
 
Aplicando a regra dos divisores de tensão: 
 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 9 
''
Th3
2
''
T
2
''
T
3 EV5,1V4706
7060
4000706
10706
RR
ER
V 





 
Como E’Th e E”Th têm polaridades opostas: 
V3E5,15,4EEE Th
''
Th
'
ThTh  
 
Figura 26 – Contribuição da tensão E2 para ETh. 
Passo 5: Ver Figura 27. 
 
 
Figura 27 – Circuito equivalente de Thévenin. 
 
TEOREMA DE NORTON 
Já foi visto que para qualquer fonte de 
tensão em série com uma resistência interna 
é possível se determinar uma fonte de 
corrente equivalente. O circuito com fonte 
de corrente equivalente ao circuito de 
Thévenin, como mostra a Figura 28, pode 
ser obtido com o auxílio do teorema de 
Norton. 
 
O teorema de Norton afirma que: 
 
Figura 28 – O circuito equivalente de Norton. 
Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois 
terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por 
uma fonte de corrente e um resistor em paralelo 
Os passos do método são os seguintes: 
1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente de 
Norton. 
2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 
3. Calcula-se RN, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as 
fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos 
abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois 
terminais escolhidos. Nota-se que este passo é idêntico ao que foi descrito para 
o teorema de Thévenin. 
4. Calcula-se IN retornando primeiro todas as fontes às suas posições originais no 
circuito e em seguida determinando a corrente de curto-circuito entre os dois 
terminais escolhidos. Esta corrente é a mesma que seria medida por um 
amperímetro conectado entre os terminais assinalados. 
5. Desenha-se o circuito equivalente de Norton e recoloca-se entre os terminais 
 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 10 
do circuito equivalente a parte que foi previamente removida. 
Pode-se obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de 
Thévenin e vice-versa utilizando as técnicas de transformação de fontes, discutidas 
anteriormente e reproduzidas na Figura 29. 
 
Figura 29 – Determinação de RTh. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
7. Determinar o circuito equivalente de 
Norton para a parte sombreada do 
circuito da Figura 30. 
 
Solução: 
Os passos 01 e 02 são mostrados na 
Figura 31. 
 
O passo 3 é mostrado na Figura 32 
N 1 2
3 6R R || R 2
3 6

   

 
 
Figura 30 – Circuito do exemplo 7. 
 
Figura 31 – Identificação dos terminais de interesse. 
 
Figura 32 – Determinação de RN. 
O passo 4 é mostrado na Figura 33, 
indicando claramente que o curto-
circuito entre os terminais a e b está 
em paralelo com R2, eliminando 
qualquer efeito dessa resistência. 
Portanto IN é a corrente que atravessa 
R1, já que: 
V0V60RIV 2222  
 
Portanto: A3I3
9
R
EI N
1
N  Figura 33 – Determinação de IN. 
 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 11 
Passo 5: Ver Figura 34. Este circuito é 
o mesmo no qual foi aplicado o 
teorema de thévenin inicialmente. Uma 
simples conversão indica que os 
circuitos de Thévenin e Norton são, de 
fato, os mesmos (ver Figura 35). 
 
Figura 34 – Determinação de RTh. 
 
Figura 35 – Conversão entre os circuitos equivalentes de Norton e de Thévenin. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 
8. Determine o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito à esquerda dos 
pontos a e b vistos na Figura 36. 
 
Figura 36 – Circuito do exemplo 8. 
Solução: 
Passos 1 e 2 ver Figura 37. 
 
 
Figura 37 – identificação dos terminais de saída. 
O passo 3 é mostrado na Figura 38 e: 
N 1 2
4 6R R || R 2,4
4 6

   

 
 
 
Figura 38 – Determinação de RN. 
NOTAS DE AULA – TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS – REV. 1 12 
Passo 4: (Usando o teorema da 
superposição). 
Para a bateria de 7 V (ver Figura 
39): 
' '1
N N
1
E 7I I 1,75A
R 4
    
 
No caso da fonte de 8 A (ver 
Figura 40), tem-se que tanto R1 
quanto R2 foram curto-circuitadas 
pela ligação direta entre a e b e: Figura 39 – Contribuição da fonte de tensão E1. 
''
NI I 8A  
 
'' '
N N N
N
I I I 8 1,75
I 6,25A
    

 
 
Passo 5: ver Figura 41. 
 
Figura 40 – Contribuição da fonte de corrente I. 
 
Figura 41 – Circuito equivalente de Norton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. 
Capítulo 9. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004. 
	TEOREMAS DE CIRCUITOS
	Teorema da Superposição
	Teoremas de Thévenin e Norton
	A
	Análise por Correntes de Malha
	A
	Análise pelas Tensões nos Nós (Nodal)
	T
	Teorema de Millman
	T
	Teorema da Máxima Transferência de Potência